Part 9

A Tentamen megjelenése után Bolyai nem szünt meg dolgozni. Szeretné a Tentament magyarul is kiadni, de nincsen rá költsége. Dicsőséget nem aratott az eddigivel is; nem is a dicsvágy ösztönözte, hisz névtelenül adta ki munkáit, csupán használni kivánt hazájának; de amidőn 1835-ben az Akadémiában Nagy Károly Arithmetikáját 200 arannyal jutalmazták, mégis elkeseredett, mert, amint írja: annak nincs más érdeme, mint hogy Bécsben nyomtatták szép betükkel; pedig egy lapnyi, amelyen valami tisztába van hozva, többet ér foliántoknál. Itt csak az a mentsége van az Akadémiának, hogy az alapszabályok szerint csak magyar nyelvü munka kaphatta a 200 aranyat.[9] Azonban érthetetlen az, hogy bár Bolyai kész lett volna munkáját magyarul az Akadémia rendelkezésére bocsátani, még feleletre sem méltatták. Így 1843-ban saját költségén adta ki az Arithmetika elejét átdolgozva. Az Akadémia mindamellett törekedett méltányolni őt és – főképp személyes ismerősei révén – tagjai sorába választotta. Ő tovább dolgozott, tervezett. 1853-ban a Tentamen rövid kivonatát kiadja németül „Kurzer Grundriss…“ cím alatt.

Ezen kisebb munkái főképpen tankönyveknek voltak szánva, de ezekben is, mint a kathedrán, nem találta el a helyes mértéket. Tanár volt ő szívvel, lélekkel, de nem arra szánva, hogy tömeget tanítson, hanem inkább arra, hogy zseniket neveljen. Bármilyen szépen is megírta nevelési elveit, azokat csak egy esetben valósította meg, fián, Jánoson. Az iskolában már nem sikerült ez neki, pedig ő ott is törekedett eszerint járni el, sőt talán nagyon is eszerint járt el. A tizenhárom-tizennégy éves János már járatos a felső mathesisben és ő az iskolában is azt hitte, hogy mind csupa zseninek magyaráz. Ezért volt, hogy leszámítva egyeseket, általában nem értették meg tanítványai, mint azt többen följegyezték. Igaz, hogy tanítványai nagyobbrészt a már serdült ifjakból kerültek ki, akiknél éppen elvei szerint, már a tudományok legmélyebbb titkai is kitárhatók. Ő ezeknél már nem is „szemérmes“ tisztelettel fordúlt a természethez, hanem szinte tobzódott a gondolatokban. A magyarázat közben az ő mindig új gondolatokat termő szelleme elérhetetlen régiókba szárnyalt. Ilyenkor talán elfeledte azt is, hogy hol van, csak a fényes gondolatok lebegtek előtte gomolygó halmazban. Mindent filozófiai oldaláról fogott föl és épp ezért nem értették mathematikai előadásait, mert ennek a filozófiája kivánja a legélesebb látást. Arra, hogy a tudományt népszerűsítse, hogy az előtte tömören jelentkező gondolatokat részeikre szedve közölje hallgatóival, nem gondolt, ezt nem látta szükségesnek. Gyakran eltér a tárgytól és áttér a tudományok és filozófia mezejére, tanítványai meghatva ülnek előtte, elbűvölten attól a lelkesedéstől, attól a határtalan imádattól, amellyel az előttük beszélő ember felöleli az egész szellemi világot; gondolkodóba ejtve attól, hogy ennek az embernek arca pirban, szeme tűzben ég azon dolgok említésekor, amelyeket a köznyelven hideg és száraz szavakkal jellemeznek. Hogy tanítványai sok dolgot nem értettek meg, szinte mellékes azon nyereség mellett, amit Bolyaitól kaptak. Hisz melyik mathematika tanárunk állíthatja ma is, hogy tanítványainak legalább a fele érti őt, pláne a felsőbb osztályokban. De a Bolyai tanítványai között nem volt egy sem, akit meg ne hatott volna a lelkesedés tüze, aki ne esett volna gondolkodóba, hogy mégsem lehetnek közönséges dolgok azok, amikért így lehet lelkesedni. Ha talán kevés mathematikát tanultak is tőle tanítványai, de megtanulták mégis azt becsülni, megtanulták a tudományokat értékeseknek tartani. Az apróbb szabályokat elfelejtjük, de a fiatal lelkünkbe égetett lelkesedés és nem közönséges értékelés egész életünkre vezetőnk lesz.

A Tentamen készülésének idejére esik a János munkássága is. János 1822-ben végezte a bécsi akadémiát és innen a tényleges szolgálatba lépett. Már az akadémián foglalkozott a parallelák elméletével és 1823-ban Temesvárról – mint alhadnagy – a következőket írja atyjának: „’A pillanatban nints kitalálva, de az út, melyen mentem, bizonyosan igérte a tzél elérését, ha az egyébaránt lehetséges; nints meg, de ollyan felséges dolgokat hoztam ki, hogy magam elbámultam…“ Két év múlva ellátogat Marosvásárhelyre, ahol már kész rendszerét közli atyjával. Itt megbeszélik a közlés módozatait is és Farkas nagyon sürgeti a minél előbb való nyilvánosságra hozatalt, mert könnyen megelőzheti valaki más. A János munkájának a közlése mégis késik és a Tentamen első kötetének Appendixeként (függelék) jelenik meg 1832-ben. Farkas ezt a kötetet megküldte Gaussnak és birálatot kért. Mint írja: János többet ád a Gauss itéletére, mint az egész világéra. A válasz késett – Gauss nem kapta meg a küldött példányt – amire Farkas az Appendix külön lenyomatát újra megküldte Gaussnak. Gauss örömmel és meglepetéssel olvassa át a kis füzetet és rögtön válaszol. Szokott egyszerűségével és őszinteségével megírja, hogy a tárgyalások egyeznek az ő gondolataival, amelyeket ebben az irányban tett és nagyon örül, hogy régi jó barátjának a fia az, aki őt megelőzte. Jánost elsőrangu zseninek nyivánítja és mindjárt fölhívja a figyelmét bizonyos problémákra.

Gauss levele Jánosnál nagy elkeseredést szült. A talán mathematikai őszinteségű és igazságú levél nem elégítette ki a mathematikus szívét és becsvágyát. János érezte alkotása nagyszerűségét és ha az a fiatal lélek vágyott egy elismerő szó után azon ember ajkáról, akit legtöbbre becsült a világon, azért nem itélhetjük el. Hisz hosszu évek fárasztó, lázas munkájának honorálásáról volt szó és egy meleg, elismerő szó, csak egy kézfogás – ha gondolatban is – volt a várt díj. Nem sok – még egy Gausstól is – azért a munkáért, amelyet az utókor – és abban egy-egy gaussi lángész is – örök bámulattal és halhatatlansággal jutalmazott. Megértjük, hogy János féltékeny lesz és félti a prioritását. Megértjük, hogy elkeseredik éppen Gauss ellen, aki nem szorult rá, ha még olyan szép gyöngyökért is, ilyen módon fáradni. Bár Gauss később nyilvánosságra került levelei igazolják, hogy Gaussnak már voltak ilyenféle gondolatai, hogy volt sejtelme a készülő „új világról“, de mégis csak Bolyai János teremtette azt meg. Ha mathematikailag gondolkozva tán igazat adunk is Gaussnak, de szívünk legtitkosabb redőiben mégis ott él a gyanu, hogy az önzés beszél Gaussból. Bármennyire is igaza volt, szívtelenség volt tőle így felelni, pláne az ő régi barátjának. Gauss nem nyert vele semmit, de összetörte János becsvágyát és odadobta az Éris almáját az apa és fiu közé, mert János haláláig nem békült ki a gyanúval, hogy atyja elárulta eszméit Gaussnak és egyfelől ez volt oka az apa és fiú között később beállott viszályoknak. Az abszolutus geometria históriájához tartozik a másik nagy fölfedezőnek – Lobacsefszkij-nek – a neve is, aki alapjában szintén rájött a dologra, munkálatát közölte is az Appendix megjelente előtt orosz nyelven, de ez a tudós világ előtt ismeretlen maradt, s csak öt évvel az Appendix után jelent meg közérthető nyelven.

Lássuk már most, hogy mi körül forog itten a kérdés és miben áll a fölfedezés nagysága. A fölfedezés egy kétezeréves probléma megoldása. Euklidész V., némelyek szerint XI. axiómája a következő:

„Legyen egy síkban két egyenesünk és messük ezeket egy harmadik egyenessel. A két egyenes határtalanul kinyújtva, azon az oldalon metszi egymást, amely oldalon a belső szögek összege kisebb két derékszögnél.“

Ezt Euklidész posztulátumként állítja oda, mint olyat, amelyet a priori evidensnek látunk, sőt szükségképeninek. Ezen az axiómán ő fölépítette geometriáját, amelyet mindnyájan ismerünk, amely a tapasztalattal soha ellenkezésbe nem jött. Ha a priori nem is tartanók igaznak az V. posztulátumot, a poszteriori még sem kételkedhetnénk annak helyességében. Kevés ember van azonban, aki már a priori ne tartaná szükségképpen igaznak Euklidésznek ezt a követelményét. Ugyanis bármeddig hosszabbítsuk meg a két egyenest, a tapasztalat határán belül azok mindig a tételnek megfelelően viselkednek. Már most, ha a végesből a végtelenre vonunk következtetést, a tétel helyes. De éppen ez a pont az, amely mélyen gondolkodó mathematikusoknak már igen régen (Ptolemaiosz volt az első) föltünt és ezért az V. posztulátumot a bizonyítandó tételek sorába helyezték. A végesről a végtelenre következtetést vonni nem szabad és így a szemlélet révén a V. euklidészi posztulátum helyes vagy helytelen voltáról meggyőződni nem lehet.[10]

A mathematikusok előtt tehát ez állott: van egy tételünk, amelynek összes következményei helyesek, de a tétel – mint axióma – a priori nem látható be, bizonyítva pedig még nincsen. 2000 éven át a kérdéssel foglalkozó mathematikusoknak a törekvése ezt a hiányzó bizonyítást megadni. Megpróbálták a legkülönbözőbb útakat. Új posztulátumokkal törekedtek a régit helyettesíteni: sokan hitték, hogy elérték céljukat, de mindenikről kiderült, hogy valamiben hibáztak. Kästner, Bolyai és Gauss egykori tanára, mintegy hétezer művet gyüjtött össze, amelyek a szóban levő kérdéssel foglalkoznak. Mint minden bizonyításnál, kétféle útja volt az eljárásnak: direkte bizonyítani a tételt, vagy kimutatni az ellenkező lehetetlenségét. Ez utóbbi útat követi Farkas a Theoria Parallelarumban. Fölvesz egy egyenest és erre egy merőleges vonaldarabot állít. Ettől egyenlő távolban jobbra és balra szintén egyenlő merőlegeseket. Már most – föltéve, hogy nem igaz az V. axióma – ezeknek a merőlegeseknek végpontjai egy sokszöget határoznak meg; ha pedig a merőlegeseket egész sűrön rakjuk, akkor a végpontok összeköttetése görbe vonal lesz, amelyről Bolyai F. bizonyítja, hogy ez csak önmagába visszatérő görbe lehet. Ebből pedig az következnék, hogy egy egyenesre két pontjában állított merőlegesek egy pontban találkoznak. Ez pedig ellentétben van azzal a tétellel, hogy egy egyenesre egy pontból csak egy merőlegest lehet vonni. Bolyai ezt bizonyítja, de bizonyításában – mint Gauss egy levelében megmutatta – hibát követ el, amikor fölteszi, hogy a keletkező sokszög egyenlő szögü, vagy a keletkező görbe kör, ami nem szükségképeni. Farkast ez nem kedvetlenítette el, mert maga is kételkedett benne, hogy kihozta volna a dolgot, habár a tétel bizonyíthatóságáról teljesen meg volt győződve. Hasonló módon szenvedtek hajótörést mindazok a mathematikusok – köztük Legendre, Lagrange – akik az V. posztulátumot bizonyítani törekedtek. Mindamellett a sok fáradságnak igen nagy haszna volt a geometriai alapfogalmak – egyenes, görbe stb. – tisztázására.

Bolyai János volt az első, aki – miután a bizonyítás neki sem sikerült – arra az álláspontra helyezkedett, hogy a parallelák tételétől függetlenül építse föl a geometriát. Eljárásának egyik része a Farkastól kontsruált egyenlő távolu vonal vizsgálata. Csakhogy amíg Farkas ezt a vonalat segédeszköznek használja, János magát ezt a vonalat vizsgálja. És ez új álláspont 1823-ban még nincs kész, de már látja az „új másvilágot“. Ez a gondolat, amely most olyan egyszerűnek látszik, páratlan mély látásra vall. János emancipálni tudta magát az egész euklidészi geometria parancsoló hatása alól és fölemelkedett arra a magaslatra, amelyet így jellemezhetünk, mint az ő álláspontját: A geometria oly tudomány, amelyet teljesen absztrakt fogalmakból mi magunk, függetlenül a külvilágtól, alkotunk meg. A geometria ilyen megalkotásakor egyetlen vezető eszménk az, hogy alkotmányunk a térbeli szemlélettel összhangzásban legyen és így amellett, hogy igen általános összefüggéseket ad az alapul vett fogalmak között, egyszersmind alkalmas a tér geometriai tüneményeinek leírására. Ennélfogva nem szabad a szemléletből vett tételeket általánosítani és így az euklidészi tételre egyebet nem mondhatunk, mint azt, hogy az áll a tapasztalás határain belül. Mindenesetre van egy határ, amelyen túl a két szög összege kisebb két deréknél, de mi még nem tudjuk az összehajlást kimutatni. Ezt a határt gyakorlatilag nem állapíthatjuk meg.

Hogy a Bolyai János alkotását megérthessük és méltányolhassuk, egynéhány szót bocsátunk előre a felületek geometriájából. Olyan felületekről beszéljünk, amelyek bizonyos szabály szerint vannak alkotva és így egy véges darabjuk is magán viseli a felület jellemző tulajdonságait. Egy ilyen felület geometriáján értjük azon tételek összeségét, amelyek a fölület, a benne jól meghatározott módon húzható vonalak és ezen vonalak által alkotott idomok tulajdonságait fejezik ki. Gondoljunk pl. a sík vagy gömb geometriájára. Ha egy általános felület geometriáját akarjuk megalkotni, a felület olyan vonalaival kell dolgoznunk, amelyek nem tetszésszerintiek, hanem a felületre jellemzők, amelyek mintegy a felülettel adva vannak. Ilyen vonalak a felületek legrövidebb vonalai. Vegyünk föl a felületen két pontot és az ezt a két pontot összekötő vonalak közül válasszuk ki a legrövidebbet (eltekintve egyes szinguláris esetektől, ilyen mindig van). Ez épp oly szerepet játszik a felületen, mint az egyenes a síkban és ezért nevezik ezeket a felület egyenes vonalainak is. Hogy egy ilyen legrövidebb vonalat megnyújtunk pl. a végtelenig, azt úgy kell érteni, hogy ezen vonal bármely két pontját összekötő vonalak között tényleg ez a vonal a legrövidebb. Egy ilyen felületen két legrövidebb vonalat parallelnek mondunk, ha a végtelenbe meghosszabbítva nem metszik egymást. Egy felületbeli vonal két igen közeli pontján átfektetett egyenest mondjuk a vonal érintőjének. Két egymást metsző görbe vonal hajlásszögén értjük a metsző pontból a vonalak irányában húzott érintők hajlásszögét. A gömbön a legrövidebb vonalak a legnagyobb gömbkörök. Egy felület trigonometriáján értjük a felület legrövidebb vonalaiból alkotott háromszögek tanát. Az euklidészi sík háromszög szögeinek összege 180°. A gömb-háromszög szögeinek összege nagyobb 180°-nál. Vannak felületek, amelyeken a legrövidebb vonalak alkotta háromszögek összege kisebb 180°-nál. Ilyen felület pl. egy nyeregfelület, amelyet kezünkön is szemlélhetünk szétfeszített ujjaink között.

Már most Euklidész V. posztulátumának vizsgálatában gondoljunk egy pillanatra általánosan felületekre és azok egyeneseire (legrövidebb vonalaikra). Nyilvánvaló, hogy itt megeshetik pl. az, hogy a két egyenes nem találkozik, dacára annak, hogy a belső szögek összege kisebb 180°-nál.

Már most képzeljünk egy ilyen nyeregfelületet igen nagyon ellapítva, mikor is azt egyezőnek találjuk az euklidészi síkkal, dacára annak, hogy az eredeti viszonyok megmaradnak.

Távol attól, hogy ilyen nyeregfelületnek képzelnők a Bolyai-féle abszolutus síkot, ezt csak annak szemléltetésére hoztuk föl, hogy jogosult volt az akkori geometrák kételkedése. Már most hogyan jár el Bolyai János? Az ő korában azok a geometriai tételek, amelyeket én itt fölsoroltam, még csak készülőben voltak Gaussnál. Neki nem volt más fogantyu a kezében, mint annak éles meglátása, hogy megeshetik a két egyenes nem metszése akkor is, ha a belső szögek összege kisebb 180°-nál. Ő ennek következményeit vonja le és ennek következményeiből konstruálja úgynevezett abszolutus síkját.

Jánosnál tehát a kiinduló pont az, hogy két párhuzamos egyenes belső szögeinek összege kisebb 180°-nál. Vegyünk most egy síkban végtelen sok parallel egyenest. Egyik egyenesen vegyünk föl egy pontot és ebből úgy húzzunk egy egyenest az egyik szomszédos parallelhez, hogy a két belső szög egymással egyenlő legyen. Ilyen egyenes mindig van és János álláspontján a keletkező szögek hegyes szögek. Ezt a műveletet folytassuk tovább parallelről parallelre, mindig az előbbi szelő végpontját használva az új szelő kezdőpontjául. Az így kapott szelők együtt egy sokszöget alkotnak; ha pedig a paralleleket végtelen sűrűn vesszük, a sokszög átmegy egy görbe vonalba. Ezt a vonalat nevezi János határvonalnak és L betűvel jelzi. Később ennek a vonalnak a paraciklus nevet adták. Bolyai János kimutatja, hogy e vonal egyenlő görbültségü. Euklidész síkjában ennek a görbének egyenes fele meg, amely forgatva a parallelek egyike, mint tengely körül, síkot ír le. A paraciklus hasonló forgatással egy felületet ír le és ez a felület a Bolyai János paraszférája, amely olyan tulajdonságu, hogy rajta pontosan érvényes az Euklidész geometriája, ha az euklidészi egyenesk helyett a Bolyai-féle paraciklusokat használjuk. Nevezetes az, hogy míg az Euklidész síkjában az V. posztulátum nem bizonyítható, Bolyai a paraszférán ezt két paraciklusra szigorúan bebizonyítja. Ezután megszerkeszti Bolyai egy egyenes egyenlő távolu egyenesét, amely nála újra görbevonal lesz. Egy egyenes két pontjában egyenlő merőlegeseket állítunk és a végpontokat összekötjük egy parallellel, de mivel a belső szögek összege kisebb 180°-nál, az összekötő egyenesnek a másik felé be kell görbülnie János szerint. Szerkesztve ezt az egész egyenes hosszában, egy görbét kapunk, amelynek neve hypercyklus, és amelyik Euklidés szerint újra egyenes. Forgatva ezt a merőlegesek egyike körül, egy fölületet nyerünk, amelynek neve hyperszféra. Ennek geometriájával János keveset foglalkozik.

Bolyai János az ő geometriájában határozatlanul hagyja, hogy a belső szögek összege mennyivel kisebb 180°-nál és itt végtelen nagy tetszésszerintiség van. Minden egyes esetben más és más méretekkel bíró para- és hyperszférákat nyerünk, amelyeket az illető esetekben egy-egy állandó individuálizál. Amikor ez az állandó végtelenné válik, a Bolyai-féle geometria átmegy az Euklidész-félébe, amit élesebben úgy fejezhetünk ki, hogy a Bolyai-féle geometria, mint speciális esetet magában foglalja az az euklidészi geometriát.

Most láthatjuk a különbséget a kétféle geometria között és láthatjuk azt a széles látókört, amit Bolyai nyitott meg. Míg Euklidész szerint van egy felületünk, amely leír bizonyos egyszerűbb geometriai tüneményeket, addig Bolyai a felületeknek egy végtelen nagy sokaságát alkotta. A tapasztalás alá eső tüneményeket ez is leírja egy speciális esetben (ha az a bizonyos állandó végtelen nagy lesz). A többi esetek geometriájával a gyakorlat ugyan nem nyert semmit, de nyert a csupán abszolutus igazságra törekvő szellem, mert olyan újabb összefüggéseket kapott így, amelyeket az euklidészi geometria nem képes nyújtani.

Összefoglalva a mai geometriai rendszereket, háromféle geometriánk van: A Riemann-féle, amely a gömb geometriája; jellemzője, hogy a háromszög szögeinek összege nagyobb 180°-nál. Az Euklidészé, mely általánosan ismeretes és a Bolyai-Lobacsefszkij-féle geometria, amelyet euklidészi álláspontról nézve, a már említett nyeregszerü felületeken szemléltethetünk és amelyben egy háromszög szögeinek összege kisebb 180°-nál.

Ezek után látjuk, hogy az V. posztulátum helyes vagy helytelen voltáról szóló kérdés magától elesik. Ha geometriánk alapjául tesszük, kapjuk az Euklidész geometriáját; ha nem, kapjuk a Bolyaitól abszolutusnak nevezett geometriát. A kétezeréves probléma így nyert megoldást a mi Bolyaink által. Tulajdonképpen nem megoldást nyert, hanem lépcsőül szolgált a geometráknak oly magasra emelkedni, ahonnan új világokat láthatnak. A geometriai látókör az Appendix által óriásit növekedett és a kiépítés munkája ma is folyton tart.[11]

Az Appendix megjelenése után Jánost nemsokára nyugdíjazták és ő Domáldra, atyja birtokára költözött. Oly környezetben élt, amely nem is sejti, de ha sejtené is, méltányolni sem tudná a zsenit. A külső elismerés elmaradt és így Jánosnak különben is szélsőségekre hajló természete rendkívüli anomáliákba csapott át. Az egész országban egy ember van, aki őt érti és méltányolni tudja, atyja. Ő azonban összevesz atyjával, részint anyagi dolgok miatt, részint a gyanu miatt, amely szerint atyja elárulta volna eszméit Gaussnak. Munkakedve elvesz és csak szórványosan, kapkodva dolgozik. Egy Leipzigbe küldött, a komplex mennyiségekről szóló pályamunkájában sok dologban megelőz nagy matematikusokat, de bírái munkáját nem értették meg és ez még jobban elkeserítette. Nagyobb munkája még a Lobacsefszkij dolgozatának birálata, „amelyben János egyebek között Lobacsefszkij előállításának olyan pontatlanságára utal, amelyet rajta kívül senki sem vett észre“.[12]

Már utolsó katonaéveiben kezd félrevonulni, mogorva lenni. Minden kis dolog kihozza sodrából és ilyenkor óriási féktelenségekre ragadtatja magát. Egy ilyen eset volt oka nyugdíjaztatásának is. Haza kerülvén, azt hiszi, hogy atyja meg akarja rövidíteni örökségében öccse javára, ami elhidegíti az egykor oly meleg és harmónikus viszonyt. Jánosról sok mendemonda kering, jóval több a kelleténél és az apa talán túlságosan is hitelt adván ezeknek, szeretné, ha fia a közvéleményben is oly jó hírnek örvendene, mint esze azt megérdemelné. Ilyenkor János végtelen haragra lobban. Az okot bizonyos hozzá nem illő nővel való viszonya szolgáltatta. Az egyes tények a kisvárosi élet szokásai szerint eltorzítva kerültek közszájra. János hiában kéri atyját, hogy ne higyjen ezeknek, – talán az igaznál többet is elhitt – és így érthetjük János elkeseredését is. Mindenesetre Jánosnak családi élete egyike a legérthetetlenebb viszonyoknak. Bedőházy szerint nem tudni, hogy hol kapta nejét, sem azt, hogy meg volt-e vele esküdve, de ez a nő volt az egyetlen lény, akinek hatalma volt Bolyai János fölött. A szomszédok tanúsága szerint a két sajátságos lélek összeütközései nagy viharokra szolgáltattak alkalmat. Összegében véve tehát, szemben állott az öreg Bolyai jó híre a János épp oly rossz hírével; az öreg jó szíve az ő kemény, semmi szívességre és hálára nem hajló szívével; az apa kevés meglepetéseket keltő tudományos munkássága a János új világával. Szemben állott az apa tekintélye, amelyet néha akaratlanul is érvényesíteni akart, a János saját halhatatlanságába vetett hitével, mintegy bizalommal a jövő igazságszolgáltatása iránt, de épp oly elkeseredéssel a jelen iránt, hogy meg akarják fosztani dicsőségétől (Gauss-féle levél) és még hozzá a gyanúval atyja iránt, hogy ez az ő révén történt. Szemben állanak ilyen szétválasztó lelki motivumokkal, amikhez hozzájárul a széttörhetetlen kapocs, a mathesis iránti közös szerelem.

Bármennyire eltávolodtak is egymástól az első okok miatt, összehozta őket ez utóbbi. Az egész országban nincs még egy hely, nincs még egy matematikus, ahol szerelmüknek áldozhatnának. Ha távol vannak egymástól, leveleznek, de a kritikusabb időkben megszólítást nem használnak; eszméiket közölni kell. Ha pedig együtt laknak, egy meg nem értett szó, egy magyarázat félreértése, egy kis kritika fölszínre dobja az összes ellentéteket. És nem tudnak megegyezni, mint okos emberekhez illik, nem tudnak különbséget tenni bizonyos dolgok között, nem tudnak semmiben elnézést gyakorolni egymás iránt. Az őrültek csökönyösségével ragaszkodnak nézeteikhez. Az apa még engedne, de János makacssága őt is kihozza sodrából. Nyugodt pillanataikban mindketten vágynak a közös békére, hisz szeretik is egymást, ezt is nem rendes méretekben, többször ki is békülnek, de mindig kerül valami kis ellentét és kész a surlódás, sőt a késhegyig menő harc. Ilyenkor János szenvedélyessége nem ismer határt. Igy hívja ki atyját egy ilyen pillanatban párbajra, amire az öreg őt elűzi házától. Kibékülnek újra, de csak további civódásokra, amelyekben mindenesetre több hibája volt Jánosnak.