Part 4

=15. Anwendungen dieser Aufgabe.= Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers +Dirk Bouts+ (1410(?)--1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.

Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist.

=Aufgabe 4.= Ein Punkt _p_ in der Grundebene ist gegeben; sein Bild zu zeichnen.

Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück, indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in _p_ liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. 18 und 19 etwa die Ecke _d_ als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen.

Der Punkt _p_ ist in Fig. 21 ~a~ in der Verschiebung (_p_) gegeben, Wir zeichnen durch (_p_) die lotrechte Tiefenlinie (_T_), welche die durch _p_ gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist _t_, ihr Fluchtpunkt ~A~, so daß also ihr Bild _T'_ diese beiden Punkte verbindet; auf _T'_ muß jedenfalls das gesuchte Bild _p'_ gelegen sein.

Um einen zweiten Ort für _p'_ zu erhalten, ziehen wir durch (_p_) eine Linie (_D_) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie (_g_)(_g_) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (_D_) schneidet (_g_)(_g_) in (_s_), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in _s_ die Spur der Hilfslinie _D_. Da ferner _D_{1}_ ihr Fluchtpunkt ist, so wird _D'_ den Punkt _s_ mit _D_{1}_ verbinden. Das gesuchte Bild _p'_ muß also auch auf _D'_ liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt von _T'_ und _D'_ sein.

Wir hätten durch (_p_) noch eine zweite Linie nach links ziehen können, welche auch einen Winkel von 45° mit (_g_)(_g_) einschließt. Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von ~A~ gelegenen Distanzpunkt ~D_{2}~ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen und wären zu dem gleichen Punkte _p'_ gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in Figur 21 ~a~ eingetragen.

Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. Da

(_p_)(_t_) = (_s_)(_t_) = _st_,

so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 ~b~): Man trägt von der Spur _t_ aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach +rechts+ als _ts_ auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt _s_ mit dem +linken+ Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus.

Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann auch in folgender Weise formulieren:

Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine Zahl gegebenen Abstand hat.

=Aufgabe 5.= Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu zeichnen, dessen Einheit gegeben ist.

Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 ~b~ durchgeführte Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg. Teilung von der Spur _t_ der geg. Tiefenlinie _T_ aus nach +rechts+ auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken Distanzpunkt ~D_{1}~, so schneiden diese Linien auf _T'_ die gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. +Tiefenmaßstabes+ gewonnen.

Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus ~D_{1}~ projiziert, die richtigen Bilder.

§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene.

=16. Bild einer beliebigen Geraden.= Um nun eine irgendwie aus Geraden zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur

=Aufgabe 6.= Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; ihr Bild zu zeichnen.

Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel zum Schnitt bringen. Ist _f_{a}_ dieser Schnittpunkt, so ist (Fig. 23) _Of_{a}_ ∥ _A_ und _f_{a}_ liegt natürlich auf dem Horizont _hh_. Wir ziehen noch durch das Auge _O_ eine Parallele _ii_ zum Horizont. Die Gerade _A_ wird mit der Grundlinie _gg_ einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl _Of_{a}_ mit der Linie _ii_ den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene durch _O_ nach +unten+ in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an. Die Linie _O_~A~ bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch ~A~, so gibt diese die Lage, welche der Strahl _O_~A~ nach Ausführung der Drehung annimmt. Der Punkt _O_ endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt ~D_{3}~ über, der auf dieser lotrechten Linie durch ~A~ so liegt, daß die Strecke ~AD_{3}~ = _O_~A~ = der Distanz. Die Parallele _ii_ geht über in die Linie _ll_, welche durch ~D_{3}~ parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie ~D_{3}~_f_{a}_ bildet mit der Linie _ll_ wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an Fig. 24, welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade _A_ ist in der Verschiebung durch (_A_) gegeben. Im Augpunkte ~A~ errichten wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir ~D_{3}~ erhalten. Es ist also

~AD_{1}~ = ~AD_{2}~ = ~AD_{3}~.

Durch ~D_{3}~ ziehen wir die Parallele _ll_ zum Horizont. Tragen wir an diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar

~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_)

ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch ~D_{3}~ eine Parallele zu (_A_) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt _f_{a}_ von _A_ aus. Die Verbindungslinie der Spur _a_ mit _f_{a}_ gibt das Bild _A'_ der Geraden _A_.

Nennen wir ~D_{3}~ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten »umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:

Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das umgelegte Auge ~D_{3}~ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den Fluchtpunkt der Geraden.

Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende

=Aufgabe 7.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild _p'_ gegeben; durch _p_ soll in der Grundebene eine Gerade gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen.

Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch ~D_{3}~ einen Winkel von 60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den Fluchtpunkt _f_ der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen Punkt _p'_ mit _f_, so ist diese Linie das verlangte Bild.

Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel auch von der linken Seite der Parallelen _ll_ aus antragen kann. Zu jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie gehören.

=17. Winkel zweier Geraden.= Sind zwei Gerade _A_ und _B_ der Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_, so daß also (Fig. 26)

_Of_{a}_ ∥ _A_ und _Of_{b}_ ∥ _B_.

Bezeichnen wir den Winkel, den _A_ und _B_ einschließen, mit γ, so erkennt man sofort, daß auch ∢ _f_{a}Of_{b}_ = γ ist.

Klappen wir wiederum die durch das Auge _O_ gehende Horizontebene nach unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt _O_ nach ~D_{3}~ kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem

∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ

oder in Worten ausgedrückt:

=Satz 15.= +Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den gleichen Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach ihren Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche von der »Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.+

Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt. Hier sind die beiden Geraden _A_ und _B_ in der Verschiebung (_A_) und (_B_) gegeben. Im Hauptpunkte ~A~ ist eine Senkrechte zum Horizont angetragen und auf ihr die Umlegung ~D_{3}~ des Auges ermittelt, in dem

~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~

gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden Betrachtung, daß

~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_)

und

~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_).

Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ.

Die Praktiker drücken dies so aus:

»Am Punkte ~D_{3}~ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen werden.«

In der Figur wurden noch die Spuren _a_ und _b_ der beiden Geraden konstruiert, so daß dann _A'_ und _B'_ sich je als die Verbindungslinie von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von _A'_ und _B'_ ist das Bild des Scheitels _p_. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen (_A_) und (_B_) sich in den schraffierten Teil zwischen _A'_ und _B'_ abbildet. Eine zweite Anwendung gibt

=Aufgabe 8.= Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in der Verschiebung (_p_)(_q_)(_r_)(_s_) gegeben; dessen Bild zu zeichnen.

Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (_A_) und (_A_{1}_), sowie (_B_) und (_B_{1}_) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir durch die Umlegung ~D_{3}~ des Auges die Parallelen zu (_A_) und (_B_); diese schneiden die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizonte aus. Es ist also

~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) ∥ (_A_{1}_)

und

~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_) ∥ (_B_{1}_).

Jetzt zeichnen wir die Bilder _q'_ und _s'_ der beiden Ecken _q_ und _s_ nach Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° geneigte Linie benutzen. _q'_ liefert mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden die Bilder _A'_ und _B'_, _s'_ mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden _A_{1}'_ und _B_{1}'_. Die letzten Ecken _r'_ und _p'_ ergeben sich als die Schnittpunkte von _A_{1}'_ mit _B'_ und _A'_ mit _B_{1}'_.

Das Bild _p'q'r's'_ hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich die gegenüberliegenden Seiten _A'_ und _A_{1}'_ sowie _B'_ und _B_{1}'_ verlängert je in _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizont schneiden. Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch _r_ und _p_ zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in der Figur für die Seite _rq_ angegeben ist.

=18. Umlegung der Horizontebene nach oben=. Unter Umständen kann es bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt _O_ auf die Verlängerung der Linie ~AD_{3}~ über ~A~ hinaus nach einem Punkte ~D₄~, wenn wieder ~AD₄~ = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel _f_{a}D₄f_{b}_ auch jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden _A_ und _B_, so daß

∢ _f_{a}_~D₄~_f_{b}_ = γ,

und auch an dem Punkte ~D₄~ dürfen alle Winkel in wahrer Größe angetragen werden.

Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt +nicht+ mehr (_A_) ∥ ~D₄~_f_{a}_ und +nicht+ mehr (_B_) ∥ ~D₄~_f_{b}_. +Diese+ Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im gleichen Sinne gedreht haben.

Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende Aufgabe gibt davon eine Anwendung.

=Aufgabe 9.= Gegeben sind eine Gerade _A_ der Grundebene und ein Punkt _p_ auf ihr durch ihre Bilder _A'_ und _p'_. Man zeichne das Bild einer Geraden _B_ der Grundebene, welche in _p_ auf _A_ senkrecht steht.

Bringen wir das gegebene Bild _A'_ mit dem Horizont zum Schnitt (Fig. 29), so ist der Schnittpunkt _f_{a}_ der Fluchtpunkt der Geraden _A_. Im Augpunkt ~A~ errichten wir eine Senkrechte zum Horizont _hh_ und machen diese = der Distanz, so daß also

~AD₄~ = ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~.

~D₄~ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir ~D₄~ mit _f_{a}_ und errichten in ~D₄~ zu _f_{a}_~D₄~ ein Lot, so schneidet dieses aus dem Horizont einen Punkt _f_{b}_ aus, der der Fluchtpunkt aller auf der Geraden _A_ senkrechten Geraden ist. Die gesuchte Senkrechte soll aber durch _p_ gehen, ihr Bild _B'_ ist demnach die Verbindungslinie von _p'_ mit _f_{b}_. _f_{a}p'f_{b}_ ist also das Bild eines horizontalen rechten Winkels.

=19. Getrennte Lage des Grundrisses.= Wir haben bisher immer angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 ~a~ ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse ~A_{1}~ und _O_{1}_ von ~A~ und _O_ bekannt. In der zweiten Figur 30 ~b~ ist der Horizont _hh_ mit ~A~ sowie die Grundlinie _gg_ gegeben. Verlangt wird das Bild des Rechteckes zu zeichnen.

Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge _O_ zur Geraden _A_ der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der durch _O_{1}_ gehen muß, sowie durch die Projektion _f_{a_{1}}_ des Fluchtpunktes _f_{a}_, und weiter muß dieser Riß parallel zu _A_ sein, also _O_{1}f_{a_{1}}_ ∥ _A_.

Zieht man demnach umgekehrt durch _O_{1}_ Parallele zu den Seiten des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie _gg_ die Projektionen _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ der Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken ~A_{1}~_f_{a_{1}}_ und ~A_{1}~_f_{b_{1}}_ auch in Fig. 30 ~b~ anzutragen. Dann liefern die in _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ errichteten Lote zu _gg_ auf dem Horizont die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Überträgt man noch weiter die Spuren der Rechtecksseiten in die Fig. 30 ~b~, so ist das Bild 1'2'3'4' des Rechtecks leicht fertig zu stellen.

=20. Horizontale Gerade.= Die bisherigen Ausführungen genügen vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben durchgeführten Betrachtungen besprechen.

Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine +horizontale+ Gerade. In genauer Fassung werden wir sagen:

»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und der Fluchtpunkt muß dem Horizont _hh_ angehören.

Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie entweder +oberhalb+ oder +unterhalb+ der Horizontebene liegen oder in der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab.

Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die Gerade _A_ in Fig. 31, so muß ihre Spur _a_ oberhalb des Horizonts _hh_ gelegen sein; eine horizontale Gerade _B_ dagegen, welche unter der Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur _b_ unter dem Horizont.

Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden _A_ und _B_ in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß _A_{1}_ von _A_ mit dem Riß _B_{1}_ von _B_ sich deckt und die Spuren _a_ und _b_ auf einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade _A_, indem er von der Spur _a_ ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf _A'_ gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ hin. Die Linie _A'_ geht demnach, in der Richtung von _a_ nach _f_{a}_ durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«. Ebenso »steigt« die Linie _B'_, wenn sie in der Richtung gegen den Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt:

=Satz 16.= »+Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizont. Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene, so ›fallen‹ ihre Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt hin durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser Ebene, so ›steigen‹ ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt zu durchläuft.+«

Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von besonderer Art sind.

Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede +horizontale+ Gerade; speziell gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene parallelen Ebene liegen.

§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben.

=21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht.= Wenn wir jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt eine Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie »Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir sie eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu behandeln

=Aufgabe 10=. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer lotrechten Tiefenebene befindet.

Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und nehmen an, daß der erste Pfeiler _ab_ +in der+ Bildebene gelegen ist (Fig. 32). Ferner sollen die Pfeiler in +gleichen+ Abständen aufeinanderfolgen, also _ac_ = _ce_ = _ei_ = _il_ = _ln_ = _np_ sein. Die Punkte _a_, _c_ ... _p_ liegen auf einer Tiefenlinie _A_ und ebenso die oberen Enden der Pfeiler _b_, _d_, _f_, _k_, _m_, _r_, _q_, auf einer zweiten Tiefenlinie _B_. Die Ebene durch _A_ und _B_ ist die lotrechte Tiefenebene, in der die Pfeilerreihe gelegen ist.

In unserer zu zeichnenden Figur (Fig. 33) sind also gegeben der erste in der Bildebene liegende Pfeiler _ab_ sowie der Abstand _y_ zweier aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht bewerkstelligen. Der Punkt _a_ mit dem Augpunkt ~A~ verbunden liefert das Bild _A'_ der Tiefenlinie _A_. Auf _A'_ ist nun ein Tiefenmaßstab zu zeichnen mit der Einheit _y_. Nach Aufgabe 5 führen wir dies aus, indem wir die gegebene Einheit _y_ von der Spur _a_ aus nach rechts auf der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3 ... antragen und diese Punkte mit dem linken Distanzpunkt ~D_{1}~ verbinden. Die Schnittpunkte mit _A'_ geben die Bilder _c'_, _e'_, _i'_ ... der Pfeilerenden.

Verbinden wir weiter _b_ mit ~A~, so ist diese Linie das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_, und auf _B'_ müssen die oberen Endpunkte der Pfeiler angeordnet sein. Die Geraden _ab_, _cd_ ... sind aber parallel zur Bildebene; nach Satz 10 sind also ihre Bilder auch parallel, und überdies muß beispielsweise _c'd'_ ∥ _cd_ sein usf.; die Bilder der Pfeiler sind also lotrechte Linien. Demnach haben wir lediglich durch die Punkte _c'_, _e'_, _i'_ usf. die Vertikalen zu zeichnen und diese durch die Schnittpunkte mit der Linie _B'_ zu begrenzen. So ergeben sich die Bilder _c'd'_, _e'f'_ ... Wir können in unserer Figur auch die Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer Bretterwand, die aus gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist.

Wir machen von der eben durchgeführten Konstruktion eine Anwendung zur Lösung folgender wichtiger

=Aufgabe 11.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild _p'_ gegeben; man zeichne das Bild einer Linie _pq_ von gegebener Länge, welche in _p_ senkrecht zur Grundebene angetragen wird.