Part 5

Denn wenn B nicht möglicherweise keinem A zukommt, so kommt es deshalb nicht notwendig einem zu. Denn der Ausdruck: nicht möglicherweise keinem, wird in zweifachem Sinne angewandt: einmal wenn es notwendig zukommt, und dann: wenn es notwendig einem nicht zukommt. Denn von dem, was notwendig einem A nicht zukommt, ist es nicht wahr zu sagen, daß es jedem möglicherweise nicht zukommt, wie es auch von dem, was einem notwendig zukommt, nicht wahr ist zu sagen, daß es jedem möglicherweise zukommt. Wenn man also das Zugeständnis forderte, daß C, da es nicht jedem D möglicherweise zukommt, notwendig einem nicht zukommt, so behauptete man etwas Falsches. Denn es kommt jedem zu, aber weil es in einigen Fällen seinem Subjekt notwendig zukommt, deshalb sagen wir, daß es nicht jedem möglicherweise zukommt. Demnach ist das Gegenteil von: jedem möglicherweise zukommen, einmal: einem notwendig zukommen, und dann: einem notwendig nicht zukommen. Und ebenso ist es mit dem Gegenteil von: möglicherweise keinem. Man muß also offenbar als Gegenteil des in der ursprünglich definierten Weise Möglichen und Nichtmöglichen nicht nur[A] das „notwendig einem zukommen“ setzen, sondern auch das „notwendig einem nicht zukommen“. Wenn man aber dieses Letztere nimmt, so folgt nichts Unmögliches, und so erhält man denn keinen Schluß. Man sieht also aus dem Gesagten, daß die Verneinung sich nicht umkehren läßt[113].

[A] Zeile 37 a 28 haben wir die Leseart vorgezogen: οὐμόνον–ἀλλὰ καὶ, nach Kodex B, Julius Pacius, Waitz u. a.

Nachdem dieses bewiesen ist, wollen wir wieder annehmen, A komme möglicherweise, wie keinem B, so jedem C zu. Einen Schluß durch Umkehrung der verneinenden Prämisse kann es da also nicht geben. Denn wir haben dargetan, daß sich eine solche Prämisse nicht umkehren läßt. Es gibt aber auch keinen Schluß aus dem Unmöglichen. Denn wenn man annimmt, daß B jedem C zukommen kann, so folgt daraus nichts Falsches. Denn A kann jedem und kann keinem C zukommen[114].

[Sidenote: 37 b]

Überhaupt träfe hier ein Schluß, wenn er zulässig wäre, offenbar das Mögliche, weil keiner der beiden Vordersätze ein Sein aussagen soll, und dieser Schluß müßte entweder bejahend oder verneinend sein. Er ist aber in keiner von beiden Weisen möglich. Denn läßt man ihn bejahend sein, so wird man durch die Begriffe zeigen, daß sich das Betreffende nicht zukommen kann, und läßt man ihn verneinend sein, so wird man ebenso zeigen, daß der Schlußsatz nicht möglich, sondern notwendig ist. Denn es sei A weiß, B Mensch, C Pferd. Da kann denn A, weiß, bei dem einen jedem, bei dem anderen keinem zukommen. Aber B kommt dem C weder möglicherweise zu, noch nicht zu. Daß es ihm nun nicht zukommen kann, ist klar. Denn kein Pferd ist ein Mensch. Aber auch, daß es ihm nicht möglicherweise nicht zukommt. Denn es ist notwendig, daß kein Pferd ein Mensch ist, das Notwendige aber galt uns nicht als möglich. Mithin ergibt sich kein Schluß[115].

Ebenso wird der Beweis geführt werden, wenn die Verneinung umgekehrt gesetzt wird oder wenn beide Vordersätze bejahend oder verneinend genommen werden. Denn der Beweis erfolgt durch dieselben Begriffe. Und wenn der eine Vordersatz allgemein, der andere partikulär ist oder beide partikulär oder unbestimmt sind oder die Vordersätze wie immer sonst noch geändert werden; denn der Beweis kann immer durch dieselben Begriffe erfolgen[116].

So ist es denn klar, daß, wenn beide Vordersätze kontingent gefaßt werden, kein Schluß zustande kommt.

Achtzehntes Kapitel.

Wenn aber der eine Satz das bloße Sein und der andere das kontingente Sein aussagt, so ist, falls man den bejahenden Satz das bloße Sein und den verneinenden das kontingente Sein aussagen läßt, keinerlei Schluß möglich, weder wenn man die Begriffe allgemein, noch wenn man sie partikulär faßt.

Der Beweis ist derselbe und wird durch dieselben Begriffe geführt[117].

Im Falle aber, daß der bejahende Satz das kontingente Sein und der verneinende das bloße Sein enthält, ist ein Schluß möglich. Denn gesetzt, A komme einfach keinem B und kontingenterweise jedem C zu. Wenn man nun die Verneinung umkehrt, wird B keinem A zukommen. Aber A konnte jedem C zukommen. Da ergibt sich denn der Schluß, daß B keinem C zukommen kann, durch die erste Figur. Ebenso wenn die Verneinung zu C gesetzt wird[118].

Wenn aber beide Sätze verneinend sind und der eine das einfache, der andere das mögliche Nichtsein aussagt, so kommt zwar durch die angenommenen Sätze an sich keine Notwendigkeit zustande, wenn man aber den kontingenten Satz umkehrt, ergibt sich der Schluß, daß B keinem C zukommen kann, wie in den früheren Fällen. Denn wir bekommen da wieder die erste Figur[119].

Sind aber beide Vordersätze bejahend, so kann sich kein Schluß ergeben. Begriffe für Zukommen: Gesundheit, sinnliches Wesen, Mensch; für Nichtzukommen: Gesundheit, Pferd, Mensch[120].

[Sidenote: 38 a]

Ebenso wird es sich mit den partikulären Schlüssen verhalten. Denn wenn der bejahende Vordersatz auf das einfache Sein lautet, so ist kein Schluß möglich, mag der Satz nun allgemein oder partikulär gefaßt sein -- dieses wird ebenso und durch dieselben Begriffe bewiesen wie oben --; lautet aber der verneinende Vordersatz darauf, so ist ein Schluß durch Umkehrung möglich wie oben[121].

Wenn hinwieder beide Sätze verneinend sind und der auf einfaches Nichtsein lautende Satz allgemein ist, so ergeben die Prämissen an sich keine Notwendigkeit, wird aber der kontingente Satz, wie vorhin, umgekehrt, so gewinnt man einen Schluß. Wenn aber der verneinende Satz auf das einfache Sein geht und dabei partikulär ist, so gewinnt man keinen Schluß, sei die andere Prämisse bejahend oder verneinend; auch nicht, wenn beide Prämissen bejahend oder verneinend, unbestimmt oder partikulär gefaßt sind. Der Beweis ist derselbe und geht durch dieselben Begriffe[122].

Neunzehntes Kapitel.

Wenn aber der eine Vordersatz auf das Notwendige, der andere auf das Kontingente geht, so entsteht, falls der verneinende Satz notwendig ist, der Schluß nicht nur auf mögliches, sondern auch auf wirkliches Nichtsein; ist dagegen der bejahende Satz notwendig, so entsteht kein Schluß[123].

Denn A soll notwendig keinem B, aber möglicherweise jedem C zukommen. Kehrt man nun den verneinenden Satz um, so wird auch B keinem A zukommen. A konnte aber jedem C zukommen. So entsteht denn wieder durch die erste Figur der Schluß, daß B möglicherweise keinem C zukommt. Zugleich ist klar, daß B auch wirklich keinem C zukommen wird. Denn setzen wir den Fall des Zukommens. Wenn nun A keinem B zukommen kann und B einem C zukommt, kann A einem C nicht zukommen. Aber nach der Voraussetzung kommt es jedem zu[124].

Ebenso wird der Beweis geführt werden, wenn die Verneinung bei C steht[125].

[Sidenote: 38 b]

Umgekehrt sei der bejahende Satz notwendig und der andere kontingent, und A komme möglicherweise keinem B, aber notwendig jedem C zu. Wenn die Begriffe sich so verhalten, so ergibt sich keinerlei Schluß, da es der Fall sein kann, daß B dem C notwendig nicht zukommt. Denn es sei A weiß, bei B stehe Mensch, bei C Schwan. Weiß kommt da dem Schwan notwendig und möglicherweise keinem Menschen, und Mensch kommt notwendig keinem Schwan zu. Daß es in diesem Falle keinen Schluß auf die Kontingenz gibt, ist klar. Denn das Notwendige galt uns nicht als kontingent. Aber es gibt auch keinen Schluß auf die Notwendigkeit. Denn das Notwendige erhielten wir entweder, wenn beide Vordersätze notwendig sind oder, wenn der verneinende es ist. Außerdem kann auch, wenn die gedachten Annahmen gelten, B dem C zukommen. Denn nichts hindert, daß C unter B begriffen ist und A jedem B möglicherweise, dem C aber notwendig zukommt, wie wenn z. B. C wachend wäre, B sinnliches Wesen, A Bewegung. Denn dem Wachenden kommt Bewegung notwendig zu, bei Sinnenwesen aber gilt, daß sie jedem möglicherweise zukommt; und alles Wachende ist ein Sinnenwesen. Es ist also klar, daß es da auch keinen Schluß auf das bloße Nichtsein gibt, da ja bei solchem Verhalten der Begriffe ein notwendiges Sein herauskommt; auch keinen auf die entgegengesetzten Bejahungen; und so findet denn gar kein Schluß statt. Ebenso erbringt man den Beweis, wenn die bejahende Prämisse umgestellt (zum Obersatz gemacht) wird[126].

Sind die Prämissen aber gleichartig (von gleicher Qualität), so gewinnt man, falls sie verneinend sind, immer einen Schluß, indem man die kontingente Prämisse, wie in den früheren Fällen, umkehrt. Denn A soll B notwendig nicht zukommen und dem C möglicherweise nicht. Kehrt man nun die Prämissen um, so kommt B keinem A zu, aber A möglicherweise jedem C. Da ergibt sich also die erste Figur. Ebenso wenn die Verneinung bei C steht[127].

Sind die Prämissen aber bejahend gefaßt, so ist kein Schluß möglich. Denn ein Schluß auf nicht sein oder notwendig nicht sein, ist offenbar darum nicht möglich, weil weder für sein noch für notwendig sein eine verneinende Prämisse angesetzt ist. Aber auch auf möglicherweise nicht sein kann nicht geschlossen werden. Denn wenn die Begriffe sich so verhalten, wird B dem C notwendig nicht zukommen, wie wenn z. B. A weiß ist, B Schwan, C Mensch. Ebenso nicht auf die entgegengesetzten Aussagen, da es sich gewiesen hat, daß B dem C notwendig nicht zukommt. Es ist also gar kein Schluß möglich[128].

Dieselbe Bewandtnis muß es mit den partikulären Schlüssen haben. Ist das Verneinende allgemein und notwendig, so gibt es immer einen Schluß sowohl auf das kontingente Sein als auf das einfache Nichtsein -- der Beweis wird dabei durch Umkehrung geführt --, ist es aber das Bejahende, so gibt es nie einen Schluß. Denn dieses wird ebenso und durch dieselben Begriffe gezeigt werden wie bei den allgemeinen Schlüssen.

Ebensowenig wenn beide Prämissen bejahend gefaßt sind. Denn auch hierfür gilt derselbe Beweis wie vorhin.

Sind sie aber beide verneinend und ist dabei die das einfache Nichtsein enthaltende Prämisse allgemein und notwendig, so ergeben zwar die angenommenen Prämissen an sich nichts Notwendiges, wohl aber entsteht durch Umkehrung der kontingenten Prämisse ein Schluß wie in den früheren Fällen.

Sind aber beide Prämissen unbestimmt oder partikulär gefaßt, so ergibt es keinen Schluß. Der Beweis ist hier wieder derselbe und geht durch dieselben Begriffe[129].

[Sidenote: 39 a]

Man sieht also aus dem Gesagten, daß wenn die allgemein verneinende Prämisse notwendig ist, immer ein Schluß, nicht nur auf kontingentes Nichtsein, sondern auch auf einfaches Nichtsein erfolgt, dagegen niemals, wenn die bejahende Prämisse notwendig ist. Und daß, wenn die Begriffe sich hier und dort, in den notwendigen und in den einfachen Sätzen, auf dieselbe Weise verhalten, ein Schluß erfolgt und nicht erfolgt. Auch sieht man, daß alle Schlüsse hier unvollständig sind und erst durch die vorgenannten Figuren vollständig werden.

Zwanzigstes Kapitel.

In der letzten Figur erfolgt ein Schluß, wenn beide Prämissen kontingent sind und wenn nur eine es ist.

Lauten die Prämissen auf Kontingenz, so wird auch der Schlußsatz kontingent sein, ebenso wenn die eine auf kontingentes und die andere auf einfaches Sein lautet.

Ist aber die eine Prämisse notwendig, so enthält der Schlußsatz, wenn sie bejahend ist, weder ein notwendiges noch ein einfaches Sein; wenn sie aber verneinend ist, so erfolgt ein Schluß auf Nichtsein wie in den früheren Fällen. Aber auch hier muß man das Kontingente in den Schlußsätzen ebenso wie früher verstehen.

Die Prämissen seien also zuerst kontingent und A und B kommen möglicherweise jedem C zu. Da nun das Bejahende partikulär konvertibel ist und B jedem C zukommen kann, so kann es auch C einem B. Und wenn so A jedem C und C einem B zukommen kann, so kann es auch A einem B. Denn es ergibt sich die erste Figur.

Und wenn A möglicherweise keinem und B möglicherweise jedem C zukommt, so ist es notwendig, daß A einem B möglicherweise nicht zukommt. Denn wir werden wieder durch Umkehrung die erste Figur erhalten[130].

Setzt man aber beide Prämissen verneinend, so kann sich zwar aus den angenommenen Prämissen selbst keine Notwendigkeit ergeben, aber man erhält durch Umkehrung der Prämissen einen Schluß wie vorhin. Denn wenn A und B möglicherweise dem C nicht zukommt und man statt dem setzt möglicherweise zukommen, so ergibt sich wieder durch Umkehrung die erste Figur[131].

Ist aber der eine Begriff allgemein und der andere partikulär und verhalten sich die Begriffe ebenso wie in den einfach aussagenden Sätzen, so wird auch ebenso ein Schluß möglich und nicht möglich sein.

Denn A komme möglicherweise jedem und B möglicherweise einem C zu. Da wird man wieder durch Umkehrung der partikulären Prämisse die erste Figur erhalten. Denn wenn A jedem C und C einem B zukommen kann, kann A einem B zukommen.

Das gleiche gilt, wenn BC allgemein ist[132].

Ebenso liegt die Sache, wenn AC verneinend und BC bejahend ist. Man erhält wieder durch Umkehrung die erste Figur[133].

[Sidenote: 39 b]

Setzt man aber beide Prämissen verneinend, die eine allgemein, die andere partikulär, so wird zwar durch die angenommenen Prämissen selbst kein Schluß entstehen, wohl aber bei ihrer Umkehrung, wie vorhin[134].

Läßt man aber beide Prämissen unbestimmt oder partikulär sein, so entsteht kein Schluß. Denn notwendig kommt A jedem und keinem B zu. Begriffe für Zukommen: sinnliches Wesen, Mensch, weiß; für Nichtzukommen: Pferd, Mensch, weiß; Mittleres: weiß[135].

Einundzwanzigstes Kapitel.

Wenn aber die eine Prämisse das einfache, die andere das mögliche Sein enthält, so sagt der Schlußsatz das mögliche, nicht das einfache Sein aus, und es entsteht ein Schluß, wenn sich die Begriffe auf dieselbe Weise verhalten wie vorhin (im 20. K.).

Denn sie sollen zuerst bejahend sein und A jedem C zukommen, B aber jedem zukommen können. Kehrt man nun BC um, so erhält man die erste Figur und den Schlußsatz, daß A einem B zukommen kann. Denn wenn die eine Prämisse in der ersten Figur ein kontingentes Sein aussagt, so war auch der Schlußsatz kontingent. Ebenso wenn BC das Sein und AC die Möglichkeit aussagt[136].

Und wenn AC verneinend, dagegen BC bejahend ist, so wird, mag nun der eine oder der andere Satz das einfache Sein aussagen, in beiden Fällen der Schlußsatz kontingent sein. Denn man erhält wieder die erste Figur, und es ist gezeigt worden, daß wenn der eine Satz in ihr das kontingente Sein aussagt, auch der Schlußsatz kontingent sein muß[137].

Steht die kontingente Verneinung bei dem Unterbegriff, oder sind beide Prämissen verneinend gefaßt, so kann sich aus den Prämissen selbst kein Schluß ergeben, wohl aber erhält man einen Schluß bei ihrer Umkehrung, wie in den früheren Fällen[138].

Ist aber die eine Prämisse allgemein, die andere partikulär und sind gleichzeitig beide bejahend, oder ist die allgemeine verneinend, die partikuläre bejahend, so werden alle Schlüsse in derselben Weise zustande kommen: sie gehen sämtlich durch die erste Figur, und so muß sich offenbar ein Schluß auf mögliches, nicht auf wirkliches Sein ergeben[139].

Ist aber die bejahende Prämisse allgemein und die verneinende partikulär, so wird der Beweis durch das Unmögliche geführt werden. Denn B soll jedem C zukommen und A möglicherweise einem C nicht zukommen. Dann muß A einem B möglicherweise nicht zukommen. Denn wenn A notwendig jedem B zukommt und B nach der Voraussetzung jedem C zukommt, wird A notwendig jedem C zukommen. Denn das ist früher nachgewiesen worden. Aber die Voraussetzung war, daß es möglicherweise einem nicht zukommt[140].

[Sidenote: 40 a]

In dem Falle aber, daß beide Prämissen unbestimmt oder partikulär gefaßt sind, ist kein Schluß möglich. Der Beweis ist derselbe wie bei den allgemeinen Sätzen und geht durch dieselben Begriffe[141].

Zweiundzwanzigstes Kapitel.

Ist aber die eine Prämisse notwendig, die andere kontingent, so erhält man, wenn die Begriffe bejahend sind, immer einen Schluß auf das Kontingente; ist aber der eine Satz bejahend und der andere verneinend, so erhält man, falls der bejahende notwendig ist, einen Schluß auf kontingentes Nichtsein, falls aber der verneinende notwendig ist, einen Schluß sowohl auf kontingentes wie auf wirkliches Nichtsein. Dagegen erhält man keinen Schluß auf notwendiges Nichtsein, wie auch nicht in den anderen Figuren.

Es sollen also die Begriffe zuerst bejahend sein und A jedem C notwendig, dagegen B jedem C kontingenterweise zukommen. Da nun A jedem C notwendig und C einem B kontingenterweise zukommt, so wird auch A einem B kontingenterweise, nicht einfach zukommen; denn so geschah es in der ersten Figur. Ebenso muß der Beweis geführt werden, wenn BC notwendig und AC kontingent sein soll[142].

Es soll hinwieder die eine Prämisse bejahend, die andere verneinend und die bejahende notwendig sein; und A soll möglicherweise keinem C zukommen, aber B notwendig jedem. Es wird sich dann wieder die erste Figur ergeben, weil auch die verneinende Prämisse die Kontingenz aussagt. Es muß also offenbar der Schlußsatz kontingent sein; denn wenn sich die Prämissen in der ersten Figur so verhielten, war auch der Schlußsatz kontingent[143]. Ist aber die verneinende Prämisse notwendig, so wird sich der Schlußsatz ergeben, sowohl daß einem etwas möglicherweise nicht zukommt, wie daß es ihm wirklich nicht zukommt.

Denn A soll C notwendig nicht zukommen und B jedem C zukommen können. Dann stellt sich durch Umkehrung des bejahenden Satzes BC die erste Figur ein, und die verneinende Prämisse ist dabei notwendig. Wenn sich aber die Prämissen so verhielten, war die Folge, daß A einem C sowohl möglicherweise nicht zukam, wie wirklich nicht zukam. Deshalb kommt notwendig A auch einem B nicht zu[144]. Steht aber die Verneinung in dem Untersatz, so ergibt sich, falls er kontingent ist, durch andere Fassung des Satzes ein Schluß wie früher[145]. Ist er aber notwendig, so ergibt sich kein Schluß. Denn es kommt dann eines jedem anderen notwendig und gleichzeitig kontingenterweise keinem zu. Begriffe für jedem Zukommen: Schlaf, schlafendes Pferd, Mensch; für keinem Zukommen: Schlaf, wachendes Pferd, Mensch[146].

[Sidenote: 40 b]

Ebenso wird es sein, wenn sich der eine Begriff allgemein und der andere partikulär zu dem mittleren verhält. Denn wenn beide bejahend sind, entsteht ein Schluß auf das kontingente, nicht auf das einfache Sein, und so auch, wenn das eine verneinend, das andere bejahend und dabei das Bejahende notwendig gefaßt ist. Ist dagegen das Verneinende notwendig gefaßt, so wird der Schlußsatz auch das Nichtsein aussagen[147]. Denn es greift dieselbe Weise der Begründung Platz, wenn die Begriffe allgemein und wenn sie nicht allgemein sind. Denn die Schlüsse müssen durch die erste Figur vollendet werden, und deshalb muß in dem einen Falle dasselbe gelten wie in dem anderen.

Steht aber die Verneinung, allgemein gefaßt, in dem Untersatz, so ergibt sich, wenn sie auf Kontingentes geht, ein Schluß durch Umkehrung, wenn aber auf Notwendiges, so ergibt sich kein Schluß. Dieses wird auf dieselbe Weise und durch dieselben Begriffe gezeigt, wie wenn die Prämissen allgemein sind[148].

So sieht man denn, auch in Beziehung auf diese Figur, wann und wie ein Schluß möglich ist, und wann er das kontingente, wann das einfache Sein enthält. Klar ist auch, daß diese Schlüsse sämtlich unvollkommen sind und daß sie durch die erste Figur vollendet werden[149].

Dreiundzwanzigstes Kapitel.

Aus dem Bisherigen sieht man, daß die Schlüsse in diesen Figuren durch die allgemeinen Schlüsse in der ersten Figur vollendet werden und auf sie zurückgehen. Daß dieses aber von jedem Schluß überhaupt gilt, soll jetzt dargetan werden, indem wir zeigen, daß jeder Schluß durch eine von diesen Figuren geht.

Jeder Beweis und jeder Schluß erhärtet notwendig entweder ein Sein oder ein Nichtsein, entweder allgemein oder partikulär, und entweder durch unmittelbaren Nachweis oder auf Grund einer Voraussetzung. Von dem Nachweis aus einer Voraussetzung ist der Nachweis durch das Unmögliche ein besonderer Fall.

Wir wollen nun zuerst von den unmittelbar beweisenden Schlüssen reden. Ist unsere Behauptung bei ihnen erhärtet, so muß sie auch für die Schlüsse, die auf das Unmögliche führen, und überhaupt für die Schlüsse aus einer Voraussetzung einleuchten.

[Sidenote: 41 a]

Wenn man also von A in Bezug auf B den Schluß ziehen soll, daß es ihm entweder zukommt oder nicht zukommt, so muß man notwendig irgend etwas von irgend etwas angenommen haben. Hat man nun A von B angenommen, so hat man eben das angenommen, was von Anfang an die Frage ist; hat man es dagegen von C angenommen, und C von nichts anderem, und auch nichts anderes von C, und auch von A nichts anderes, so ist keinerlei Schluß möglich. Denn darum, weil eines von einem angenommen wurde, folgt nichts mit Notwendigkeit. Demnach muß man noch (zu AC) eine andere Prämisse hinzunehmen. Nimmt man nun A von einem anderen (D = A), oder ein anderes von A (A = C), oder von C etwas an (C = D), so steht zwar der Bildung eines Schlusses nichts im Wege, aber es wird kein Schluß sein, der auf Grund der gemachten Voraussetzungen zu B gelangt. Und auch wenn C einem anderen und dieses wieder einem anderen und das Dritte einem Vierten beigelegt wird, aber nichts davon mit B in Verbindung steht, auch dann gibt es keinen Schluß von A auf B. Denn wir stellen als Regel auf, daß überhaupt nie ein Schluß von einem aufs andere möglich ist ohne Annahme eines Mittleren, das durch die Prädizierungen zu jedem von beiden in einem bestimmten Verhältnis steht. Denn der Schluß überhaupt erfolgt aus Prämissen, der Schluß auf dieses aus Prämissen, die auf dieses gehen, und der Schluß von diesem auf dieses aus Prämissen, die von diesem auf dieses gehen. Nun kann man aber keine Prämisse annehmen, die auf B ginge, wenn man von B nichts bejaht oder verneint, und wieder keine, die von A auf B ginge, wenn man nichts Gemeinsames annimmt, sondern von jedem etwas Besonderes bejaht oder verneint. Man muß demnach ein Mittleres zwischen beiden annehmen, das bestimmt ist, die Aussagen zu verbinden, wofern ein Schluß zustande kommen soll, der dieses von diesem aussagt.

Wenn man nun etwas beiden Gemeinsames annehmen muß und dieses auf dreifache Weise geschehen kann -- indem man nämlich entweder A von C und C von B aussagt, oder C von den beiden anderen, oder diese von C --, und wenn wir damit die angegebenen Figuren haben, so muß offenbar jeder Schluß durch eine dieser Figuren gehen. Denn es ist dasselbe Verhältnis, wenn A auch durch mehrere Zwischenglieder mit B zusammenhängt. Denn auch bei einer Mehrheit solcher Glieder ist die Figur dieselbe.

Hiermit ist dargetan, daß die unmittelbar beweisenden Schlüsse durch die vorgenannten Figuren zustande kommen. Daß es aber auch bei der Zurückführung auf’s Unmögliche der Fall ist, soll das Folgende zeigen.

Immer, wenn man etwas durch die Unmöglichkeit erhärtet, schließt man zwar auf Falsches, weist aber damit das, was ursprünglich zur Erörterung steht, aus der Voraussetzung nach, wenn bei Annahme seines kontradiktorischen Gegenteils etwas Unmögliches folgt. So zeigt man z. B. die Inkommensurabilität der Diagonale daraus, daß bei Annahme ihrer Kommensurabilität ungrade Zahlen graden gleich werden[150]. Daß also Ungrades Gradem gleich wird, wird geschlossen, daß aber die Diagonale und die Seite sich nicht durch +ein+ Maß messen lassen, zeigt man aus der Voraussetzung, weil nämlich wegen der Annahme des Gegenteils etwas Falsches eintritt. Denn darunter, daß man durch das Unmögliche schließt, verstanden wir eben dieses, daß man aus der ursprünglichen Voraussetzung eine unmögliche Folge ableitet. Da sohin bei der Zurückführung aufs Unmögliche ein unmittelbarer Schluß auf das Falsche geschieht, während die ursprüngliche Behauptung aus einer Annahme bewiesen wird, und da wir soeben von den unmittelbar beweisenden Schlüssen erklärt haben, daß sie durch die angeführten Figuren zustande kommen, so werden offenbar auch die Schlüsse durch das Unmögliche durch diese Figuren gehen.