Part 11

Jener Ausspruch, daß die Zahl das Wesen aller +sinnlich greifbaren+ Dinge darstelle, ist der wertvollste der antiken Mathematik geblieben. Mit ihm ist die Zahl als +Maß+ definiert. Darin liegt das ganze Weltgefühl einer dem +Jetzt und Hier+ leidenschaftlich zugewendeten Seele. Messen in diesem Sinne heißt etwas Nahes und Körperhaftes messen. Denken wir an den Inbegriff des antiken Kunstwerkes, die freistehende Bildsäule eines nackten Menschen: Hier ist alles Wesentliche und Bedeutsame des Daseins, sein ganzes Ethos, erschöpfend durch Flächen, Maße und die sinnlichen Verhältnisse der Teile gegeben. Der pythagoräische Begriff der Harmonie der Zahlen, obwohl vielleicht aus der -- monophonen -- Musik abgeleitet, scheint durchaus für das Ideal dieser Plastik geprägt zu sein. Der behandelte Stein ist nur insofern ein Etwas, als er abgewogene Grenzen und gemessene Form besitzt, als das, was er unter dem Meißel des Künstlers +geworden+ ist. Abgesehen davon ist er ein +Chaos+, etwas noch nicht Verwirklichtes, vorläufig also ein Nichts. Dies Gefühl, ins Große übertragen, schafft als Gegensatz zum Chaos den +Kosmos+, die Außenwelt der antiken Seele, die harmonische Ordnung aller wohlbegrenzten und greifbar gegenwärtigen Einzeldinge. Die Summe dieser Dinge ist bereits die +ganze Welt+. Der Abstand zwischen ihnen, +unser+ mit dem ganzen Pathos eines großen Symbols erfüllter Weltraum, ist nichts, τὸ μὴ ὄν. Ausdehnung heißt für den antiken Menschen Körperlichkeit, für uns Raum, als dessen Funktion die Dinge „erscheinen“. Von hier aus rückwärts blickend enträtseln wir vielleicht den tiefsten Begriff der antiken Metaphysik, das ἄπειρον Anaximanders, das sich in keine Sprache des Abendlandes übersetzen läßt: es ist das, was keine „Zahl“ im pythagoräischen Sinne besitzt, keine gemessene Größe und Grenze, kein Wesen also; das Maßlose, die Unform, eine Statue, die noch nicht aus dem Blocke herausgemeißelt ist. Dies ist die ἀρχή, das optisch Grenzen- und Formlose, das erst durch Grenzen, sinnliche Vereinzelung ein Etwas, die Welt nämlich, wird. Es ist das, was der antiken Erkenntnis als Form a priori zugrunde liegt, Körperlichkeit an sich, und an dessen Stelle im kantischen Weltbilde genau entsprechend der absolute Raum erscheint, aus dem Kant sich angeblich „alle Dinge fortdenken konnte“.

Man wird jetzt begreifen, was eine Mathematik von der andern, was insbesondere die antike von der abendländischen scheidet. Das reife antike Denken konnte seinem ganzen Weltgefühl nach in der Mathematik nur die Lehre von den Größen-, Maß- und Gestaltverhältnissen leibhafter Körper sehen. Wenn Pythagoras aus diesem Gefühl heraus die entscheidende Formel aussprach, so war eben für ihn die Zahl ein +optisches+ Symbol, nicht Form überhaupt oder abstrakte Beziehung, sondern das Grenzzeichen des Gewordnen, insofern dieses in sinnlich übersehbaren Einzelheiten auftritt. Zahlen werden von der gesamten Antike ohne Ausnahme, als Maßeinheiten, als Größen, Strecken, Flächen aufgefaßt. Eine andre Art Ausdehnung ist ihr nicht vorstellbar. Alle antike Mathematik ist im letzten Grunde +Stereometrie+. Euklid, der im 3. Jahrhundert ihr System abschloß, meint, wenn er von einem Dreieck spricht, mit innerster Notwendigkeit die Grenzfläche eines Körpers, niemals ein System dreier sich schneidender Geraden oder eine Gruppe dreier Punkte im Raume von drei Dimensionen. Er bezeichnet die Linie als „Länge ohne Breite“ (μῆκος ἀπλατές). In unserm Munde wäre diese Definition kläglich gewesen. Innerhalb der antiken Mathematik ist sie ausgezeichnet.

Auch die abendländische Zahl ist nicht, wie Kant und selbst Helmholtz dachten, aus der „apriorischen Anschauungsform der Zeit“ entwickelt, sondern als Ordnung gleichartiger Einheiten etwas spezifisch Räumliches. Die Zeit hat, wie sich immer deutlicher zeigen wird, mit mathematischen Dingen nicht das Geringste zu tun. Zahlen gehören ausschließlich in die Sphäre des Ausgedehnten. Aber es gibt so viele Möglichkeiten und also Notwendigkeiten, Ausgedehntes geordnet vorzustellen, als es Kulturen gibt. Die antike Zahl ist nicht ein Denken räumlicher Beziehungen, sondern +für das leibliche Auge+ abgegrenzter, greifbarer Einheiten. Die Antike kennt deshalb -- das folgt mit Notwendigkeit -- nur die „+natürlichen+“ (+positiven ganzen+) Zahlen, die unter den vielen, höchst abstrakten Zahlenarten der abendländischen Mathematik, den komplexen, hyperkomplexen, nichtarchimedischen u. a. Systemen eine durch nichts ausgezeichnete Rolle spielen.

Deshalb ist die Vorstellung irrationaler Zahlen, in unsrer Schreibweise also unendlicher Dezimalbrüche, dem griechischen. Geiste unvollziehbar geblieben. Euklid sagt -- und man hätte ihn besser verstehen sollen --, daß inkommensurable Strecken sich „+nicht wie Zahlen+“ verhalten. In der Tat liegt im vollzogenen Begriff der irrationalen Zahl die völlige Trennung des +Zahlbegriffs+ vom Begriff der +Größe+ und zwar deshalb, weil eine solche Zahl, π z. B., niemals abgegrenzt oder exakt durch eine Strecke dargestellt werden kann. Daraus folgt aber, daß in der Vorstellung z. B. des Verhältnisses der Quadratseite zur Diagonale die antike Zahl, die eben +sinnliche+ Grenze, +abgeschlossene Größe+ und nichts andres ist, eine ganz andre Zahlidee berührt, die dem antiken Weltgefühl im tiefsten Innern fremd und darum unheimlich ist, als sei man nahe daran, ein gefährliches Geheimnis des eignen Daseins aufzudecken. Dies verrät ein seltsamer spätgriechischer Mythus, wonach derjenige, welcher zuerst die Betrachtung des Irrationalen aus dem Verborgnen an die Öffentlichkeit brachte, durch einen Schiffbruch umgekommen sei, „weil das Unaussprechliche und Bildlose immer verborgen bleiben solle“. Wer die Angst fühlt, welche diesem Mythus zugrunde liegt -- es ist dieselbe, welche den Griechen der reifsten Zeit vor der Ausdehnung seiner winzigen Stadtstaaten zu politisch organisierten Landschaften, vor der Anlage weiter Straßenfluchten und Alleen mit Fernblicken und berechneten Abschlüssen, vor der babylonischen Astronomie mit ihrer Durchdringung endloser Sternenräume und vor dem Verlassen des Mittelmeeres auf Bahnen, welche die Schiffe der Ägypter und Phöniker längst erschlossen hatten, immer wieder zurückschrecken ließ, die tiefe metaphysische Angst vor der Auflösung des Greifbar-Sinnlichen und Gegenwärtigen, mit dem sich das antike Dasein wie mit einer Schutzmauer umgeben hatte, hinter der etwas Unheimliches, ein Abgrund und Urgrund dieses gewissermaßen künstlich geschaffenen und behaupteten Kosmos schlief --, wer dies Gefühl begreift, der hat auch den letzten Sinn der antiken Zahl, +des Maßes im Gegensatz zum Unermeßlichen+ und das hohe religiöse Ethos in ihrer Beschränkung begriffen. Goethe, als Künstler, hat es sich wenigstens in seinen Naturstudien mit Leidenschaft zu eigen gemacht -- daher seine fast ängstliche Polemik gegen die Mathematik, die sich in Wirklichkeit, was noch niemand recht verstanden hat, instinktiv durchaus gegen die +nichtantike+ Mathematik, die der Naturlehre seiner Zeit zugrunde liegende Infinitesimalrechnung richtete.

Die antike Religiosität sammelt sich mit steigender Ausdrücklichkeit in sinnlich gegenwärtigen -- +ortsgebundenen+ -- Kulten, die allein jenes bildhafte, immernahe Göttertum repräsentieren. Abstrakte, in den heimatlosen Räumen des Denkens verschwebende +Dogmen+ sind ihm immer fern geblieben. Kult und Dogma verhalten sich wie die Statue zur Orgel im Dom. Es haftet der euklidischen Mathematik zweifellos etwas Kultisches an. Man denke an die Lehre von den regelmäßigen Polyedern und ihre Bedeutung für die Esoterik des platonischen Kreises. Dem entspricht andrerseits eine tiefe Verwandtschaft der Analysis des Unendlichen von Descartes an mit der gleichzeitigen Dogmatik in ihrem Fortschreiten zu einem reinen, von allen sinnlichen Bezügen gelösten Deismus. Voltaire, Lagrange und d’Alembert sind Zeitgenossen. Man empfand aus dem antiken Seelentum heraus das Prinzip des Irrationalen, also die Zerstörung der statuarischen Reihe der ganzen Zahlen, der Repräsentanten einer in sich vollkommenen Weltordnung, als einen Frevel gegen das Göttliche selbst. Bei Plato, im Timäus, ist dies Gefühl unverkennbar. Mit der Verwandlung der diskontinuierlichen Zahlenreihe in ein Kontinuum wird in der Tat nicht nur der antike Zahlbegriff, sondern der Begriff der antiken Welt selbst in Frage gestellt. Man begreift nun, daß nicht einmal die uns ohne Schwierigkeit vorstellbaren +negativen+ Zahlen, geschweige denn die +Null als Zahl+ -- welche für die indische Seele, die sie zuerst konzipiert hat, einen ganz entscheidenden metaphysischen Akzent besitzt -- in der antiken Mathematik möglich sind. Negative +Größen+ gibt es nicht. Der Ausdruck -2. -3 = +6 ist weder anschaulich noch eine Größenvorstellung. Mit +1 ist die Größenreihe zu Ende. In der graphischen Darstellung negativer Zahlen

(+3 +2 +1 0 -1 -2 -3) (.---.---.---.---.---.---)

werden von Null an die Strecken plötzlich +positive Symbole+ von etwas Negativem. Sie +bedeuten+ etwas, sie +sind+ nichts mehr. Negative Zahlen sind nicht Größen, sondern etwas, das durch Größen nur angedeutet werden kann. Die Vollziehung dieses Aktes lag aber nicht in der Richtung des antiken Zahlendenkens.

Alles aus antikem Geist Geborene ist also allein durch plastische Begrenztheit zum Range eines Wirklichen erhoben worden. Was sich nicht zeichnen läßt, ist nicht „Zahl“. Plato, Archytas und Eudoxos reden von Flächen- und Körperzahlen, wenn sie unsere zweiten und dritten Potenzen meinen, und es versteht sich von selbst, daß der Begriff höherer ganzzahliger Potenzen für sie nicht vorhanden ist. Eine Potenz vierten Grades würde aus dem plastischen Grundgefühl, das sofort eine vierdimensionale Ausgedehntheit substituiert, Unsinn sein. Ein Ausdruck gar wie e^{-ix}, der in unsern Formeln ständig erscheint, oder auch nur die schon im 14. Jahrhundert von Oresme verwandte Bezeichnung 5^{1/2} wären ihnen völlig absurd erschienen. Euklid nennt die Faktoren eines Produkts Seiten (πλευραί). Man rechnet mit Brüchen -- endlichen, wie sich versteht --, indem man das ganzzahlige Verhältnis zweier Strecken untersucht. Eben deshalb kann die Idee der Zahl Null gar nicht in Erscheinung treten, denn sie hat zeichnerisch keinen Sinn. Man wende nicht von der Gewöhnung unseres anders angelegten Denkens her ein, daß dies eben die „Urstufe“ in der Entwicklung „der“ Mathematik sei. Die antike Mathematik ist innerhalb der Welt, welche die antike Welt um sich herum schuf, etwas Vollkommenes. Sie ist es nur nicht +für uns+. Die babylonische und die indische Mathematik hatten das für das antike Zahlengefühl Unsinnige längst zu wesentlichen Bestandteilen +ihrer+ Zahlenwelten gemacht, und mancher griechische Denker wußte darum. Die Mathematik, es sei noch einmal gesagt, ist eine Illusion. Wirklich ist, was dem eignen Seelentum adäquat und symbolisch bedeutend ist. Dies allein ist „denknotwendig“, das andre ist unmöglich, verfehlt, unsinnig, oder, wie wir mit dem Hochmut historischer Geister zu sagen vorziehen, „primitiv“. Die moderne Mathematik, ein Meisterstück des abendländischen Geistes -- „wahr“ allerdings nur für ihn --, wäre Plato als lächerliche und mühselige Verirrung auf dem Wege erschienen, der +wahren+ Mathematik, der antiken natürlich, beizukommen; und wir machen uns sicherlich kaum eine Vorstellung davon, was alles an großen Konzeptionen fremder Kulturen wir haben untergehen lassen, weil wir es aus +unserem+ Denken und dessen Grenzen heraus nicht assimilieren konnten oder, was dasselbe ist, weil wir es als falsch, überflüssig und sinnlos empfanden.

6

Die antike Mathematik als Lehre von anschaulichen Größen will ausschließlich die Tatsachen des Gegenwärtigen deuten, und sie beschränkt also ihre Forschung wie ihren Geltungsbereich auf Gegenstände der Nähe und des Kleinen. Dieser Konsequenz gegenüber ergibt sich etwas sehr Unlogisches im praktischen Verhalten der abendländischen Mathematik, was eigentlich erst seit Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien recht erkannt worden ist. Zahlen sind reine Formen des erkennenden Geistes. Ihre exakte Anwendbarkeit auf die reale Anschauung ist also ein Problem für sich. Die Kongruenz mathematischer Systeme mit der Empirie ist nichts weniger als selbstverständlich. Trotz des Laienvorurteils von der unmittelbaren mathematischen Evidenz der Anschauung, wie es sich bei Schopenhauer findet, stimmt die euklidische Geometrie, welche mit der populären Geometrie aller Zeiten eine oberflächliche Identität besitzt, nur in sehr engen Grenzen („auf dem Papier“) mit der Anschauung annähernd überein. Wie es bei großen Entfernungen steht, lehrt die einfache Tatsache, daß Parallelen sich am Horizont berühren. Die gesamte malerische Perspektive beruht auf ihr. Trotzdem ging Kant, der für einen abendländischen Denker in unverzeihlicher Weise vor der „Mathematik der Fernen“ auswich und sich stets, ganz „antik“, auf winzige Figuren berief, an denen gerade ihrer Kleinheit wegen das spezifisch abendländische, das infinitesimale Raumproblem gar nicht in Erscheinung treten konnte, von einer naiven Größenvergleichung aus. Euklid vermied es ebenfalls, aber für einen antiken Denker mit Recht, sich für die anschauliche Gewißheit seiner Axiome etwa auf ein Dreieck zu berufen, dessen Punkte durch den Standort des Beobachters und zwei Fixsterne gebildet werden, das also weder gezeichnet noch „angeschaut“ werden kann. Es war hier dasselbe Gefühl wirksam, das vor dem Irrationalen zurückschreckte und das Nichts nicht als Null, als Zahl, zu begreifen wagte, das also auch im Anschauen kosmischer Verhältnisse dem Unermeßlichen aus dem Wege ging, um das Symbol des Maßes zu bewahren.

Aristarch von Samos, der um 270 das Weltsystem entwarf, welches bei seiner Wiederentdeckung durch Kopernikus die metaphysische Leidenschaft des Abendlandes im tiefsten erregte -- man denke an Giordano Bruno --, das eine Erfüllung gewaltiger Ahnungen und eine Bestätigung jenes faustischen, gotischen Weltgefühls war, das schon in der Architektur seiner Kathedralen der Idee des unendlichen Raumes ein Opfer dargebracht hatte, wurde mit seinem Gedanken von der Antike völlig gleichgültig aufgenommen und bald -- man möchte sagen absichtlich -- vergessen. In der Tat ist das aristarchische Weltsystem für +diese+ Kultur seelisch belanglos. Es wäre ihrer Grundidee sogar gefährlich geworden. Und doch war es im Unterschiede von dem des Kopernikus -- diese entscheidende Tatsache ist immer unbeachtet geblieben -- durch eine besondere Fassung dem antiken Weltgefühl genau angepaßt. Aristarch nahm als +Abschluß+ des Kosmos eine körperlich durchaus begrenzte, optisch zu beherrschende +Hohlkugel+ an, in deren Mitte das kopernikanisch gedachte Planetensystem sich befindet. Damit war das Prinzip des Unendlichen, das den sinnlich-antiken Grenzbegriff gefährdet hätte, überwunden. Kein Gedanke an einen grenzenlosen Weltraum taucht auf, der hier schon unvermeidlich erscheint und dessen Konzeption dem babylonischen Denken längst gelungen war. Im Gegenteil. Archimedes beweist in seiner berühmten Schrift von der „Sandzahl“ -- wie schon das Wort verrät, der Widerlegung aller infinitesimalen Tendenzen, obwohl sie immer wieder als erster Schritt auf dem Wege zum modernen Integrationskalkül betrachtet wird --, daß dieser stereometrische Körper, denn etwas anderes ist der aristarchische Kosmos nicht, mit Atomen (Sand) erfüllt, zu +sehr großen+, aber +nicht zu unendlichen+ Resultaten führe. Das heißt aber gerade alles, was +uns+ die Analysis bedeutet, verneinen. Das Weltall unsrer Physik ist, wie die immer wieder scheiternden und sich dem Geiste von neuem aufdrängenden Hypothesen über den stofflich, d. h. mittelbar anschaulich gedachten Weltäther beweisen, die strengste Verleugnung aller materiellen Begrenztheit. Plato, Apollonius und Archimedes, sicherlich die feinsten und kühnsten Mathematiker der Antike, haben eine +rein optische+ Analysis des Gewordnen auf der Grundlage des plastisch-antiken Grenzwertes vollkommen durchgeführt. Sie gebrauchen tiefdurchdachte und uns schwer zugängliche Methoden einer Integralrechnung, die selbst mit der Methode des bestimmten Integrals von Leibniz nur scheinbare Ähnlichkeit besitzt, und sie wenden geometrische Örter und Koordinaten an, die durchaus benannte Maßzahlen und Strecken und nicht wie bei Fermat und vor allem bei Descartes unbenannte räumliche Beziehungen, Werte von Punkten in bezug auf ihre Lage im Raum sind. Hierher gehört vor allem die Exhaustionsmethode des Archimedes in seiner kürzlich entdeckten Schrift an Eratosthenes, wo er z. B. die Quadratur des Parabelsegments auf der Berechnung eingeschriebener Rechtecke (nicht mehr ähnlicher Polygone) begründet. Aber gerade die geistreiche, unendlich verwickelte Art, wie er in Anlehnung an gewisse geometrische Ideen Platos zum Resultat kommt, macht den ungeheuren Gegensatz zwischen dieser Intuition und der oberflächlich ähnlichen Pascals etwa fühlbar. Es gibt keinen schärferen Gegensatz hierzu -- wenn man vom Riemannschen Integralbegriff ganz absieht -- als die leider heute noch sogenannten Quadraturen, bei denen die „Fläche“ als durch eine Funktion begrenzt bezeichnet wird und von einer zeichnerischen Handhabe keine Rede mehr ist. Nirgends kommen beide Mathematiken einander so nahe und nirgends läßt sich die unüberschreitbare Kluft zweier Seelen, deren Ausdruck sie sind, gewisser fühlen.

Die reinen Zahlen, deren Phänomen die Ägypter im Stil ihrer Tempelhallen, Pyramiden und Statuenreihen mit einer tiefen Furcht vor ihrem Ursprung gleichsam verbargen, waren auch für die Hellenen der Schlüssel zum Sinn des Gewordenen, +Starren und also Vergänglichen+. Die mathematische Zahl als formales Grundprinzip der ausgedehnten Welt, die nur +aus+ dem wachen menschlichen Bewußtsein und für dieses da ist, steht durch das Medium der kausalen Notwendigkeit zum +Tode+ in Beziehung, wie die chronologische Zahl zum Werden, zum Leben, zur Notwendigkeit des Schicksals. Dieser Zusammenhang der mathematischen Form mit dem +Ende+ des organischen Seins, mit der Erscheinung seines anorganischen Restes, des Leichnams, wird sich immer deutlicher als der Ursprung aller großen Kunst enthüllen. Wir bemerkten schon die Entwicklung der frühen Ornamentik aus dem Bestattungskult. +Zahlen sind Symbole des Vergänglichen.+ Starre Formen verneinen das Leben. Formeln und Gesetze breiten Starrheit über das Bild der Natur. Zahlen töten. Es sind die Mütter Fausts, die hehr in Einsamkeit thronen, „in der Gebilde losgebundne Reiche

Gestaltung, Umgestaltung, Des ewigen Sinnes ewige Unterhaltung, Umschwebt von Bildern aller Kreatur.“

Hier berühren sich Goethe und Plato im Ahnen eines letzten Geheimnisses. Die Mütter, das Unzugängliche -- Platos Ideen -- bezeichnen die +Möglichkeiten+ eines Seelentums, seine ungeborenen Formen, welche sich in der sichtbaren, aus der Idee dieses Seelentums heraus mit innerster Notwendigkeit geordneten Welt als tätige und geschaffene Kultur, als Kunst, Gedanke, Staat, Religion verwirklicht haben. Hierauf beruht die Verwandtschaft des Zahlensystems einer Kultur mit deren Weltidee, eine Beziehung, die es über das bloße Wissen und Erkennen zur Bedeutung einer Weltanschauung erhebt und die bewirkt, daß es so viele Mathematiken -- Zahlenwelten -- gibt als es hohe Kulturen gibt. So allein wird es begreiflich und +notwendig+, daß die größten mathematischen Denker, bildende Künstler im Reiche der Zahlen, aus tief religiöser Intuition zur Auffindung der entscheidenden mathematischen Probleme ihrer Kultur gelangt sind. So hat man sich die Schöpfung der antiken, apollinischen Zahl durch Pythagoras, den +Stifter einer Religion+, zu denken. Dies Urgefühl hat Nicolaus Cusanus, den großen Bischof von Brixen, geleitet, als er um 1450 von der Betrachtung der Unendlichkeit Gottes in der Natur ausgehend die Grundzüge der Infinitesimalrechnung fand. Leibniz, der ihre Idee zwei Jahrhunderte später vollendete, hat selbst aus rein metaphysischen Betrachtungen über das göttliche Prinzip und seine Beziehung zum unendlichen Ausgedehnten die _analysis situs_ entwickelt, vielleicht die genialste Interpretation des reinen, von allem Sinnlichen befreiten Raumes, deren reiche Möglichkeiten erst im 19. Jahrhundert durch Graßmann in seiner Ausdehnungslehre und Riemann in seiner Symbolik der zweiseitigen Flächen, welche die Natur von Gleichungen repräsentieren, entfaltet worden sind. Descartes, ein tiefer Christ aus dem Kreise von Port Royal, hat, einem innern Bedürfnis folgend, anläßlich seiner philosophisch-mathematischen Unterweisung die Pfalzgräfin Elisabeth und Gustav Adolfs Tochter, Königin Christine von Schweden, wieder zum Katholizismus bekehrt. Und Kepler wie Newton, beide streng religiöse Naturen, blieben sich, wie Plato, durchaus bewußt, gerade durch das Medium der Zahlen das Wesen einer göttlichen Weltordnung intuitiv erfaßt zu haben.

7

Erst Diophant hat, wie man immer hört, die antike Arithmetik aus ihrer sinnlichen Gebundenheit befreit, sie erweitert und fortgeführt und die Algebra als die Lehre von den unbestimmten Größen geschaffen. Das ist allerdings nicht eine Bereicherung, sondern eine vollkommene Überwindung des antiken Weltgefühls, und allein dies hätte beweisen sollen, daß Diophant der antiken Kultur innerlich nicht mehr angehörte. Ein neues Zahlengefühl oder sagen wir Grenzgefühl dem Wirklichen, Gewordnen gegenüber ist in ihm tätig, nicht mehr jenes hellenische, aus dessen sinnlich-gegenwärtigen Grenzwerten sich neben der euklidischen Geometrie der greifbaren Körper auch die sie nachbildende Plastik der nackten Statue entwickelt hatte. Einzelheiten der Ausbildung dieser +neuen+ Mathematik kennen wir nicht. Bei Diophant taucht unter der +Absicht+ euklidischer Gedankengänge jenes neue Grenzgefühl auf -- ich nenne es das +magische+ --, das sich seiner Gegensätzlichkeit zu der angestrebten antiken Fassung gar nicht bewußt ist. Die Idee der +Zahl als Größe+ wird nicht erweitert, sondern unvermerkt aufgelöst. Was eine +unbestimmte+ Zahl a und was eine +unbenannte+ Zahl 3 ist -- beides weder Größe noch Maß noch Strecke -- hätte ein Grieche gar nicht angeben können. Das neue, in diesen Zahlenarten inkarnierte Grenzgefühl liegt den diophantischen Betrachtungen wenigstens zugrunde; die uns geläufige Buchstabenrechnung selbst, in deren Gewande sich die inzwischen nochmals ganz umgedeutete Algebra heute darstellt, ist erst in fühlbarer, aber unbewußter Opposition gegen die antikisierende Renaissancerechnung 1591 durch Vieta eingeführt worden.

Diophant lebte um 250 n. Chr., +also im dritten Jahrhundert der arabischen Kultur+, deren geschichtlicher Organismus bisher unter den Oberflächenformen der römischen Kaiserzeit und des „Mittelalters“ verschüttet lag[26] und der alles angehört, was seit Beginn unserer Zeitrechnung in der Landschaft des kommenden Islam entstanden ist. Gerade damals erblich vor dem neuen Raumgefühl der Basiliken, Mosaiken und Sarkophagreliefs altchristlich-syrischen Stils der letzte Schatten der attischen Statuenplastik. Damals gab es wieder eine +archaische Kunst+ und ein streng geometrisches Ornament. Damals gerade vollendete Diokletian den +Khalifat+ des nur noch scheinbar römischen Reiches. 500 Jahre liegen zwischen Euklid und Diophant, zwischen Plato und Plotin, dem letzten, abschließenden Denker -- dem +Kant+ -- einer vollendeten und dem ersten mystischen Geiste -- dem +Dante+ -- einer eben erwachten Kultur.