Part 1

Anmerkungen zur Transkription.

Das Original ist in Fraktur gesetzt.

Im Orginal gesperrter Text ist +so ausgezeichnet+. Im Original in Antiqua gesetzter Text ist ~so markiert~. Im Original kursiver Text ist _so gekennzeichnet_. Im Original fetter Text ist =so dargestellt=.

Hochgestellte Sterne sind so dargestellt: _A^*_.

Tiefgestellte Indizes sind so dargestellt: _F_{b}_.

Weitere Anmerkungen zur Transkription finden sich am Ende des Buches.

Die Sammlung

»Aus Natur und Geisteswelt«

nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen.

Sie bietet wirkliche »+Einführungen+« in die Hauptwissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen Anforderungen entsprechen -- ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit dem Charakter von »+Auszügen+« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon voraussetzen.

Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern werden -- was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht -- bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine Verbreitung von über 3 Millionen Exemplaren gefunden.

In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der »Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil bestrebt.

So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem +selbständigen+ Urteil zu befähigen.

Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von Professor +Tiemann+ ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn Wertvollste »Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt.

Jedes der meist reich illustrierten Bändchen ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich

Jedes Bändchen geheftet Mark 1.--, in Leinwand gebunden Mark 1.25 Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in +einem+ Band gebunden

Leipzig, 1. Januar 1915 B. G. Teubner

Jedes Bändchen geheftet M. 1.--, in Leinwand gebunden M. 1.25

*) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.--

Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst

sind bisher erschienen:

[Allgemeine Kunstwissenschaft, Kunstpflege]

=Bau und Leben der bildenden Kunst.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +Th. Volbehr+. 2. Auflage. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 68.*)

=Ästhetik.= Von Professor ~Dr.~ R. +Hamann+. (Bd. 345.*)

=Kunstpflege in Haus und Heimat.= Von Superintendent +R. Bürkner+. 2. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.)

[Kunstgewerbe]

=Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse des 18. Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +B. Haendcke+. Mit 63 Abbildungen. (Bd. 198.)

=Geschichte der Gartenkunst.= Von Regierungs-Baumeister +Chr. Ranck+. Mit 41 Abbildungen. (Bd. 274.)

[Kunstgeschichte]

=Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.= Von ~Dr.~ +E. Cohn-Wiener+. 2 Bände. Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in 1 Band gebunden.)

Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abbild. (Bd. 317.*)

Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd. 318.*)

[Alte Kunst]

=Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Reliefsarkophage.= Eine Einführung in die griechische Plastik. Von ~Dr.~ +H. Wachtler+. Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*)

=Die dekorative Kunst des Altertums.= Von ~Dr.~ +Fr. Poulsen+. Mit 112 Abbildungen. (Bd. 454.*)

=Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. v. Duhn+. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.)

=Michelangelo.= Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von Professor ~Dr.~ +E. Hildebrandt+. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*)

=Die Renaissancearchitektur in Italien I.= Von ~Dr.~ +P. Frankl+. Mit 12 Tafeln und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*)

[Neuere Kunst]

=Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.= Von +H. Nemitz+. Mit einem Bilderanhang (Bd. 464.*)

=Albrecht Dürer.= Von ~Dr.~ +R. Wustmann+. Mit 33 Abbildungen. (Bd. 97.*)

=Rembrandt.= Von Professor ~Dr.~ +P. Schubring+. Mit 50 Abbildungen. (Bd. 158.*)

=Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.= Von ~Dr.~ +H. Jantzen+. Mit zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*)

=Deutsche Baukunst im Mittelalter.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. 3. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*)

[Neuere Kunst]

=Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 62 Abbildungen und 3 Tafeln. (Bd. 326.*)

=Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*)

[19. Jahrh.]

=Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +R. Hamann+. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen Abbildungen. (Bd. 448--451, in 2 Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament zu M. 6.--)

=Die Maler des Impressionismus.= Von Professor ~Dr.~ +B. Lázàr+. Mit 32 Abbildungen und 1 farbigen Tafel. (Bd. 395.*)

[Orient.]

=Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +R. Graul+. Mit 49 Abbildungen. (Bd. 87.)

[Neuere Musikgeschichte]

=Haydn, Mozart, Beethoven.= Von Professor ~Dr.~ +C. Krebs+. 2. Auflage. Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.)

=Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.)

=Das Kunstwerk Richard Wagners.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Bildnis Richard Wagners. (Bd. 330.)

=Die moderne Oper.= Von ~Dr.~ +E. Istel+ (Bd. 495.)

[Musiktheorie]

=Die Grundlagen der Tonkunst.= Versuch einer genetischen Darstellung der allgemeinen Musiklehre. Von Professor ~Dr.~ +H. Rietsch+. (Bd. 178.)

=Musikalische Kompositionsformen.= Von +S. G. Kallenberg+. 2 Bände. (Bd. 412, 413, auch in 1 Band gebunden.)

Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre. (Bd. 412.)

Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.)

=Die Instrumente des Orchesters.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. Volbach+. Mit 60 Abbildungen. (Bd. 384.)

=Das moderne Orchester in seiner Entwicklung.= Von Prof. ~Dr.~ +Fr. Volbach+. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.)

=Klavier, Orgel, Harmonium.= Das Wesen der Tasteninstrumente. Von Professor ~Dr.~ +O. Bie+. (Bd. 325.)

[Schauspielkunst]

=Das Theater.= Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen Altertum bis auf die Gegenwart. Von ~Dr.~ +Chr. Gaehde+. 2. Auflage. Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.)

+Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.+

Aus Natur und Geisteswelt

Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen

510. Bändchen

Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen

Von

~Dr.~ Karl Doehlemann

O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in München

Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen

Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916

Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten.

Vorwort.

Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen, wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt.

Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch mit möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren Aufgabe ist noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des darzustellenden Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine genaue Vorstellung der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden geometrischen Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der abzubildenden Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des Bildes maßgebend. Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und diese konnten nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen.

Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für den Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in Perspektive setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt.

In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als es bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist: Das ist nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen und verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der +zu klaren+ Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete gelangen will.

Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist der Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden wir im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der Planimetrie und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin liegen nicht die eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die Leser verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all den Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich in der Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort das +Bild+ die Welt beherrscht.

Inhaltsübersicht.

Seite

Vorwort III

Einleitung: Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern 1

§ 1. Das perspektivische Bild 1

§ 2. Der gerade Riß 6

Der perspektivische Entwurf 13

§ 3. Die Schnittmethode 13

§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt 20

§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes 24

§ 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab 27

§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene 33

§ 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben 41

§ 9. Schiefe Linien im Raume 59

§ 10. Der photographische Apparat 64

§ 11. Die Wahl der Distanz 67

§ 12. Unzugängliche Distanz und Fluchtpunkte 75

§ 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden 86

§ 14. Die Darstellung des Kreises 90

§ 15. Einfache Schattenkonstruktionen 96

§ 16. Künstlerische Freiheiten 99

Literaturverzeichnis 102

Sachregister 103

Einleitung.

Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern.

§ 1. Das perspektivische Bild.

=1. Zweck einer Abbildung.= Nehmen wir an, wir betrachten irgendein Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung derselben zu gewinnen.

+Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen Grade die Objekte.+

Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein, wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können. Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde und lernt dadurch allmählich +Sehen+. So kommt es, daß heutzutage bei uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt.

Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« abzuleiten haben.

=2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes.= Zunächst wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen; dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche dem Buche von Albrecht Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«, Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende Mann.

Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch aus sehen, +auf der Glasplatte nachzuzeichnen+. Es decken sich also für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des Gegenstandes.

Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein »Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur +Linien+; von den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls die Herstellung einer +Linienzeichnung+, welche die Umrisse und überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung.

=3. Definition des perspektivischen Bildes.= Wir müssen jetzt aber dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf der Glastafel das rein Geometrische herausschälen.

Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier, das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die »Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, nämlich ein Würfel _abcdefgh_. In Fig. 1 geben wir zunächst eine Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt _O_ im Raume gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das »Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke _a_. Was heißt es nun, daß wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt _a_, die Bleistiftspitze _a'_, welche ihn auf der Glastafel markiert, und das Guckloch in einer +geraden+ Linie. Denn wenn sich zwei Punkte im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt _O_ eine Gerade nach dem Punkte _a_ und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. Der Schnittpunkt ist eben _a'_. Wir nennen _a'_ das »Bild« oder den »Riß« des Punktes _a_. Die durch _O_ gehenden Geraden oder Strahlen bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«.

Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen.

In Fig. 2 ist ein solches Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß, sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern, so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt _O_ gegenüber der Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt _O_ und der Körper fest angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also sagen:

=Satz 1.= +Sind die Bildebene Π, das Auge _O_ und der Körper im Raume gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des Körpers als den+ =Schnitt= +der nach den Punkten des Körpers gehenden Projektionsstrahlen mit der Bildebene+.

Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von »Linearperspektive« oder »Linienperspektive«.

Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt.

Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst verwickelter. Wir sehen nicht mit +einem+ Auge, sondern mit beiden Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen wir davon handeln, wie man noch auf +andere+ Weise Bilder oder Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann.

§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.

=4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene.= Hängen wir einen schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern lotrecht aufgeführt.

Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für den folgenden mathematischen

=Satz 2.= »+Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und ein Punkt _p_ außerhalb derselben (Fig. 3), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir _p_{1}_ nennen wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der Entfernung, welche der gegebene Punkt _p_ und der Fußpunkt _p_{1}_ bestimmen, also = der Strecke _pp_{1}_.+«