Part 39

Über dieses Ergebnis konnte die Kommission für Maß und Gewicht erst mehrere Jahre später berichten. Das durch geodätische Bestimmungen gefundene, als Meter bezeichnete Maß belief sich auf 443,296 Linien (3 Fuß 11,296 Linien). Das provisorische Maß war also um 0,146 Linien, d. h. um etwa ⅓ mm länger als das durch die Gradmessung ermittelte Meter. Darauf wurde die Einheit des Gewichtes im dezimalen metrischen System bestimmt. Es ergab sich, daß das Kubikdezimeter destillierten Wassers von größter Dichte im leeren Raum 18827,15 Gran wog[800]. Die so erhaltenen, sehr genau gearbeiteten, aus Platin verfertigten Normalmaße (ein Meter und ein Kilogramm) wurden am 22. Juni 1799 im Staatsarchiv hinterlegt. Sie werden dort mit größter Sorgfalt aufbewahrt und nur selten zur Verifizierung gebraucht, da für diesen Zweck von ihnen entnommene Maße dienen.

Es konnte nicht ausbleiben, daß man später Fehler in der Bestimmung des Gradbogens entdeckte. Eine 1840 unternommene Berechnung ergab für das Meter 3 Fuß 11,375 Linien. Danach ist ein Meridianquadrant nicht 10000000, sondern 10000856 mal so groß, wie der in Paris aufbewahrte étalon primitif. Man beschloß aber, an letzterem festzuhalten, »weil man auf dem eingeschlagenen Wege doch nicht in aller Strenge zu einem natürlichen Maße gelangen« könne.

Wie das Ergebnis dieser zu den denkwürdigsten wissenschaftlichen Untersuchungen zählenden Gradmessung, so ist auch ihre Ausführung von Interesse. Übertraf sie doch alle früheren an Umfang und Genauigkeit. Die äußersten Punkte des gemessenen Bogens waren Dünkirchen (51° 2ʹ 10,5ʺ n. Br.) und ein Turm (41° 21ʹ 44,8ʺ n. Br.) in der Nähe von Barcelona. Die Länge dieses Bogens betrug also 9° 40ʹ 25,7ʺ. Seine Mitte lag unter 49° 11ʹ 58ʺ. Da man die Mitte des Bogens möglichst unter 45° n. Br. zu haben wünschte, dehnte man die Triangulationen später (1806) weiter nach Süden bis zur Insel Formentera aus. Der Bogen erhielt dadurch eine Länge von 12° 22ʹ 13,44ʺ. Seine Mitte fällt unter 44° 51ʹ 2,83ʺ.

Der Triangulation wurden zwei Standlinien zugrunde gelegt. Die eine in der Nähe von Paris war 6075,9 Toisen lang, die andere in der Nähe der spanischen Grenze (Perpignan) besaß eine Länge von 6006,25 Toisen und diente zur Kontrolle. Ausgemessen wurden diese Standlinien mit Platinstangen, die unter der Aufsicht von *Borda* mit der größten Sorgfalt verfertigt waren. Besondere Vorkehrungen dienten dazu, um die jeweils herrschende Temperatur bei der Benutzung dieser Stangen in Betracht zu ziehen usw. In wissenschaftlicher Hinsicht hatte die Messung das bemerkenswerte Ergebnis, daß die Erde kein regelmäßiges Rotationsellipsoid vorstellt, daß also kein Meridianquadrant genau gleich dem anderen ist. Auch eine zur selben Zeit in England unternommene Gradmessung kleineren Umfangs, die aber mit größter Genauigkeit durchgeführt wurde, ergab die gleiche Anomalie. Um also wenigstens annähernd die Gestalt der Erde zu bestimmen, mußte man die Ergebnisse aller an den verschiedenen Orten der Erde vorgenommenen Gradmessungen zusammenfassen und nach der Methode der kleinsten Quadrate diejenige Gestalt daraus berechnen, die der wahren Gestalt der Erde am nächsten kommt. Diese Aufgabe, mit der sich schon *Bessel* beschäftigte, suchte das im Jahre 1886 gegründete Unternehmen der internationalen Erdmessung zu lösen. Das Ergebnis, zu dem man seitdem vorgedrungen ist, läuft darauf hinaus, daß die Erde keine regelmäßige mathematische Gestalt besitzt. Sie bildet zwar eine nach außen überall konvexe Fläche, zu deren Bestimmung indessen die geodätische Untersuchung nur vorzudringen vermag, wenn sie sich mit der systematisch durchgeführten Schweremessung verbindet. Man hat sie als Geoid bezeichnet und bringt sie mit dem Normalellipsoid in der Art in Verbindung, daß die Abweichungen zwischen diesem und dem Geoid durch trigonometrische Messung, geodätisches Nivellement und Schweremessung ermittelt werden, um auf diese Weise immer genaueren Aufschluß über die wahre Gestalt der Erde zu erlangen.

Sonnenparallaxe, Erddichte und Aberration.

In der Periode, die wir schildern, wurden auch die Entfernung und die Größe der Sonne, sowie die Abmessungen des Planetensystems nach ihrem absoluten Werte bestimmt, und damit Aufgaben gelöst, die der Astronomie seit der Zeit *Aristarchs* vorgeschwebt hatten.

*Edmund Halley* (1656-1742), ein jüngerer Zeitgenosse *Newtons*, dessen Verdienste um die Fortbildung der Physik, der Astronomie und der physikalischen Geographie wir kennen gelernt haben, war gelegentlich eines von ihm beobachteten Vorüberganges Merkurs vor der Sonne auf den Gedanken gekommen, einen derartigen Vorgang zur Bestimmung der Sonnenparallaxe zu verwerten, d. h. desjenigen Winkels, unter dem der Erdhalbmesser von der Sonne aus erscheint.

*Halley* machte seinen Vorschlag in zwei Abhandlungen, die 1693 und 1716 in den Philosophical Transactions erschienen. Ihre Titel lauten: »Über die sichtbare Konjunktion der unteren Planeten mit der Sonne«[801] und »Ein besonderes Verfahren, durch das die Parallaxe der Sonne mit Hilfe der vor der Sonnenscheibe zu erblickenden Venus sicher bestimmt werden kann«[802]. *Halleys* Vorschlag ging dahin, von mehreren entfernten Stellen der Erde aus die Durchgangszeiten eines der unteren Planeten, d. h. die Zeiten ihres Vorüberganges vor der Sonnenscheibe zu beobachten.

Bei einem Merkur- oder Venusdurchgang beschreiben nämlich die genannten Planeten auf der Sonnenscheibe Sehnen, deren Lage und Größe je nach dem Orte, den der Beobachter auf der Erde einnimmt, verschieden ist. Infolgedessen ist auch die Zeit eines und desselben Vorüberganges für die einzelnen Beobachtungsstationen von verschiedener Dauer. Wie aus Abb. 128 ersichtlich ist, steht die Entfernung *cd* der Sehnen *ef* und *gh* zu den Abständen der drei Weltkörper und dem durch Messungen auf der Erde seiner absoluten Größe nach bekannten Stück *ab* in einer gewissen Beziehung, so daß sich aus den Ergebnissen der Beobachtung eines Venusdurchganges die Größe und die Entfernung der Sonne berechnen läßt[803].

*Halley* selbst war es nicht mehr vergönnt, seinen Vorschlag ins Werk zu setzen, da Vorübergänge der Venus seltene Ereignisse sind und sich seit seinem Tode erst viermal wiederholt haben, nämlich in den Jahren 1761, 1769, 1874 und 1882. Sowohl für das Jahr 1761 als auch für 1769 wurden Expeditionen ausgesandt. Insbesondere waren daran England, Frankreich und Rußland beteiligt. Aus dem an der Hudsonbay, in Lappland, auf Tahiti usw. angestellten Beobachtungen berechnete der französische Astronom *Delalande* eine Parallaxe von 8,5-8,6 Sekunden. Da der mittlere scheinbare Durchmesser der Sonne sich auf 31ʹ 37ʺ = 1897 Sekunden beläuft, so ergibt sich aus dieser Bestimmung *Delalandes*, daß der Sonnendurchmesser denjenigen der Erde nahezu um das 113fache übertrifft, oder daß das Volumen der Sonne 1400000mal so groß ist wie dasjenige der Erde. Für die halbe große Bahnachse ergab sich ein Wert von 20682000 geographischen Meilen. Eine sorgfältige Neuberechnung der Sonnenparallaxe nach den 1761 gewonnenen Daten veröffentlichte später *Encke* (1822). Er fand den Wert der Parallaxe gleich 8,53 Sekunden.

Sind die Größenverhältnisse des Systems bekannt, so läßt sich durch eine ähnliche Schlußfolgerung, wie diejenige, die *Newton* auf die Entdeckung des Gravitationsgesetzes führte[805], die Kraft ermitteln, mit der ein Körper in der Nähe der Sonnenoberfläche angezogen wird. *Delalande* fand, daß diese Kraft 29mal die Anziehung der Erde übertrifft, so daß ein frei fallender Körper auf der Sonne in der ersten Sekunde 29 × 15,09 = 434 Pariser Fuß zurücklegt. Die neueren Bestimmungen haben für die Sonnenparallaxe 8,88ʺ ergeben, wodurch sich der Abstand der Erde von der Sonne auf rund 20000000 geographische Meilen (148,6 Millionen Kilometer) vermindert, und auch die übrigen Werte entsprechende Änderungen erfahren.

Von außerordentlicher Tragweite war *Halleys* Beobachtung, daß die Fixsterne ihre gegenseitige Stellung ändern. Er machte sie am Aldebaran, Arktur und Sirius, für die nach seinen Angaben diese, als Eigenbewegung bezeichnete Änderung sich seit den Zeiten des *Ptolemäos* auf die beträchtliche Größe von etwa einem halben Grad belief[806].

*Newton* hatte auf theoretischem Wege nicht nur die Abplattung, sondern auch die Dichte unseres Weltkörpers ermittelt. Die Bestimmung der ersteren und der sich daran anknüpfende Streit hatte die Aussendung der Expeditionen nach Lappland und nach Quito zur Folge gehabt. In Quito machte *Bouguer*[807] eine Entdeckung, welche die Handhabe bot, um auch die *Newton*sche Berechnung der Erddichte zu verifizieren. *Bouguer* fand nämlich, daß infolge der Anziehung des Chimborazo das Bleilot um 7-8ʺ von der senkrechten Lage abwich. Diese Beobachtung veranlaßte den Engländer *Maskelyne* (1732-1811), derartige Untersuchungen an einem nach Volumen und Dichte bekannten Berge anzustellen, um aus der Größe jener Abweichung und der Masse, die sie hervorruft, die unbekannte Masse der Erde auf Grund des *Newton*schen Gravitationsgesetzes zu berechnen[808].

*Maskelyne* wählte für seine im Jahre 1774 angestellten Messungen einen steilen, regelmäßig geformten Granitberg Schottlands. Die Dichte dieses Berges wurde auf Grund mehrerer, an verschiedenen Stellen entnommener Proben zu 2,5 gefunden, und aus diesem Wert und dem Rauminhalt des Berges die gesamte auf das Pendel wirkende Masse berechnet. Die Ablenkung selbst wurde dann in der Weise bestimmt, daß die Polhöhe nördlich und südlich von dem Berge gemessen wurde (siehe Abb. 129). Eine auf Grund der so gewonnenen Daten angestellte Rechnung ergab für die Erde als mittlere Dichte 4,71. Letztere ist danach etwa doppelt so groß wie diejenige des Granits, eines Gesteins, mit dem die meisten Substanzen, welche die starre Erdkruste zusammensetzen, hinsichtlich ihrer Dichte nahezu übereinstimmen.

Durch die Lösung derartiger Aufgaben trat die Astronomie in eine immer engere Beziehung zur Physik der Erde. Aber auch die reine Physik sollte durch die Bewältigung eines astronomischen Problems eine wichtige Förderung erhalten. Im 17. Jahrhundert hatte *Römer* auf astronomischem Wege eine physikalische Konstante, die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes nämlich, festgestellt. Jetzt bot sich eine andere Gelegenheit, dieselbe Größe zu ermitteln und infolge der Übereinstimmung der auf verschiedenen Wegen erhaltenen Ergebnisse zu einem höheren Grade der Gewißheit zu gelangen.

Seit dem Bekanntwerden des koppernikanischen Systems war seinen Anhängern die Aufgabe gestellt, den Umlauf der Erde um die Sonne durch den Nachweis einer entsprechenden, scheinbaren, jährlichen Bewegung der Fixsterne darzutun. In Abb. 130 bedeute ABCD die Erdbahn, S sei ein Stern, der sich in der Ebene der Ekliptik befinde. Steht nun der Durchmesser CA der Erdbahn zu dem Abstand ES des Sternes in einem nicht zu kleinen Verhältnis, so wird der Fixstern im Verlaufe eines Jahres am Himmel die scheinbare Bewegung SʹSʺSʹ erkennen lassen. Beobachtungen an einem außerhalb der Ekliptik gelegenen Fixstern werden für diesen als scheinbare Bahn eine Kurve ergeben, deren Gestalt der von dem Sterne aus beobachteten Bahn der Erde genau entspricht[809]. Der Winkel CSE, unter dem von dem Sterne aus der Halbmesser der Erdbahn erscheint, wird die jährliche Parallaxe des Sternes genannt. *Tycho*, der hinsichtlich der Genauigkeit seiner Messungen alle Vorgänger übertraf, mühte sich vergeblich ab, eine solche Parallaxe am Polarstern nachzuweisen, und erklärte insbesondere aus diesem Grunde dem koppernikanischen System seine Gegnerschaft. Letzteres war trotzdem zur unbestrittenen Herrschaft gelangt, ohne daß der geforderte, unmittelbare Nachweis der Umlaufbewegung bisher erbracht worden wäre.

Da die Schärfe der astronomischen Beobachtung seit den Zeiten *Tychos* sich vervielfältigt hatte[810], so nahmen *Hooke* und *Cassini* das alte Problem wieder auf. Ersterer wählte für seine Messungen den in der Nähe des Nordpols der Ekliptik befindlichen Stern γ Draconis und wies nach, daß dieser Himmelskörper tatsächlich seine Stellung innerhalb eines Vierteljahres um 25 Sekunden ändert.

*James Bradley* (1692-1763), der nach dem Tode *Halleys*[811] zum Direktor der Sternwarte zu Greenwich ernannt worden war, stellte während der Jahre 1725-1728 zu dem gleichen Zwecke zahlreiche Beobachtungen an. Neben γ Draconis zog er indes auch andere Fixsterne in Betracht, die in der Ekliptik selbst oder zwischen dem Pole und der Ebene der Ekliptik liegen. Seine Beobachtungen ließen scheinbare Bewegungen erkennen, die zwar den Beweis für eine Bewegung der Erde um die Sonne lieferten, indes doch nicht als parallaktische betrachtet werden konnten. Während nämlich γ Draconis im Laufe eines Jahres eine nahezu kreisförmige Bahn von 40ʺ Durchmesser beschrieb, durchliefen die in der Ekliptik gelegenen Sterne in demselben Zeitraum zweimal eine Linie, die unter demselben Winkel von 40ʺ gesehen wurde. Zwischen der Ebene und den Polen der Ekliptik befindliche Sterne endlich legten unterdessen Ellipsen zurück, deren große Achsen wieder 40ʺ maßen und der Ebene der Ekliptik parallel waren, während der Wert der kleinen Achsen zwischen 0ʺ und 40ʺ schwankte, je nachdem der betreffende Stern der Ekliptik oder ihrem Pole näher gelegen war[812]. Um diese scheinbaren Bewegungen auf eine Parallaxe zurückzuführen, hätte man, da in allen Fällen derselbe Wert von 40ʺ wiederkehrt, zunächst annehmen müssen, daß sämtliche Fixsterne gleich weit von der Erde entfernt seien. Dieser an sich schon unwahrscheinlichen Annahme widersprach aber die Tatsache, daß in B und D (siehe Abb. 130) der Stern nicht an demselben Orte gesehen wurde, wie es bei der parallaktischen Bewegung doch der Fall sein müßte. *Bradley* fand nämlich, daß, wenn die Erde sich in D befindet und sich in der Richtung *Dd* bewegt, der Stern nach Sʹ verschoben erscheint. Befindet sich die Erde dagegen in B, wo ihre Bewegungsrichtung die entgegengesetzte ist, so findet die Verschiebung nach Sʺ statt. In beiden Fällen erreicht der Wert dieser Verschiebung 20ʺ, während in C und A, wo die Bewegungsrichtung der Erde mit derjenigen des von dem Fixstern kommenden Lichtes übereinstimmt, der Stern, falls er in der Ebene der Ekliptik liegt, an seinem wahren Orte gesehen wird.

Zur Erklärung dieser auffallenden Erscheinung soll *Bradley* durch eine alltägliche Beobachtung gelangt sein. Er bemerkte nämlich bei einer Bootfahrt, daß die Fahne die Windrichtung wirklich angibt, wenn der Lauf des Schiffes mit der Richtung des Windes übereinstimmt. Änderte man dagegen den Kurs, so nahm die Fahne die Stellung an, die sich als abhängig von den Richtungen und den Geschwindigkeiten des Windes und des Bootes erwies. Pflanzt sich, so folgerte *Bradley*, das Licht mit endlicher Geschwindigkeit fort, so muß sich letztere mit derjenigen der Erde zusammensetzen. Abb. 131 stellt das Parallelogramm dieser Geschwindigkeiten dar.

Zu der Zeit, in der sich die Erde in den Stellungen B und D (Abb. 130) befindet, beträgt ihre durch das Stück *ab* (Abb. 131) wiedergegebene Geschwindigkeit, wie überall auf ihrer Bahn, etwa 4 Meilen. Die Aberration erreicht dann ihren größten Wert von 20ʺ, der dem Winkel *acb* beizulegen ist. In diesem Falle verhält sich *bc* zu *ab* wie die Geschwindigkeit des Lichtes zu derjenigen der Erde. Ist der eine dieser Werte bekannt, so ist der andere durch eine einfache Beziehung gegeben[813]. Bradley erhielt so für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes, fast in Übereinstimmung mit dem von *Römer* gefundenen Ergebnis, den Wert von 40000 Meilen. Beide auf astronomischem Wege erhaltenen Bestimmungen fanden um die Mitte des 19. Jahrhunderts eine Bestätigung durch terrestrische, nach rein physikalischer Methode angestellte Messungen.

Weitere Fortschritte der Astronomie.

Bei *Newton* und den auf ihn folgenden Astronomen war das Hauptinteresse auf das Planetensystem gerichtet, für das die Gravitationsmechanik zunächst noch zahlreiche Probleme bot. Mit den Kometenbahnen hatte sich zwar *Newton* in seinen Prinzipien auch beschäftigt, doch war die von ihm geschaffene Methode noch sehr unvollkommen. Weitere Untersuchungen auf diesen Gebieten unternahmen *Euler* und ganz besonders *Lambert*. Hatte *Kepler* für diese Himmelskörper noch eine geradlinige Bewegung angenommen, so lieferte *Newton* den Nachweis, daß es sich auch hier um Kegelschnitte handle. Er lehrte ferner, durch Konstruktion aus drei Positionen die parabolische Bahn ermitteln, ein Verfahren, dessen sich besonders *Halley* mit Erfolg bediente.

Grundlegende, geradezu klassische Arbeiten über die Bestimmung der Kometenbahnen rühren von *Lambert* her, mit dessen Lebensgang und Verdiensten um die Physik wir schon im vorigen Abschnitte bekannt geworden sind[814]. *Lamberts* Ziel bestand, wie er in seiner Vorrede hervorhebt, darin, die Bahn des Kometen auf Grund von drei Beobachtungen, aus den Eigenschaften der Kegelschnitte vollständig zu ermitteln. Von besonderer Wichtigkeit ist *Lamberts* Satz[815], daß die Zeit, die zum Durchlaufen eines Kurvenstücks erforderlich ist, aus der Sehne und den beiden Vektoren ermittelt werden kann. Für die Parabel hatte diesen Satz schon *Euler* gefunden[816]. Er erkannte jedoch noch nicht seine Bedeutung und hat ihn nicht bei seinen Arbeiten über die Bahnbestimmung benutzt, während *Lambert* ihn auf hyperbolische Bahnen ausdehnte.

Nachdem *Lambert* die Bewegung der Kometen erörtert hat, befaßt er sich mit dem Verfahren, eine parabolische Kometenbahn aus den Beobachtungen zu bestimmen. Genauer lautet das Problem, das er sich stellt, folgendermaßen[817]: Gegeben sind drei geozentrische Örter eines in einer Parabel sich bewegenden Kometen; man soll Lage und Größe der Bahn ermitteln. Die Lösung führte ihn auf eine Gleichung 6. Grades. Werden *Lamberts* Ausdrücke nach einer kleinen Berichtigung entwickelt, so gibt seine Methode ein brauchbares Verfahren[818].

Unabhängig von *Kant* hat *Lambert* ferner Ansichten über den Bau des Weltalls entwickelt, die mit den Ergebnissen der neueren Forschung in Einklang stehen. Es geschah dies in seiner 1761 erschienenen Schrift »Kosmologische Briefe über die Einrichtung des Weltbaus«. *Lambert* unterscheidet darin Weltsysteme erster, zweiter und dritter Ordnung. Ein System erster Ordnung bilden die Sonne und jeder Fixstern, da alle Fixsterne als Zentren von ebensoviel Scharen von Planeten und Kometen aufzufassen sind.

Das Sonnensystem kreist mit zahlreichen benachbarten Sonnensystemen um einen gemeinschaftlichen Schwerpunkt. Das Ganze betrachtet *Lambert* als ein System zweiter Ordnung. Aus solchen setzt sich endlich die Milchstraße als eine Scheibe, deren Durchmesser nach vielen tausend Siriusweiten zählt, zusammen. Vielleicht sei, meint *Lambert*, auch hiermit die Gliederung zu immer umfassenderen Gruppen nicht abgeschlossen, doch übersteige eine Fortsetzung dieser Betrachtung unser Fassungsvermögen.

Die etwa drei Jahrzehnte (1718) vor der Herausgabe der Kosmologischen Briefe durch *Bradley* entdeckte Eigenbewegung der Fixsterne würde sich, diesen Ausführungen *Lamberts* entsprechend, aus zwei Bewegungen zusammensetzen, der Bewegung der Sterne selbst und der von *Lambert* vorgeahnten Bewegung unseres Sonnensystems. »Es wird später möglich werden«, sagt *Lambert*, »diese beiden Komponenten zu trennen und die Richtung anzugeben, nach der sich unsere Sonne bewegt.« Diese Voraussage sollte, wie wir in einem späteren Abschnitt sehen werden, schon einige Jahrzehnte später (1781) durch *Herschel* in Erfüllung gehen.

Astronomie und Kartographie.

Ganz Hervorragendes hat *Lambert* auch auf einem Nebengebiet der Astronomie, auf dem Gebiete der Kartographie, geleistet, so daß man für dieses mit dem Erscheinen von *Lamberts* Schrift über Land- und Himmelskarten wohl eine neue Epoche datiert hat. Die Schrift ist mit Anmerkungen versehen von neuem herausgegeben worden[819]. Ihr erstes Erscheinen fiel in das Jahr 1772.

Der in die zweite Hälfte des 18. Jahrhunderts fallende große Aufschwung der Kartographie hing mit dem Einsetzen der wissenschaftlichen Entdeckungsreisen (*Cook*) und mit genaueren topographischen Landesaufnahmen zusammen. So entstand (1750 bis 1793) auf Grund einer großen genauen Landesvermessung *Cassinis* Carte géométrique de la France. Sie umfaßte 184 Blätter im Maßstab von 1 : 86400 und diente für die Karten der übrigen Länder als Muster[820]. In gleichem Maße epochemachend war die erwähnte Schrift *Lamberts*.

Zwar fehlte es vor *Lambert* nicht an Untersuchungen über einzelne Entwerfungsarten. Ihm gebührt jedoch das Verdienst, daß er zuerst die allgemeinen Grundsätze, die bei der Kartenprojektion in Betracht kommen, aufstellte und als erster diejenigen Forderungen erörterte, die das Kartenbild zu erfüllen hat. Im Verfolg dieser Aufgaben kam *Lambert* auch auf mehrere neue Projektionsarten, die noch heute im Gebrauch sind. Es sind dies vor allem die winkeltreue und flächentreue Kegelprojektion[821].

Mit demselben Gegenstande hat sich einige Jahre später auch *Leonhard Euler* beschäftigt. Ihm hatte auch die sphärische Trigonometrie um die Mitte des 18. Jahrhunderts Fortschritte zu verdanken, die in erster Linie der Astronomie zugute kamen. *Eulers* Abhandlungen über Kartenprojektion[822] gehen über die Behandlung, die *Lambert* dem gleichen Gegenstande widmete, weit hinaus und leiten andererseits zu den Untersuchungen über, die *Lagrange* und später *Gauß*[823] über die konforme Abbildung von Flächen auf anderen Flächen angestellt haben.

Die erste Arbeit *Eulers* handelt von der Abbildung der Kugelfläche in einer Ebene, und zwar behandelt *Euler* nicht nur die früheren Projektionen, bei denen die einzelnen Punkte der Kugelfläche nach den Gesetzen der Perspektive so auf eine Ebene projiziert werden, wie sie dem Beobachter von einem bestimmten Punkte aus erscheinen, sondern er faßt seine Aufgabe in weiterem Sinne auf und zeigt, wie die Punkte der Kugelfläche nach einem beliebigen Gesetz in einer Ebene dargestellt werden können.

Unter anderem werden die Bedingungen der *Mercator*'schen Projektionsart entwickelt und dargetan, daß für diese die kleinsten Teile der Oberfläche ihren Bildern in der Ebene ähnlich sind, also das Prinzip der Konformität oder Winkeltreue gewahrt ist. *Euler* zeigte ferner, daß der größte Vorteil, den derartige Karten den Seefahrern gewähren, darin besteht, daß die loxodromischen Linien, d. h. die Kurven, die sämtliche Meridiane unter dem gleichen Winkel schneiden, bei dieser Projektionsart als gerade Linien erscheinen. Jede gerade Linie schneidet nämlich alle Meridiane der Karte, die ja bei *Mercators* Projektion einander parallel sind, unter demselben Winkel.

Auch die bekannte Abbildung der Erdhalbkugeln im Innern von Kreisen, deren Mitte der Pol einnimmt, während die Meridiane und die Parallelkreise sich senkrecht schneiden, wird von *Euler* aus den von ihm aufgestellten allgemeinen Gleichungen abgeleitet und gezeigt, daß auch für diese Projektionsart alle sehr kleinen, auf der Kugel beliebig angenommenen Figuren durch ähnliche Figuren in der Ebene wiedergegeben werden.