Part 10

Daß aber, wenn und weil dasselbe ist und nicht ist, mit Notwendigkeit dasselbe ist, ist unmöglich, ich meine, daß z. B. wenn A weiß ist, B notwendig groß ist, und auch, wenn A nicht weiß ist, B notwendig groß ist. Denn wenn falls dieses A weiß ist, dieses B notwendig groß ist und falls B groß ist, C nicht weiß ist, so ist, wenn A weiß ist, C notwendig nicht weiß. Und wenn von zwei Dingen, falls eines ist, notwendig das andere ist, so ist, falls dieses letztere nicht ist, notwendig A nicht. Wenn also B nicht groß ist, so ist es nicht möglich, daß A weiß ist. Ist aber, wenn A nicht weiß ist, B notwendig groß, so folgt notwendig, daß wenn B nicht groß ist, eben dieses B groß ist, was unmöglich ist. Denn wenn B nicht groß ist, wird A notwendig nicht weiß sein. Wenn nun, falls dieses nicht weiß ist, B groß sein wird, so folgt wie durch drei Begriffe[222], daß B, wenn es nicht groß ist, groß ist.

Fünftes Kapitel.

Der Zirkelbeweis, Beweis zweier Sätze auseinander, besteht darin, daß man aus der Konklusion und dem Ansatz der einen Prämisse in umgekehrter Fassung auf die andere Prämisse schließt, die man bei dem ersten Schluß angenommen hat; wie es z. B. geschieht, wenn zu beweisen war, daß A jedem C zukommt, und man es durch den Mittelbegriff B bewiesen hat und dann wieder zeigen will, daß A dem B zukommt, auf Grund der Annahme, daß A dem C und C dem B zukommt und so denn auch A dem B, während man zuvor umgekehrt angenommen hatte, daß B dem C zukommt. Oder wenn zu zeigen ist, daß B dem C zukommt und man dann A von C gelten läßt, was die Konklusion war, B aber von A, während man zuvor umgekehrt A von B hatte gelten lassen[223].

Anders aber lassen sich zwei Sätze auseinander nicht beweisen. Denn wenn man einen anderen Mittelbegriff nimmt, so beweist man nicht im Kreise, da man nichts von dem schon Dagewesenen nimmt; und wenn man etwas schon Dagewesenes nimmt, so darf es nur die eine von beiden Prämissen sein; denn wenn man beide nimmt, so erhält man dieselbe Konklusion, während man doch eine andere erhalten soll.

Bei den nicht konvertiblen Sätzen geschieht nun der Schluß aus einer nicht bewiesenen Prämisse. Denn man kann durch die Begriffe, die in solchen Sätzen stehen, nicht beweisen, daß dem Mittelbegriff der dritte Begriff oder dem ersten Begriff der Mittelbegriff zukommt[224].

[Sidenote: 58 a]

Bei den konvertiblen Sätzen aber läßt sich alles auseinander beweisen, wie z. B. wenn A und B und C miteinander vertauscht werden können. Denn es soll AC durch B als Mittelbegriff bewiesen worden sein, und AB wieder durch die Konklusion und die umgekehrte Prämisse BC, und ebenso BC durch die Konklusion und die umgekehrte Prämisse AB. Man muß aber die Prämisse CB und die Prämisse BA noch beweisen. Denn nur diese Prämissen gebrauchen wir, ohne sie bewiesen zu haben. Läßt man nun B jedem C und C jedem A zukommen, so wird sich ein Schluß von B auf A ergeben. Wiederum, läßt man C jedem A und A jedem B zukommen, so kommt notwendig jedem B das C zu. In diesen beiden Schlüssen ist nun die Prämisse CA ohne Beweis angenommen, die anderen waren bewiesen. So werden denn, wenn wir auch diese Prämisse noch bewiesen haben, alle Sätze durcheinander bewiesen sein. Läßt man nun C jedem B und B jedem A zukommen, so nimmt man einerseits beide Prämissen als bewiesene und muß anderseits C dem A zukommen. Man sieht also, daß die Beweise im Kreis und auseinander nur bei konvertiblen Sätzen möglich sind, während es sich mit den andern so verhält, wie vorhin gesagt wurde. Es erfüllt sich hier aber auch, daß wir das Bewiesene zum Beweis verwenden. Denn C wird von B und B von A auf Grund der Voraussetzung bewiesen, daß C von A gilt; C wird aber von A mit Hilfe dieser Prämissen bewiesen: wir verwenden mithin die Konklusion zum Beweis[225].

Bei den verneinenden Schlüssen erhält der wechselseitige Beweis der Sätze auseinander folgende Gestalt. B soll jedem C und A keinem B zukommen; Schlußsatz: A keinem C. Wenn man nun wieder, was man zuvor als Annahme verwandt hatte, als Schlußsatz gewinnen soll, daß nämlich A keinem B zukommt, so wird A keinem C und C jedem B zukommen. Denn so ist die Prämisse umgekehrt. Soll man aber als Schlußsatz erhalten, daß B dem C zukommt, so darf man nicht mehr ebenso AB umkehren, weil es derselbe Satz ist, daß B keinem A, und daß A keinem B zukommt, sondern man muß den Satz nehmen: wovon keinem A zukommt, dem allen kommt B zu[226].

A soll keinem C zukommen, was die Konklusion war. Und wovon keinem A, dem allen soll B zukommen. Notwendig kommt also B jedem C zu. So ist denn, da der Sätze, aus denen die ursprüngliche Konklusion besteht, drei sind, jeder zur Konklusion geworden und besteht auch in diesem Falle der Zirkelbeweis darin, daß man die Konklusion und die umgekehrte eine Prämisse nimmt und so auf die andere schließt.

[Sidenote: 58 b]

Bei den partikulären Schlüssen kann man die allgemeine Prämisse durch die anderen Sätze nicht beweisen, wohl aber die partikuläre. Daß man die allgemeine Prämisse nicht beweisen kann, ist klar. Denn das Allgemeine wird durch das Allgemeine bewiesen. Die Konklusion ist aber nicht allgemein, und doch müßte der Beweis aus der Konklusion und der anderen Prämisse geführt werden. Auch kommt durch Umkehrung der Prämisse überhaupt kein Schluß zustande, da infolge derselben beide Prämissen partikulär werden. Die partikuläre Prämisse aber kann man beweisen. Denn es sei durch B bewiesen, daß A von einem C gilt. Läßt man nun B jedem A zukommen und bleibt die Konklusion, so wird B einem C zukommen. Denn man erhält die erste Figur mit B als Mittelbegriff.

Ist der Schluß verneinend, so kann man aus dem vorhin angegebenen Grunde die allgemeine Prämisse nicht beweisen; die partikuläre Prämisse aber kann man zwar, wenn man AB ebenso wie bei den allgemeinen Schlüssen umkehrt, nicht beweisen, wohl aber durch Proslepsis (Hinzunahme), also durch die Annahme, daß wovon einem A nicht zukommt, davon einem B zukommt. Denn auf andere Weise ergibt sich kein Schluß, weil die partikuläre Prämisse verneinend ist[227].

Sechstes Kapitel.

In der zweiten Figur läßt sich das Bejahende auf diese Weise nicht beweisen, wohl aber das Verneinende. Das Bejahende wird nicht bewiesen, weil nicht beide Prämissen bejahend sind. Denn die Konklusion ist (in dieser Figur) verneinend, das Bejahende aber erhält man, wie wir gesehen haben, nur dann, wenn beide Prämissen bejahend sind.

Das Verneinende wird so bewiesen. A soll jedem B, aber keinem C zukommen. Konklusion: B keinem C. Läßt man nun B jedem A, aber keinem C zukommen, so kommt A notwendig keinem C zu. Denn es entsteht die zweite Figur, Mittelbegriff: B. Wird aber AB verneinend gesetzt und der andere Satz bejahend, so erhält man die erste Figur. Denn C kommt jedem A und B keinem C zu, und so denn B keinem A. Mithin auch A keinem B[F]. Durch die Konklusion und die eine Prämisse erhält man also keinen Schluß, wohl aber, wenn man eine andere dazu nimmt[228].

[F] Z. 25 hat Pacius noch: Mittelbegriff ist C, was sich im Text von Bekker und Waitz nicht findet.

Ist der Schluß nicht allgemein, so wird die allgemeine Prämisse nicht bewiesen, eben aus dem vorhin angegebenen Grunde; dagegen wird es die partikuläre, falls die allgemeine Prämisse bejahend ist.

Denn A soll jedem B, aber nicht jedem C zukommen; Konklusion: BC. Läßt man nun B jedem A, aber nicht jedem C zukommen, so wird A einem B nicht zukommen; Mittelbegriff: B.

Ist die allgemeine Prämisse aber verneinend, so läßt sich die Prämisse AC nicht durch Umkehrung von AB beweisen. Denn dann werden entweder beide Prämissen oder eine verneinende, und mithin wird sich kein Schluß ergeben. Aber es läßt sich auch ebenso beweisen wie bei den allgemeinen Sätzen, wenn man nämlich A einem Teile dessen zukommen läßt, von dem ein Teil B nicht zum Prädikat hat.

Siebentes Kapitel.

[Sidenote: 59 a]

In der dritten Figur kann man, wenn beide Prämissen allgemein gefaßt sind, nicht auseinander beweisen. Denn Allgemeines wird durch allgemeine Prämissen bewiesen, der Schlußsatz der dritten Figur ist aber immer partikulär, und so kann denn offenbar die allgemeine Prämisse durch diese Figur gar nicht bewiesen werden.

Ist aber die eine Prämisse allgemein, die andere partikulär, so ist der gedachte Beweis bald möglich, bald nicht: möglich, wenn beide Prämissen bejahend gefaßt sind und das Allgemeine sich mit dem Unterbegriff verbindet, nicht möglich, wenn es beim Oberbegriff auftritt.

Denn A komme jedem, B einem C zu; Schlußsatz: AB. Läßt man nun C jedem A zukommen, so ist zwar bewiesen, daß C einem B, nicht aber, daß B einem C zukommt. Freilich muß, wenn C einem B, auch B einem C zukommen. Aber es ist nicht dasselbe, wenn das dem und wenn dem das zukommt, sondern man muß noch die Bestimmung hinzunehmen: wenn das eine dem anderen nach einem Teile von dessen Umfange zukommt, dann auch ebenso umgekehrt. Nimmt man das aber an, so geschieht der Schluß nicht mehr einzig aus der Konklusion und der anderen Prämisse.

Kommt aber B jedem und A einem C zu, so wird sich der Satz AC beweisen lassen, wenn man C jedem und A einem B zukommen läßt. Denn wenn C jedem und A einem B zukommt, so muß A einem C zukommen; Mittelbegriff: B.

Und, wenn die eine Prämisse bejahend, die andere verneinend und die bejahende allgemein ist, kann die andere bewiesen werden. Denn B komme jedem C zu und A einem C nicht zu; Schlußsatz: A kommt einigem B zu. Läßt man nun noch dazu C jedem B beiwohnen, so muß A einigem C nicht beiwohnen; Mittelbegriff: B.

Ist dagegen die verneinende Prämisse allgemein, so läßt die andere sich nicht beweisen, außer so wie oben, wenn man das eine einem Teil des anderen nicht zukommen und das andere einem Teil von eben jenem zukommen läßt, wie etwa, wenn A keinem und B einem C zukommt; Schlußsatz: A kommt einigem B nicht zu. Läßt man nun einem Teile dessen, dessen einem Teile A nicht beiwohnt, C beiwohnen, so muß C einem B beiwohnen. Anders ist es nicht möglich, durch Umkehrung der allgemeinen Prämisse die andere zu beweisen, da sich keinerlei Schluß ergibt.

Man sieht also, daß in der ersten Figur der Beweis zweier Sätze auseinander durch die dritte und durch die erste Figur zustande kommt: ist der Schlußsatz bejahend, durch die erste, ist er verneinend, durch die letzte. Denn man nimmt an: während das eine einem bestimmten Dritten gar nicht zukommt, kommt das andere jedem zu, was unter ihm begriffen ist.

In der mittleren Figur beweist man, wenn der Schluß allgemein ist, durch sie und durch die erste Figur, ist er partikulär, durch sie und durch die letzte.

In der dritten Figur gehen alle Schlüsse durch diese selbst.

Man sieht aber auch, daß in der dritten und der mittleren Figur die Schlüsse, die nicht durch diese Figuren selbst zustande kommen, entweder überhaupt nicht durch Zirkelbeweis errichtet werden können, oder unvollkommen sind[229].

Achtes Kapitel.

[Sidenote: 59 b]

Die Umkehrung besteht darin, daß man die Konklusion wendet und den Schluß zieht, daß entweder der Oberbegriff dem Mittelbegriff oder dieser dem Unterbegriff nicht zukommen kann. Denn wenn die Konklusion umgekehrt worden ist und die eine Prämisse bleibt, muß die andere umgestoßen werden, da, wenn sie gelten bliebe, auch die Konklusion gelten bleiben müßte[230].

Es ist aber ein Unterschied, ob man die Konklusion in kontradiktorischer oder in konträrer Weise umkehrt. Denn es ergibt sich nicht derselbe Schluß, wenn man sie so oder so umkehrt, wie aus dem folgenden klar werden wird. Ich lasse aber kontradiktorisch entgegengesetzt sein: jedem und nicht jedem zukommen, einem und keinem, konträr dagegen: jedem und keinem, einem und einem nicht[231].

Denn es sei A als Prädikat von C durch den Mittelbegriff B bewiesen. Läßt man nun A keinem C zukommen, aber jedem B, so wird B keinem C zukommen. Und läßt man A keinem, B aber jedem C zukommen, so wird A nicht jedem B, nicht aber keinem B zukommen, da, wie wir gesehen haben, das Allgemeine nicht durch die letzte Figur bewiesen wird. überhaupt kann man den Obersatz nicht allgemein durch die Umkehrung widerlegen. Denn er wird immer durch die dritte Figur umgestoßen, da sich beide Prämissen auf den Unterbegriff beziehen müssen.

Und wenn der Schluß verneinend ist, ist es ebenso. Denn es soll durch B bewiesen sein, daß A keinem C zukommt. Somit wird, wenn man A jedem C und keinem B zukommen läßt, B keinem C zukommen. Und wenn man A und B jedem C zukommen läßt, so wird A einem B zukommen. Aber zuerst kam es keinem zu.

Wird die Konklusion aber kontradiktorisch umgekehrt, so werden auch die Schlüsse kontradiktorisch und nicht allgemein sein. Denn die eine Prämisse wird partikulär, und so wird auch die Konklusion partikulär sein. Es sei der Schluß bejahend, und man nehme die Umkehrung so vor. Mithin kommt, wenn A nicht jedem C, aber jedem B zukommt, B nicht jedem C zu. Und wenn A nicht jedem C zukommt, wohl aber B, so A nicht jedem B. Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn wenn A einem und C keinem B zukommt, so wird B einigem C nicht zukommen, nicht schlechthin keinem. Und wenn A einem und B jedem C zukommt, wie anfänglich angenommen worden ist, so wird A einem B zukommen.

Bei den partikulären Schlüssen werden, wenn die Konklusion kontradiktorisch umgekehrt wird, beide Prämissen umgestoßen, wenn konträr, keine. Denn es erfolgt nicht mehr, wie bei den allgemeinen Schlüssen, eine solche Umstoßung, daß die Konklusion, die sich aus der Umkehrung ergibt, mangelhaft ist, sondern es erfolgt überhaupt keine Umstoßung[232].

[Sidenote: 60 a]

Denn es soll bewiesen sein, daß A von einem C gilt. Läßt man nun A keinem und B einem C zukommen, so wird A einem B nicht zukommen. Und wenn A keinem C und jedem B zukommt, so kommt B keinem C zu. Und so werden denn beide Prämissen umgestoßen. Wird aber die Konklusion konträr umgekehrt, so fällt keine Prämisse. Denn wenn A einem C nicht zukommt, aber jedem A, so wird B einem C nicht zukommen. Damit ist aber das ursprünglich Gesetzte noch nicht aufgehoben. Denn B kann einem C zukommen und einem nicht zukommen. Für den allgemeinen Satz AB aber ergibt sich überhaupt kein Schluß. Denn wenn A einem C nicht zukommt, B aber wohl, ist keine von beiden Prämissen allgemein.

Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn wenn man A jedem C zukommen läßt, werden beide Prämissen umgestoßen, wenn einem, keine. Der Beweis ist derselbe.

Neuntes Kapitel.

In der zweiten Figur läßt der Obersatz sich nicht so umstoßen, daß er in sein Kontrarium umschlüge, mag man nun die Umkehrung der Konklusion so oder so vornehmen. Denn man erhält die Konklusion immer nach der dritten Figur, und wir haben gesehen, daß in ihr kein allgemeiner Schluß möglich ist.

Die andere Prämisse dagegen, den Untersatz, kann man in derselben Weise wie die Konklusion umstoßen, in derselben Weise, das heißt, wenn man die Konklusion konträr umkehrt, konträr, wenn kontradiktorisch, kontradiktorisch. Denn A komme jedem B und keinem C zu; Schlußsatz: BC. Läßt man nun B jedem C zukommen und bleibt AB, so wird A jedem C zukommen. Denn man erhält die erste Figur.

Kommt aber B jedem und A keinem C zu, so kommt A nicht jedem B zu; letzte Figur. Kehrt man aber BC kontradiktorisch um, so wird AB in derselben Weise bewiesen werden, dagegen AC kontradiktorisch. Denn wenn B einem und A keinem C zukommt, so wird A einem B nicht zukommen. Und wenn wieder B einem C und A jedem B zukommt, so wird A einem C zukommen, und so entsteht denn ein Schluß in kontradiktorischer Form. Und ebenso wird der Beweis zu führen sein, wenn sich die Prämissen (in Bezug auf Bejahung und Verneinung) umgekehrt verhalten.

Ist der Schluß partikulär, so wird bei konträrer Umkehrung der Konklusion keine von beiden Prämissen umgestoßen, wie auch nicht in der ersten Figur, aber bei kontradiktorischer Umkehrung werden es beide.

Denn es sei vorausgesetzt, daß A keinem B und einem C zukommt; Konklusion BC. Läßt man nun B einem C zukommen und bleibt AB, so wird die Konklusion besagen, daß A einem C nicht zukommt. Aber damit ist die anfängliche Voraussetzung nicht umgestoßen, weil es gleichzeitig einem zukommen und einem nicht zukommen kann.

[Sidenote: 60 b]

Wiederum, wenn B einem C und A einem C zukommt, kann sich kein Schluß ergeben, weil keine der beiden Voraussetzungen allgemein ist, und so wird denn AB nicht umgestoßen. Bei kontradiktorischer Umkehrung aber werden beide Prämissen aufgehoben. Denn kommt B jedem C und A keinem B zu, dann A keinem C; es sollte aber einem zukommen. Wiederum, wenn B jedem C und A einem C zukommt, dann A einem B. Derselbe Beweis gilt, wenn das Allgemeine bejahend ist.

Zehntes Kapitel.

In der dritten Figur wird bei konträrer Umkehrung der Konklusion keine der beiden Prämissen umgestoßen, der Schluß mag lauten wie er will; bei kontradiktorischer Umkehrung aber werden es beide und in allen Schlüssen.

Denn es soll bewiesen sein, daß A einem B zukommt; als Mittelbegriff sei C angenommen, und die Prämissen seien allgemein. Läßt man nun A einem B nicht zukommen, B aber jedem C, so erhält man keinen Schluß mit A und C. Und auch wenn A einem B nicht zukommt, aber jedem C, erhält man keinen Schluß mit B und C[233].

Ebenso läßt sich unsere Regel beweisen, wenn die Prämissen nicht allgemein sind. Denn entweder müssen beide Prämissen infolge der Umkehrung partikulär sein, oder das Allgemeine muß zum Unterbegriff treten. So aber ergibt sich, wie wir gesehen haben, kein Schluß, weder in der ersten noch in der mittleren Figur[234].

Aber bei kontradiktorischer Umkehrung werden beide Prämissen umgestoßen. Denn wenn A keinem B zukommt und B jedem C, dann A keinem C. Wieder, wenn A keinem B zukommt, aber jedem C, dann B keinem C.

Und ebenso, wenn die eine Prämisse nicht allgemein ist. Denn wenn A keinem B und B einem C zukommt, wird A einem C nicht zukommen. Wenn aber A keinem B, aber jedem C zukommt, wird B keinem C zukommen.

Ebenso, wenn der Schluß verneinend ist. Denn es soll bewiesen sein, daß A einem B nicht zukommt, und BC soll bejahend, AC verneinend sein. So entsteht dieser Schluß ja. Legt man nun das konträre Gegenteil der Konklusion zugrunde, so kann sich kein Schluß ergeben. Denn wenn A einem B und B jedem C zukommt, gab es keinen Schluß mit A und B. Und ebenso gab es, wenn A einem B und keinem C zukommt, keinen Schluß mit B und C. So werden denn die Prämissen nicht umgestoßen.

Legt man dagegen das kontradiktorische Gegenteil zugrunde, so werden sie umgestoßen. Denn wenn A jedem B und B jedem C zukommt, dann A jedem C; aber es kam keinem zu. Wieder, wenn A jedem B und keinem C zukommt, dann B keinem C. Aber es kam jedem zu.

[Sidenote: 61 a]

Ebenso wird der Beweis erbracht, wenn die Prämissen nicht allgemein sind. Denn dann wird AC allgemein und verneinend, der andere Satz aber wird partikulär und bejahend. Wenn nun A jedem B und B einem C zukommt, kommt A einem C zu; aber es kam keinem zu. Wieder, wenn A jedem B, aber keinem C zukommt, so B keinem C. Aber die Voraussetzung war, daß es einem C zukommt. Wenn aber A einem B und B einem C zukommt, so ergibt sich kein Schluß. Und, wenn A einem B, aber keinem C zukommt, ebensowenig. Und so werden die Prämissen denn auf jene Weise umgestoßen, und auf diese Weise werden sie es nicht.

Man sieht also aus dem Gesagten, wie bei Umkehrung der Konklusion in jeder Figur ein Schluß zustande kommt, und wann derselbe der Prämisse konträr und wann er ihr kontradiktorisch gegenübersteht.

Und, daß in der ersten Figur die Schlüsse durch die mittlere und die letzte Figur zustande kommen, und daß der Untersatz immer durch die mittlere, der Obersatz durch die letzte Figur umgestoßen wird.

Dagegen in der mittleren Figur durch die erste und die letzte, und daß der Untersatz immer durch die erste, der Obersatz durch die letzte Figur umgestoßen wird.

Endlich in der dritten Figur durch die erste und durch die mittlere, und daß der Obersatz immer durch die erste, der Untersatz durch die mittlere Figur umgestoßen wird.

Elftes Kapitel.

Was nun die Umkehrung ist und wie bei derselben in jeder Figur ein Schluß errichtet wird und welcher, haben wir hiermit erklärt. Was aber den Schluß durch das Unmögliche betrifft, so tritt er auf, wenn man das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion setzt und eine andere Prämisse hinzu nimmt, und er läuft durch alle Figuren; denn er ist der Umkehrung gleich, und ein Unterschied besteht nur insoweit, als man die Umkehrung vornimmt, nachdem ein Schluß geschehen ist und man sich beider Prämissen versichert hat, dagegen auf das Unmögliche zurückführt, ohne sich zuvor die Wahrheit seines kontradiktorischen Gegenteils einräumen zu lassen, da dieselbe vielmehr am Tage liegt[235].

Die Begriffe verhalten sich bei beiden Arten der Folgerung gleich und werden bei beiden auf dieselbe Weise aufgestellt[236].

Es soll z. B. A jedem B zukommen und C Mittelbegriff sein. Setzt man nun voraus, daß A entweder nicht jedem oder keinem B zukommt, aber jedem C, was ja wahr war, so muß C entweder keinem oder nicht jedem B zukommen. Das ist aber unmöglich und folglich die Voraussetzung falsch, mithin das Gegenteil wahr. Ebenso in den anderen Figuren. Denn wo Umkehrung möglich ist, da auch der Schluß durch das Unmögliche.

Alle anderen Sätze nun, um deren Wahrheit es sich fragt, werden in allen Figuren durch das Unmögliche bewiesen, der allgemein bejahende Satz aber kann zwar in der mittleren und der dritten Figur so bewiesen werden, nicht aber in der ersten.

[Sidenote: 61 b]

Denn man nehme an, daß A nicht jedem oder keinem B zukommt, und nehme noch eine andere Prämisse von der einen oder von der anderen Seite zu Hilfe, d. h. man lasse entweder C jedem A oder B jedem D zukommen. Denn so bekommt man die erste Figur. Gilt nun die Annahme, daß A nicht jedem B zukommt, so ergibt sich kein Schluß, nehme man die Prämisse von der einen oder von der anderen Seite; soll es aber keinem zukommen, so wird, falls man die Prämisse BD zu Hilfe nimmt, zwar ein Schluß auf das Falsche gewonnen, aber es wird nicht bewiesen, was bewiesen werden soll. Denn wenn A keinem B und B jedem D zukommt, so A keinem D. Das aber möge unmöglich sein. Mithin ist es falsch, daß A keinem B zukommt. Aber wenn es falsch ist, daß es keinem zukommt, ist es darum noch nicht wahr, daß es jedem zukommt. Nimmt man aber die Prämisse CA zu Hilfe, so erhält man keinen Schluß, wie auch nicht, wenn man A nicht jedem B zukommen läßt[237].

Man sieht also: daß etwas jedem zukommt, wird in der ersten Figur nicht durch das Unmögliche bewiesen.

Wohl aber beweist man so in ihr, daß etwas einem und keinem und nicht jedem zukommt. Denn man nehme an, daß A keinem B zukomme, lasse aber B jedem oder einem C zukommen. Mithin kommt A notwendig keinem oder nicht jedem C zu. Das ist aber unmöglich. Denn es möge wahr und augenscheinlich sein, daß A jedem C zukommt. So muß denn, wenn jenes falsch ist, A einem C zukommen. Wenn man aber die andere Prämisse zu A zieht, erhält man keinen Schluß. Auch nicht, wenn man das konträre Gegenteil der Konklusion annimmt, daß es nämlich einem nicht zukommt. Man sieht also, daß man das kontradiktorische Gegenteil annehmen muß.

Wiederum, man nehme an, daß A einem B zukomme, und lasse C jedem A zukommen. Dann muß C einem B zukommen. Das aber möge unmöglich sein, und so ist denn die gedachte Annahme falsch. Wenn aber das, so ist es wahr, daß es keinem zukommt. Ebenso, wenn man CA verneinend nimmt. Nimmt man aber die Prämisse mit B, so entsteht kein Schluß. Nimmt man aber das Konträre an, so ergibt sich zwar ein Schluß, und es ergibt sich Unmögliches, aber es wird nicht bewiesen, was man sich vorgesetzt hatte. Denn man nehme an, daß A jedem B zukomme, und lasse C jedem A zukommen. So muß C jedem B zukommen. Das ist aber unmöglich, und so ist es falsch, daß A jedem B zukommt. Aber es braucht noch nicht notwendig, wenn es nicht jedem zukommt, keinem zuzukommen. Ebenso, wenn man die andere Prämisse zu B setzt. Denn Schluß und Unmögliches ergibt sich da zwar, aber die Annahme fällt nicht, und so muß denn das kontradiktorische Gegenteil die Annahme bilden.