Part 5

Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu gelangen, denken wir uns (Fig. 32) durch die Senkrechte _pq_ eine Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor, welche die Höhe _pq_ haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders ausgedrückt heißt das: wir ziehen durch _p_ und _q_ die Tiefenlinien _A_ und _B_, welche in _a_ und _b_ die Bildebene treffen. _ab_ ist der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus ergibt sich folgende durch ihre Einfachheit überraschende Konstruktion: Den gegebenen Punkt _p'_ verbinden wir mit ~A~ (Fig. 34) und erhalten dadurch das Bild _A'_, welches die Grundlinie _gg_ in _a_ trifft. In _a_ tragen wir die gegebene Höhe als _ab_ vertikal an. Der Endpunkt _b_ liefert mit ~A~ verbunden das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_. Ziehen wir endlich durch _p'_ die Vertikale, so schneidet sie auf _B'_ den Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist das Bild der gesuchten Senkrechten.

Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand von der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn auch umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen Punkte ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser Konstruktion geben, wollen aber zunächst noch einige Folgerungen aus der Fig. 34 ziehen.

Wir können dieselbe unmittelbar zur Lösung folgender neuen Aufgabe benutzen: Gegeben ist das Bild _p'q'_ einer Strecke _pq_, die im Punkte _p_ der Grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt; man bestimme die wahre Länge _pq_ dieser Strecke.

Wir verbinden _p'_ mit ~A~ und bringen diese Linie in _a_ mit der Grundlinie zum Schnitt; in _a_ errichten wir eine Vertikale und schneiden diese in _b_ mit der Verbindungslinie von ~A~ nach _q'_. Dann gibt _ab_ die wahre Länge der Strecke _pq_.

Als eine weitere Anwendung behandeln wir

=Aufgabe 12.= Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen Maßstab zu zeichnen. Höhenmaßstab.

Denken wir uns auf der Lotrechten _pq_ von Fig. 32 die Einheit des Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte die Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade _ab_, was in der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber sofort zu zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung (Fig. 35).

Gegeben ist das Bild _p'q'_ der Vertikalen, auf der mit der gegebenen Strecke _y_ als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der Spur der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt _p'_ mit dem Augpunkt ~A~ und erhalten dadurch den Punkt _a_ auf der Grundlinie. In _a_ errichten wir zur Grundlinie _gg_ die Senkrechte; auf dieser tragen wir von _a_ beginnend die Strecke _y_ ab, so daß also die Strecken 0.1, 1.2, 2.3 ... je = _y_. Verbinden wir die Punkte 1, 2, 3 ... mit ~A~, so schneiden diese Tiefenlinien auf _p'q'_ die gesuchten Punkte 1', 2', 3' ... aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie folgt sofort, daß auch

0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'.

Daraus ergibt sich folgender

=Satz 17.= »+Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt auf einer Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung, sondern eine sich gleichbleibende Verjüngung.+«

Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie liegen, sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen.

Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar auf das Bild. Wenn etwa die Strecke _pq_ (Fig. 32) in eine gewisse Anzahl gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung unmittelbar im Bilde _p'q'_ (Fig. 35) vornehmen.

=22. Darstellung einer zur Bildebene parallelen Pfeilerreihe.= Noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische Wiedergabe einer Pfeilerreihe oder überhaupt einer Reihe gleichgroßer, paralleler Gegenstände, wenn dieselben parallel zur Bildebene angeordnet sind. Dies sei der Gegenstand der

=Aufgabe 13.= Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer zur Tafel parallelen Ebene befindet.

Ist _pq_ der erste darzustellende Pfeiler (Fig. 36), so zeichnen wir nach der Aufgabe 11 sein Bild _p'q'_. Unserer Voraussetzung nach liegen die Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien _P_ und _Q_, die überdies zur Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach Satz 10 auch _P'_ ∥ _P_ und _Q'_ ∥ _Q_ und da _P_ ∥ _Q_ ∥ zur Grundlinie _gg_, so sind auch die Bilder _P'_ und _Q'_ parallel zur Grundlinie. Auf diesen beiden Horizontalen liegen folglich die Bilder der Endpunkte, und sie ergeben sich leicht, wenn man wiederum die Tiefenlinien durch die Punkte selbst zu Hilfe nimmt.

Die Ausführung der Konstruktion zeigt Fig. 37. Gegeben ist das Bild _p'_ des Punktes _p_, die Höhe der Pfeiler und ihr Abstand _y_. Wir verbinden _p'_ mit dem Hauptpunkt ~A~; diese Tiefenlinie _A'_ liefert auf der Grundlinie _gg_ den Punkt _a_. In _a_ errichten wir eine Vertikale _ab_ gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und erhalten durch die Linie _b_~A~ den Punkt _q'_ auf der Lotrechten durch _p'_ und damit das Bild des ersten Pfeilers _pq_. Auf den Horizontalen _P'_ und _Q'_ durch _p'_ und _q'_ liegen die übrigen Endpunkte. Tragen wir den gegebenen wahren Abstand _y_ zweier Pfeiler auf der Grundlinie als die Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach ~A~ das Bild _n'_ und die Vertikale durch _n'_ auf _Q'_ das Bild _r'_. Analog verfährt man für die weiteren Punkte 2, 3 ... Man erkennt, daß _p'n'_ = _n'l'_ usf., daß also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit voneinander abstehen.

Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge _O_ haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen.

Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild ist eine Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur die Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die gegenseitigen Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert.

Wir können also sagen:

=Satz 18.= »+Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe irgendwo in einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der gleichen Tiefe, so sind ihre Bilder stets gleich groß zu zeichnen.+«

Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine menschliche Figur (Fig. 38) und oben auf dem Turme, aber in der gleichen Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind die beiden Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß die Figur auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür wird angeführt, daß die Figur +auf+ dem Turme doch weiter vom Auge entfernt sei als die Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein müsse. Dabei verwechselt man die +Erscheinung+ eines Gegenstandes und seine bildliche Wiedergabe. Die Größenverhältnisse der uns umgebenden Körper beurteilen wir im allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter denen sie uns erscheinen. Wir +betrachten+ nun aber doch das Bild mit den beiden Figuren, und dann ist in der Tat, wie Fig. 39 noch klarer zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem die obere Figur erscheint, kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der unteren Figur gehört. Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt werden, die sich auf die Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht verjüngender Objekte bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit vertikalen Kanten. Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe, so erscheinen die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den Rücken und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten einen Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten können, so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner ganzen Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung auf. Aus diesen Überlegungen heraus kann man die Abbildung 4 bis zu einem gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in dem Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung modifiziert werden.

=23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes.= Wir wollen jetzt die Fig. 32 erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite des Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann (Fig. 40) den letzten Pfeiler _pq_ der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler _st_ der anderen Reihe durch eine Ebene und legen weiter durch _qb_ und _tc_ ebenfalls eine Ebene, so erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den Quader _abcdpqts_. Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso zu zeichnen wie in Fig. 33, und es ergibt so das Bild _abcdp'q't's'_ (Fig. 41). Stellen wir uns weiter vor, daß wir dadurch je zwei gleich weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere Ebenen legen, so sind diese alle parallel und schneiden die Grundebene in Parallelen zur Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in eine Anzahl gleicher Schichten, die ebenfalls in Fig. 41 wiedergegeben sind. Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem Quadratnetz überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der Breite, also von _a_ nach _d_, 8 Quadrate, in der Tiefe von _a_ nach _p_ 5 Quadrate und in der Höhe von _a_ nach _b_ ebenfalls 5 Quadrate liegen. Der Horizont verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht. Es ist leicht, diese Quadrate einzuzeichnen (man vgl. Fig. 19) und so die Fig. 41 herzustellen. Man kann an ein mit quadratischen Kacheln ausgelegtes Zimmer denken. Legt man aber weiter durch die sämtlichen Tiefenlinien die horizontalen und vertikalen Ebenen, so wird der ganze Raum in Würfel geteilt, und zwar in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird diese Figur nicht für eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort erkennen, daß wir damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im Raume einigermaßen richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl von Würfeln einschließen. Fig. 41 leistet für den Raum das gleiche wie Fig. 19 für die Bodenfläche.

Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die Abmessung in der Richtung der Grundlinie, also von _a_ nach _d_, die Breite, so gibt uns die Fig. 41 sowohl einen +Tiefen-+ und +Höhen-+ als auch einen +Breitenmaßstab+. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite nach verkürzt. An der Stelle _i'_ z. B. sind diese Verkürzungen durch _i'm'_, _i'n'_ und _i'l'_ gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was übrigens schon aus Satz 18 folgt:

=Satz 19.= »+Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem Höhenmaßstab.+«

Endlich gibt Fig. 41 die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man sich eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche ist hier dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in Abb. 5 ein Fresko von +Ghirlandajo+ (1449--1494), das die Geburt Johannis des Täufers vorstellt und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella in Florenz befindet. Durch einige punktierte Tiefenlinien sind der Augpunkt und der Horizont ermittelt. Der Augpunkt ist aus der Mitte des Bildes etwas nach rechts herausgerückt, wie in Fig. 41 ~A~ näher an _cd_ als an _ab_ liegt. Wählt man den Augpunkt genau in der Mittellinie des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf beiden Seiten ganz gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die Symmetrie bedingt eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im Bilde, wie Abb. 8 zeigen mag.

=24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht.= Die gleiche Figur 41 gibt uns auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes durch das Auge _O_ horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene liegen, von oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die Bodenfläche. Von horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene liegen, sehen wir dagegen die +untere+ Seite; sie befinden sich in »+Unter+sicht«, wie z. B. die Decke in Figur 41. Die Horizontebene selbst bildet den Übergang zwischen beiden Arten von Ebenen: sie erscheint als Linie, nämlich als der Horizont. In der gleichen Weise sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts oder von links, je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge _O_ gehenden vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren 42 und 43 mögen das noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle auf dem Boden liegt.

Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist _u'_ das Bild eines Punktes _u_ der Grundebene (Fig. 41) und errichten wir in _u'_ die Senkrechte, welche den Horizont im Punkte _v'_ schneiden möge, so können wir _v'_ als Bild desjenigen Punktes _v_ ansehen, der lotrecht über _v_ in der Horizontebene liegt. Die Strecke _uv_ ist also gleich der Augenhöhe. Zu dem gleichen Resultat führt uns auch die Betrachtung der Figur 34, indem sich zu dem Bilde _p'v'_ als zugehörige Strecke _av_{0}_ ergibt, was wieder die Augenhöhe ist. Daraus folgt demnach folgender vielfach verwendbare

=Satz 20.= +Ist das Bild eines Punktes der Grundebene gegeben, so stellt der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild der Augenhöhe vor.+

=25. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes.= Die Darstellung einer menschlichen Figur in einem Bilde gibt uns Veranlassung, über den Maßstab eines Bildes zu sprechen und dieser hängt wieder davon ab, wie wir uns das Zeichnen nach der Natur, also z. B. die Wiedergabe einer Landschaft vorstellen. Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild +direkt+ die Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei der Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber auch etwas anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler habe das Motiv und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er sich, etwa in der Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte, die Bildtafel Π vertikal aufgestellt +denken+. Auf diese Ebene Π wird von seinem Auge aus die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber nicht wirklich gezeichnet. In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm stehenden Rahmen zeichnet der Maler vielmehr eine Verkleinerung oder eine Verjüngung des auf Π gedachten Bildes. In diesem Falle ist also die Zeichenfläche nicht die gleiche wie die Bildebene. Allerdings könnte man eine neue, dem Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene finden, welche aus dem Strahlenkegel des Auges _O_ gerade das Bild ausschneiden würde, das auf dem Zeichenblatt gezeichnet wurde.

Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen, z. B. nur in 1/10 der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder Reduktion sei = 1/10. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig ist, genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber wird z. B. +ein+ Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die Verjüngung 1/10 beträgt. Wir behandeln nun folgende

=Aufgabe 14.= Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes darzustellen.

In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets 1/100, so daß also ein Meter durch einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß alle im Bilde wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine mittlere Größe haben.

=1. Fall.= Die Augenhöhe sei 75 ~cm~ oder ¾ ~m~; es soll eine Person gezeichnet werden, die sich in _c'_ auf der Grundebene befindet.

Auf der linken Seite gibt uns in Figur 44 die Strecke 0.1 die Darstellung eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist damit der Horizont _hh_ gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig liegt. Eine direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ ~m~ hoch zu zeichnen, sie ist in _ab_ angedeutet, und sie wird durch den Horizont halbiert. Wir ziehen durch ~A~ nach _a_ und _b_ die Tiefenlinien. Um die in _c'_ befindliche Person zu zeichnen, verschieben wir sie parallel der Bildebene, also in der gleichen Tiefe; dabei bleibt nach Satz 18 ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen wir durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, welche die Linie ~A~_a_ in _p'_ schneidet. Die in _p'_ bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie ~A~_b_ errichtete Senkrechte _p'q'_ gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch _q'_ eine Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale durch _c'_ in _d'_ und _c'd'_ ist die gesuchte Höhe der Figur in _c'_.

Ist im Punkte _i'_ der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so ziehen wir _c'i'_ und bringen diese Linie in _f_ zum Schnitt mit dem Horizont; verbinden wir _f_ mit _d'_, so ergibt die in _i'_ errichtete Senkrechte den Punkt _k'_, bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien _ci_ und _dk_ sind parallele, horizontale Gerade, müssen also ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont haben.

Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert werden, und daß man allgemein sagen kann:

=Satz 21.= +Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden durch den Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.+

=2. Fall.= Die Augenhöhe sei 2½ ~m~; es ist eine Figur zu zeichnen, welche sich in _c'_ auf einer Mauer befindet.

Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft (Fig. 45). Eine Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe _ab_, welche = 1½ ~m~ ist. Um die Größe der in _c'_ befindlichen Figur zu bestimmen, verschaffen wir uns die durch _c_ gehende Parallelebene zur Tafel, da in dieser ganzen Ebene die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht herunter und wieder parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach _p'_ gelangen. Die Vertikale in _p'_ schneidet aus der Linie _C_~A~ den Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist wieder die Größe einer menschlichen Figur in der Tiefe _p'_. Die Figur in _c'_ ist aber ebensogroß zu zeichnen, also muß _c'd'_ = _p'q'_ sein.

Bringen wir die Linien _ab_ und _p'q'_ in _t'_ und _r'_ mit dem Horizont zum Schnitt, so ist

_ab_ : _at'_ = _p'q'_ : _p'r'_ = 3 : 5.

Es beträgt also die Höhe jeder +auf der Grundebene+ stehenden Figur ⅗ der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige Satz 21.

Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man die Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur _ab_ unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer Figur 45 durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so groß ist als der dritte Teil von _ab_. Da für _ab_ mittlere Manneshöhe 1,50 ~m~ angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 ~cm~, und für die Augenhöhe _at'_ ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 ~cm~ = 2,50 ~m~.

=3. Fall.= Die Augenhöhe sei 1,50 ~m~; man bestimme die Größe einer menschlichen Figur, die sich in _c'_ auf einer Mauer befindet.

Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person _ab_ reicht jetzt gerade bis an den Horizont. (Fig. 46.) (Wollten wir uns noch genauer ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf der Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind einige Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen. Dann schneidet der Horizont auf +jeder+ Latte 1,50 ~m~ ab. Sind die Latten in halbe Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende des dritten Abschnittes. Um die Figur in _c'_ zu zeichnen, legen wir wieder durch _c_ die Parallelebene zur Tafel, also durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer senkrecht herunter und parallel zu _gg_ weiter, so daß wir nach _p'_ gelangen. Die in _p'_ errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in _q'_. Die in _c'_ befindliche Figur ist also = _p'q'_ zu machen, so daß ihre Größe _c'd'_ = _p'q'_. Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten.

Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so ist damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die Staffagefigur klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an und umgekehrt wird sie durch eine große Figur verkleinert.

=26.= Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen Gegenstand darstellen in

=Aufgabe 15.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen, wenn die Vorderfläche des Sockels in der Bildebene liegt.

Der Grundriß _P_{1}_ ist in der Verschiebung gegeben (Fig. 47), der Aufriß _P_{2}_ befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern er wurde nach links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung frei zu lassen.

Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir übertragen zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber den Körper auf.

Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen, da 4' sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach dem Distanzpunkt ~D_{1}~ liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren Quadrate. Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9) und (13) die Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der Diagonale 1.3'.

Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und 6 schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus.

Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen wir von der Grundebene aus. Nach Aufgabe 11 verbinden wir also 9' mit ~A~ und erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen ziehen wir eine Vertikale und schneiden auf derselben durch die Parallele im Aufriß die anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die Linie von 11 nach ~A~ auf der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der oberen Ecke aus. Die drei übrigen Ecken des Quadrates ergeben sich durch Parallele und Tiefenlinien, und ebenso leicht ist das auf der oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat einzutragen; seine Ecken liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'.

Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die Tiefenlinie liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der Vertikalen anzutragende Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des vorletzten Quadrates. Der Punkt 17 endlich liefert in 18' eine Ecke der Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht zu vervollständigen. Der Punkt 12' gibt mit 16' verbunden das Bild des Gehrungsprofiles. Verschafft man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann man die Kontrolle benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19' gehen.

+Anmerkung.+ Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des Sockels zu legen, könnte man sie auch +parallel+ zu derselben durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß _P_{2}_ überein. Es läßt sich aus diesem Schnitt ebenfalls das Bild des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem Leser.