Part 4

Zu der aufsteigenden Zahlenreihe bildeten die Ägypter auch die absteigende 1/2, 1/3, 1/4 usw., indem sie über die Kardinalzahl die Partikel ro [**symbol] setzten. (Eine Ausnahme bildet 1/2, welches mit Hälfte [**symbol] geschrieben wird.) Ro ist das Zeichen für Mund, das zur Präposition geworden ist und in etwas hinein etc. bedeutet, auch distributiv pro Tag etc. bedeutet. Im Hieratischen ist es zu einem einfachen Punkt verkürzt worden, es sind ganz ähnliche Gedanken, und wunderbarerweise auch im Hieratischen dieselbe Bezeichnung wie bei den Indern, die die absteigende Reihe als Reihe der negativen Zahlen gebildet haben. Der Ägypter fasst 3 auf als 3 × 1 und dem entspricht die Zahl, welche dreimal genommen 1 gibt. Mit dieser Auffassung der Zahlenreihe hängt die so eigentümliche und gänzlich missverstandene ägyptische Bruchrechnung, mit der der Papyrus Ames beginnt, aufs innigste zusammen. Da heisst es z. B. noch in einer grossen Abhandlung von 1895 eines um die Geschichte der Mathematik sehr verdienten Philologen, nämlich bei ¨F. Hultsch¨: die Ägypter kannten keine gemeine Bruchrechnung, sondern nur eine Teilung in der Einheitsreihe. Die Rechnung war für die Ägypter erst zu Ende geführt, wenn sie den Quotienten in Zahlen ihrer Zahlenreihe, d. h. in ganze Zahlen oder Stammbrüche aufgelöst hatten. Ihre Zahlenreihe war ihnen so geläufig, wie uns die unsrige und wie wir scheinbar immer mit Brüchen, mit konstantem Nenner 10 rechnen und die Resultate nur übersehen, wenn sie uns in Dezimalbruchform vorliegen, so rechneten die Ägypter scheinbar nur mit Brüchen, mit dem konstanten Zähler 1. Dass aber dem Ägypter gemeine Bruchrechnung samt Generalnenner, reduzieren, erweitern etc., völlig vertraut war, geht aus den Papyri Ames, denen vom Kahun, von Achmin aufs klarste hervor. Sie scheuten nicht einmal vor Doppelbrüchen. -- Eine Ausnahme bildet der Bruch 2/3, der auch bei den Griechen sein eigenes Zeichen hat. Er heisst neb [**symbol] oder [**symbol]. Griffith fasst ihn als 1/1½. Hier war die Zusammensetzung aus ½ und 1/6 eben jedem ägyptischem Kinde geläufig. Aber ich bin hier schon bei der Division. Die Addition wird bezeichnet durch vorwärtsschreitende Beine [**symbol], die Subtraktion durch 2 rückwärtsschreitende Beine [**symbol], es werden auch verba gebraucht, die addieren, hinzulegen, hinzufügen bezw. zurückkehren, ausgehen bedeuten; bei mehreren Summanden wird die Summe durch eine eigene Hieroglyphe bezeichnet: [**symbol], eine Papyrusrolle, das Determinativ für alles Abstrakte.

[Sidenote: Arithmetik der Ägypter, Abschnitt 1 des Papyrus Ames.]

Die Multiplikation wird durch das Wort uah = vervielfältigen, eingeleitet; die Division durch nis = teilen, richtiger künden, klarmachen. Die Division war wie die unsrige ein Einschliessen in Grenzen und wird durch Multiplikation und Kenntnis des 1 × 1 erleichtert. Die 1 × 1-Tabelle kommt im Ames nicht vor, sie wird als bekannt vorausgesetzt. ¨Hultsch¨ hat das kleine 1 × 1 nach den Andeutungen des Ames rekonstruiert. Der Papyrus lehrt zunächst die Bruchrechnung und beginnt mit der Zerlegung der Brüche von 2/3 bis 2/99 in Stammbrüche inklusiv 2/3.

Regeln werden weder hier noch sonst irgendwo im Buche angegeben; eine Ausnahme macht nur die eine Regel in N. 61a: 2/3 zu machen von einem Bruch (gebrochenen Teil). Wenn dir gesagt ist: Was ist 2/3 von 1/5, so nimm seine Hälfte und seinen 6. Teil, das ist sein 2/3: Also ist es zu machen in gleicher Weise für jeden gebrochenen Teil, welcher vorkommt. Cantor hat den Schlusssatz missverstanden, er meint, er bezieht sich darauf, dass 2/3 durch irgend einen andern Stammbruch ersetzt werden könne, während die Verallgemeinerung sich auf 1/5 bezieht, C. sieht hierin die allgemeine Vorschrift 2/u, wo u eine ungerade Zahl ist, zu zerlegen in 1/(u/2 + 1/2) + 1/((u/2 + 1/2)u), die unzweifelhaft, darin hat er recht, zur Zeit des Papyrus bekannt war. Aber es werden auch andere Formeln für das an sich unbestimmte Problem benutzt, z. B. wenn p und q ungerade Zahlen sind, also 1/2 (p + q) eine ganze Zahl n: 2/(p · q) = 1/(pn) + 1/(qn). Meist wird dafür gesorgt, dass der erste Bruch einen geraden Nenner hat, weil dies die nötige Zusammenfassung bei grösseren Dividenden als 2 erleichtert. Die Tabelle enthält nur ungerade Zahlen, weil eben den Ägyptern die Reduktion völlig bekannt war.

[Sidenote: Zerlegung in Partialbrüche.]

Ferner wird möglichst dafür gesorgt, dass die Zahl der Stammbrüche so klein als möglich. Im Papyrus Ames werden als Anfangsnenner ausser 2 und 3 nur teilbare Anfangsnenner der Reihe zugelassen, nur einmal kommt 5 vor. Im Papyrus von Achmin ist diese Beschränkung aufgehoben, um die Zahl der Stammbrüche zu verkleinern. Jede Zerlegung ist von einer Probe, smot -- der ¨Beweis¨ genannt, begleitet. Der Beweis, d. h. die Probe, zeigt hier schon, wie völlig die Beherrschung der Bruchrechnung war, z. B. 2/17 (Anfang der 2. Kolumne) nis son chent, d. h. mache deutlich 2 durch, z. B. 17, hieroglyphisch: (nis son chent met sefech)

[**symbols]

Verdeutliche 2/17: 1/12 1/51 1/68

smot 1-1/3 1/12 1/3 1/4 (NB. 17/12 i. 1-1/3 + 1/12)

Der Beweis -- smot [**symbols] genannt --, besteht darin, dass gezeigt wird, dass 1/12 der 17te Teil von 1-1/3 1/12 oder 1-1/4 1/6 ist und von dem was noch an 2 fehlt, nämlich 1/3 + 1/4, der 17te Teil 1/51 und 1/68 ist.

[Sidenote: Abschnitt 2: Zerlegung in Zehn-Teile.]

Es folgen dann als 2. Abschnitt die Dezimalteilungen der Zahlen von 1-9, eingekleidet als Verteilung von Broten; die Dezimalteilung war besonders für die Feldteilung wichtig, 1 3 6 7 8 9 werden geteilt, da 2/10, 4/10 und 5/10 schon in der vorigen Tabelle vorkommen. Nur das letzte der Beispiele ist vollständig erhalten: Geben Brote 9 an Personen 10. Verfahre wie geschieht, vervielfältige 2/3 1/5 1/30 mit 10.

Brot hot statt t [**symbol]. Um mit 10 zu multiplizieren wird mit 2 multipliziert, das zweifache mit 2, und das wieder mit 2 und das zweifach und achtfache addiert.

[**symbols] /..| [**symbols] (1-2/3 1/10 1/30 als zweifaches von 2/3 1/5 1/30) (4.) 3 1/2 1/10 / (8.) 7 1/5

Zusammen 9 Brote, welche es sind; für zusammen [**symbol]

M. H. es dauert eine ganze Weile bis wir die Zerfällungen in 2 und 4 ausführen. Der Ägypter zerlegt 4/3 in 1-1/3 und 2/5 + 1/15 = 1/3 + 2/15 und 2/15 = 1/10 + 1/30.

Die Ägypter wussten in ihren Tabellen vorzüglich Bescheid, genau wie wir mit unserm Einmaleins. Wenn man sich übt, findet man, dass der Unterschied mit unsern Methoden keineswegs so gross ist.

[Sidenote: 3: Sequem- oder Ergänzungsrechnung.]

Die Tabelle verlangt nun vielfach Subtraktion einer Anzahl von Brüchen und Division einer Zahl durch eine Summe von Brüchen. Dazu dient die im 3. Abschnitt gegebene Sequemrechnung -- von quem = vollenden -- das Causativ also: Vollende, ergänze; quem allein kommt auch vor in No. 21 b, 22 b, 37 e 1.

Ich greife die beiden letzten Beispiele heraus, No. 22:

[** symbols] (30 ist m' b [** symbol]; sequem mā neb ro sa em uā statt mā ist richtiger mi)

Ergänze 2/3 1/30 zu 1.

20 1

(zu ergänzen ist der gemeinsame Nenner 30, die Ägypter beherrschten die Bruchrechnung vollständig, samt Gleichnamigmachung, Kürzen etc.) lege zu seinen Unterschied, nämlich 9; Zeichen des Unterschieds ist [**symbol] gelesen chomt, vervielfältige die Zahl 30 zu vollenden 9.

30 1/10 3 1/5 6 ------- zusammen 9

Es sollen hier 2/3 und 1/30 zu 1 ergänzt werden; es sind auf den Nenner 30 gebracht 20 und 1 Dreissigstel; es fehlen also 9 und 9/30 sind dann zerlegt in 1/10 und 1/5 womit das Resultat eben aussprechbar, d. h. deutlich für den Ägypter gemacht ist.

No. 23:

[**symbols] 1/4 1/8 1/10 1/30 1/45 sequem em neb

[**symbols] cher em uah hi--f ir neb

und 1/9 1/40 im Hinzufügen zu ihm macht 2/3.

Als Generalnenner wird 45 gewählt und die Zähler der Doppelbrüche werden in Stammbruchform geschrieben, wobei noch 1/8 hinzugefügt wird.

1/4 1/8 1/9 1/10 1/30 1/40 1/45 1/3 [**symbol] 1 11-1/4 5-1/2 1/8 5 4-1/2 1-1/2 1-1/8 1 15 macht 1

4. Abschnitt.

[Sidenote: Abschnitt 4: Gleichung ersten Grades (Hau-Rechnung).]

Die Haurechnung oder die Lösung von Gleichungen ersten Grades. No. 24-38.

Die Nummern 24-34 sind Zahlengleichungen; die vier letzten Aufgaben beziehen sich auf Teilung des Getreidemasses auit. Die Unbekannte heisst hau, d. h. Haufen, also eine unbestimmte Menge, analog dem cosa irgend ein Ding der italienischen Mathematiker der Renaissancezeit. Über die Lösung der Gleichungen entstand ein Streit zwischen ¨J. Rodet¨, dem bekannten französischen Orientalisten, speziell Sanskritisten und ¨M. Cantor¨, in dem, wie so häufig beide recht und beide unrecht haben. Rodet meint, die Ägypter hatten die regula falsi benutzt, Cantor sagt, sie hätten gerade so wie wir operiert. C. selbst bemerkt ganz richtig, dass bei den Gleichungen ersten Grades beide Methoden schwer zu unterscheiden sind. Ich nehme das erste Beispiel:

Haufe, sein Siebentel, sein Ganzes, es macht 19; also x/7 + x = 19. Es ist schwer zu sagen, rechnet der Ägypter x(1/7 + 1) = x 8/7 = 19; x/7 = 19/8 · x = 19/8 · 7 oder setzt er probeweise für x 7, wonach er als Summe 8 statt 19 bekommt und somit den Proportionalitätsfaktor 19/8 erhält und damit seinen Probewert multipliziert.

Die Rechnung sieht so aus:

/. 7 . 8 / 1/4 2 /. 2-1/4 1/8 (n. b. 19/8 das ist der / 1/7 1 /.. 16 / 1/8 1 /.. 4-1/2 1/4 Proport.-Faktor) 1/2 4 / 4. 9-1/2

nun kommt die stehende Formel:

[**symbols] ȧrt mȧ cheper, tue wie folgt: Der Hau 16-1/2 1/8 (Probe) 1/7 : 2-1/4 1/8 [**symbol] (zusammen) 19.

Vom Beispiel No. 28 an kann man aber nicht mehr gut von einem unmittelbaren Probieren reden zum Beispiel No. 32: x/3 + x/4 + x = 2. Es wird 1 1/3 1/4 multipliziert bis das Ergebnis 2 ist, d. h. es wird x ausgeklammert und mit 1 1/3 1/4 in 2 dividiert.

Unter den Beispielen sind einige recht komplizierte, z. B. No. 28 und sie liefert zugleich ein Beispiel für die Schwierigkeit der Entzifferung. Die Aufgabe lautet:

[**symbols] neb em iw ro chomt em ān met uta 2/3 im hinzugehen 1/3 im weggehen 10 sind aufzubewahren.

Gemeint ist: (x + 2/3x) - 1/3(x + 2/3x) = 10.

Die Rechnung ist falsch, das Resultat 9 ist richtig; die Probe zeigt, wie die Aufgabe gemeint ist. Noch komplizierter ist No. 29. Ein wahres Muster von Kompliziertheit und nicht minder von ägyptischer Bruchrechnung sind No. 31 und 33: Haufe sein 2/3, sein 1/2, sein 1/7, sein Ganzes, es beträgt 37. Es wird die Division mit 1 2/3 1/2 1/7 ganz direkt durchgeführt.

Die Aufgabe 30 übersetze ich abweichend von Eisenlohr und Cantor:

Wenn dir der Schreiber (id est Lehrer) sagt: 10 ist das Ergebnis von 2/3 und 1/10, lass mich den Grund hören.

Um die Division von 10 durch 2/3 + 1/10 auszuführen, wird dies zunächst mit 13 multipliziert, das gibt 9-29/30; man muss dann noch 1/30 dividieren und findet zum Schluss 13-1/23 als sogenannten Hau.

No. 35: Um die Masseinheit zu erreichen, bin ich dreimal genommen und 1/3 von mir zu mir, dann bin ich zur Einheit vervollständigt. Diese Aufgabe 3x + 1/3 x = 1 ist das textliche Vorbild zu einer Menge von eingekleideten Gleichungen, die sich noch bis heute in den Rechenbüchern finden. Die Einheit ist das Hequatmass. Die Verteilungsaufgaben der Fruchtmasse bedurften sämtlich einer genauen Revision, die durch ¨Erman¨ 1902 und ¨Schack-Schackenburg¨ 1904 vollzogen ist.

[Sidenote: Arithmetische Reihe (Tunnu-Rechnung).]

Es folgen dann zwei Aufgaben, die als »Tunnu«-Rechnung bezeichnet werden, zu denen sich sachlich noch Aufgaben aus einem späteren Abschnitt gesellen, der eine Anzahl praktischer Beispiele enthält und vielleicht einem ¨zweiten¨ Schülerheft entnommen ist. Von besonderer Bedeutung ist No. 40: Brode 100 an Personen 5; 1/7 der 3 ersten an die 2 letzten Personen, was ist der Unterschied? Die Rechnung lautet: Tue, wie folgt: (die stehende Formel) der Unterschied 5-1/2 / 23, 17-1/2, 12, 6-1/2, 1 [**symbol] zusammen 60. Vervielfältige diese Zahlen 23, 17-1/2 etc. mit 1-2/3, das gibt dann 38-1/3, 28-1/6 ... zusammen 100.

Hier haben wir a) Gleichungen mit mehreren Unbekannten, b) die arithmetische Reihe, c) unzweifelhaft regula falsi. Ist der Tunnus d und der Anteil des letzten a, so bekommen die Personen 4d + a, 3d + a, 2d + a, d + a, a, und es ist: 9d + 3a = 7 (d + a); also 2d = 11a; d = 5-1/2 a. Es wird nun als falscher Ansatz a = 1 gesetzt, also d = 5-1/2 und da 100 = 60 + 2/3 · 60 ist, mit dem Proportionalitätsfaktor 1-2/3 multipliziert.

Hierhin gehört No. 64, die darauf hinausläuft eine arithmetische Reihe von 10 Gliedern zu bilden, deren Summe 10 und deren Differenz 1/8 ist. Es wird wieder zuerst das höchste, das letzte Glied bestimmt. Wir haben aus den bekannten Formeln:

s = n/2(a + u) und u = a + (n-1)d; u = s/n + (n - 1)d/2,

d. h. also um das letzte Glied zu bestimmen, muss man den Durchschnittswert s/n bilden und dazu (n-1) · d/2 addieren, und ganz genau so verfährt der ägyptische Rechner.

Ich teile in der Mitte, gibt 1; ziehe 1 von 10 ab Rest 9, halbiere den Unterschied: 1/16, nimm es 9 mal, gibt 1/2, 1/16, lege es hinzu zum Durchschnittswert, gibt für u 1 1/2 1/16 etc. Ja, m. H. hier ist jeder Zweifel an der Kenntnis der allgemeinen Formeln ausgeschlossen.

[Sidenote: Geometrische Reihe.]

Und das gleiche gilt von der geometrischen Reihe. Der fünfte und zugleich letzte Teil enthält unter No. 62-84 eine Sammlung praktischer Beispiele, welche sich auf Landwirtschaft beziehen, Aichung von Bierkrügen, Futterverbrauch auf dem Geflügelhof und in Stallungen, Mehlverbrauch beim Backen, Lohnzahlung etc. Solche Aufgaben kommen auch in Tempelrechnungen sehr vielfach vor, denn die ägyptischen Priesterschaften hatten wie die mittelalterlichen Klöster grosse Ausgaben um das Volk an den Festtagen zu beköstigen. Mitten hinein schneit dann die Aufgabe 19. Die Aufgabe war nach Eisenlohr völlig rätselhaft. Es ist von einer Sutek (vielleicht Leiter? unsre Skala) die Rede, deren Sprossen

7, 49, 343, 2401, 16807

sind, und bei diesen Zahlen stehen Worte, welche bedeuten: Person, Katze, Maus, Gersten, Ähre, Mass.

Eisenlohr meinte, dass dies die Namen der 5 ersten Potenzen seien, während doch erst ganz vor kurzem bei Heron dynamo-dynamis für die 4. Potenz konstatiert ist.

Die Rechnung sieht so aus:

7 /. 2801 49 /.. 5602 343 /... 11204 2402 [**symbol] 19607 16807 [**symbol] 19607

Das Rätsel hat ¨Rodet¨ in der schon erwähnten Abhandlung gelöst. Er fand dieselbe Aufgabe bei ¨Leonardo Pisano¨ um 1200 in dem epochemachenden Liber abaci, das aus Afrika stammt, aus Bugia, einer Pisaner Handelsstation, der westlichsten von Nordafrika.

Die Aufgabe heisst: 7 Personen haben je 7 Katzen, jede Katze frisst 7 Mäuse, jede Maus 7 Ähren Gerste, jede Ähre bringt 7 Mass ? ist die Summe, und sie ist berechnet nach der richtigen Formel:

(a^n - 1)/(a - 1) · a, da (7^5 - 1)/(7 - 1) = 16806 : 6 = 2801 ist

wo also die Multiplikation mit 7 gut ägyptisch vollzogen ist und durch Addition geprüft wird. Nicht vielleicht, wie Cantor meint, sondern unzweifelhaft war die Summenformel der geometrischen Reihe um 2000 v. Chr. bekannt. Wir sehen über 3000, wahrscheinlich über 4000 Jahre hat sich die Aufgabe in den Schulen Afrikas gehalten, ein Seitenstück zur Bruchrechnung.

Aber die arithmetischen Kenntnisse der alten Ägypter gingen noch weit darüber hinaus, was Cantor freilich auch bei der 2. Auflage vom Dezember 1893 nicht wissen konnte. In den von ¨Griffith¨ 1897 herausgegebenen mathematischen Papyri der Funde Petries in Kahun fand sich das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung.

Die quadratische Gleichung der Ägypter.

Als Griffith die Petriepapyri 1897 herausgab, fand sich dort das erste Beispiel einer quadratischen Gleichung auf Tafel 8 des Papyrus. 1900 hat Schack im Berliner Papyrus 6619 ein zweites gefunden. Der Papyrus ist vermutlich aus dem mittleren Reiche und lautet folgendermassen: Ein ferneres | Beispiel der Verteilung einer gegebenen Fläche auf mehrere Quadrate | wenn dir gesagt wird | 100 Quadratellen auf zwei unbekannte Grössen zu verteilen und | 3/4 der Seite der | einen Grösse für die andere | zu nehmen | bitte gib mir | jede der unbekannten Grössen an |.

Die Ausrechnung geschieht mit der regula falsi, der Verfasser drückt sie so aus: Mache ein Rechteck von immer 1 (d. h. also ein Quadrat) und nimm 3/4 | der Seitenlänge | der einen für die andere | dies gibt 3/4 |. Multipliziere dies mit 3/4 das gibt 9/16. Wenn so die eine Grösse zu 1 die andere mit 3/4 genommen ist, so vereinige diese beiden Grössen, das gibt 25/16. Nimm die Quadratwurzel daraus, das gibt 5/4. Nimm die Wurzel der gegebenen von 100 das gibt 10. Teile 10 durch 5/4, der Quozient ist 8 (Zeichen: [**symbol] auch Zeichen der Differenz). Der Rest ist zerstört, doch ist noch soviel zu erkennen: Nimm 3/4 von diesen 8 das gibt 6. Hier haben wir also

x^2 + y^2 = 100; x : y = 1 : 3/4.

Das Beispiel des Kahun Papyrus bezieht sich darauf, 120 kubische Ellen in 10 Körper von der Höhe einer Elle so zu zerlegen, dass die Grundflächen Rechtecke sind, deren Seiten sich wie 1 : 3/4 verhalten.

Hier würde die Anwendung der regula falsi auf die irrationale Quadratwurzel aus 3/4 führen. Der Verfasser verfährt also ganz anders. Er geht davon aus, dass der Inhalt des Rechtecks mit 4/3 multipliziert das Quadrat der grossen Seite gibt.

Die Rechnung lautet: Dividiere 1 : 3/4, das gibt 1-1/3, multipliziere 12 mit 1-1/3, das gibt 16, die √ ist 4, das ist die Länge der einen Seite. Nimm 3/4, das ist 3. Hier haben wir also xy = 12-x/y = 1 : 3/4. Man sieht, beide Male haben wir das Dreieck 3, 4, 5 bezw. 6, 8, 10, das also schon um 2200 den Ägyptern bekannt war.

Das dritte Beispiel hat Schack 1903 aus demselben Papyrusfragment entziffert.

Es handelt sich um:

x : y = 2 : 1-1/2 und x^2 + y^2 = 400.

Wird dann probeweise x = 2, y = 1-1/2 gesetzt, so gibt es 6-1/4, die √ ist 2-1/2, dies ist 1/8 von 20, also ist x = 16, y = 12

[16, 12, 20 ～ 3, 4, 5 ～ 8, 6, 10]

Das Zeichen der Quadratwurzel ist dem unsrigen nicht unähnlich [**symbol] To-Erdreich, Grund, auf dem etwas ruht?

In Mitteilungen zur Gesch. der Med. u. Naturw. vom 18. April 1908 p. 337 wird diese Hieroglyphe als ¨Gnomon¨ erklärt, und den alten Ägyptern damit eine Kenntnis des Quadratwurzelausziehens nach der Formel (a + b)^2 supponiert. Einem Sprachforscher von Fach wäre die äussere Ähnlichkeit, ich verweise auf Max Müller, ein Grund das Zeichen nicht vom Gnomon abzuleiten. Es ist bisher auch keine Spur einer Ausziehung von Wurzeln aus Nicht-quadratzahlen bei den alten Ägyptern gefunden, so wie die Babylonier haben sie die Quadratwurzeln (tabellarisch?) durch Multiplikation von 1 × 1, 2 × 2 etc. gefunden.

Es ist nicht unwahrscheinlich, dass der Pythagoras den Ägyptern schon um jene frühe Zeit bekannt war.

Geometrie.

[Sidenote: Geometrie der Ägypter.]

Ich komme zur Geometrie, sie findet sich im Abschnitt 3 und 4 des Papyrus Ahmes, daneben ist für uns die Schenkungsurkunde des Tempels von Edfu von Wichtigkeit, die allerdings 1500 Jahre nach Ahmes zu datieren ist; aber auch die 500 Jahre älteren Papyri von Kahun kommen in Betracht. Vor allem muss ich die Quadratur des Zirkels erwähnen, No. 41, No. 48 und No. 50. Sie setzen den Kreis, der bald teben, bald paut, bald k d heisst gleich einem Quadrat, dessen Seite 8/9 des Durchmessers, d. h. sie setzten π gleich 256/81 = 3,1605; eine Übereinstimmung mit dem alten indischen √10 = 3,162, die zu denken gibt. Die Frage, wie sie zu diesem erstaunlich genauen Näherungswert gekommen sind, scheint mir unschwer zu beantworten.

[Sidenote: Quadratur des Zirkels.]

Sie nahmen einen Zylinder mit der Höhe h und dem Durchmesser d des Grundkreises und gossen Wasser hinein und dieses Wasser in ein balkenartiges Gefäss mit dem Grundquadrat a^2. Das Wasser stieg bis zur Höhe η, dann hatten sie xd^2h = a^2η und x = a^2/d^2 · η/h, falls a = d, x = η/h und fanden für das Verhältnis η/h, oder x den Wert 64/81.

Wie selbstverständlich es war, dass man das Volumen eines Gefässes von konstantem Querschnitt seiner Höhe proportional setzte, das kann man bei Heron lesen. Der Begriff des (rationalen) Verhältnisses war ihnen, wie schon die Rechenaufgaben des Ahmes zeigen, völlig geläufig.

[Sidenote: Volumenbestimmung.]

Die Geometrie beginnt mit der Bestimmung des Volumens von Fruchtspeichern mit kreisförmiger, bezw. krummliniger und rechteckiger Grundfläche, z. B.: Ein rundes Fruchthaus von 9 Ellen Höhe in der grössten Ausdehnung und 6 Ellen Breite, wieviel Getreide geht hinein? Es wird, wenn statt 9 l und statt 6 h gesetzt wird, gerechnet nach der Formel

(4/3 · 8/9 l)^2 · 2/3 h.

[Sidenote: Halbkugel.]

Es lässt sich mit diesen Beispielen nicht allzuviel anfangen, die Abbildungen fehlen und alle näheren Angaben über die Beschaffenheit der Haufen. Aber schon ¨Eisenlohr¨ bemerkt: sollte unserm Rechner die zur Bestimmung der Halbkugel nötige Formel πr^2 2/3 r vorgeschwebt haben?

Ich komme damit auf die Berechnung der Kugel, bezw. Halbkugel.

Im ersten Hefte der Kahunpapyri auf Tafel 8 ist eine Figur gezeichnet, die der Herausgeber der Petriepapyri Griffith richtig umschrieben und gelesen hat, deren Deutung er aber nicht gefunden zu haben bekennt. Er sagt, es scheint sich um den Inhalt eines kreisförmigen Fruchthaufen zu handeln, dessen Höhe 12 und dessen Durchmesser 8 ist. Er hat sich durch eine Zahl 12, welche über der Figur steht, und die zur Rechnung gehört, täuschen lassen, sonst wäre er wohl selbst darauf gekommen, dass wir hier die Zahlenrechnung zur Ermittelung eines halbkugelförmigen Getreideschobers von 8 Ellen Durchmesser vor uns haben. Die Figur zeigt einen Kreis, neben dem links 8, der Durchmesser in Ellen, steht, und in dem 1365-1/3 der Inhalt zu lesen ist.

12

[**symbol]

[1] 1365-1/3 / 1 . 256 In unserer Rechnung: 8 2 .. 512 8 . 3/2 = 12 2/3 8 / 4 . 1024 12 . 4/3 = 16 / 1/3 4 / 1/3. 85-1/3 16 . 16 = 256 zusammen 16 [**symbol] 1365-1/3 256 . 5-1/3 = 1365-1/3 / 1 16 /10 160 / 5 80 Heute d^3π/12 = 134,041 Kubikellen = 1340,41. zusammen 256

Abgesehen von dem Fehler für π ist also der Inhalt in 1/10 Kubikellen ausgedrückt. Was dieses Mass betrifft, so ist es eine ganz natürliche Übereinheit. Das Haupthohlmass ist das Hin; die Kubikelle = 320 Hin, die Elle = 0,526^m ergibt für das Hin 0,455 Liter, 32 Hin sind 14,61 Liter, ungefähr 1/2 Scheffel. Das Hin wurde geteilt in 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32, es ist also 32 Hin als Übereinheit durchaus gerechtfertigt.

Die Rechnung ist:

(d-3/2 . 4/3)^2 . 2/3 d = 32d^3/12.

[Sidenote: Ausmessung eines grossen Haufens durch kleines Mass.]

Der Fehler bleibt unter 2%, für π ergibt sich 3,2. Dies ist ungenauer als im Handbuch, wo π = 3,16 ist, aber ¨Borchardt¨, der Erklärer, setzt ganz richtig hinzu: Dies Resultat ist durch häufiges wirkliches Ausmessen solcher halbkugeligen Haufen gewonnen worden. Dabei waren viele Beobachtungsfehler unvermeidlich. Die mathematische Form der Haufen war kaum herzustellen, die Hohlmasse (32 Hin) waren recht ungleich gefüllt und endlich lassen sich von einem grossen Getreidehaufen infolge des grösseren Druckes und dadurch veranlassten dichteren Lagerung in seinem Innern in praxi mehr kleinere Hohlmasse füllen als man theoretisch rein nach der Volumenvergleichung erwarten sollte, da sich im kleineren Masse die Körner naturgemäss loser lagern.