Part 2

Die Ebene Π_{1} kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen« zusammen.

=5. Der gerade (rechtwinklige) Riß.= Den Fußpunkt _p_{1}_ der von einem Punkte _p_ auf eine Ebene Π_{1} gefällten Senkrechten nennt man den +geraden+ oder +rechtwinkligen+ oder +orthogonalen+ Riß des Punktes _p_ auf die Ebene Π_{1}. Die Ebene Π_{1} heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt _p_ ist orthogonal auf die Ebene Π_{1} projiziert worden.

Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei z. B. ein Würfel _abcdefgh_ gegeben und die Ebene Π_{1}; wir erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die Fig. 4. _a_ sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch _a_ das Lot zur Ebene Π_{1} gezeichnet, welches in _a_{1}_ die Tafel Π_{1} durchsetzt. _a_{1}_ ist der gerade Riß des Punktes _a_. Eine zweite Ecke _b_ des Würfels liefert ebenso den Riß _b_{1}_. Dann wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke _ab_ Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke _a_{1}b_{1}_ liegen, d. h. _a_{1}b_{1}_ ist der Riß von _ab_. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_, die den orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π_{1} gibt. In Fig. 5 ist weiter ein solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene des Papiers als Tafel Π_{1} gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume über der Buchseite.

Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu beweisenden Satz zu veranschaulichen:

=Satz 3.= +Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst wieder parallel.+

Beispielsweise sind _ab_ und _cd_ zwei im Raume parallele Gerade, und ihre Risse _a_{1}b_{1}_ und _c_{1}d_{1}_ sind ebenfalls parallel.

Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer solchen Darstellung kennen lernen.

_A_ sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π_{1} steht (Fig. 6). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt _a_, so fällt das Lot, das man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden _A_ zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes _a_ wird der Punkt _a_{1}_, in dem die Gerade _A_ die Bildebene durchbohrt. Aber auch jeder andere Punkt _b_, _c_ ... von _A_ hat einen Riß _b_{1}_, _c_{1}_ ..., der stets mit _a_{1}_ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade _A_, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, ihren Schnittpunkt mit der Tafel.

Stellen wir uns ferner eine Ebene _efki_ vor (Fig. 6), welche auf der Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn Π_{1} horizontal gedacht wird, und ist _ef_ die Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie _ef_. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.

Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B. in Fig. 6 _defghikl_ ein Würfel, der mit seiner einen Fläche _defg_ in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat _defg_. Die vier Kanten _dh_, _ei_, _fk_, _gl_ erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen _deih_, _efki_, _fglk_ und _gdhl_, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die Geraden _de_, _ef_, _fg_, _gd_ über. Setzen wir aber auf diesen ersten Würfel einen zweiten Würfel _hiklmnop_, so hat dieser zweite Würfel den gleichen Riß _defg_, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende Prisma +defgmnop+ hat den Riß +defg+. Fig. 7 gibt wieder die wahre Gestalt der Risse.

Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder +Plan+ einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als +Bilder+ der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 ~m~, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 ~m~ über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken (Fig. 6), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:

=Satz 4.= +Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.+

Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

=6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse.= Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand +vollständig+ durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da +ein+ Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen +zweiten+ Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π_{2}, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π_{1} senkrecht stehe. Die in Fig. 8 gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke _a_ des Würfels liefert in der ersten Tafel Π_{1} den Riß _a_{1}_. Außerdem hat der Punkt _a_ aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von _a_ eine Senkrechte zu Π_{2} konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in _a_{2}_ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von _a_ in der Π_{2}. Wir nennen _a_{1}_ den ersten, _a_{2}_ den zweiten Riß des Punktes _a_. Wie ferner der Würfel _abcdefgh_ in der Π_{1} den Riß _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_ liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß _a_{2}b_{2}c_{2}d_{2}e_{2}f_{2}g_{2}h_{2}_ des Würfels in der Π_{2} konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π_{1} können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π_{2} ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder +Gerade+, welche zur Aufrißebene Π_{2} senkrecht stehen, in ihr als +Punkte+ und +Ebenen+, welche auf Π_{2} senkrecht stehen, bilden sich als +Gerade+ in der Π_{2} ab.

Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π_{1} und Π_{2} etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig. 8). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. _a_{1}_ und _a_{2}_ die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt _a_{1}_ der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π_{1}, und ebenso konstruieren wir im Punkte _a_{2}_ der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke _a_. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

=Satz 5.= +Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.+

=7. Das Zusammenlegen der Tafeln.= Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf +einem+ Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei _K_ die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die wir kurz die +Kante+ nennen. Wir drehen nun die Π_{2} um _K_ wie um ein Scharnier so lange, bis Π_{2} mit Π_{1} zusammenfällt.

Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt _a_ hat als ersten Riß den Punkt _a_{1}_, als zweiten Riß den Punkt _a_{2}'_ Es fragt sich, wohin _a_{2}'_ gelangt, wenn die Aufrißebene Π_{2} durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten _aa_{1}_ und _aa_{2}'_ bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante _K_ senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante _K_ sei a. Es ist also jetzt sowohl _a_{1}_a ⊥ _K_[1] als auch _a_{2}'_a ⊥ _K_. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt _a_{2}'_ einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius _a_{2}'_a, der in der schraffierten Ebene _a_{1}aa_{2}'_a liegt. Ist also _a_{2}_ die Lage, welche _a_{2}'_ nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch _a_{2}_a ⊥ _K_ sein; demnach fällt _a_{2}_ auf die Verlängerung der Linie _a_{1}_a, und es ist _a_{2}_a = _a_{2}'_a.

[1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.

In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante _K_ ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse _a_{1}_ und _a_{2}_ offenbar auf einem Lote zur Kante _K_ gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes _a_{1}a_{2}_ mit _K_ ist der Punkt a. Es folgt also:

=Satz 6.= +Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.+

Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu _K_ liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung _a_{1}_ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung _a_{2}_ als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt _a_ im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der _a_{2}_ liegt, um _K_ in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt _a_ auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.

Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9

_aa_{1}_ = _a_{2}'_a = _a_{2}_a.

Es gibt also in Fig. 10 die Strecke _a_{2}_a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in _a_{1}_ eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch _a_{2}a_ gegeben ist.

Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt _b_ eingetragen.

In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »+Schräg+bilder« oder »+Parallelprojektionen+«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung.

Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.

Der perspektivische Entwurf.

§ 3. Die Schnittmethode.

=8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß.= Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: ~a~) die Bildtafel (Zeichenebene); ~b~) das Auge _O_; ~c~) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel.

=Aufgabe 1.= Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge _O_; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht.

Die Bildebene Π gehe durch den Punkt _Z_ der Kante (Fig. 12) und enthalte die beiden Linien _ZX_ und _ZY_, welche in der Π_{1} und in der Π_{2} je senkrecht zur Kante _K_ gezogen werden können. Gleichzeitig ist _ZX_ der erste und _ZY_ der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge _O_ habe die Risse _O_{1}_ und _O_{2}_. Der abzubildende Würfel _abcdefgh_ liegt mit der Fläche _abcd_ auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang +wirklich+ durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke _e_ durch.[2] Wir verbinden _O_ mit _e_, dann ist _O_{1}e_{1}_ der erste Riß, _O_{2}e_{2}_ der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von _Oe_ mit Π sei _e'_; der erste Riß von _e'_ kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von _O_{1}e_{1}_ mit _ZX_. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit _e_{1}'_. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes _e'_ der Schnittpunkt _e_{2}'_ von _O_{2}e_{2}_ mit der Linie _ZY_. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade _ZX_, alle zweiten auf _ZY_.

[2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes +selbst+ herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur +allmählich+ entstehen sieht.

Nun wollen wir aber doch das +Bild+ selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (_Z_) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (_Z_)(_X_) und (_Z_)(_Y_). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π_{2} gelegene Senkrechte _(Z)(Y)_ so lange, bis sie mit der Π_{2} sich deckt.

Verfolgen wir den Punkt _e'_ bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (_Y_)(_Z_)(_X_) wird _e_{1}'_ eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch _e_{1}'_ eine Parallele zur Kante _K_, so schneidet diese die Linie (_Z_)(_X_) in (_e_{1}'_). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (_e_{1}'_) einen Viertelskreis um (_Z_) und gelangt nach _e_{1}^*_. Dann liegt aber der Punkt _e'_ auf der Senkrechten, welche in _e_{1}^*_ zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher _e'_ über der Π_{1} liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch _Ze_{2}'_ gegeben. Tragen wir also auf der in _e_{1}^*_ errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch _e_{2}'_ eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ den Punkt _e'_ aus.

Bequemer ist es, einfach (_Z_)_e_{1}^*_ = _Ze_{1}'_ mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ dann weiter _e_{1}^*e'_ = _Ze_{2}'_ abzuschneiden. Man kann dazu auch noch Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π_{1} angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch _K_ und _AY_. Vom Punkte _e'_ sind die Risse _e_{1}_ und _e_{2}_ eingetragen.

Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten _bc_, _cg_, _gf_, _fb_ ferner _gh_, _he_, _ef_. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten _cd_, _da_, _ab_, _dh_, _he_, _ea_ werden dem in _O_ befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.

Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild _b'c'g'h'e'f'_ zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum _O_ aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch _O_{1}_ zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch _O_{2}_ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße ~A~. Die Risse ~A_{1}~ und ~A_{2}~ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit _ZX_ bzw. _ZY_. Daraus finden wir die Lage von ~A~ wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch ~A_{1}~ und (_Z_)(_X_) zum Schnitt bringen in (~A_{1}~), dann durch einen Viertelskreis (_Z_)~A_{1}^*~ = (_Z_)(~A_{1}~) machen. Auf der in ~A_{1}^*~ errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch ~A_{2}~ wieder den Punkt ~A~ aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in ~A~ zur Zeichenebene gedacht werden kann.

Weiter gibt nun aber die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder auch _O_{2}_~A_{2}~ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in ~A~ zur Ebene des Blattes uns das Auge _O_ denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 ~cm~ von unserem Auge entfernt halten müssen.

Man nennt den Punkt ~A~ den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« _O_; die Entfernung _O_~A~ des Projektionszentrums _O_ von der Bildebene, also die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder _O_{2}_~A_{2}~ heißt die »Distanz«.

=9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive.= Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die +Höhe+ ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge _O_ parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »+Horizontebene+« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden _hh_, welche durch den Hauptpunkt ~A~ geht und der »+Horizont+« genannt wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt _a_ gegeben, der von _O_ aus gerechnet +vor+ der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π_{1} in der Geraden _gg_ schneidet. Dann können wir das Bild _a'_ wieder in folgender Weise bestimmen. Die von _a_ auf Π_{1} gefällte Senkrechte trifft Π_{1} im Risse _a_{1}_, die Horizontebene dagegen im Punkte (_a_{1}_). Verbinden wir _O_{1}_ mit _a_{1}_, so ist dies der Riß des Sehstrahles _Oa_. _O_{1}a_{1}_ trifft die Gerade (_gg_) in _a_{1}'_, und auf der in _a_{1}'_ gelegenen Senkrechten liegt das Bild _a'_. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (_a'_), so ist die Linie _O_(_a'_) parallel zu _O_{1}a_{1}'_, und zur Berechnung der Höhe _a'_(_a'_) kann die Proportion dienen:

_a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_(_a'_)/_O_(_a_{1}_).

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch _O_{1}a_{1}'_ : _O_{1}a_{1}_ ersetzt werden. Zieht man ferner durch _a_{1}_ eine Parallele zu _gg_, welche _O_{1}_~A_{1}~ in _X_ trifft, so wird dies Verhältnis auch durch _O_{1}_~A_{1}~ : _O_{1}X_ gegeben, so daß man schließlich erhält

(1) _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_.

Die Strecke _a_(_a_{1}_) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.

Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene um _gg_ in die Grundrißebene umgeklappt, so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe _a'_(_a'_) ermitteln. Man zieht durch den Riß _a_{1}_ eine Parallele zu _hh_, welche auf _O_{1}_~A_{1}~ den Punkt _X_ liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von _a_ über dem +Horizont+ liegt, macht also _XY_ = _a_{2}a_{h}_, wo _a_{2}a_{h}_ aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt _Y_ mit _O_{1}_, so schneidet diese Linie aus _gg_ den Punkt _B_{1}_ aus, und es gilt nun die Proportion:

(2) _B_{1}_~A_{1}~/_XY_ = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_.

Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander gleich sein, und da _XY_ = _a_{2}a_{h}_ = _a_(_a_{1}_), so ist _B_{1}_~A_{1}~ = _a'_(_a'_).

In _B_{1}_~A_{1}~ ist mithin die Höhe des Bildes von _a_ über dem Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch _a_{1}_ mit _O_{1}_, so liefert diese Linie auf _gg_ den Punkt _a_{1}'_. Auf dem in _a_{1}'_ errichteten Lote liegt _a'_ und wird erhalten, wenn man vom Horizont aus _B_{1}_~A_{1}~ anträgt, also (_a'_)_a'_ = _B_{1}_~A_{1}~ macht.