Part 3

Herr Kunstmaler Adolf +Reile+ in Stuttgart hat in der Zeitschrift für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen _L_ und _R_ sind durch ein Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden _gg_ geführt, indem die Reißschiene _R_ an der oberen Kante _AD_ des Reißbrettes _ABCD_ hingleitet. Die Reißschiene _L_ geht immer durch _O_{1}_ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel in _O_{1}_ festgehalten ist, während die Schiene _L_ durch die Hülse hindurchgleitet.

Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine gewöhnliche Reißschiene _R'_ durch _a_{1}_, bestimmt durch Abgreifen mit dem Zirkel _Y_ und verschiebt sodann _L_ so lange, bis es durch _Y_ geht. Die Kuppelung befindet sich nun in _B_{1}_, und die Schiene _R_ bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke ~A~_B_ = ~A_{1}~_B_{1}_. Legt man endlich _L_ durch _a_{1}_, so gibt die Schiene _R_ das Lot in _a_{1}'_, und längs derselben kann ~A~_B_ angetragen werden. Da das Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme +vor+ der Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert.

Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt Perspektiven mechanisch herstellen; so haben +G. Hauck+ und +E. Brauer+ einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.

Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die »+Schnittmethode+« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in Fig. 12 die vier Linien _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ hinreichend verlängert durch +einen+ Punkt, nämlich durch ~A~, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert.

§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt.

=10. Der Fluchtpunkt einer Geraden.= Wir erinnern zunächst an folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in dieser Ebene.«

Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende andere Fassung geben:

»Ist eine Gerade _G_ gegeben und ein Punkt _O_ (Fig. 14) und verbindet man den Punkt _O_ mit beliebigen Punkten _a_, _b_, ... von _G_, so liegen alle diese Verbindungslinien in +einer+ Ebene, und dieser Ebene gehört auch die Gerade _J_ an, welche durch _O_ parallel zu _G_ gezogen werden kann.«

Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge _O_; es soll das perspektivische Bild der Geraden _G_ gezeichnet werden. Dieses Bild _G'_ erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte _a_, _b_, _c_, ... von _G_ aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ... liegen dann aber auf der Geraden _G'_, in welcher die Ebene der Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... die Tafel Π durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem obigen Satze auch der Strahl _J_, der durch _O_ parallel zu _G_ gezogen werden kann. Trifft er in _f_ die Tafel, so muß also _G'_ auch durch _f_ gehen.

Die Gerade _G_ schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte _s_; er heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf _G'_ gelegen sein.

Der Punkt _f_ dagegen heißt der »+Fluchtpunkt+« oder die »+Flucht+« oder auch der »+Verschwindungspunkt der Geraden _G_+«. Diese sehr treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir einen Punkt sich auf der Geraden _G_ von der Spur _s_ aus nach links immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen _a_, _b_, _c_, ... annimmt, so werden sich die Bilder _a'_, _b'_, _c'_ ... dem Fluchtpunkt _f_ mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden _G_ schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich nahe an _f_ liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren Punkt auf _G_, dessen Bild wirklich nach _f_ fiele. Denkt man sich die Gerade _G_ als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein in _O_ angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in _f_ erscheinen, die Gerade »verschwindet« in _f_. Das Bild G' läuft verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach _f_.

Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu konstruieren ist:

=Satz 7.= +Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn man durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses Parallelstrahles) ist der Fluchtpunkt der Geraden.+

Das Bild _G'_ wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur _s_ und die Flucht _f_ dar. Man kann also sagen:

=Satz 8.= +Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer Spur und ihres Fluchtpunktes.+

Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante _ab_ des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir durch _O_ die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel _ZXY_ senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie _O_~A~ und ~A~ ist der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben _a'b'_ verlängert durch ~A~.

=11. Der Satz vom Fluchtpunkt.= Denken wir uns nun (Fig. 14) eine zweite Gerade _H_ gegeben, welche zu _G_ parallel sein soll. Die Spur von _H_ sei der Punkt _s'_. Dann weiß man, daß die Linie _J_ oder _Of_ auch parallel zu _H_, und dies besagt doch nichts anderes, als daß _f_ auch der Fluchtpunkt der Geraden _H_ sein muß. Das perspektivische Bild _H'_ der Geraden _H_ läuft folglich durch _f_ und durch _s'_. Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu _G_ parallel ist, _f_ der Fluchtpunkt. Die Bilder _G'_ und _H'_ der parallelen Geraden _G_ und _H_ laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt _f_ zusammen. Damit erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung beherrschenden

=Satz 9.= +Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben, so sind die perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht parallel, sondern sie laufen+, =hinreichend verlängert=, +durch einen Punkt, den gemeinsamen Fluchtpunkt der parallelen Geraden+.

Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion nach Satz 3 (S. 7) parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, die wieder +parallel+ sind. Die Figur 12 liefert uns auch sofort ein Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten _ba_, _cd_, _gh_, _fe_, so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. ~A~ ist offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ laufen demnach verlängert durch ~A~.

Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder parallel sind. So sind die vier Geraden _bc_, _ad_, _eh_, _fg_ offenbar im Raume parallel, und ihre Bilder _b'c'_, _a'd'_, _e'h'_, _f'g'_ sind ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten _ae_, _bf_, _cg_, _dh_. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade _G_, welche zur Bildebene Π parallel ist (Fig. 15). Das Bild _G'_ derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen Punkten von _G_ die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild _G'_ aus. Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade _G_ zur Bildtafel Π parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade _G_ kann also auch _G'_ nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist _G_ parallel _G'_.

Ist nun _H_ eine zweite zu _G_ parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen Weise, daß auch _H_ parallel zu _H'_ ist, und daraus folgert man sofort, daß auch _G'_ parallel _H'_ ist. Diese beiden parallelen Geraden _G_ und _H_ haben also parallele Bilder _G'_ und _H'_. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes aussprechen als

=Satz 10.= »+Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst parallel.+«

=12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt.= Der Begriff der Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im Auge gelegenen Punkte _o_ auf die Netzhaut projiziert. In Fig. 16 ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile _ab_ und _cd_ gewählt. _o_ ist das Zentrum, und die von _o_ nach den Punkten _a_, _b_, _c_, _d_ gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den Punkten _a'_, _b'_, _c'_, _d'_. So entstehen die Bildchen _a'b'_ und _c'd'_. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche auf verschiedenen Seiten des Zentrums _o_. Das letztere äußert sich dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die Pfeilspitzen _a'_, _c'_ unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch _o_ die Parallele zu _ab_ gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte _f_, den wir als den Fluchtpunkt aller zu _ab_ parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil _ab_ ist, desto mehr strebt das Bildchen _a'b'_ dem Punkte _f_ zu. Die beiden Bilder _a'b'_ und _c'd'_ laufen verlängert durch _f_, und diese Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun parallel, da wir Strahlen, die von +einem+ Punkte der Sonne ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.

§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.

=13. Die festen Elemente.= Wir wollen nun einen anderen Weg einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren 17 und 18 geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π_{1} wird die Tafel Π in einer Geraden _gg_ schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen Auge _O_ fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt ~A~ ist. Da die Linie _O_~A~ demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch _O_~A~ eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie _hh_ aus, welche parallel zur Grundlinie _gg_ sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. Endlich tragen wir noch die Distanz _O_~A~ vom Augpunkt aus nach beiden Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~ erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also ~AD_{1}~ = ~A~_O_ = ~AD_{2}~, so sind die Dreiecke ~D_{1}~_O_~A~ und ~D_{2}~_O_~A~ beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ ~AD_{1}~_O_ = ∢ ~AD_{2}~_O_ = 45°.

In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien _hh_ und _gg_ und auf der oberen den Punkt ~A~ sowie im gleichen Abstande rechts und links die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~. Die Lage des Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte ~A~ zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von ~A~, der gleich ~AD_{1}~ oder ~AD_{2}~ ist.

Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade _T_ liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade _T_ eine »+Tiefenlinie+« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge _O_ zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl _O_~A~, und folglich ist nach Satz 7 ~A~ ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen:

=Satz 11.= »+Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen verlängert durch den Augpunkt+.«

Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im Bilde fehlende dritte Dimension fest.

Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und außerhalb derselben ein Punkt _O_, so gibt es durch _O_ nur +eine+ Ebene, welche zu Π_{1} parallel ist.«

Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht man in der Ebene Π_{1} +irgend+welche Gerade und zeichnet durch _O_ die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben in der Parallelebene durch _O_ zu Π_{1}.« Ist also _G_ irgendeine Gerade der Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr durch _O_ die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt _f_ der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf _hh_ gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden _G_; mit anderen Worten:

=Satz 12.= +Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte.+

~A~ ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie _gg_ senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in der Grundebene ein Quadrat _abcd_ (Fig. 18), das mit einer Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien _ac_ und _bd_, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig. 19, in welcher unten das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie _OD_{1}_ parallel zu _bd_ und _OD_{2}_ parallel zu _ac_; _D_{1}_ und _D_{2}_ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der Grundebene d. h.

=Satz 13.= »+Alle Linien der Grundebene, welche mit der Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.+«

Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen lernen. Ist _d_ ein Punkt in der Grundebene, _d'_ sein Bild, also der Schnittpunkt des Sehstrahles _Od_ mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns vorstellen, daß der Punkt _d_ weiter und weiter nach links in der Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild _d'_ offenbar immer höher in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl _Od_ mehr und mehr aufrichtet. Ist _d_ sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen, so wird das Bild _d'_ dem Horizont _hh_ schon sehr nahe liegen. Wir gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont:

=Satz 14.= »+Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene liegen, haben Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.+«

Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres. Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes (vgl. Fig. 50). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen.

§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab.

=14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene.= Unter Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie hereinbringen. +Eine+ Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (_g_)(_g_) annimmt (Fig. 19); irgendein Punkt _a_ der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie _a_(_a_), wenn wir mit (_a_) die Lage des Punktes _a_ nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung _a_(_a_) zwischen _gg_ und (_g_)(_g_) ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur.

Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende

=Aufgabe 2.= In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen.

Die Lage des gegebenen Quadrates _abcd_ veranschaulicht Fig. 18. In der wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont _hh_ mit dem Augenpunkt ~A~ und den beiden Distanzpunkten, ~D_{1}~ und ~D_{2}~, dazu parallel die Grundlinie _gg_ mit den beiden Ecken _a_ und _b_ des Quadrates.

Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (_g_)(_g_) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch _a_ und _b_ die Lage (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten _ad_ und _bd_ Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach Satz 11 durch ~A~ gehen; die Punkte _a_ und _b_ sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in _a_~A~ und _b_~A~ die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten _ad_ und _bc_ liegen, und die Bilder _d'_ und _c'_ müssen bzw. auf _a_~A~ und _b_~A~ gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale _db_ konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (_d_)(_b_) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also ~D_{1}~ der Fluchtpunkt dieser Geraden, _b_ aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden _db_ die Verbindungslinie _b_~D_{1}~. Das Bild _d'_ muß demnach sowohl auf _a_~A~ als auch auf _b_~D_{1}~ liegen, kann also nur der Schnittpunkt _d'_ dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild _c'_ der Ecke _c_ als Schnittpunkt von _a_~D_{2}~ und _b_~A~. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale _ac_. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß _c'd'_ von selbst parallel _gg_ sein muß. Denn die Quadratseite _cd_ ist ja parallel zur Tafel, also nach Satz 10 _cd_ ∥ _c'd'_.[3] Da aber _cd_ ∥ _ab_, so ist auch _c'd'_ ∥ _ab_. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes _abc'd'_ gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf S. 14 unten erinnert.

[3] ∥ ist das Zeichen für parallel.

=Aufgabe 3.= Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten Fußboden zu zeichnen.

Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19 ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (_e_)(_f_), fliehen im Bilde alle nach ~A~. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach ~D_{1}~ und ~D_{2}~ laufen. In der Fig. 19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach ~D_{1}~ oder ~D_{2}~ gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen.