Part 7

Diese unnatürliche Vertiefung (Tunnelperspektive) kann man z. B. an photographischen Bildern beobachten, die mit Objektiven von kleiner Brennweite hergestellt werden, weil solche Darstellungen eben meistens aus einer zu großen Entfernung betrachtet werden. So erscheint in Abb. 7 (S. 70) das Gebäude viel länger als in Wirklichkeit. Ein einfaches Mittel, von solchen Photographien ein richtiges Bild zu bekommen, besteht darin, daß man sie durch ein Vergrößerungsglas betrachtet. Dann wird mit dem Bilde auch die Distanz vergrößert, und man gewinnt eher die richtige Entfernung für das Auge.

Eine ganz entsprechende +Verkürzung+ des Objektes der Tiefe nach tritt ein, wenn man unter der gleichen Annahme wie oben ein perspektivisches Bild aus einer zu kleinen Distanz betrachtet.

Eine kleine Distanz bevorzugt man bei der Darstellung eines Innenraumes, also beim Interieur, weil dadurch die Vorstellung erweckt wird, daß der Beschauer sich noch im Innern des betreffenden Raumes befindet.

Prüft man beispielsweise in dem Fresko von +Raffael+ (1485--1520), die »Schule von Athen« (Abb. 8, S. 71), das die eine Wand der ~camera della segnatura~ im Vatikan in Rom einnimmt, auf Grund einer großen Photographie die perspektivische Konstruktion, so stimmt diese allerdings nicht vollständig genau. Als mittlerer Wert ergibt sich aber für die Distanz, daß sie etwas größer ist als die Breite des Bildes (ungefähr = 1⅐ der Bildbreite). Man beachte aber, welche unvergleichlich großartige Raumwirkung der Künstler durch den Kuppelraum mit den beiden Schiffen und die Vordergrundsszene erzielt. Kleiner als die größere Seite des Bildausschnittes wird man aber die Distanz nicht wählen.

Auch bei manchen Holländern des 17. Jahrhunderts, z. B. bei +van der Meer van Delft+ (1632--1675), finden wir Interieurs mit kleiner Distanz.[5] So ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im kgl. Schloß in Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die Distanz wenig größer als die Höhe des Bildes (etwa 1-1/17 derselben). Man kann aber hier schon die unangenehme Folgeerscheinung beobachten, daß bei solchen Bildern mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund sich nach abwärts zu neigen, sich herunterzuklappen scheint.

[5] Man vgl. dazu Hans Jantzen, Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. S. 52. (ANuG Bd. 373.) 1912.

=32. Das photographische Bild.= Was die Bilder des photographischen Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit kleiner Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner Distanz. Die übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich abgesehen von der eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts direkt durch die Wirkung der kleinen Distanz. In der Tat sind _ab_ und _cd_ etwa zwei gleichgroße Objekte, _O_ und _O'_ die Zentren der Perspektive (Fig. 61) und _a'b'_, _c'd'_ ihre Bilder in der durch eine Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den Unterschied, je nachdem die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder groß wie in der unteren. In der oberen Figur ist _c'd'_ mehr als doppelt so groß wie _a'b'_, in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint das nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt uns die Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr nahe an der Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive führt zu komischen Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt, mit dem gleichen Objektiv etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur einen größeren Abstand von dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen sind diese Überlegungen von großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt ferne, hohe Berge zu unbedeutenden Hügeln zusammenschrumpfen, er treibt den Hintergrund zurück, wie die Photographen sagen, und betont den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer Brennweite dagegen gibt ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach vorn« und läßt den Vordergrund weniger in die Erscheinung treten.

§ 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte.

=33. Unzugänglicher Distanzpunkt.= Den Augpunkt einer Darstellung werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen, da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren 55 bis 59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z. B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet wird. Es fragt sich nun, wie man +die Konstruktionen, die sich auf solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem erledigen kann+. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen Perspektive.

Wir wollen zunächst sehen, wie man die Aufgabe 5, also die Konstruktion eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie _T_ von ihrer Spur _t_ aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie _ts_ = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt _s_ mit einem Distanzpunkt ~D_{1}~; die Verbindungslinie schnitt aus _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus (vgl. die frühere Fig. 21 ~b~). Halbieren wir nun aber die Strecke ~AD_{1}~ und bezeichnen die Mitte mit ~D_{1}~/2. Verbinden wir weiter diesen Punkt ~D_{1}~/2 mit _p'_, so möge diese Linie die Grundlinie im Punkte _q_ treffen. Dann gilt die Proportion:

_tq_ : _qs_ = ~A~ ~D_{1}~/2 : ~D~ ~D_{1}~/2 = 1 : 1.

Es ist mithin auch _q_ die Mitte von _ts_ und

_tq_ = _qs_ = _ts_/2.

Wir können zum Punkte _p'_ also auch gelangen, wenn wir die +halbe+ Strecke _tq_ auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt _q_ mit dem Punkte ~D_{1}~/2 verbinden und diese Linie mit _T'_ zum Schnitt bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie _T'_ ein Maßstab gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ~D_{1}~/2 noch erreichen (Fig. 63), so tragen wir die halbe Einheit auf der Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ~D_{1}~/2 auf _T'_. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab.

Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B. durch 2' eine Parallele _l_ zur Grundlinie ziehen und die auf dieser Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf _l_ wiederholt antragen und aus ~D_{1}~/2 projizieren.

Der Punkt ~D_{1}~/2 heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich könnte man die ganze Strecke ~AD_{1}~ auch in drei gleiche Teile teilen und den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit ~D_{1}~/3 bezeichnen. Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der Grundlinie anzutragen. Mit ~D_{1}~/3 verbunden liefern diese Punkte auch wieder den Tiefenmaßstab usf.

=34. Unzugängliche Fluchtpunkte.= +Erstes Verfahren.+ Die Ermittlung des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24 gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt _f_{a}_ nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich gegen den Punkt ~A~ zusammenziehen lassen.

Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 ~a~ und 64 ~b~ noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck _abcde_ in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt _o_ wird beliebig gewählt und mit allen Ecken _a_, _b_, _c_ ... verbunden. Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ... dadurch bestimmt, daß man alle Strecken _oa_, _ob_, _oc_ ... im gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer

_a'o_ = ⅔ _ao_, _b'o_ = ⅔ _bo_, _c'o_ = ⅔ _co_ ...

macht. Das neue Vieleck _a'_, _b'_, _c'_ ... hat dann folgende Eigenschaften:

~a~) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. es ist

_ab_ ∥ _a'b'_, _bc_ ∥ _b'c'_, _cd_ ∥ _c'd'_ usf.

~b~) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist

_ab_ : _bc_ = _a'b'_ : _b'c'_ usf.

Wenn also z. B. die Seite _ab_ doppelt so groß ist wie _bc_, so ist auch _a'b'_ doppelt so groß wie _b'c'_. Die Figuren _abcde_ und _a'b'c'd'e'_ nennt man +ähnlich+ und +ähnlich liegend+ und _o_ den +Ähnlichkeitspunkt+.

Im vorliegenden Falle benutzen wir ~A~ als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von ~A~ nach ~D_{3}~ wählen wir nun einen Punkt ~D_{3}~/3 so, daß

~A~ ~D_{3}~/3 = ⅓ ~AD_{3}~

und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel.

Wir verbinden also _a_ mit ~A~, teilen diese Linie in drei gleiche Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit _a_/3, so daß

~A~ _a_/3 = ⅓ ~A~_a_.

Ziehen wir dann durch den Punkt ~D_{3}~/3 eine Parallele zu _f_{a}_~D_{3}~, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt _f_{a}_/3 aus, der die Eigenschaft hat, daß auch

~A~ _f_{a}_/3 = ⅓ ⋅ ~A~_f_{a}_

und es ist weiter dann auch

_af_{a}_ ∥ _a_/3 _f_{a}_/3.

Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man _A'_ finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur _a_, bekannt ist, indem man durch _a_ eine Parallele zu _a_/3 _f_{a}_/3 zieht.

Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes ~D_{3}~/3 wurde zunächst _f_{a}_/3 ermittelt, in dem man zur Verschiebung (_A_) der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur _a_ der Geraden und dazu den Hilfspunkt _a_/3 auf der Verbindungslinie _aA_, so ist das Bild _A'_ parallel zur Linie _a_/3 _f_{a}_/3, kann also als eine Parallele durch _a_ zu dieser Linie gezeichnet werden.

Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden

=Aufgabe 18.= Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/4 noch zugänglich ist.

Auf der Senkrechten, die im Augpunkt ~A~ zum Horizont gezogen werden kann, nehmen wir den Punkt ~D_{3}~/4 an (Fig. 67); außerdem soll gegeben sein die Eckkante _p'q'_, also die Höhe des Zimmers und die eine Bodenkante _A'_ durch _p'_.

Zunächst haben wir eine Linie _B_ der Grundebene zu zeichnen, welche im Punkte _p_ auf _A_ senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da ~D_{3}~/4 gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. Dementsprechend verbinden wir den Punkt _p'_ mit ~A~, teilen diese Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an ~A~ gelegenen Teilpunkt mit _p'_/4. Durch diesen Punkt _p'_/4 ziehen wir eine Parallele zur gegebenen Geraden _A'_, welche in _f_{a}_/4 den Horizont treffen möge. Es ist also

_p'_/4 _f_{a}_/4 ∥ _A'_.

Nun können wir den Punkt _f_{a}_/4 mit ~D_{3}~/4 verbinden und im Punkte ~D_{3}~/4 eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem Horizont den Punkt _f_{b}_/4 ausschneidet. Verbinden wir _p'_/4 mit diesem Teilfluchtpunkt _f_{b}_/4, so gibt diese Linie die Richtung von =B'=; es ist also:

_B'_ ∥ _p'_/4 _f_{b}_/4,

womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte _q'_ den Hilfspunkt _q'_/4 zeichnen. Eine Vertikale durch _p'_/4 liefert ihn sofort auf der Verbindungslinie ~A~_q'_. Dadurch sind die Verbindungslinien _q'_/4 _f_{a}_/4 und _q'_/4 _f_{b}_/4 bestimmt und zu ihnen laufen die Deckenkanten durch _q'_ beziehungsweise parallel.

Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen.

Nun sei weiter die Seite _p'_1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben. Um diese Teilung auf der Geraden _A'_ fortzusetzen, verfahren wir wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 ... der Kante _A_ in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in I, II, III ... zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie die Nebenfigur 67 ~a~ dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte _p_I, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große Abschnitte _p_ 1, 1 2, 2 3 ... auf _A_ erzeugt, wenn man durch gleich große Strecken _p_I, I II, II III ... die Parallelen legt. Im Bilde gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt des Horizonts laufen.

Dementsprechend ziehen wir durch _p'_ eine Parallele zur Grundlinie und wählen als Punkt des Horizontes etwa ~A~. Die Verbindungslinie von 1' nach ~A~ schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen _p'_I = I II = II III ... Dann liefern die Punkte II, III aus ~A~ projiziert die Bilder 2', 3' ... 6'.

Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden, verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. B. 6' mit ~A~, so erhalten wir auf der Linie _p'_/4 _f_{a}_/4 den entsprechenden Hilfspunkt 6'/4. Die durch 6' gehende Linie des Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes 6'/4 mit dem Punkte _f_{b}_/4.

Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir den Winkel bei ~D_{3}~/4, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Teil-Diagonalpunkt ~D~_{_g_}/4 aus. Daraus erhalten wir demnach den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst, wenn wir

~AD~_{_g_} = 4 ⋅ ~A~ ~D~_{_g_}/4

machen, also die Strecke ~A~ ~D~_{_g_}/4 noch dreimal von ~D~_{_g_}/4 aus nach links antragen. Durch _D_{g}_ laufen dann aber alle Diagonalen der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen.

=35. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Zweites Verfahren. Wir wollen für die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche zu benutzen.

Ist _F_{a}_ der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden _A'_, auf welcher im Punkt _p'_ eine Senkrechte _B'_ errichtet werden soll, so konstruieren wir z. B. den Punkt ~D_{4}~ (Fig. 68) und tragen im Punkte ~D₄~ einen rechten Winkel von _F_{a}_~D_{4}~ aus an; dann schnitt der zweite Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt _F_{b}_ aus, so daß die gesuchte Gerade _B'_ den Punkt _p'_ mit _F_{b}_ verband.

Fällt nun aber _F_{a}_ nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu _hh_ so gewählt sei, daß sich mit _A'_ ein erreichbarer Schnittpunkt _f_{a}_ ergibt. Die ganze Figur lassen wir sich jetzt um +den Punkt+ _p'_ zusammenziehen, so daß _hh_ in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche Figur mit _p'_ als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst liefern _D_{1}_, ~A~ und _F_{b}_ aus _p'_ auf hh projiziert die Punkte _d_{1}_, _a_ und _f_{b}_.

Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch _a_ eine Parallele zur Linie ~AD_{4}~, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden _p'_~D_{4}~ den entsprechenden Punkt _d_{4}_ aus und es ist dann

_f_{a}d_{4}_ ∥ _F_{a}_~D_{4}~

und

_f_{b}d_{4}_ ∥ _F_{b}_~D_{4}~.

Nun ist in der großen Figur ~AD_{1}~ = ~AD_{4}~, also ist auch in der verkleinerten Figur _ad_{1}_ = _ad_{4}_. Wir wollen jetzt annehmen, daß auch der Punkt ~D_{1}~ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl aber der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/2. Konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden Punkt _d_{1}_/2, so ist

_d_{1}_ _d_{1}_/2 = _a_ _d_{1}_/2

und weiter

_ad_{4}_ = 2 ⋅ _a_ _d_{1}_/2.

Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69).

Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade _A'_ in _f_{a}_ und die Verbindungslinie von _p'_ nach ~A~ in _a_ trifft. Dann errichten wir zu _a_ eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so groß als die Strecke _a_ _d_{1}_/2. Ist _d_{4}_ der zweite Endpunkt dieser Senkrechten, so ist also

_ad_{4}_ = 2 _a_ _d_{1}_/2.

An die Verbindungslinie _f_{a}d_{4}_ tragen wir einen rechten Winkel an, dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in _f_{b}_ schneidet. Das Bild _B'_ der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt _p'_ mit _f_{b}_.

Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren, so liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt _d_{g}_ und wenn wir diesen mit _p'_ verbinden, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst aus. Der Beweis ergibt sich leicht aus der Figur 68, denn es ist

_d_{4}d_{g}_ ∥ ~D_{4}D~_{_g_}

und da ~D_{4}D~_{_g_} den Winkel _F_{a_}~D_{4}~_F_{b}_ halbiert, so muß die Parallele den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren.

=36. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Drittes Verfahren. Das Wesentliche an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir behandeln dementsprechend die

=Aufgabe 19.= Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche Schnittpunkt zweier Geraden _G'_ und _hh_ (Fig. 71); man zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem weiter gegebenen Punkte _p'_ verbindet.

Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt _s_ gehende Gerade _A_, _B_, _C_ mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70

_ab_ : _bc_ = _de_ : _ef_.

Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie _be_ durch den Schnittpunkt _s_ der beiden Geraden hindurch.

Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken:

Teilt man die Strecke _de_ beispielsweise in vier gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit _s_, so wird auch die Strecke _ab_ in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte immer durch _s_. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe folgende Lösung (Fig. 71). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt _p'_ irgendeine Linie _df_ und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine Parallele, welche in _a_ und _c_ die zwei Geraden trifft. Durch _p'_ werde eine Parallele zu _hh_ gelegt, welche die Verbindungslinie _cd_ in _g_ schneidet. Durch diesen Punkt _g_ ziehen wir eine Parallele zu _G'_ und erhalten auf _ac_ den Punkt _b_. Dann geht die Verbindungslinie _p'b_ durch den unzugänglichen Schnitt von _G'_ und _hh_ hindurch, ist also die verlangte.

Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur:

_ab_ : _bc_ = _dg_ : _gc_

und

_dg_ : _gc_ = _dp'_ : _p'f_

folglich auch

_ab_ : _bc_= _dp'_ : _p'f_.

Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern.

=Aufgabe 20.= Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei _p'_ (vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den Schenkeln dieses Winkels.

Wir verlängern die durch _p'_ gehende Vertikale, die Vorderkante des Gebäudes, bis sie in _p_{0}_ den Horizont trifft (Fig. 72), ferner wählen wir rechts und links am Rande die Punkte _q'_ und _r'_ auf den Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten _r'r_{0}_ und _q'q_{0}_ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ in eine gleiche Anzahl von Teilen, z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. Setzt man die Teilungen auf den Geraden _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, 7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 mögen das Gebäude unten abschließen.

Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, so kann man das nach dem +Augenmaß ausführen+, indem man das Lineal so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19 gegeben.

Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante _p'p_{0}_ gelegene Fenster wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von der Kante _p'p_{0}_ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie in 34. (Fig. 67 ~a~.) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5 gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern. Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster konstruiert.

Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate, sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen Punkte damit zu zeichnen.

§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden.

=37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden.= Wir können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit den Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben (17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe am besten an einem Beispiele kennen lernen:

=Aufgabe 21.= Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben (Fig. 73); die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses Objektes entworfen werden soll, steht auf der Grundrißebene senkrecht, geht durch die Achse des Postaments und mag durch die Linie _h_{1}h_{1}_ bestimmt sein. Außerdem sind der Augpunkt ~A~ und der Horizont _hh_ je durch ihre Risse gegeben. Man zeichne das Bild des Körpers, wenn die Distanz 12 ~cm~ beträgt.