Part 15

1. Begriff und Arten des Beweises.

Ein wissenschaftliches System ist ein Inbegriff von zureichend begründeten Behauptungen und Problemfragen über einen Teil des Wirklichen, die untereinander in engem logischen Zusammenhange stehen.

Wo wir im Fortgange der wissenschaftlichen Untersuchung auf Erkenntnisse stoßen, deren Gültigkeit als zweifelhaft erscheint, da pflegen wir diese zunächst in Form von +Fragen+ zu formulieren, die damit -- als +wissenschaftlich+-gerichtete -- zu +Problemen+ werden.

Auch Problemfragen bedürfen wie Urteile einer zureichenden Begründung. Eine Frage ist logisch zureichend begründet, wenn sie richtig gestellt ist, d. h. wenn ihre Voraussetzungen dem jeweiligen Stande der Forschung entsprechen und sie sich folgerichtig aus der bisherigen Entwicklung der Wissenschaft ergibt. Eine Fragestellung ist demnach als falsch zu bezeichnen, wenn sie sich auf Voraussetzungen gründet, die durch die Geschichte der Forschung widerlegt und damit überwunden sind. Es hat keinen Sinn mehr, gegenwärtig etwa im Sinne der scholastischen Philosophie zu fragen, ob die Universalia ~ante~ oder ~post res~ seien[21]; keinen Sinn mehr, zu fragen, ob die Welt geschaffen oder von Ewigkeit vorhanden, der Geist ein einfaches oder zusammengesetztes Wesen, ob die Gottesvorstellung der Seele angeboren oder von ihr erworben sei. Diese Fragen sind für unsere Zeit +anachronistisch+, d. h. in ihren Grundlagen einer überholten Zeitperiode angehörend. Wer sie heute noch ernstlich erörtern wollte, indem er sich über alles hinwegsetzte, was die Jahrhunderte zu ihrer Kritik beigebracht haben, der unternähme von vornherein ein fruchtloses und darum überflüssiges Tun. Daraus erhellt der Wert historischer Studien auf wissenschaftlichem Gebiete und mit dem Werte zugleich deren +Notwendigkeit+.

Es ist eine oft betonte Forderung, daß man in allen wissenschaftlichen Bestrebungen nicht nur wissen müsse, was man zu urteilen, sondern auch, was man zu +fragen+ habe. Von der Aufstellung begründeter Problemfragen hängt in der Tat der Fortschritt der Forschung ab. Wie jedes neue Problem neue Erkenntnisse, so gebärt jede neue Erkenntnis neue Probleme. Die Geschichte hat gelehrt, daß mit der Fülle des Wissens auch der Abgrund des Nichtwissens ins immer Unermeßlichere wächst. Indem wir dem uns innewohnenden, unwiderstehlich vorwärtsstrebenden +Kausalbedürfnis+ willig oder nichtwillig folgen, kommen wir überall bis zu letzten Fragen der Wissenschaft, denen gegenüber der Forscher entweder resigniert sein „~ignoro, ignorabo~“ spricht[22], oder deren Lösung mehr dem Glauben als dem Wissen anheimfällt. Hierhin gehören Fragen wie die nach dem ersten Ursprung des organischen Lebens, nach der Entstehung des Bewußtseins innerhalb der Entwicklung organischer Wesen, nach der Erklärung des Todes oder des Überganges vom Organischen zum Anorganischen, ja auch schließlich die Fragen nach dem Verhältnis des Geistigen zur körperlichen oder räumlich-ausgedehnten Welt, nach der Natur der Gedächtnisgrundlagen, der Natur des Vererbungsvorganges u. a. m.

Wissenschaftliche Urteile bedürfen allemal dann eines Beweises, wenn ihre Gültigkeit nicht unmittelbar gewiß ist. Über die Frage freilich, ob und wann das der Fall ist, herrscht im einzelnen -- wie auch unter den Logikern im Prinzipiellen -- Streit. Insbesondere in der Auffassung der Grundlagen der Mathematik ist es neuerdings zu heftigen Kontroversen gekommen, und zwar dadurch, daß die einen -- so z. B. John Stuart Mill, in Deutschland Herm. v. Helmholtz -- lehren, die Axiome der Geometrie und Arithmetik seien +Erfahrungs+wahrheiten (und zwar als solche durch verallgemeinernde Induktion gewonnen), die anderen, die Axiome der Geometrie und Arithmetik seien zwar an der Hand sinnlicher Wahrnehmungen entwickelt, in ihrer Gültigkeit aber -- davon völlig unabhängig -- unmittelbar-, darum notwendig- und allgemein-gewiß. Ohne auf das verwickelte Problem der logischen Bedeutung der mathematischen Axiome näher einzugehen, sei doch dazu bemerkt, daß die Millsche Theorie als unhaltbar gelten muß, weil sie die Frage nach dem +psychologischen Ursprung+ mit der nach dem +Wesen+ der mathematischen Axiome verwechselt. Die Frage nach der +Entstehung+ eines Urteils ist eine ~quaestio facti~ (+Tatsachen+frage); die Frage nach der Art seiner Gültigkeit eine ~quaestio juris~ (+Rechts+frage). Wohl sind Axiome wie: „Zwischen zwei Punkten ist die Gerade der kürzeste Weg“ psychologisch-genetisch genommen an der Hand sinnlicher Anschauungen entwickelt; sie sind darum logisch aber nicht Erfahrungserkenntnisse, sondern in ihrer Gültigkeit völlig unabhängig von dieser notwendig- und allgemein-gewiß -- entsprechend der vortrefflichen Einsicht +Kant+s, daß zwar alle Erkenntnis mit Eindrücken der Sinne +anfange+ (~exordium~), nicht aber auch alle aus den Sinnen +entstamme+ (~origo~). Die mathematischen Axiome sind mithin als Verstandeswahrheiten im Sinne Leibniz’, als synthetische Urteile ~a priori~ im Sinne Kants, in ihrer Gültigkeit unmittelbar-gewisse und darum unbeweisbare Wahrheiten, eines Beweises weder fähig noch bedürftig.

Ein wissenschaftlicher Beweis ist logisch dasjenige Verfahren, wodurch ein wissenschaftliches Urteil in seiner Gültigkeit zureichend begründet wird. Die zureichende Begründung erfolgt entweder durch den Hinweis auf die Tatsachen der Wahrnehmung (+hinweisende+ Begründung) oder durch Ableitung des zu beweisenden Urteils als Konklusio aus seinen Gründen als Prämissen (+ableitende+ Begründung). So z. B. geschieht die zureichende Begründung mathematischer Definitionen wie etwa der Begriffe Dreieck, Kreis, Parallelogramm, Pyramide usw. durch den Hinweis auf die Daten der Wahrnehmung bzw. auf die dieser immanenten psycho-physiologischen Gesetze der Raumanschauung; die zureichende Begründung mathematischer Lehrsätze sowie der meisten Tatsachenurteile durch Ableitung (Reduktion) aus anderen unmittelbar-gewissen oder bereits zureichend-begründeten Urteilen, sei es unmittelbar oder mittelbar, auf deduktivem, induktivem oder dem Wege der Ähnlichkeitsschlüsse. Urteile wie: „Die Farbe dieser Blätter ist gelb; die Oberfläche dieser Frucht ist rauh“ sind durch Hinweis zureichend begründet, wenn einem jeden die Möglichkeit, sich von ihrer Wahrheit zu überzeugen, unmittelbar gegeben ist; sie bedürfen aber einer induktiv-ableitenden Begründung, wenn die Möglichkeit einer Nachprüfung durch Wahrnehmung nicht mehr gegeben, der Beweis vielmehr auf die zeitlich weiter zurückliegenden, übereinstimmend-überlieferten Wahrnehmungen anderer Individuen gestützt ist (~S₁~ gibt an, daß ~Q ← R, S₂~ gibt an, daß ~Q ← R, S₃~ gibt an, daß ~Q ← R~ usw.; +also+ wird ~Q ← R~ wahr sein; ein sogenannter „+Indizien+beweis“). Der Indizienbeweis spielt -- abgesehen von seiner praktischen Anwendung in der Rechtswissenschaft -- besonders im historischen Denken eine wesentliche Rolle, wo auf Grund der übereinstimmenden Angaben mehrerer Quellen -- unter Abstraktion von den davon abweichenden -- von zwei oder mehreren möglichen Begebenheiten die eine als den Tatsachen entsprechend mit mehr oder minder großer Wahrscheinlichkeit angenommen wird.

Als Arten des auf Ableitung beruhenden wissenschaftlichen Beweisverfahrens unterscheidet die traditionelle Logik den direkten und indirekten, den progressiven und regressiven Beweis. +Direkt+ erfolgt die Ableitung, wenn die Wahrheit des zu Beweisenden (~demonstrandum~; Thesis) sich in ununterbrochener logischer Folge aus der Wahrheit seiner Gründe (~rationes demonstrandi~) ergibt (_~Behauptung~_: wahr ~S ← P~; _~Bew.~_: wahr ~S ← M~, wahr ~M ← P~, also wahr ~S ← P~); +indirekt+ (oder apagogisch) erfolgt die Ableitung, wenn die Wahrheit des zu Beweisenden sich aus der zureichend begründeten Falschheit seines kontradiktorischen Gegenteils ergibt (~deductio ad absurdum~; _~Beh.~_: wahr ~S ← P~; _~Bew.~_: Angenommen ~S ← P~ nicht wahr, dann wäre ~Q ← R~ wahr; nun ist ~Q ← R~, wie sich beweisen läßt, falsch; also ist es auch falsch, daß ~S ← P~ nicht wahr sei; mithin ~S ← P~ wahr). -- +Progressiv+ heißt eine Ableitung, die, wie im direkten Beweis, von der Wahrheit der Gründe auf die Wahrheit der Folge, +regressiv+ diejenige, die -- wie im indirekten Beweis sowie einer viel gebrauchten Form wissenschaftlicher Widerlegung -- von der Falschheit der Folge auf die Falschheit der Gründe geht (z. B. Widerlegung in regressiver Form: _~Beh.~_: ~S ← P~ falsch; ~_Bew._~: wenn ~S ← P~ wahr, dann ~Q ← R~ wahr; nun läßt sich beweisen, daß ~Q ← R~ nicht wahr, also ist es falsch, daß ~S ← P~ wahr; mithin: ~S ← P~ falsch). Die Widerlegung ist demnach die zureichende Begründung der +Falsch+heit eines Urteils, wie der Beweis die zureichende Begründung der Wahrheit; sie erfolgt +pro+gressiv durch die zureichende Begründung der Wahrheit des dem zu widerlegenden kontradiktorisch-entgegengesetzten Urteils.

2. Die Auffindung der Beweisgründe.

Ein anderes ist es, wissenschaftliche Wahrheiten +finden+, ein anderes, sie +beweisen+. +Maxwell+ stellte die elektromagnetische Lichttheorie auf; +Hertz+ bewies sie, und zwar auf induktivem Wege durch eigens von ihm erdachte Experimente. Wohl können gelegentlich der Weg, auf dem man zu einer Erkenntnis gelangt, und derjenige, auf dem man sie zureichend begründet, der Sache nach miteinander übereinstimmen; in der Regel aber (und das gilt besonders für die großen, weittragenden Entdeckungen der Tatsachenwissenschaften) ist der Gedanke da, ehe auch nur ein Teil seiner Gründe annähernd übersehen werden kann (ähnlich +Riehl+, Robert Mayers Entdeckung und Beweis des Energieprinzips, Philos. Abh., Sigwart gew., 1910, S. 162).

In einem vollständigen System der Wissenschaft hängen alle Urteile dergestalt mit- und untereinander zusammen, daß jede neue Einsicht, die sich mit den bereits bestehenden in Übereinstimmung befindet, darin logisch ihre Stütze findet, jede aber, die dem vorhandenen Bestand der Erkenntnis widerspricht, von vornherein den Verdacht der Falschheit erweckt. Die Einheit der Wissenschaft verlangt, daß alle Erkenntnisse -- gleich wie -- in einem geordneten Zusammenhang stehen, in dem man von dem Allgemeinsten bis zu dem Speziellsten und umgekehrt hinauf und hinab steigen kann, ohne innerhalb der systematischen Ordnung des Ganzen auf Widersprüche zu stoßen. Ergibt der Fortgang der Forschung an irgendeinem Punkte Erkenntnisse, die entweder an sich selbst oder in ihren Folgen mit den früher gewonnenen nicht in Einklang stehen, so schließen wir daraus, daß entweder diese -- die neuen -- oder jene alten falsch sind, mithin daß der ganze Weg der Untersuchung einer sorgfältigen Nachprüfung bedarf. Solche Generalrevision der Wissenschaft von ihren letzten Fundamenten aus findet sich, wie die Geschichte der Wissenschaften lehrt, in den meisten Disziplinen (auch hier bis zu einem gewissen Grade mit Ausnahme der +mathematischen+ Forschung) von Zeit zu Zeit immer wieder, und das, wie es scheint, nicht zum Nachteil, sondern zum Segen der Gesamtentwicklung des Wissens. Eine solche Generalrevision von ihren fundamentalen Grundlagen aus macht z. B. gegenwärtig die +Physik+ durch, seit neuere Ergebnisse auf dem Gebiete der Elektrizitätslehre die Aufgabe der alten Hypothese des Äthers nahegelegt haben; eine solche Generalrevision hat gegen Ende des 18. Jahrhunderts die +Philosophie+ durchgemacht, als Kant bewies, daß die Prinzipien der reinen Vernunft nur im +immanenten+ Gebrauch für Erfahrungsobjekte, nicht aber im transzendenten unabhängig von der Erfahrung für die Erkenntnis des Seienden an und für sich Gültigkeit hätten, und damit die Metaphysik von einer kritiklosen Verstandeserkenntnis des objektiven Seins zu einer objektiven Kritik des Verstandes und seiner Anwendung auf die empirische Wirklichkeit umgestaltete[23].

Die Auffindung der wissenschaftlichen Beweisgründe, die eine gleichwie gewonnene Lehrmeinung als gültig erweisen sollen, richtet sich nach dem speziellen Charakter jener Erkenntnis, sowie demjenigen ihres wissenschaftlichen Gebietes überhaupt. Bei mathematischen Einsichten gewährt zumeist schon der Weg ihrer Entdeckung wertvolle Anhaltspunkte für die Aufstellung ihrer zureichenden Begründung. Hier hat jede Bemühung um einen Beweis die Prämissen zu suchen, aus denen sich der zu begründende Lehrsatz notwendig als Konklusio ergibt, und zwar dergestalt, daß die zu beweisende Lehrmeinung mit dem bereits bewiesenen und darum als gewiß erkannten bisherigen Bestande der Forschung so zusammenhängt, daß sie sich als notwendige Konsequenz aus jenem und zugleich darin unlösbar verankert erweist (deduktiver Beweis). Deduktion als Forschungsmethode und Deduktion als Beweismittel unterscheiden sich mithin nur insofern, als die erstere von den Prämissen aus die +Konklusio+, die zweite von der Konklusio aus die +Prämissen+ sucht.

Analoges gilt für die Beweisführung in den Wissenschaften von Tatsachen. Sei es, daß wir ein einzelnes Faktum der Geschichte, eine allgemeine Regel des Naturgeschehens oder den Erklärungsversuch einer empirisch gesicherten Erscheinung des Wirklichen als wahr zu beweisen suchen, immer haben wir diese als die zu beweisenden Lehren in der Form von Schlußurteilen aus gewissen ihnen als Stütze dienenden Einzelerkenntnissen (als Prämissen) durch eine verallgemeinernde oder ergänzende Induktion (oder auch durch einen Schluß aus hinreichender Ähnlichkeit [Analogieschluß]) mit dem höchstmöglichen Grad der Wahrscheinlichkeitsgeltung herzuleiten. Daß Heinrich IV. im Jahre 1077 in der Tat seinen Bittgang nach Canossa getan hat, beweisen wir induktiv aus den im wesentlichen übereinstimmenden Angaben der wichtigsten Quellenschriften jener Zeit. Daß Körper verschiedenen Gewichts im luftleeren Raum mit gleicher Geschwindigkeit fallen, beweisen wir gleichfalls induktiv aus den übereinstimmenden Ergebnissen zahlloser Versuche, die wir angestellt haben und zur +Verifikation+ (Gültigkeitsbestätigung) jenes Gesetzes jederzeit wiederholen können. Daß endlich die atomistische Theorie der Materie zur Erklärung der Bewegungserscheinungen der Körperwelt gültig sei, beweisen wir wiederum induktiv daraus, daß sie mit allen den einzelnen Faktoren, die hierhin gehören, in Einklang steht und für sie alle einen befriedigenden Maßstab zur Erklärung darbietet (Induktionsbeweis).

Das schwächste wissenschaftliche Beweismittel, das wir besitzen, ist da gegeben, wo wir die Gültigkeit eines Urteils lediglich auf die Ähnlichkeit seines Subjekts zu einem seinen Merkmalen nach ausreichend bekannten Objekte der Forschung aufbauen (Analogiebeweis). Beispiele dafür sind bereits bei der Besprechung der Analogieschlüsse gegeben worden. Hier hat die Auffindung der Beweisgründe den Weg zu gehen, daß sie Objekte sucht, die dem Subjekt des zu beweisenden Urteils wesentlich ähnlich und durch dasselbe Prädikat gekennzeichnet sind, das von jenem als gültig behauptet wird (_~Behptg.~_: wahr ~S ← P~; _~Bew.~_: ~S ← M~ ähnlich und ~M ← P~). Daß diese Beweisführung gegenüber den anderen Formen den geringsten Grad der Sicherheit ergibt, lehrt schon die Geschichte der Wissenschaften unzweideutig. Wie hätte sonst seit Rorarius, Descartes und Malebranche bis zur Gegenwart fort ein jahrhundertelanger Streit darüber entbrennen können, ob die Tiere beseelt seien wie wir Menschen oder aber als seelenlose Automaten, gewissermaßen als Reflexmaschinen, aus Gottes Hand ihr Dasein empfangen hätten.

Die Auffindung der Beweisgründe geht also, wenn wir kurz das Gesagte zusammenfassen wollen, dreierlei Wege: sie sucht das Allgemeine, wo sie daraus das Besondere zu begründen vermag (Deduktion); sie sucht das Besondere, wo sie daraus das Allgemeine ableiten kann (Induktion); und sie sucht das einander Ähnliche, wo sie daraus schließen darf, daß dem einen als Prädikat zukommen wird, was in dem anderen mit zureichender Begründung prädikativ enthalten ist (Analogiebeweis).

3. Fehler und Unzulänglichkeiten des Beweises.

Falsche oder unzulängliche Beweise beruhen immer auf falschen oder unzulänglichen Ableitungen. Man nennt sie daher +Falschschlüsse+ (~fallaciae~); und diese wiederum, sofern sie absichtlich erfolgen: +Sophismen+ (Trugschlüsse); sofern unabsichtlich: +Paralogismen+ (Fehlschlüsse, Vernunftwidrigkeiten). Ein Beweis ist +unzulänglich+, wenn er nicht die Wahrheit des zu beweisenden Urteils begründet, sondern vielmehr: entweder zu +viel+ oder zu +wenig+ (Beweisverrückung; Heterozetesis) oder auch: ein von dem zu beweisenden völlig verschiedenes Urteil (~mutatio elenchi~: μετάβασις εἰς ἄλλο γένος). Ein Beweis ist +falsch+, wenn entweder einer der Beweisgründe falsch (+materialer+ Falschschluß; πρῶτον ψεῦδος), oder aber wenn die Ableitung der Konklusio aus den Prämissen formal ungültig ist (+formaler+ Falschschluß).

Ein unzulänglicher Beweis ist genau genommen gar kein Beweis. Der Versuch, ein Urteil als bewiesen auszugeben, während aus den dafür aufgeführten Beweisgründen in Wahrheit ein ganz anderes folgt, wird logisch eine +Erschleichung+ (~subreptio~) oder +Abirrung+ des Beweises (~aberratio elenchi~) genannt. Eine alte Schulregel der Logiker besagt: „~Qui nimium probat, nihil probat; qui parum probat, nihil probat~“ (wer zu viel oder zu wenig beweist, beweist gar nichts). „Zu +viel+ beweisen“ heißt dabei: etwas als einer Gattung zugehörig nachweisen, was nur für eine Art oder für ein Individuum gültig bewiesen werden soll (denn das Individuum könnte immerhin eine Ausnahme von jener Gattungsregel bilden); „zu +wenig+ beweisen“ heißt: etwas als einer Art zugehörig nachweisen, was für deren Gattung gültig zu beweisen wäre (denn jenes Merkmal könnte ja eine der artbildenden spezifischen Differenzen sein, die der Gattung nicht zukommen).

Daß, wenn eine der Prämissen falsch (bzw. ungewiß), bei formal gültiger Ableitung auch die Konklusio falsch (bzw. ungewiß) ist, bedarf keiner näheren Erläuterung. Ebensowenig daß bei wahren Prämissen kein gültiger Beweis zustande kommt, wo ein formaler Fehler im Schlußverfahren vorliegt. Der geläufigste formale Falschschluß beruht auf dem sog. +~circulus vitiosus~+ (Zirkelbeweis; ~petitio principii~), der da gegeben ist, wo das zu beweisende Urteil (an sich selbst oder in einer seiner Folgen) irgendwie mit in die Beweisgründe aufgenommen ist, die insgesamt gerade dazu dienen sollen, ebendieses zu erhärten. Ein lehrreiches Beispiel dafür bietet sich in den grundlegenden Deduktionen der Cartesianischen Philosophie: An der Hand seiner Generalregel, daß alles klar und deutlich Erkannte wahr sei, beweist Descartes, daß Gott existiere; und auf die Frage, warum denn alles klar und deutlich Erkannte wahr sein müsse, antwortet er wiederum (man beachte den Zirkel!), weil Gott kein Betrüger sein könne! --

Der häufigste formale Fehler des +syllogistischen+ Schlußverfahrens kommt zustande durch die sog. +~quaternio terminorum~+ (Vierzahl der Begriffe), die dann gegeben ist, wenn der Mittelbegriff in der oberen Prämisse in anderer Bedeutung genommen wird wie in der unteren (~fallacia medii termini~). An die Stelle der Identität des +Begriffes+, die ja von der sprachlichen Formulierung des Gedankens einigermaßen unabhängig ist, tritt hier also die Identität des +Wortes+, verbunden mit einer +Mehrdeutigkeit+ seines Bedeutungsinhaltes (Äquivokation). Beispiele für diese Beweisverirrung, die gelegentlich die sinnloseste Form annehmen kann (mittels deren in der Tat alles zu „beweisen“ möglich ist), finden sich insbesondere in den Trug- und Fangschlüssen der griechischen Eristik und Sophistik in reicher Anzahl. Ein Musterbild dieser (nach +Prantl+ von den Megarikern geprägt) bildet:

_~Behauptung~_: Die Homerische Dichtung ist eine geometrische Figur.

_~Beweis~_: Alle Kreise sind geometrische Figuren. Die homerische Dichtung ist ein Sagenkreis. --------------------------------------------------------- also ist die Homerische Dichtung eine geometrische Figur.

Spezielle Formfehler des +induktiven+ und +Analogie+beweises bilden +voreilige Verallgemeinerung+ (wenn der Gattung ein Prädikat beigelegt wird, das bis dahin nur für einen sehr kleinen Teil seiner Arten als gültig erwiesen ist[24]) sowie vorschnelle Schlußfolgerung auf Grund +unzureichender Ähnlichkeit+. Beispiele induktiver (I) und analogiemäßiger Fehlschlüsse (II) sind:

I.

Lysias war ein großer Redner. Demosthenes war ein großer Redner. Äschines war ein großer Redner. . . . . . . . . ---------------------------------- Alle Griechen werden große Redner gewesen sein.

II.

Kirschen schmecken süß und angenehm. Tollkirschen sind den Kirschen ähnlich. ---------------------------------------. Tollkirschen werden süß und angenehm schmecken.

Was sich psychologisch als eine Übertreibung auf Grund der Affekte der Hoffnung oder Furcht, das stellt sich logisch als ein übereilter Induktionsschluß --; was sich psychologisch als eine Verwechslung auf Grund ähnlicher Merkmale, das stellt sich logisch als ein verfehlter Analogieschluß dar.

4. Fiktionen und Utopien.

Vor einem mannigfach verwickelten und nicht leicht aufzulösenden Problemkreis steht die neuere Logik gegenüber methodischen Hilfsmitteln der Art, wie sie in den Fiktionen und Utopien des wissenschaftlichen Denkens gegeben sind.

Eine wissenschaftliche +Fiktion+ ist die in bestimmter wissenschaftlicher Absicht vollzogene Annahme, daß einem gegebenen Urteil Gültigkeit zukomme, verbunden mit dem Bewußtsein seiner +tatsächlichen Un+gültigkeit. In dieser Begriffsbestimmung ist auf das Merkmal der +Absichtlichkeit+ besonderes Gewicht gelegt. Soweit eine Einteilung auf diesem noch wenig untersuchten Gebiete logischer Forschung bereits möglich ist, glaube ich, nach dem Gesichtspunkte ihres Zweckes +dreierlei+ Fiktionen unterscheiden zu müssen, und zwar: +prüfende+, +erläuternde+ und +beweisende+ Fiktionen. Von diesen kommt nur den letzteren im wissenschaftlichen Denken eine größere Bedeutung zu, während die beiden ersten demgegenüber als weniger wichtig zurücktreten.

Als Beispiele +prüfender+ Fiktionen können diejenigen angesehen werden, die den Nicht-Euklidischen Geometrien Lobatschewskijs und Riemanns zugrunde liegen. Es ist kennzeichnend für die logische Funktion der Fiktionen, daß +Lobatschewskij+ (ähnlich wohl schon früher +Gauß+) die Annahme der Ungültigkeit des Euklidischen Parallelenaxioms +nicht+ vollzogen hat, um damit eine neue geometrische Wissenschaft zu entdecken, sondern vielmehr in der Absicht, das Parallelenaxiom Euklids durch einen indirekten Beweis zureichend zu +begründen+ (beweisende Fiktion). Erst dadurch, daß sich der gesuchte Widerspruch, aus dem die Gültigkeit des in Rede stehenden Grundsatzes gefolgt wäre, +nicht+ ergab, entwickelte sich dann auf der Grundlage der aufgestellten Fiktion die Lobatschewskijsche Geometrie. Verwandtes gilt ~mutatis mutandis~ für die Nicht-Euklidische Geometrie Riemanns; nimmt nämlich Lobatschewskij an, daß -- abweichend von der Lehre Euklids -- zu einer Geraden in einer Ebene durch einen Punkt nicht eine, sondern +mehrere+ Parallelen -- so Riemann, daß durch einen Punkt zu einer Geraden in einer Ebene +gar keine+ Parallelen gezogen werden können. Unter der Voraussetzung des Lobatschewskijschen Satzes ergibt sich dann eine formal-logisch konsequente Geometrie, in der die Winkelsumme im Dreieck +kleiner+, unter der Voraussetzung des Riemannschen eine solche, in der die Winkelsumme im Dreieck +größer+ ist als zwei Rechte. Beide Geometrien wurzeln nun ersichtlich in Annahmen, die dem Euklidischen Parallelenaxiom als einem logisch entwickelten Grundgesetz unserer Raumanschauung +widersprechen+. Indem diese hier zur +Prüfung+ ihrer Konsequenzen als gültig +vorausgesetzt+ werden, zugleich mit dem unzweideutigen Bewußtsein ihrer +faktischen Un+gültigkeit, kann man sagen, daß die Nicht-Euklidischen Geometrien der genannten Mathematiker auf +prüfenden+ Fiktionen beruhen.