Part 8

Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie _gg_ und darüber in der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont _hh_ (Fig. 74) und auf ihm den Augpunkt ~A~. Dann zeichnen wir den +Schnitt+ der Bildebene mit dem Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 von _h_{1}h_{1}_ mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses leicht geschehen kann. Denn die durch ~A~ gelegte Vertikale ist die Achse des Körpers. Schneidet sie die Grundlinie in _n_, so machen wir _nx_ = ~A_{1}~1.

In _x_ zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen _xy_ gleich der aus dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art erhält man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig. 74 durch Schraffierung am Rande hervorgehoben ist.

Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene ein, welche aus der Bildebene die Parallele _ll_ zum Horizont ausschneiden möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß. Das kommt darauf hinaus, daß der Grundriß um das Stück _hl_ in die Höhe geschoben wird. Wir zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen Grundrisses.

Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen Parallelen gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte ~A_{1}~ eine Senkrechte zu _h_{1}h_{1}_ und tragen auf ihr etwa ein Viertel der Distanz an, machen also

~A_{1}~ _O_{1}_/4 = 3 ~cm~.

Ziehen wir sodann durch _O_{1}_/4 eine Parallele zu 5.6, so schneidet diese auf dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes _F_{a}_/4 aus. Demnach erhalten wir in Fig. 74 den Fluchtpunkt _F_{a}_, indem wir ~A~_F_{a}_ = 4 ~A_{1}~ _F_{a}_/4 auf dem Horizont antragen.

Der Fluchtpunkt _F_{b}_ der anderen Richtung 6.3, der weit über die Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode bestimmt werden. Wir ziehen durch _F_{a}_ irgendeine Linie, wählen auf ihr den Punkt _p'_ beliebig und zeichnen einen neuen Horizont, der in _f_{a}_ die Linie von _F_{a}_ nach _p'_ trifft. Nun ermitteln wir eine horizontale Linie, welche im Punkte _p_ auf der Linie _F_{a}p_ senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen wir den Teildistanzpunkt ~D_{1}~/4, indem wir aus Fig. 73 die Strecke ~A_{1}~ _O_{1}_/4 entnehmen und ~A~ ~D_{1}~/4 = ~A_{1}~ _O_{1}_/4 antragen. Dann mögen die Verbindungslinien von _p'_ nach ~A~ und ~D_{1}~/4 den neuen Horizont in _a_ und _d_{1}_/4 treffen. Wir errichten gemäß der früheren Ableitung in _a_ eine Senkrechte zum neuen Horizont und machen dieselbe viermal so lang als die Strecke _a d_{1}_/4, so daß also

_ad_{4}_ = 4 ⋅ _a d_{1}_/4.

Verbinden wir _d_{4}_ mit _f_{a}_, so schneidet eine Senkrechte zu dieser Linie im Punkte _d_{4}_ den Punkt _f_{b}_ aus und die Verbindungslinie von _f_{b}_ mit _p'_ geht nach dem Fluchtpunkte _F_{b}_.

Weitere Linien nach _F_{b}_ können wir nach dem dritten in 36 angegebenen Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur rechts und links zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie _p'f_{b}_ schneidet auf diesen die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis zum Horizont sind rechts und links je in zwölf gleiche Teile geteilt; alle Linien nach _F_{b}_ teilen entsprechende Abschnitte der beiden Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß dem Zwecke dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt _F_{b}_ zu liefern, und daß diese Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur.

Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun wie folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie _ll_ ergeben sich sofort, indem man die entsprechenden Strecken von _h_{1}h_{1}_ überträgt. Ist also _m_ der Schnittpunkt der Achse des Körpers mit _ll_, so ist

_m_1 = ~A_{1}~1, _m_7 = ~A_{1}~7 usf.

Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit _F_{a}_, so sind dies zwei Seiten des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach _F_{a}_ gelegenen Ecken 3 und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien. Wir zeichnen zunächst im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu _h_{1}h_{1}_, welche in _s_{1}_ die Bildtafel trifft. Machen wir in Fig. 74 _ms_ = ~A_{1}~_s_{1}_, so ist _s_ die Spur in der Parallelebene und ~A~_s_ das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie _As_ schneidet dann auf der Linie 2._F_{a}_ den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5' und 3'.6' durch _F_{b}_ gehen müssen.

Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu zeichnen, ist im Grundriß die Spur _t_{1}_ der Linie 9. 12 gezeichnet. Machen wir in Fig. 74 _mt_ = ~A_{1}~_t_{1}_, so ist _t_ die Spur der Linie 9. 12 und 9'. 12' geht verlängert durch _t_.

Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch _m_ gehen müssen.

Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben konstruiert, so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6' usf. je einen ersten Ort, auf dem die Bilder des Grundrisses selbst gelegen sein müssen. Unter Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene ist das Bild des Körpers dann aber leicht fertigzustellen. So liefert z. B. der Punkt _x_ mit _F_{a}_ verbunden die untere, linke Kante des Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6' schneiden auf ihr die betreffenden Ecken aus.

Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach +oben+ verschoben (Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog. Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen.

§ 14. Die Darstellung des Kreises.

=38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene.= Bis jetzt haben wir uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns die Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder eine Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie zeichnen, nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß wir uns von einer Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen werden, die Bilder zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden. Wir wollen mit dem einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn das Bild des gegebenen Kreises wieder ein Kreis ist.

Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig. 75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die zu dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist also selbst wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises bildet sich wieder in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius des neuen Kreises wird je nach der Entfernung des gegebenen Kreises verschieden verkürzt werden. Wir führen die Konstruktion durch an folgender

=Aufgabe 22=. Ein Punkt _m_ ist gegeben durch sein Bild _m'_ und durch die Spur _a_ der durch ihn gehenden Tiefenlinie _A_ (Fig. 76). Man zeichne das Bild des Kreises, der um _m_ mit gegebenem Radius _r_ beschrieben wird und in einer zur Tafel parallelen Ebene liegt.

Auf dem Bilde _A'_ der Tiefenlinie _A_ ist die Spur _a_ von _A_ und das Bild _m'_ des Mittelpunktes gegeben. Wir denken uns (Fig. 75) den Durchmesser _np_ des Kreises gezogen, der zum Horizont parallel läuft, und ziehen durch seine beiden Endpunkte _n_ und _p_ die Tiefenlinien _B_ und _C_. Die Spuren _b_ und _c_ dieser beiden Tiefenlinien erhalten wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch _a_ eine Parallele zum Horizont ziehen und auf dieser Parallelen _ab_ und _ac_ je gleich dem gegebenen Radius _r_ des Kreises antragen. Verbinden wir _b_ und _c_ mit ~A~, so sind dies die Bilder _B'_ und _C'_ der Tiefenlinien _B_ und _C_ und sie schneiden auf der Parallelen durch _m'_ zum Horizont die Punkte _n'_ und _p'_ aus. _n'p'_ ist der Durchmesser des Bildes des Kreises, das also daraus gezeichnet werden kann.

Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel liegt, _m_ ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen wir durch _m_ die Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine Strecke _mx_ ab, welche gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so liefert _x_ mit D_{1} verbunden auf der Linie _m_A den Punkt _t'_, welcher der Mittelpunkt für die beiden rückwärtigen Kreise ist; deren Radien ergeben sich wie in Fig. 76.

=39. Der Kreis in einer Horizontalebene.= Wir gehen nun zu dem Falle über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen ist, z. B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende

=Aufgabe 23.= Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der Grundebene so, daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des Kreises zu zeichnen.

Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis in der Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht nur Punkte des Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das Bild berühren, sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem Zwecke umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen Seiten den Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das Bild dieses Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind Tiefenlinien; ihre Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber geht im Bilde nach dem linksseitigen Distanzpunkte D_{1} (vgl. 14). Ferner ist auch (6)(8) eine Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der Linie 2.4' das Bild _m'_ des Punktes _m_ aus. Die Linie (5)(7) geht in eine Parallele durch _m'_ über, welche auf den Linien 1.4' und 2.3' die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in diesem Falle eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist und dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt.

Ohne Beweis sei erwähnt, daß _m'_ nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse ist, daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt.

Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch deren Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und (10) sowie (11) und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch weitere Punkte der Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen ist gar nicht nötig.

Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist.

Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines Umdrehungs-Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe des Zylinders durch die Strecke 6.6^* gegeben, so schneidet die Deckfläche des Zylinders die Bildebene in der Linie _ll_, welche durch 6^* parallel zur Grundlinie geht. Die Konstruktion des Bildes des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der gleichen Weise; entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'^* liegen übrigens immer auf Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild des Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet.

=40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene.= In ganz ähnlicher Weise wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet werden, der in einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen Fall in der folgenden

=Aufgabe 24.= In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre Spur S gegeben ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der die Grundebene und die Bildtafel berührt. Das Bild dieses Kreises zu zeichnen.

Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4, von dem die Seite 1.2 in der Spur _S_ der Ebene, 1.4 in der Grundebene liegt. Um den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken wir uns seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur _S_ in die Bildebene hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In dieser Lage ist der Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4) in Fig. 80 gezeichnet. Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt. Die Tiefenlinien 1.4 und 2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach A und von 2 nach A. Die letzte Quadratseite 3.4 kann ferner durch folgende Überlegung gefunden werden. Ziehen wir die Diagonale 1.3, welche durch den Mittelpunkt _m_ geht, so ist diese Linie unter 45° gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch _O_ zu dieser Linie schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß nach Satz 24 auf der Senkrechten durch ~A~ liegen und von ~A~ um die Distanz abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt ~D_{4}~. Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale 2.4 der Punkt ~D_{3}~, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also in Fig. 80 die Linien 1.~D_{4}~ 2.~D_{3}~ ziehen, so schneiden diese auf den Bildern 2.~A~ und 1.~A~ die Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient, daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist der Schnittpunkt von 1.~D_{4}~ und 2.~D_{3}~ das Bild _m'_. Die Vertikale durch _m'_ liefert auf den Linien 2.~A~ und 1.~A~ die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie 6.~A~ muß von selbst durch _m'_ gehen und gibt den Berührungspunkt 8'.

In dem hier vorliegenden Falle ist das Bild des Kreises wieder eine Ellipse; _m'_ ist nicht ihr Mittelpunkt; derselbe liegt vielmehr auf der Linie 6.8' in der Mitte zwischen 6 und 8'.

Die Bilder der Punkte 9, 10 usw. lassen sich wie im vorigen Falle bestimmen. Auch die Tangente im Punkte 9' an die Ellipse ist leicht zu zeichnen. Da nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel zur Linie 1.(3) verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D_{4} fliehen, also ist die Linie 9'.D_{4} diese Tangente.

Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; _S_ sei die Spur dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die Hälfte in der Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll der Teildistanzpunkt D_{1}/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte der Strecke 1(_m_) auf der Horizontalen durch 1 nach rechts ab und verbinden den Endpunkt mit D_{1}/2, so erhalten wir (Aufg. 4) auf der Tiefenlinie 1.A das Bild _m'_; in entsprechender Weise ergeben sich für die weiteren Punkte (3) ... die Bilder. Die Parallele durch (2) schneidet _S_ in einem Punkte, der mit A verbunden die Berührungslinie im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2' auf der Vertikalen durch _m'_ gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7 gleiche Teile geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese Fugen laufen alle durch _m'_.

Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »+Hyperbel+« oder eine »+Parabel+« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen können.

§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen.

=41. Schatten bei parallelem Lichte.= Die undurchsichtigen Körper haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein lichtleerer Raum, der +Schatten+, ausbildet. Indem wir den Unterschied von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere Naturtreue.

Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade _s_ beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen«.

Es sei jetzt eine Stange _pq_ gegeben, die auf der Grundebene senkrecht steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die Grundebene wirft? Alle auf die Gerade _pq_ treffenden Lichtstrahlen werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der Geraden _pq_. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden _pq_ die parallelen zur Geraden _s_ zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet aus der Grundebene den Schatten der Geraden _pq_ aus, der also eine Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt _q_ der Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den Endpunkt _p_ den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in _p_{*}_ die Grundebene, so ist _p_{*}_ der Schatten des Punktes _p_ und _qp_{*}_ wird der Schatten der Geraden _pq_. Im Gegensatz zu dem Schatten, den die Gerade _pq_ unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir den Schatten _qp_{*}_ auf der Grundebene den »+Grundschatten+«. Eine zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade _rt_ liefert ganz in der gleichen Weise den Grundschatten _tr_{*}_ und man sieht ohne Mühe ein, daß _tr_{*}_ ∥ _qp_{*}_. Allgemein kann man sagen:

=Satz 26.= »+Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf der Grundebene.+«

Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im § 9 betrachtet haben. Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir erhalten, wenn wir durch das Auge _O_ eine Parallele zur Geraden _s_ ziehen und den Schnittpunkt ~S~ dieser Parallelen mit der Tafel ermitteln. Hat der in _O_ befindliche Beschauer die (punktförmige) Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt ~S~ +unterhalb+ des Horizonts. Fällen wir von ~S~ aus in der Bildebene eine Senkrechte zum Horizont und nennen ~S~_{_h_} ihren Fußpunkt, so können wir die Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß _OS_{h}_ ∥ _qp_{*}_ ∥ _tr_{*}_.

Mit anderen Worten:

=Satz 27.= »+Der Punkt ~S~_{_h_}, die Projektion des Fluchtpunktes ~S~ der parallelen Lichtstrahlen auf den Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.+«

Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach ~S_{h}~ (Satz 23). Damit erledigt sich nun leicht folgende

=Aufgabe 25.= Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade _pq_ ist im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das parallele Licht durch den Punkt ~S~ gegeben ist.

Durch die Annahme des Punktes ~S~ (Fig. 83) ist die Beleuchtung vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt wird. Fällen wir von ~S~ ein Lot zum Horizont, so liefert dies den Fluchtpunkt ~S_{h}~ der Grundschatten. Ist _p'q'_ das gegebene Bild (wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Grundschatten. Der durch _p_ gehende Lichtstrahl muß aber einerseits durch _p'_, andererseits durch den Fluchtpunkt ~S~ gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von ~S~ nach _p'_ auf der Linie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Endpunkt _q_{*}'_ des Grundschattens aus. Es ist _q'p_{*}'_ das Bild des Grundschattens. Die einfache Regel lautet also: _p_{*}'_ ist der Schnittpunkt der Linien _q'_~S_{h}~ und _p'_~S~.

Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender

=Aufgabe 26.= Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die Grundebene wirft.

Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu ermitteln, geben wir uns den Punkt ~S~ und seine Projektion ~S_{h}~. Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_{*}'; ebenso finden wir den Schatten 4.3_{*}' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie 2_{*}'.3_{*}' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie man leicht erkennt, nach ~A~. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_{*}' ihren Schatten. Ebenso wird 8.7_{*}' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_{*}' und 8.7_{*}' den Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten 9_{*}' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der »Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn man 9_{*}' mit 5_{*}' und 7_{*}' verbindet.

Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_{*}' die Kante 1.4 in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle dienen, daß sie als ein Grundschatten nach ~S_{h}~ laufen muß. Ferner befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, was durch Schraffierung angedeutet ist.

Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt ~S~ auch oberhalb des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus.

§ 16. Künstlerische Freiheiten.

=42. Freiere Gestaltung des Bildes.= Am Schlusse unserer Betrachtungen angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von der Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung dieser Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer Unterschätzung. Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt, daß sie uns ein gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern soll, das uns soweit als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den wir von dem Gegenstand erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das Betrachten irgendeines Körpers darin, daß wir seine einzelnen Teile der Reihe nach ins Auge fassen und unseren Blick von einer Stelle zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei zunächst beurteilen und abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die Blicklinien nach den einzelnen Punkten des Körpers miteinander einschließen. Aus allen diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir dann das Bild des Körpers im Auge zusammen.