Part 29

Das 1. Buch wiederholt nur von Philolaos, Euklid und Eratosthenes gegebenes, Kap. XIII wird das Sieb des Eratosthenes beschrieben. Das Diagramm im Codex von Zeitz ist nicht nur eine Primzahlen- sondern zugleich eine Faktorentabelle, Kap. XIX, Hoche p. 51, findet sich dann das erste Diagramm des kleinen Einmaleins in der uns geläufigen Form:

μήκος +----+----+----+----+----+----+----+----+---------+ | α | β | γ | δ | ε | ϛ | ζ | η | θ | ι | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | β | δ | ϛ | η | ι | ιβ | ιδ | ιϛ | ιη | κ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | γ | ϛ | θ | ιβ | ιε | ιη | κα | κδ | κζ | λ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | δ | η | ιβ | ιϛ | κ | κδ | κη | λβ | λϛ | μ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | ε | ι | ιε | κ | κε | λ | λε | μ | με | ν | βάθος +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | ϛ | ιβ | ιη | κδ | λ | λϛ | μβ | μη | νδ | ξ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | ζ | ιδ | κα | κη | λε | μβ | μθ | νϛ | ξγ | ο | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | η | ιϛ | κδ | λβ | μ | μη | νϛ | ξδ | οβ | π | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | θ | ιη | κζ | λϛ | με | νδ | ξγ | οβ | πα | ϟ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+ | ι | κ | λ | μ | ν | ξ | ο | π | ϟ | ρ | +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

[Sidenote: Nikomachos, Introd. Buch 2.]

Weit bedeutender ist das zweite Buch, es enthält eine ganz achtbare Zahlentheorie auf altpythagoreischer Grundlage, wie sich Nikomachos, man vgl. ¨A. Boeckhs¨ Philolaos, durchaus auch in seiner Philosophie ganz eng an Philolaos anschliesst. Zunächst kommen Betrachtungen über gewisse, schon den Altpythagoräern geläufige Beziehungen zwischen Ketten von geometrischen Reihen desselben Exponenten, die im Kap. 4 aber nichts Geringeres enthalten als den ¨Binomischen Satz¨, und zwar im Grunde nach demselben Bildungsgesetz, welches im sog. Pascalschen Dreieck angewandt wird.

Es folgt dann die Lehre von den figurierten Zahlen, von denen die Dreieckszahlen (n [**ueber] 2) und die Viereckszahlen, die Quadrate, sowie die Tetraederzahlen (n [**ueber] 3) und Würfelzahlen, Kuben, jedenfalls allbekannt waren. Aber die Lehre von den figurierten Zahlen (σχηματιζοντες) ist bei Nikomachos, der an ¨Hypsikles¨ einen Vorgänger hatte, sehr ausführlich behandelt, und sie spielte, man sehe das so wichtige Werk ¨R. Baltzers¨, Elem. d. Math., von da ab bis ¨in die Mitte des 19. Jahrh¨. eine grosse Rolle auch im Elementarunterricht. Die p-te Polygonalzahl ist von der Form n + (p - 2)(n [**ueber] 2) und der Gnomon im Heronschen Sinne der von n auf (n + 1) überführt ist 1 + (p - 2)n; die Figur zeigt die 5-Ecke der Seiten 1, 2, 3, 4, 5.

x-----x-----x-----x-----x / \ / \ / \ x x / \ / x-----x-----x-----x \ / / \ \ x / \ x / / \ \ / x x \ / / \ \ x / x-----x-----x \ x / / / \ \ \ / x / \ x \ / / / \ \ \ x / x x \ x / / \ \ x / x-----x \ x / / \ \ x / \ x / \ x x

x

Die n-te (p + 1)-Eckzahl ist gleich der n-ten p-Eckzahl vermehrt um die (n - 1)te Dreieckszahl. Es handelt sich, wie man sieht, um Summation arithmetischer Reihen erster Ordnung. Interessant ist der Satz Kap. 20: n^3 = Σn(n - 1) + 2k - 1 wo k von 1 bis n geht. Nicht minder interessant ist Kap. 7, wo die Definitionen des ¨Platon¨ und ¨Aristoteles¨ über Punkt, Linie, Fläche, zwar vereinigt werden, aber die Platonische benutzt wird, um aus dem ¨Ursprung¨ der vorhergehenden die folgenden Zahlen zu definieren; die Flächenzahl ist Summe der (vorhergehenden) Linienzahlen, bezw. Reihe von ihnen, die Körperzahl wiederum von Flächenzahlen.

[Sidenote: Proportionenlehre.]

Mit Kapitel 21 beginnt dann die ganz ausführliche Lehre von den Proportionen, neu ist vielleicht die Lehre von der vollkommensten, der musikalischen a : (a + b)/2 = 2ab/(a + b) : b z. B. 6/9 = 8/12 welche Pythagoras, wie ¨Jamblichos¨ sagt, aus ¨Babylon¨ nach Griechenland gebracht hat. Mit Unrecht tadelt Nesselmann die Definition des Verhältnis bei Nikomachos; sie heisst: Verhältnis (λογος, ratio) ist das gegenseitige Enthaltensein zweier bestimmter Grössen, denn σχεσις ist bei Nikomachos und allgemein der technische Ausdruck für die σχεσις κατα πηκλικοτητα für die Messung der einen durch die andere.

Aus dem Résumé Nesselmanns hebe ich No. 1 hervor: »Bei Nikomachos erscheint die Arithmetik zum ersten Mal frei von den Fesseln geometrischer Vorstellungen, mit denen sie bei Euklides noch behaftet ist.« (Aber kaum mehr bei ¨Heron¨.)

[Sidenote: Theon.]

Auch Nikomachos teilt die altpythagoräische Ansicht, dass die unzerlegbare Eins keine Zahl sei. Diese Ansicht hat sich von Boëtius bis in die Rechenbücher des 18. Jahrh. gehalten, wenn Nikomachos sie auch nicht so klar ausgesprochen hat, wie der vielleicht etwas ältere Astronom ¨Theon¨ von Smyrna in seinem schon mehrfach erwähnten Werk »των κατα το μαθηματικον χρησιμων εις την του Πλατωνος αναγνωσιν; was man an Mathematischem wissen muss, um Platon zu verstehen. Erhalten sind grosse Fragmente der Arithmetik, der Musik, d. h. der theoretischen Lehre von den Intervallen und dem Kontrapunkt, sowie der Astronomie, 1892 von ¨J. Dupuis¨ Griechisch und ¨Französisch¨ ediert. In der Astronomie hängt er von dem Peripatetiker Adrastos ab, der u. a. einen Kommentar zum Timaios verfasst hat. Erwähnung verdient Theon nur, weil sich bei ihm die ¨Kettenbruchentwicklung¨ der √2 findet, die sich auch mit einer Nikomachischen Formel berührt, die selbst wieder seltsam an f(x + 2dx) = f(x) + 2f′(x)dx + f″(x)dx^2 erinnert, die ihrerseits wieder den Keim zu einer elementaren, wenn auch nicht strengen Ableitung der Taylorschen Reihe birgt. Einen Weg der weder für Theon noch einen andern Pythagoräer gangbar war, der aber geistvoll ist, hat der Norweger ¨T. Bergh¨, Schlöm-Cantor 31, S. 135 angegeben. Geht man von einem gleichschenklig rechtwinkligen Dreieck aus, dessen Katheten α_{n-1} und δ_{n-1} sind und verlängert beide Katheten um δ_{n-1} und verbindet die freien Endpunkte, so ist α_{n} = α_{n-1} + δ_{n-1} und d_{n} = 2α_{n-1} + δ_{n-1} und dies sind die Präkursionsformeln für die Näherungswerte des Kettenbruchs √2 = (1|2), wenn man α_{1} = δ_{1} = 1 setzen könnte wie Theon tut. Viel wahrscheinlicher ist es, dass wir es hier mit altem Gut der Pythagoräer zu tun haben, bezw. der Platoniker und dass sie nach Auflösung der Diophantischen Gleichung x^2 + y^2 = z^2 sich an die Gleichung x^2 - 2y^2 = ±1 gemacht haben.

[Sidenote: Jamblichos, Thymaridas.]

Ich schliesse hier gleich ¨Jamblichos¨ geboren etwa 330 in Chalkis in Coelesyrien an, der als Philosoph der Stifter der sogen. Syrischen Abart des Neupythagoreismus oder Neuplatonismus ist, und der ein grosses Werk in 10 Büchern συναγωγή των πυθαγορείων δογμάτων, Sammlung der Pythagoräischen Lehren, geschrieben, deren erstes Buch der Roman: das Leben des Pythagoras, ist und deren 4. Buch die Erläuterungen zu Nikomachos Arithmetik wichtig ist, erstens für das Verständnis des Nikomachos und zweitens weil darin beiläufig das »Epanthema« d. h. Blüte des ¨Thymaridas¨ überliefert wird, möglicherweise eines Altpythagoräers, obwohl der Name »Blüte« ¨indische¨ Reminiscenzen weckt, wo poetische und phantastische Bezeichnungen gang und gäbe waren, und ferner das gänzliche Fehlen jeder geometrischen Einkleidung auf eine erheblich d. h. mindestens 3 bis 4 Jahrhunderte spätere Zeit weisen. Die Regel selbst ist von ¨Nesselmann¨, trotz des schlechten Textes und der schlechten Übersetzung des Tenulius der 1668 den Kommentar ediert hat, völlig richtig gestellt »Sind x y^I y^{II} y^{III} y^{IV} etc. eine Anzahl ¨unbestimmter¨ (Grössen), αοριστων und ist x + Σ y_{k} = a d. h. bestimmt (ωρισμενος), und x + y_{k} = b_{k}, so ist x = (Σ (b_{k} - a_{k}))/(n - 1). Das von mir mehrfach als Gesetz für Datierungen angeführte Prinzip auf den ganzen gedanklichen Zusammenhang zu sehen, bestimmt mich auch den Thymaridas in die Zeit der Arithmetisierung der Mathematik zu setzen. Von eigener Mathematik des Jamblichos wären etwa die Sätze n^2 = n + 2(1 + 2 + ... n - 1) zu erwähnen. Eine moderne, philologische Ausgabe des Kommentars ist 1894 von ¨I. Pistelli¨ gemacht worden, den als arithmetisches Werk Nesselmann sehr ausführlich S. 236-242 behandelt hat.

[Sidenote: Plotin.]

Auch die Philosophie des Jamblichos, obwohl ihn Proklos im Kommentar zum Timaios den Göttlichen nennt und obwohl der Kaiser Julianus Apostata für ihn schwärmte, ist nur eine phantastische und vielleicht absichtlich unklar gehaltene Ausführung der Lehren des Porphyrios oder vielmehr des Plotin, interessant wäre es allerdings, den babylonischen und besonders den ¨indischen¨ Einflüssen bei Jamblichos nachzugehen, z. B. für die Rolle, welche Opfer und Gebet in seiner Lehre spielen. ¨Plotin¨ den man vielleicht statt Neuplatoniker den neuen Platon nennen könnte, ist das geistige Haupt der Schule und durch seinen Einfluss auf ¨Augustinus¨, den grossen kirchlichen Neuplatoniker, den Plotins Lehre vom Sünder zum Heiligen wandelte, kulturgeschichtlich von grösster Bedeutung, und ich bedaure aufrichtig m. H., dass ich für Plotin zur Zeit nicht über Quellenstudien verfüge. Plotin war aber auch mathematisch gebildet und gab in Rom mathematischen Unterricht, und Augustins ungeheurem Einfluss auf die Abendländische Kirche wenigstens von 400-1200 danken wir die Berücksichtigung der Arithmetik als Wissenschaft in den Kathedralschulen.

¨Plotin¨ ist 202 oder 205 in Lykopolis in Ägypten (Siwet = Assiut) geboren, seine philosophische Bildung hat er in Alexandrien erhalten, dem Brennpunkt des wissenschaftlichen Lebens in der Schlussperiode der antiken Welt. Dort weilte er vom 18. bis 28. Lebensjahre als Schüler des Neuplatonikers Ammonios, Saccas, d. h. der Lastträger genannt. Dieser hat wie es scheint nichts geschrieben, aber wie bedeutend er war, zeigen seine Schüler, Longin, Origenes und Plotin, der von allen anderen Lehrern unbefriedigt, zehn Jahre in seiner Schule blieb.

[Sidenote: Philon von Alexandria.]

Mehr noch als dem Ammonios verdankte Plotin den Schriften ¨Philons¨. Philon, etwa von 28 v. Chr. bis 50 n. Chr. war zwar äusserlich strenger Israelit, aber er hatte in die heiligen Schriften des Judentums eine Symbolik hineininterpretiert, welche seiner eigenen Philosophie oder richtiger Religion entsprach. Unter dem Einfluss stoischer (Heraklitischer) essäischer und christlicher Lehren, kann man die seine als eine Lehre von der Zweieinigkeit Gottes und des Logos, der zugleich Heiliger Geist und Gottes Sohn, bezeichnen. Die Symbolische Deutung der heiligen Schriften, welche sich im gewissen Sinne schon bei Platon und Aristoteles und ihren Schülern findet, die den Konflikt mit der Volksreligion vermeiden wollten, hat sich von Philon ab bis heute in der Theologie erhalten. Von ¨Philon¨ hat ¨Plotin¨ die Askese und die Ekstase, d. i. die Vereinigung mit Gott oder Erfassung (αφή) Gottes. Dieses Gottwerden der Menschen durch Kasteiung, Gebet und Busse, weist wiederum nach Indien, wo solche gottgewordene Menschen noch heute verehrt werden. Und auch in der Allgemeinheit und damit Leerheit des eigentlichen Gottesbegriffs wurzelt Plotin in Philon.

[Sidenote: Plotin.]

Um 243 nahm ¨Plotin¨ an dem Feldzug Gordian III. gegen die Parther teil, wozu ihn das Interesse an der persischen Religion, an dem was Zarathustra sprach, antrieb. In der Askese und Ekstase und auch in dem Dualismus zwischen Ormuz und Ahriman fanden sich enge Beziehungen zu seinen eigenen Gedanken. Nach dem unglücklichen Ausgang des Feldzugs ging er nach Rom, und er muss schon damals berühmt gewesen sein, da er in der Weltstadt zahlreichen Zulauf fand und den Kaiser Galienus selbst zu seinen Schülern zählte. In Rom lehrte er von 244-268, dann zog er sich schwer leidend auf ein Landgut bei Minturnae in Campanien zurück, wo sich seine Seele aus ihrem Körper befreite. Die Vorlesungsnotizen, welche Plotin etwa mit 60 Jahren niedergeschrieben, wurden in seinem Auftrag von seinem Lieblingsschüler ¨Porphyrios¨ redigiert und in 6 Enneaden d. h. in 6 Büchern zu 9 Abschnitten herausgegeben.

Der wesentliche Unterschied zwischen Plotin und Platon liegt in der Ideenlehre. Die Ideen, die bei Platon aus der Erfahrung der Einzelnen abstrahierte grundlegende Konzeptionen der gesamten Vernunft der Menschheit sind, welche als solche ewige Dauer und regulative Kraft besitzen, werden zu Ideen oder Gedanken a priori der von der Gottheit ausstrahlenden Vernunft, des Logos bei Philo, des Noūs (νοῦς) bei Plotin. Die Emanation stellt sich Plotin etwa vor, wie wir die Radiumemanationen.

Die Gottheit selbst bleibt unbewegt und ohne Teilnahme, an dem was sie ausstrahlt, sie ist das Eine schlechtweg, das $το εν$ der Pythagoräer und steht so hoch über uns, dass wir eigentlich gar nichts von ihr aussagen können als jene Ausstrahlung. Bei den späteren Neuplatonikern, insbesondere bei Proklos ist der Begriff der Gottheit so leer geworden, dass er besser als mit der Eins mit der Null verglichen werden könnte. Der Noūs selbst aber zeigt schon eine Entzweiung, eine Trennung in Denkkraft und Gedanken. Abbild und Erzeugung des Noūs, der von Gott emanierenden Weltvernunft, ist die Psyche und sie, die Seele, erzeugt, mittelst des Substrats der Materie, der Hyle, die sie durchdringt wie etwa das Licht ein Medium, die Körperwelt, an deren Leiden oder richtiger Reizungen die wahrnehmende Empfindung eigentlich keinen Anteil hat. Da die Psyche Funktion der Vernunft und diese wieder Funktion Gottes ist, so ist es dem Menschen gegeben nach Ähnlichkeit mit Gott zu streben und darin liegt die ¨Tugend¨. Ja durch Abtöten des Sinnlichen und völliges Versenken in die religiöse Betrachtung des Einen kann es gelingen zur Ekstase, d. h. zur Vereinigung mit Gott zu kommen und in diesem Zustand war ¨Plotin¨ nach Angabe des Porphyrios viermal. Die späteren Neuplatoniker, wie Apollonios von Thyana und Jamblichos, knüpften an diesen Zustand, der etwa dem entspricht, was die heutigen Mystiker »Trans« nennen an, um die Möglichkeit des Prophezeiens und der Wundertaten zu begründen.

Ich möchte noch hervorheben, dass die Quelle der ¨Schopenhauerschen¨ Ästhetik eigentlich bei ¨Plotin¨ liegt. Nach jenem liegt das Wesen der Kunst in der intuitiven Erfassung der im Objekt zur Erscheinung kommenden Idee, d. h. der bestimmten Abstufung des Willens an sich, losgelöst von jeder Beziehung auf das individuelle erkennende Subjekt, und der Wert der künstlerischen Betrachtung darin, dass »das Ixionsrad« des eigenen Wollens stille steht und wir vor dem Schönen und durch das Schöne zum ¨reinen¨ willenlosen Subjekte der Erkenntnis werden. ¨Plotin¨ sagt, Enneade V, 81: Nicht in der blossen Symmetrie, sondern in der Herrschaft des Hohen über das Niedere, der ¨Ideen¨ über den Stoff, der Seele über den Leib, der Vernunft und des Guten über die Seele, liegt das Wesen der Schönheit.

[Sidenote: Porphyrios.]

¨Porphyrios¨ hat bei Plotin auch Mathematik gelernt, er wird von Proklos des öfteren erwähnt, ich führe S. 311 den Beweis von I 18 an: Der grösseren Seite liegt der grössere Winkel gegenüber, den ich unsern Schulen wieder gewinnen möchte: Wenn αβγ das Dreieck und αβ < αγ, so mache man αβ mit βε gleich βγ, dann ist αεγ gleichschenklig und Winkel ε = εγβ + γ und ε noch kleiner als β nach I, 16, dem Satz vom Aussenwinkel.

[Sidenote: Diophant.]

Den Schluss und zugleich den Gipfel der Hellenistischen Arithmetisierung der Mathematik bildet ¨Diophantos¨ von Alexandrien.

Seine αριθμητικά bedeuten den durch eine weite Kluft von allem anderen getrennten Höhepunkt dessen, was die Griechen auf arithmetischem Gebiet geleistet haben. Sein Werk ist so einzigartig, dass es keineswegs ausgeschlossen ist, dass Indische und Babylonische Einflüsse wirksam gewesen sind. Seine Lebenszeit ist wahrscheinlich das Ende des 4. Jahrhunderts nach Christi, wie ¨Nesselmann¨ l. c. festgestellt hat. Dass Pappos ihn nicht erwähnt, kann ich mir nur dadurch erklären, dass er nach Pappos geschrieben. Alles was wir von ihm wissen, steht im Epigramm 19 der von ¨Maximus Planudes¨, einem byzantinischen Mönch, aus älteren Exzerpten gesammelten Anthologie:

Hier das Grabmal deckt Diophant, ein Wunder zu schauen, Durch arithmetische Kunst lehrt sein Alter der Stein. Knabe zu sein gewährte ein Gott ihm ein Sechstel des Lebens; Noch ein Zwölftel dazu, spross auf der Wange der Bart. Und ein Siebentel mehr, sieh Hymens Fackel entbrannte, Fünf der Jahre darnach, teilt er ein Söhnlein ihm zu. Ach unglückliches Kind! Halb hatte das Alter des Vaters Es erreicht, da nahm's Hades der Schaurige auf. Noch vier Jahre ertrug er den Schmerz, der Wissenschaft lebend, Und nun künde das Ziel, welches er selber erreicht.

Also mit 33 Jahren verheiratet und mit 84 gestorben.

[Sidenote: Fermatsche Satz.]

So berühmt Diophant als Arithmetiker heute ist, so wenig wurde sein Werk von den Griechen der folgenden Zeit verstanden, nur ganz wenige und verstümmelte Handschriften seines Werkes sind erhalten, alle, auch die jüngst gefundenen vom selben Archetyp stammend. Ein einziger Grieche, der schon genannte ¨Maximus Planudes¨, der in der ersten Hälfte des XIV. Jahrh. lebte, hat Scholien zu den beiden ersten Büchern geschrieben. Dagegen haben sich die Araber verhältnismässig früh des Diophant bemächtigt und kein geringerer als ¨Abul Wafa¨, der die Mondvariation festgestellt hat, übersetzte die Schrift gegen Ende des 10. Jahrh. Das bisher noch nicht aufgefundene Werk findet sich vielleicht auch noch in Leyden. In Europa hat zuerst ¨Regiomontan¨, decus Germaniae, wie ihn Petrus Ramus nennt, 1464 zu Venedig einen Diophant-Codex gesehen. Die erste zwar mangelhafte, aber vollständige Übersetzung ins Lateinische veröffentlichte 1575 ¨Wilhelm Xylander¨ oder Holzmann zu Augsburg, sie ist eine bibliographische Rarität. Die erste Textausgabe mit lateinischer Version und vielen Zusätzen und Erläuterungen rührt von ¨Gaspard Bachet¨, sieur de ¨Méziriac¨ her, -- Paris 1622, der durch seine »Problèmes plaisants et délectables« (1612) so bekannt ist. Eine zweite Ausgabe von Bachets Arbeit veranstaltete S. Fermat; die Ausgabe ist an sich sehr mangelhaft, aber sie enthält die berühmten Randbemerkungen seines Vaters ¨Pierre Fermat¨, Frankreichs grössten Mathematikers, darunter den berühmten ¨Fermatschen Satz¨: Die Gleichung x^n + y^n = z^n ist wenn n > 2 nicht in ganzen (rationalen) Zahlen lösbar. Diese Anmerkungen haben die moderne Zahlentheorie, die Arithmetica sublimior wie ¨Gauss¨ sie nannte, geschaffen. Eine neue sehr sorgfältig redigierte Ausgabe ist von ¨P. Tannery¨ 1893 geschaffen. ¨G. Wertheim¨ hat 1890 eine tadellose deutsche Übersetzung der Arithmetik und der Schrift über Polygonalzahlen des Diophant und der Anmerkungen Fermats gegeben.

Von den 13 Büchern, welche Diophant selbst in dem Einleitungsschreiben an einen gewissen Dionysios erwähnt, sind uns in den Handschriften nur 6 erhalten, aber die allgemeine Ansicht geht dahin, dass das Verlorene sich im wesentlichen nur auf die Behandlung der gemischt quadratischen Gleichungen bezogen habe und wissenschaftlich der Verlust zu verschmerzen. Dagegen scheint der Verlust eines andern Werkes der »Porismata« (vergl. Euklid) schwerer zu wiegen, wenigstens nach dem Satz zu urteilen, den Diophant selbst zitiert: die Differenz zweier (rat.) Kubikzahlen (a und b) ist stets die Summe zweier (rat.) Kubikzahlen. Von ¨Vieta¨ gelöst: x = a(a^3 - 2b^3)/(a^3 + b^3); y = b(2a^3 - b^3)/(a^3 + b^3).

Das erste was wir aus den Arithmetica hervorheben, ist dass bis auf eine einzige vermutlich eingeschobene Aufgabe V, 13, Wertheim S. 209 niemals die Zahlen seiner Aufgaben durch Linien oder sonst geometrisch versinnlicht sind. Er spricht zwar oft von rechtwinkligen Dreiecken, aber er meint stets drei Zahlen a, b, c, welche der Gleichung a^2 + b^2 = c^2 genügen. Zweitens gehen auf ¨Diophant¨ die nach ihm genannten Aufgaben der unbestimmten Analytik zurück, obwohl eine diophantische Gleichung in unserem Sinne bei ihm nicht vorkommt. Erst ¨Bachet¨ hat die Gleichung ax + by = c allgemein in ganzen Zahlen aufgelöst. Diophant begnügt sich mit rationalen Zahlen und was die Hauptsache, er gibt immer nur eine Lösung. Das was speziell an indischen Einfluss denken lässt, liegt erstens in der Systemlosigkeit und zweitens darin, dass eigentlich, wenn man vom ersten Buch absieht, der Lehre von den gewöhnlichen Gleichungen ersten Grades, nirgends allgemeine Methoden vorkommen, sondern jede Aufgabe durch eigene oft sehr merkwürdige Kunstgriffe gelöst wird. Oft ist die Aufgabe allgemein gefasst und wird durch willkürliche Annahmen eingeschränkt.

Ganz eigenartig ist auch die Bezeichnung bei Diophant; vergl. ¨Nesselmann¨ l. c. Kap. 7. Für die Unbekannte die bei ihm αριθμός »die Zahl« heisst, hat er ein Zeichen ϛ oder auch ϛο, das man früher für das Schlusssigma hielt. ¨T. L. Heath¨, Diophantos of Alex. Cambr. 1885 hat mit guten Gründen behauptet, dass es die Abbreviatur von αριθμός ist. Das Quadrat der Unbekannten, unser x^2 heisst wie gewöhnlich δύναμις, Zeichen δ^ῡ; x^3 desgleichen κύβος, Zeichen κ^ῡ, x^4 bei ihm wie durch die Metrika nachgewiesen bei ¨Heron¨: δυναμοδύναμιν [Biquadrat] δδ^ῡδ, x^5 δυναμοκυβος δκ^ῡ, x^6 κυβοκυβος, κκ^ῡ. Bestimmte Zahlen (ὡριζομενοι) heissen μοναδες, Zeichen μ^ο, zum Unterschiede von den αοριστοι den zunächst unbestimmten, also wie bei Jamblichos, 1/x heisst αριθμοστον; 1/x^2 δυναμοστον u. s. f.

Kein Zeichen bedeutet die ¨Addition¨, welche damals also noch als die Hauptoperation galt, sie heisst ὑπαρξις; die Subtraktion heisst λειψις, Zeichen ein umgekehrtes ψ also [**symbol] oder ⬆. Bei (x - a)(x - b) findet sich die Regel: Minus × Minus ist plus (λ.λ ist ὑπαρξις), doch schliesst Diophant negative Zahlen wie auch irrationale Zahlen prinzipiell aus. Cantor sagt mit Recht, dass sich bei Diophant schon eine hoch entwickelte Buchstabenrechnung findet. Immerhin ist ihr die ¨Vieta'sche¨ sehr überlegen.

Ich gebe nach Cantor die Gleichung 10x + 30 = 11x + 15.

ςς^{οι} αρα ῑ μ^ο λ ἱσοι εισιν ςς^{οις} ῑᾱ μονασι ῑε (Unbekannte nun zehn und Einheiten 30 sind gleich Unbekannten 11 und Einheiten 15.) M. H. Cantor hat wiederum recht, wenn er sagt dies ist eine Stenographie aber noch keine Symbolik.

Die Gleichheit wird übrigens oft nur durch ἱ ausgedrückt.

[Sidenote: Diophant, Beispiele.]

Als Beispiel N. 1 gebe ich Ihnen I, 9 Werth. 15. Von zwei gegebenen Zahlen eine und dieselbe Zahl zu subtrahieren, so dass die erhaltenen Reste in einem gegebenen Verhältnis stehen.

Es muss jedoch dieses Verhältnis ¨grösser sein¨ als das in welchem die grössere der beiden gegebenen Zahlen zur kleineren steht.

Die Bedingung ist nötig damit x > 0 wird.

Es soll [z. B.] von 20 und 100 dieselbe Zahl abgezogen werden und so gewählt werden, dass der grössere Rest das 6fache des kleineren ist.

100 - x, 20 - x die Reste, 120 - 6x = 100 - x die Gleichung.