Part 37

*Joseph Louis Lagrange* wurde am 25. Januar 1736 in Turin geboren. Sein Vater stammte aus Frankreich; dieser geriet in Turin in solch mißliche Verhältnisse, daß der junge *Lagrange*, der Jüngste unter elf Geschwistern, frühzeitig auf seine eigene Kraft angewiesen war. *Lagrange* hat diesen Umstand später oft als ein Glück bezeichnet. Er meinte, hätte er Vermögen gehabt, so würde er die Mathematik nicht geliebt, vielleicht nicht einmal kennen gelernt haben. So sehen wir ihn, kaum 19 Jahre alt, bereits als Lehrer der Mathematik an einer Artillerieschule unterrichten, wo er jünger als ein Teil seiner Schüler war. Mit *Euler* und *d'Alembert* wurde *Lagrange* dadurch bekannt, daß er sich gleich den genannten großen Mathematikern mit dem damals so viel erörterten Problem der Saitenschwingungen befaßte. Zu einer Berühmtheit wurde *Lagrange*, als er mit 28 Jahren (1764) den großen mathematischen Preis der Pariser Akademie für eine Arbeit über die Libration des Mondes[750] erhielt. Bei dieser Untersuchung hat er zum ersten Male das Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten[751] angewandt, das er an die Spitze der analytischen Mechanik stellte. Nach Berlin war *Lagrange* durch Vermittlung *d'Alemberts* gekommen, den *Friedrich der Große* zunächst und zwar vergeblich um die Übernahme der bisher von *Euler* verwalteten Stelle zu gewinnen suchte. Nach dem Tode des großen Königs wurde *Lagrange* der Aufenthalt in Berlin durch einen Minister aber derartig verleidet, daß er nach Paris zurückkehrte, wo ihm durch Vermittlung der Königin freie Wohnung im Louvre angewiesen wurde. In Paris veröffentlichte er im Jahre 1788 sein Hauptwerk, die Mécanique analytique. Da *Lagrange* im öffentlichen Leben nicht hervortrat, so wurde er durch die Wirren der Revolutionszeit auch nur wenig behelligt. Er wirkte während dieses Zeitabschnittes an der École Polytechnique und war auch in der Kommission tätig, die 1792 mit der Festsetzung des neuen Maßsystems beauftragt wurde. *Napoleon*, der größte Förderer der exakten Wissenschaften, den die Geschichte kennt, überhäufte ihn mit Ehren und nannte ihn, halb im Scherz, halb aus Bewunderung, »La haute pyramide des sciences mathématiques«. *Lagrange* starb am 10. April des Jahres 1813 und wurde im Pantheon bestattet. Seine Bedeutung hat *Laplace* in einem Nachruf mit folgenden Worten gekennzeichnet: »*Lagrange* hat gleich *Newton* in höchstem Maße die glückliche Kunst besessen, die allgemeinen Prinzipien zu entdecken, die das Wesen der Wissenschaft ausmachen. Diese Kunst verstand er mit einer seltenen Eleganz in der Entwicklung der abstraktesten Theorien zu verbinden.«

Fortschritte der Mathematik.

Wir beschäftigen uns zunächst mit dem Anteil, den *Lagrange* an der Entwicklung der reinen Mathematik genommen hat. Auf diesem Gebiete setzte er die Arbeit der *Bernoulli* und *Eulers* fort. Nur erwähnt seien *Lagranges* Zusätze zu *Eulers* Elementen der Algebra. Sie beziehen sich auf das Gebiet der unbestimmten oder diophantischen Analysis, dem *Euler* den letzten Teil seines Werkes widmete. Diese Untersuchungen gehören der reinen Mathematik an und stehen mit der Entwicklung der Naturwissenschaften in einem nur lockeren Zusammenhange. Sie haben aber in der neuesten Zeit die Grundlage für die Theorie der algebraischen Zahlen gebildet und sind aus diesem Grunde vor kurzem durch eine deutsche Übersetzung zugänglicher gemacht worden[752].

Mit den unbestimmten Gleichungen befaßt sich *Lagrange* auch in einer für dieses Gebiet grundlegenden Abhandlung vom Jahre 1768[753]. Er bewältigt darin die Aufgabe, alle unbestimmten Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten durch ganze Zahlen zu lösen. Der Versuch, solche Gleichungen zu lösen, reicht weit in der Geschichte der Mathematik zurück. *Fermat* gelang die Lösung, doch hat er sein Verfahren nicht bekannt gegeben. Es blieb daher *Lagrange* vorbehalten, ein allgemeines Verfahren zu entwickeln und zu beweisen, daß jene Gleichungen stets in ganzen Zahlen lösbar sind. Da sich nun jede Gleichung zweiten Grades mit zwei Unbekannten auf die einfache Form A = x^2 + By^2 bringen läßt, so war das Problem in seiner Allgemeinheit gelöst.

Gleichfalls an *Euler* anknüpfend, hat *Lagrange* ferner die Theorie der partiellen Differentialgleichungen mitbegründet. Wird eine Gleichung y = f(x) differenziert, so läßt sich aus der entstandenen Differentialgleichung durch Integration die ursprüngliche Gleichung wiederherstellen. Eine solche Integration ist jedoch nicht für jede beliebige Differentialgleichung möglich. Es galt daher, ein Kennzeichen für die Integrierbarkeit einer Differentialgleichung zu finden, und diese Aufgabe löste *Euler* für solche Gleichungen erster Ordnung schon 1734. Später dehnte er mit Erfolg diese Untersuchungen auf Differentialgleichungen höherer Ordnung aus. Zu einer allgemeinen Theorie für dieses Gebiet ist *Euler* allerdings nicht gelangt, sondern er beschränkte sich auf die Durchführung zahlreicher besonderer Fälle von Integrationen. Die allgemeine Lösung des Problems blieb *Laplace* und den Mathematikern des 19. Jahrhunderts (*Pfaff*, *Cauchy* und anderen) vorbehalten.

Die Abhandlungen von *Lagrange*, welche die Lehre von der Integration der Differentialgleichungen förderten, fallen in den Zeitraum von 1772-1785. Seine Untersuchung vom Jahre 1772 »Über die Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung« wurde auch in deutscher Übersetzung zugänglich gemacht[754]. Eine vollständige Integrationsmethode für lineare partielle Differentialgleichungen mit beliebig vielen Veränderlichen fand *Lagrange* indessen erst sieben Jahre später, nachdem er sich dem durch *Eulers* Untersuchungen gestellten Problem zugewandt hatte.

Mit *Lagrange* begann auch eine neue Epoche in der Behandlung der Maxima- und Minimaaufgaben. Der Fortschritt bestand darin, daß er die analytische Bewältigung der hierher gehörigen Probleme ins Auge faßte, während die *Bernoulli* und *Euler* vorzugsweise geometrisch verfuhren. Die hierbei befolgte Methode von *Lagrange* bestand in einer engen Verbindung der Differential- mit der Integralrechnung und wurde von *Euler* mit dem besonderen Namen der »Variationsrechnung« belegt. Die grundlegende Abhandlung von *Lagrange* für diesen Teil der höheren Analysis erschien im Jahre 1762[755].

Wie die Isoperimeterprobleme[756] seit dem Altertum behandelt und insbesondere durch *Fermat* gefördert wurden, haben wir an früherer Stelle[757] erfahren. Während des 18. Jahrhunderts waren es zunächst die *Bernoulli* und *Euler*, die sich mit diesen Problemen befaßten. In seiner epochemachenden Abhandlung vom Jahre 1762 löste *Lagrange* in seiner Allgemeinheit das Problem, für eine Integralformel ∫Z, in der Z eine bestimmte Funktion der Variabeln x, y, z und ihrer Differentiale bezeichnet, diejenige Relation zu finden, welche diese Variabeln unter sich haben müssen, damit ∫Z ein Maximum oder ein Minimum wird. Dann wendet er sich zur Erläuterung seiner Methode der Brachystochrone zu, einer Kurve, die in der Geschichte der Mathematik ihre besondere Bedeutung besitzt, weil sie den Untersuchungen der *Bernoulli* über isoperimetrische Probleme zum Ausgangspunkt gedient hat[758].

Eine Vereinfachung und Vervollständigung der Variationsrechnung hat *Lagrange* in einer Abhandlung[759] vom Jahre 1770 und vor allem in seiner »Analytischen Mechanik« (1788) gegeben. Auch *Legendre* und später *Jacobi* haben wertvolle Beiträge zur weiteren Ausgestaltung des für die mathematische Physik so wichtigen Verfahrens geliefert[760].

Die Grundformeln der analytischen Mechanik.

*Lagrange* war es vorbehalten, die Mechanik in ein System zu bringen und durch die Verbindung des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten mit dem Satze von *d'Alembert* diejenige Gleichung abzuleiten, die er selbst als die dynamische Grundformel bezeichnete, weil sich danach »die Bewegung irgend eines Systems von Körpern regelt«[761]. Durch diese Leistung *Lagranges* ist seine »Mécanique analytique« vom Jahre 1788 zum Fundament der neueren Mechanik geworden und zu einer Bedeutung gelangt, die derjenigen, die *Newtons* »Prinzipien« für das vorhergehende Zeitalter besaßen, fast gleichkommt. Ein wesentlicher Unterschied zwischen *Newton* und *Lagrange* besteht indessen darin, daß *Newton* seine Sätze an der Figur entwickelte und somit rein geometrisch (synthetisch) verfuhr, während *Lagrange* und sein Vorgänger *Euler* auf dem Gebiete der Mechanik die analytische oder rechnende Methode begründeten. Das Bestreben dieser Analytiker lief darauf hinaus, zu möglichst umfassenden Formeln zu gelangen, welche die Behandlung der zahlreichen Einzelfälle nach dem gleichen Schema ermöglichen und sie dadurch erleichtern. In diesem Sinne ist *Lagranges* analytische Mechanik wohl als eine der großartigsten Leistungen für die Ökonomie des Denkens bezeichnet worden[762].

Für die Statik leitete *Lagrange* die allgemeine Formel für das Gleichgewicht eines beliebigen Systems von Kräften aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen ab. Wirken auf eine Anzahl von Massenpunkten, die zu einem System verbunden sind, die Kräfte P_{1}, P_{2}, P_{3} ... und sind die entsprechenden virtuellen Verschiebungen p_{1}, p_{2}, p_{3} ..., so herrscht in dem System Gleichgewicht, wenn P_{1}p_{1} + P_{2}p_{2} + P_{3}p_{3} + ... = 0 ist. Der kürzeste Ausdruck für diese Grundformel der Statik lautet:

∑Pp = 0.

Bezieht man die Massenpunkte auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem und zerlegt jede Kraft in ihre parallel zu den Koordinatenachsen wirkenden Komponenten, so lautet die Formel:

∑(Xdx + Ydy + Zdz) = 0.

Die Komponenten für die einzelnen Massenpunkte sind X_{1}Y_{1}Z_{1}, X_{2}Y_{2}Z_{2} usw. Ferner sind die virtuellen Verschiebungen für die zuletzt erwähnte Formel, gleichfalls parallel den Achsen zerlegt, dx_{1}dy_{1}dz_{1}, dx_{2}dy_{2}dz_{2} usw.

Die Ableitung der Grundformel für die Dynamik aus dem Prinzip der virtuellen Geschwindigkeiten in Verknüpfung mit dem Satz von *d'Alembert* gestaltet sich folgendermaßen. Es seien m_{1}m_{2}m_{3} ... die Massenpunkte, x_{1}y_{1}z_{1}, x_{2}y_{2}z_{2} ... die zugehörigen Koordinaten, und X_{1}Y_{1}Z_{1}, X_{2}Y_{2}Z_{2} ... wieder die Kraftkomponenten. Da die Massenpunkte unter sich verbunden sind, so führen sie Bewegungen aus, welche durch die Kräfte m_{1}d^2x_{1}/(dt^2), m_{1}d^2y_{1}/(dt^2), m_{1}d^2z_{1}/(dt^2) ... an den nicht miteinander verbundenen Massen hervorgerufen werden können. Diese Kräfte und die angreifenden Kräfte X, Y, Z ... stehen nach *d'Alemberts* Prinzip im Gleichgewicht. Wendet man darauf das Prinzip der virtuellen Verschiebungen an, so ergibt sich die Formel:

Σm(d^2x/(dt^2)δx + d^2y/(dt^2)δy + d^2z/(dt^2)δz) = Σm(Xδx + Yδy + Zδz).

Dafür kann man auch schreiben:

Σ{m(X - d^2x/(dt^2))δx + m(Y - d^2y/(dt^2))δy + m(Z - d^2z/(dt^2))δz} = 0.

Die Grundformeln der analytischen Mechanik geben uns nicht etwa neue Aufschlüsse über die Natur der mechanischen Vorgänge, sondern sie bauen sich auf schon bekannten Prinzipien auf. Was sie bieten, ist die Möglichkeit, mit ihrer Hilfe auf rechnerischem Wege zur Bewältigung der Einzelfälle dieser Wissenschaft zu gelangen[763]. Die Vervollkommnung, welche die analytische Mechanik seit *Lagrange* durch *Poisson*, *Green*, *Hamilton*, *Gauß*, *Helmholtz* und andere Forscher erfuhr, hing daher von der weiteren Entwicklung des Kalküls ab.

Durch seine »Analytische Mechanik« förderte *Lagrange* nicht nur die mathematische Physik, sondern vor allem auch die theoretische Astronomie. Um letztere machte sich *Lagrange* außerdem noch durch eine Reihe von Abhandlungen verdient, unter denen sein »Versuch einer neuen Methode, um das Problem der drei Körper zu lösen« besondere Erwähnung verdient[764].

Die Abweichungen, die ein Planet in seiner elliptischen Bahn um den Zentralkörper durch den Einfluß eines dritten Weltkörpers erfährt, hatte *Newton* noch nicht in Rechnung ziehen können. Die ersten, denen dies für besondere Fälle gelang, waren *Clairaut* und *Euler*. Nach ihnen haben sich um die Bewältigung dieses Problems *Lagrange* und ganz besonders *Laplace* verdient gemacht. War man auch nicht imstande, eine völlig befriedigende Theorie zu finden, so erkannte man doch, daß auch unter dem Einfluß eines dritten Körpers eine elliptische Bewegung stattfindet, bei der jedoch die Elemente der Ellipse sehr langsamen (säkularen) Änderungen unterworfen sind. Da also im Verlaufe langer Zeiträume periodisch derselbe Zustand wieder eintritt, so erschien die Stabilität des Sonnensystems gesichert.

Endlich sei noch erwähnt, daß *Lagrange* die mathematische Analyse auch in den Dienst der Kartographie gestellt hat. Der erste, der die Theorie dieser Disziplin unter allgemeine Gesichtspunkte zu bringen suchte, war bekanntlich *Lambert*[765]. Er stellte sich die Aufgabe, die Lage der Längen- und Breitenkreise so zu bestimmen, daß alle auf der Karte vorkommenden Winkel den betreffenden Winkeln auf der Erdkugel gleich sind. Dieselbe Aufgabe beschäftigte auch *Euler*[766]. Während *Lambert* und *Euler* sich noch auf bestimmte Projektionsarten beschränkten, suchte *Lagrange* der Theorie eine größere Allgemeinheit zu geben, indem er alle Fälle in Betracht zog, in welchen die Meridiane und die Parallelkreise durch Kreise wiedergegeben werden[767].

Die Begründung der Photometrie.

Die Ausdehnung der mathematischen Analyse auf sämtliche Gebiete der Naturwissenschaft kam im 18. Jahrhundert nicht nur der reinen und der angewandten Mechanik, sondern auch der Optik und der so lange vernachlässigten Akustik zugute.

Die Optik war bis auf *Keplers* und *Scheiners* Zeit eine vorwiegend geometrische Wissenschaft gewesen. *Scheiner* errichtete die Grundlagen für die physiologische Optik. Eine bemerkenswerte Erweiterung der Theorie des Sehens unter Berücksichtigung der physiologischen und der physikalischen, insbesondere der quantitativen Seite, erfolgte um die Mitte des 18. Jahrhunderts durch *Lambert*, den wir als den Begründer der Photometrie bezeichnen müssen. *Lambert* erschöpfte dies Gebiet in einer Weise, daß seit dem Erscheinen seines großen, diesen Wissenszweig behandelnden Hauptwerkes[768] nur wenige die Photometrie betreffende Fragen aufgeworfen und erörtert worden sind, die er nicht schon behandelt oder gestreift hätte.

*Johann Heinrich Lambert* wurde am 26. August des Jahres 1728 zu Mülhausen im Elsaß als Sohn eines armen Handwerkers geboren. Da es an Mitteln fehlte, um den hochbegabten Knaben, dem Rate seiner Lehrer entsprechend, studieren zu lassen, war *Lambert* zunächst gezwungen, das Schneiderhandwerk zu erlernen. Seiner schönen Handschrift verdankte er dann eine Anstellung als Schreiber. Zunächst war er als solcher in einem Eisenwerk, später bei einem Professor der Rechtswissenschaft in Basel tätig. Letzterer ließ ihm einen Teil des Tages zur wissenschaftlichen Weiterbildung frei, und so vermochte es *Lambert*, die Lücken seiner Bildung auszufüllen. Sein Gönner verschaffte ihm darauf eine Stelle als Erzieher in einem gräflichen Hause. Hier und in den Jahren, die er mit seinen Zöglingen auf der Universität verlebte, fand *Lambert* Muße, sich eingehender mit wissenschaftlicher Arbeit zu befassen. Sein Interesse war besonders der Astronomie zugewandt. Aus dem Bestreben, gewisse astronomische Fragen zu lösen, entsprang auch seine Beschäftigung mit der Lehre vom Licht. Bald nachdem *Lambert* seine Tätigkeit als Erzieher aufgegeben hatte, erschienen rasch nacheinander seine drei Hauptwerke, nämlich die Photometrie (1760), eine Abhandlung über den Lauf der Kometen und seine kosmologischen Briefe (1761). *Lambert* war dadurch als kaum Dreißigjähriger mit einem Schlage zu einer europäischen Berühmtheit geworden. Auch als Philosoph gewann der vielseitige Mann einen solch hervorragenden Ruf, daß *Kant* ihn für einen der ersten unter seinen Zeitgenossen hielt[769]. *Kant* schrieb an *Lambert*, er halte ihn für das größte Genie Deutschlands und für den geeigneten Mann, die Philosophie zu reformieren. Er selbst wolle keine Zeile in seinen Werken stehen lassen, die *Lambert* nicht deutlich finde. Die Bemühungen der Petersburger Akademie um *Lambert* wurden dadurch vereitelt, daß ihn die Berliner Akademie zum Mitglied ihrer physikalischen Klasse mit einem Jahresgehalt von 500 Talern ernannte. *Lambert* stand in regem wissenschaftlichen Verkehr mit *Euler* und *Lagrange*. Er starb am 25. September 1777. Sein frühzeitiger Tod wird darauf zurückgeführt, daß er durch übermäßiges Arbeiten seine Gesundheit untergrub.

Über *Lambert* besitzen wir folgende Charakterzeichnung: »Er war gleichgültig gegen alles, was das Leben schön und behaglich macht. Sein Kopf arbeitete unbehelligt durch Leidenschaften wie eine schwer zum Stehen zu bringende Maschine. Dabei war er harmlos und naturwüchsig. In der Mathematik stand *Lambert* nicht auf der Höhe von *Euler* und *Lagrange*. In der Astronomie war er kein *Herschel*, in der Physik kein *Newton*. In der Philosophie gebrach es ihm an *Leibnizens* Fülle und Beweglichkeit und an *Kants* bohrendem Tiefsinn. Aber, daß er alle vier Disziplinen mit grundlegenden und fortbildungsfähigen Arbeiten befruchtete, macht ihn doch den Größten ähnlich.«

Auf dem Gebiete der Photometrie war vor *Lambert* nur wenig geschehen. *Kepler* hatte zwar den Hauptsatz, daß die Lichtstärke mit dem Quadrate der Entfernung abnimmt, geometrisch abgeleitet, zu Versuchen, die Lichtstärken verschiedener leuchtender Körper zu vergleichen, war indessen erst *Huygens* übergegangen. Das erste wirkliche Photometer hatte dann der Franzose *Bouguer* (1698 bis 1758) geschaffen. Es bestand aus zwei durchscheinenden Schirmen, die sich in den Öffnungen *OO^1* (s. Abb. 123) befanden. Damit das Licht der beiden Lichtquellen sich nicht vermischen konnte, war zwischen den beiden Öffnungen nach der Seite der Flammen eine Scheidewand (F) angebracht. Die Lichtquelle, deren Stärke zu messen war, wurde verschoben, bis dem vor *OO^1* befindlichen Auge die transparenten, in *OO^1* befindlichen Schirme gleich hell erschienen.

*Bouguer* verfaßte auch ein Werk über die Photometrie, das 1760, also gleichzeitig mit *Lamberts*, denselben Gegenstand betreffender Schrift erschien, von *Lambert* also nicht berücksichtigt werden konnte[770]. Es läßt sich begreifen, daß die Verdienste *Bouguers* und *Lamberts* um die Begründung des neuen Wissenszweiges gegeneinander abgewogen wurden, und es hat nicht an Stimmen gefehlt, die *Lambert* gegenüber *Bouguer* zu verkleinern suchten[771]. Anerkannt muß werden, daß der französische den deutschen Forscher in der Anstellung sinnreicher und sorgfältiger Versuche übertraf, während *Lambert* bei seinen experimentellen Untersuchungen sogar mit einer gewissen Nachlässigkeit verfuhr. Bestand doch sein ganzes Instrumentarium nur aus drei kleinen Spiegeln, zwei Linsen, einigen Glasplatten und einem Prisma. Andererseits gebührt *Lambert* das Verdienst, die Begriffe und das System der Photometrie geschaffen zu haben. Während *Bouguer* sich an Beobachtungen hält und aus ihnen nicht mehr folgert, als sich streng genommen daraus folgern läßt[772], weiß *Lambert* jedem Problem eine, bis zum Ziel gelangende, mathematische Lösung zu geben. Allerdings war dies mitunter nur auf Grund einer so weit gehenden Vereinfachung der Voraussetzungen möglich, daß das Ergebnis der Rechnung nur als eine rohe Annäherung an die wirklichen Verhältnisse betrachtet werden durfte. Daß der Franzose, wie wir hervorhoben, die Beobachtung und die genaue Messung, der Deutsche dagegen die Begriffsbestimmung und die Ableitung, unbeschadet mangelhafter Empirie, in den Vordergrund stellt, war kein Zufall, sondern entsprach der Eigenart französischen und deutschen Geistes. Ein ähnliches Verhältnis waltete im 18. Jahrhundert zwischen den englischen und den deutschen Geisteserzeugnissen. Daß die Deutschen die Vorzüge der westeuropäischen Forschungsweise sich anzueignen und mit den eigenen Vorzügen zu verbinden wußten, hat dem Deutschland des 19. und 20. Jahrhunderts die führende Rolle auf manchen Gebieten der Naturwissenschaften eingebracht.

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen und der Eingliederung *Lamberts* in die Reihe seiner Zeitgenossen[773] wenden wir uns seiner Photometrie zu, einem Werke, das, wie sein Herausgeber hervorhebt, für den Astrophysiker ebenso unentbehrlich ist, wie für den Astronomen *Laplaces* Mécanique céleste[774].

*Lambert* beginnt mit einer Betrachtung der Grundbegriffe der Photometrie. Gerade dasjenige, meint er, sei unserer Einsicht am meisten verschlossen, was der sinnlichen Wahrnehmung fortwährend begegne. Dafür stelle die Theorie des Lichtes ein ausgezeichnetes Beispiel dar. Daß diese nicht genüge, könne man schon daraus schließen, daß zwei so verschiedene Hypothesen wie diejenige von *Newton* und *Euler* (richtiger *Huygens*) zur Erklärung der Erscheinungen angewendet würden. Die erstere liege dem Verständnis näher, doch entspreche *Eulers* Theorie wohl mehr der Natur der Sache. *Lambert* knüpft daran einen oft wiederholten Ausspruch über die Beurteilung von Hypothesen. Seine Worte lauten: »Unter die vornehmsten und sichersten Kriterien dafür, daß eine Hypothese sich der Wahrheit nähert, muß man den Fall nehmen, wenn man aus ihrem Lehrgebäude den Eintritt neuer Erscheinungen vorhersehen und wenn man Sätze daraus folgern kann, denen die zu diesem Zwecke angestellten Versuche beipflichten«[775]. Diese Prüfung sollte erst weit später zugunsten der von *Huygens* und *Euler* vertretenen Wellentheorie entscheiden[776].

Da es für photometrische Untersuchungen kein absolutes Maß gibt, sondern stets ein sehr subjektiver Faktor, das Urteil des Auges nämlich, in Betracht gezogen werden muß, macht *Lambert* die Voraussetzung, *daß »eine Erscheinung stets dieselbe ist, so oft dasselbe Auge auf die gleiche Weise affiziert wird*«. Das Auge sei bei verschiedenen Helligkeitsgraden zwar nicht imstande, zu entscheiden, um wieviel der eine größer sei als der andere, doch müsse man voraussetzen, daß das Auge über die Gleichheit zweier Helligkeitsgrade entscheiden könne. Nur durch die Verknüpfung dieses Axioms mit den schon aus geometrischen Überlegungen folgenden Prinzipien der Photometrie könne man zu einem Ausbau dieses Teils der Optik gelangen.

Von solchen Prinzipien hob *Lambert* außer dem Satze von der Abnahme des Lichtes mit dem Quadrate der Entfernung noch zwei besonders hervor. Das erste lautet: »Wird dieselbe Fläche einmal von m, das andere Mal von n Lichtquellen beleuchtet, von denen jede dieselbe Intensität besitzt und ihr Licht unter völlig gleichen Umständen nach der Fläche sendet, so verhalten sich die Helligkeitsgrade wie m : n.« Die Beleuchtung eines Blattes ist also um so stärker, je größer die Anzahl der leuchtenden Kerzen ist, vorausgesetzt, daß diese gleich hell sind, die gleiche Entfernung vom Blatte und die gleiche Größe besitzen[777].

Der dritte, wichtigste Grundsatz sprach aus, daß die Helligkeit in demselben Verhältnis abnimmt wie der Sinus des Neigungswinkels. Der geometrische Beweis, den *Lambert* hierfür bringt (Photometrie § 53), ist in alle Lehrbücher der Physik übergegangen. *Lambert* begnügte sich nicht mit dem theoretischen Beweise dieser Sätze, sondern er suchte auch durch geeignete Versuche ihre gegenseitige Abhängigkeit darzutun und ihnen auf diese Weise eine noch größere Sicherheit zu verleihen.