Part 35

Ließ sich auch die geschlechtliche Differenzierung der Pflanzen nachweisen, so war eine Einsicht in die Art des Befruchtungsvorganges damit noch nicht gewonnen. Zur Lösung dieser Frage, meint *Camerarius*, wäre es sehr zu wünschen, daß man von den Mikroskopikern erführe, was die Körnchen der Staubbeutel enthalten, wie weit sie in den weiblichen Apparat eindringen, ob sie unversehrt an den Ort kommen, wo ihre Vereinigung mit den Samenknospen stattfindet, und was dabei aus ihnen austritt.

Die Aufhellung dieser Verhältnisse sollte, wie wir später sehen werden, erst im 19. Jahrhundert gelingen. *Camerarius* hielt es noch für selbstverständlich, daß in jenem häufigsten Falle, in dem Staubgefäße und Stempel in einer Blüte vereinigt sind, die Befruchtung zwischen diesen, nahe benachbarten Teilen stattfinde, während doch in der Tat in der Natur, wie spätere Untersuchungen gezeigt haben, alle erdenklichen Veranstaltungen vorhanden sind, um eine Selbstbefruchtung der Zwitterblüten zu verhindern. Einen der Vereinigung der Geschlechter in den Zwitterblüten entsprechenden Hermaphroditismus hatte der zur Zeit des *Camerarius* lebende *Swammerdam* im Tierreich, und zwar an den Schnecken, aufgefunden. *Camerarius* erwähnt diese Beobachtung und bemerkt dazu, daß dieser Fall, der im Tierreich eine Seltenheit bedeute, bei den Pflanzen eben die Regel sei. Gleichzeitig wundert er sich darüber, daß die Schnecken sich nicht selbst befruchten, während dies doch, wie er annimmt, bei den Pflanzen der Fall sei.

Den Schluß der Schrift des *Camerarius* bildet eine, mit *Goethes* Metamorphose der Pflanze in Parallele zu stellende, lateinische Ode, deren Verfasser nicht bekannt ist. Sie enthält die Grundzüge der neuen Lehre und schließt mit den Worten:

Bestätigt seh'n wir jetzt mit Verwunderung Für Tier' und Pflanzen gleiche Geschlechtlichkeit! Was lebt, was Nachkommen hervorbringt, Alles entsteht auf dieselbe Weise.

O mächt'ge Kraft des Geistes, die Du entdeckt Zuerst so Großes, was durch Jahrhunderte Verborgen war; wer der Natur sich Weihte, ihn möge Dein Ruhm begeistern.

O hehre Allmacht, die Du die Welt erschufst, Du sorgst, die Ordnung, welche Du eingesetzt, In der Natur stets zu erhalten, Liebst zu verjüngen die alte Schöpfung.

*Linné*, der bald darauf die Systematik durch die Errichtung seines auf die Sexualität gegründeten Systems zu einem vorläufigen Abschluß brachte, fußte, was diese Grundlage anbetraf, wesentlich auf *Camerarius*, wenn dessen Lehre durch ihn auch keine nennenswerte Fortbildung erfuhr. Letzteres geschah erst durch die Untersuchungen *Koelreuters*, die späterer Besprechung vorbehalten bleiben.

18. Der weitere Ausbau der Mechanik, Optik und Akustik.

Die von *Galilei*, *Newton*, *Huygens* und anderen ausgeübte Methode, welche durch die Verknüpfung des Versuchs mit dem mathematischen Beweisverfahren zum Auffinden der Naturgesetze führt, blieb während des 18. Jahrhunderts, wie zur Zeit ihrer Schöpfer, im wesentlichen auf die Astronomie und die Mechanik beschränkt. Auch galt es, während dieses Zeitraumes die von *Newton*[696] und *Leibniz*[697] ins Leben gerufene höhere Analysis zur Bewältigung derjenigen großen Aufgaben geeignet zu machen, die zunächst auf den Gebieten der Mechanik, der Optik und der Akustik einer Lösung harrten.

Naturwissenschaft und Mathematik.

Daß die höhere Mathematik im Verlauf des 18. Jahrhunderts zu dem »Riesenschwerte« des Astronomen und Physikers und später des modernen Naturforschers überhaupt wurde, ist vor allem den Mitgliedern der Familie *Bernoulli* und *Leonhard Euler* zu verdanken. Der älteste und zugleich einer der bedeutendsten unter den zahlreichen großen Mathematikern dieser Familie ist *Jakob Bernoulli* (1654-1705). Er ist als einer der wichtigsten Bahnbrecher auf den Gebieten der Infinitesimalrechnung, der Reihenlehre, Kombinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen[698]. *Jacob Bernoulli* beschäftigte sich mit den beiden zuletzt genannten Gegenständen seit etwa 1680. Sein großes Werk, in dem er die eigenen und die Forschungen anderer Mathematiker über Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammenfaßte, erschien jedoch erst einige Jahrzehnte später[699]. Es enthält auf dem Gebiete der ersteren, und zwar in der noch heute üblichen Form, so ziemlich alles, was den Bestand dieser Disziplin ausmacht[700]. Bei weitem der wichtigste Abschnitt des Werkes ist der letzte[701]. *Bernoulli* stellte sich darin die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf »bürgerliche, sittliche und wirtschaftliche Verhältnisse« anzuwenden. Im Hinblick auf die ganz neuen Bahnen, welche damit diesem Zweige der Mathematik gewiesen werden, ist es doppelt bedauerlich, daß dieser Abschnitt unvollendet geblieben ist. Die Wahrscheinlichkeit wird als ein Grad der Gewißheit erklärt, der sich von der Gewißheit selbst wie ein Teil vom Ganzen unterscheidet. Besteht die absolute Gewißheit (a oder 1) aus 5 Wahrscheinlichkeiten (oder Teilen), von denen 3 für das Eintreten eines Ereignisses und zwei dagegen sprechen, so besitzt das Ereignis 3/5a oder 3/5 der Gewißheit.

Die Untersuchung gipfelt in dem *Bernoullischen* Theorem[702], das man auch das Gesetz der großen Zahlen genannt hat. Das Theorem betrifft die Frage, ob durch Vermehrung der Beobachtungen, oder durch fortgesetzte Häufung der Einzelfälle, die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, daß die Zahl der günstigen zur Zahl der ungünstigen Fälle schließlich das wahre Verhältnis erreicht. *Bernoulli* formuliert das Problem und bejaht es auf Grund eines mathematischen Beweisverfahrens. Sehr treffend bemerkt er, die Aufgabe habe sozusagen ihre Asymptote, indem, auch bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen, ein bestimmter Grad von Wahrscheinlichkeit, das wahre Verhältnis der Fälle gefunden zu haben, nicht überschritten werden könne.

Als Beispiel wählt *Bernoulli* eine zugedeckte Urne, in der sich ohne unser Vorwissen 3000 weiße und 2000 schwarze Steine befinden. Durch häufiges Ziehen und jedesmaliges Zurücklegen der Steinchen in die Urne wird man mit immer größerer, schließlich mit an Gewißheit grenzender Wahrscheinlichkeit das Verhältnis 3 : 2 ermitteln, indem dieser Wert mit der Häufung der Fälle in immer engere Grenzen eingeschlossen wird. Wir sind daher, sagt *Bernoulli*, gezwungen, bei allen Geschehnissen eine gewisse Notwendigkeit anzuerkennen. Würde man nämlich alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch beobachten, so würde schließlich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewißheit übergehen. Man müsse also bei noch so zufällig erscheinenden Dingen doch eine Notwendigkeit annehmen und zu dem Schlüsse kommen, daß alles in der Welt in bestimmter Gesetzmäßigkeit vor sich gehe.

*Jacob Bernoullis* Arbeiten über unendliche Reihen[703] sind darauf zurückzuführen, daß sie häufig ein Mittel bieten, um zu einer Lösung von Integrationsaufgaben zu gelangen. Deshalb hatten sich schon die Begründer der Infinitesimalrechnung, *Wallis* und *Newton*, mit der Entwicklung von Funktionen in unendliche Reihen befaßt[704]. So hatte *Wallis* die Fläche zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten durch eine unendliche Reihe dargestellt. Man findet bei ihm auch schon die Reihe der reziproken Quadratzahlen:

1/(1^2) + 1/(2^2) + 1/(3^2) + ...,

deren Summierung jedoch erst *Euler* vollzog.

Die erste Integration mit Hilfe der Reihenentwicklung gelang *Nikolaus Mercator* (1668) bei seiner Quadratur der gleichseitigen Hyperbel[705]. Auch *Leibniz* hat sich mit der Summation einiger unendlichen Reihen befaßt, die auf die Ermittlung von π hinauslaufen. In ihren ersten Anfängen geht die Lehre von den unendlichen Reihen sogar auf *Euklid* und *Archimedes* zurück. Die eigentliche Begründung der Theorie der unendlichen Reihen erfolgte jedoch erst durch *Newton*, den Entdecker der allgemeinen Binomialformel. Für ganzzahlige positive Exponenten, die eine endliche Reihe ergeben, war die Entwicklung der Formel (a + b)^n schon lange vor *Newton* bekannt.

Auf *Jacob Bernoullis* Arbeiten über unendliche Reihen kann hier nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse verdienen hier nur insoweit Erwähnung, als sie zur angewandten Mathematik hinüberleiten. So gelang es *Bernoulli*, die Beziehung zwischen den Koordinaten der elastischen Kurve durch eine Reihe auszudrücken, die Parabel und die logarithmische Linie mit Hilfe einer solchen zu rektifizieren, und anderes mehr[706].

Von *Jacob Bernoulli* und seinem Bruder *Johann* wurde die Aufmerksamkeit der Mathematiker auch wieder auf die für die Physik besonders wichtigen Maxima- und Minimaaufgaben gelenkt und durch die Behandlung der sogenannten isoperimetrischen Probleme ein Grund geschaffen, auf dem später *Euler*, *Lagrange* und andere die Variationsrechnung errichten konnten.

Die isoperimetrischen Probleme handeln von Kurven, die gewissen Maxima- und Minimabedingungen genügen. Das älteste dieser Probleme lautet: Welche unter allen isoperimetrischen Kurven schließt die größte Fläche ein? Schon das Altertum beantwortete diese Frage dahin, daß die verlangte Kurve der Kreis sei[707].

Das erste isoperimetrische Problem, mit dem sich *Johann Bernoulli* beschäftigte, betrifft die Brachystochrone, die Linie des kürzesten Falles[708]. *Johann Bernoulli* formulierte dies Problem mit folgenden Worten: »Zwei gegebene Punkte, die verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Kurve verbunden werden, auf der ein beweglicher Körper, vom oberen Punkte ausgehend, vermöge seiner Schwere in der kürzesten Zeit zum unteren Punkte gelangt«. Nachdem er die Lösung gefunden, forderte er nach damaliger Sitte »die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises« auf, gleichfalls die Aufgabe zu lösen. *Leibniz* gelang dies noch am nämlichen Tage, an dem er davon Kenntnis erhielt. Auch *Newton* und *Jacob Bernoulli* fanden übereinstimmend die Lösung, daß die Zykloide die gesuchte Kurve sei. Die Verwunderung war umso größer, als *Huygens* diese Kurve schon als diejenige erkannt hatte, in der die Fallbewegung von allen Punkten aus dieselbe Zeit beansprucht. Er hatte ihr aus diesem Grunde den Namen »Tautochrone« beigelegt. So zeige, sagt *Jacob Bernoulli* in der Bekanntgabe seiner Lösung[709], eine Kurve, die von so vielen Mathematikern untersucht worden sei, daß an ihr nichts mehr zu erforschen übrig schien, plötzlich eine ganz neue Eigenschaft.

Die Begründung der mathematischen Physik.

Die beiden älteren *Bernoulli* errichteten in erster Linie auf den geschaffenen Grundlagen das Gebäude der Differential- und Integralrechnung.

Eine Auswahl aus seinen Vorlesungen über die Methoden der Integralrechnung schrieb *Johann Bernoulli* in den Jahren 1691 und 1692 nieder[710]. Ein von ihm herrührendes Werk über die Differentialrechnung scheint verloren gegangen zu sein. *Johann* und *Jacob Bernoulli* ist es besonders zu danken, daß sich das von *Leibniz* gefundene Verfahren der Infinitesimalrechnung rasch einbürgerte.

*Johann Bernoulli* beginnt nach einigen allgemeinen Betrachtungen mit der Quadratur von Flächen und der Rektifikation von Kurven. Danach wendet er sich physikomechanischen Problemen zu, z. B. den zuerst von *Tschirnhausen* eingehender untersuchten kaustischen Linien, und der Kettenlinie. Später sehen wir *Daniel Bernoulli* vorzugsweise damit beschäftigt, schwierige mechanische Probleme, bei denen die von *Huygens* und selbst noch von *Newton* in seinen »Prinzipien« befolgte geometrische Methode keine Aussicht auf Erfolg bot, vermöge des neuen Hilfsmittels zu bewältigen. *Daniel Bernoulli* ist daher als der Hauptbegründer desjenigen Wissenszweiges zu nennen, den man als mathematische Physik bezeichnet. Er führte in die Mechanik das Prinzip von der Erhaltung der Kraft ein, das schon *Huygens* bei seinen Untersuchungen über das zusammengesetzte Pendel vorgeschwebt hat, und brachte dieses Prinzip bei seinen Arbeiten über die Bewegung flüssiger Körper überall zur Anwendung (Hydrodynamik 1738)[711]. *Huygens* hatte es dahin ausgesprochen, daß ein frei fallender Körper, wie immer man seine Bewegungsrichtung ändert, nur bis zur ursprünglichen Höhe wieder emporsteigen kann, da die Wirkung der Ursache gleichwertig sei. Aus diesem Grunde hatte *Huygens* auch die Möglichkeit eines Perpetuum mobile bestritten. Obgleich *Daniel Bernoulli*[712] die große Bedeutung des Prinzips von der Erhaltung der Kraft wohl ahnte, blieb es doch dem 19. Jahrhundert vorbehalten, es in seiner Allgemeingültigkeit nachzuweisen und die gesamte Naturlehre darauf zu begründen.

Zu den mechanischen Vorgängen, mit denen sich das 18. Jahrhundert beschäftigte, gehörten auch der Fall und der Wurf. *Galilei* hatte zwar die Theorie dieser Bewegungen entwickelt und damit für die Mechanik eine neue Ära eröffnet. Er hatte jedoch von einem sehr wesentlichen Faktor, dem Luftwiderstande, abgesehen, nicht etwa weil er die Wichtigkeit dieses Faktors nicht kannte, sondern weil sich *Galilei* die erwähnte Beschränkung noch auferlegen mußte.

Ein Gesetz für den Widerstand, den Flüssigkeiten und Gase auf bewegte Körper ausüben, stellte zuerst *Newton* auf. Er gelangte zu der Annahme, daß der Widerstand des Mediums für ein und denselben Körper dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional sei. Auf *Newtons* Veranlassung wurden Versuche angestellt, um das Gesetz zu prüfen. Es erwies sich auch für mittlere Geschwindigkeiten als gültig.

Die Bahn, die ein geworfener Körper unter dem Einfluß des Luftwiderstandes beschreibt, suchte zuerst *Johann Bernoulli* zu bestimmen. Es ergab sich jedoch, daß die mathematische Analyse zur Bewältigung dieser Aufgabe nicht imstande war, und daß eine angenäherte Lösung des ballistischen Problems sich nur durch die Vereinigung von Versuch und Rechnung erhoffen ließ. Am erfolgreichsten in dieser Richtung war die Arbeit von *Robins*[713], die *Euler* unter dem Titel »Neue Grundsätze der Artillerie«[714] in deutscher Sprache herausgab. *Robins* zeigte, daß *Newtons* Gesetz nur für geringe Geschwindigkeiten gilt, daß aber mit größeren Geschwindigkeiten der Widerstand weit stärker wächst, als jenes Gesetz angibt.

Um die Geschwindigkeit des Geschosses in irgend einem Punkte der Wurfbahn bestimmen zu können, konstruierte *Robins* sein »ballistisches Pendel«. Ein Körper von bedeutendem Gewicht wurde so aufgehängt, daß er pendeln konnte. Schoß man eine Kugel gegen diesen Körper, so ließ sich aus dem Gewicht, den Dimensionen und dem Ausschlag des Pendels die Geschwindigkeit der Kugel den Stoßgesetzen gemäß berechnen. Nach dem Stoß besitzen nämlich das Pendel, dessen Masse M, und die Kugel, deren Masse m und deren Geschwindigkeit im Augenblicke des Zusammentreffens v sei, die gleiche Geschwindigkeit V. Gemäß den Stoßgesetzen ist aber

mv = (M + m)V.

Daraus folgt, daß

v = (M + m)/m · V ist[715].

Mit dem Einfluß des Widerstandes, den Gase und Flüssigkeiten der Bewegung entgegensetzen, haben sich die theoretische und die Experimentalphysik seit *Bernoulli* und *Robins* immer wieder beschäftigt, ohne indes bei der Kompliziertheit der in Betracht kommenden Umstände bisher zu einem abschließenden Ergebnis zu gelangen.

Fast noch übertroffen wurden die Leistungen *Daniel Bernoullis* durch diejenigen *Eulers*. *Leonhard Euler* wurde am 15. April des Jahres 1707 in Basel geboren und war ein Schüler des daselbst ein Lehramt bekleidenden *Johann Bernoulli*. Auf die Empfehlung *Daniel Bernoullis* hin kam *Euler* mit 20 Jahren an die Akademie zu Petersburg. Bezeichnend für seine ungewöhnliche mathematische Befähigung ist Folgendes. Als es galt, gewisse astronomische Tafeln zu berechnen, erklärten die Mathematiker der Akademie, hierzu einer Frist von einigen Monaten zu bedürfen. *Euler* dagegen erbot sich, jene Tafeln in drei Tagen fertig zu stellen, und hielt auch Wort. Doch hatte er diese Leistung mit dem Verluste eines Auges zu bezahlen, das er infolge einer durch die Überanstrengung herbeigeführten Krankheit einbüßte. Im Jahre 1741 berief Friedrich der Große durch ein aus dem Feldlager stammendes Schreiben *Euler* an die Preußische Akademie der Wissenschaften. Volle 25 Jahre arbeitete er als eine Zierde dieser Gesellschaft in der Residenz der Preußischen Könige an dem Ausbau der neueren Mathematik. Dabei entfaltete der große Mann eine beispiellose Produktivität. Allein in den Jahrbüchern der Berliner Akademie veröffentlichte er 121, zum Teil sehr umfangreiche, Abhandlungen[716]. Nach *Maupertuis'* Tode leitete *Euler* die Akademie. Schließlich traten aber Zerwürfnisse ein, die *Euler* veranlaßten, sein Verhältnis zur Berliner Akademie zu lösen und, einer Aufforderung *Katharinas der Zweiten* folgend, nach Petersburg zurückzukehren. An seine Stelle trat in die Berliner Akademie als würdiger Nachfolger *Lagrange* ein. Trotzdem *Euler* bald darauf völlig erblindete, erlahmte seine wissenschaftliche Tätigkeit nicht. Noch wenige Stunden vor seinem am 7. September 1783 erfolgten Tode war er damit beschäftigt, die Bewegung des in demselben Jahre erfundenen Luftballons zu berechnen.

Bevor wir uns *Eulers* Arbeiten auf den Gebieten der mathematischen Physik und der Astronomie zuwenden, haben wir ihn als das kennen zu lernen, was er in erster Linie war, nämlich als Mathematiker. Gibt es doch keinen Zweig der reinen Mathematik, der ihm nicht eine außerordentliche Förderung verdankte[717]. Er war es, der die Bemühungen *Vietas* zum Abschluß brachte und die Algebra zu einer »internationalen mathematischen Kurzschrift« gestaltete[718]. In seiner »Einführung in die Analysis des Unendlichen« vom Jahre 1748[719] gab er eine umfassende Erörterung der Kurven, welche durch die allgemeine Gleichung zweiten Grades definiert werden. Während er dadurch die analytische Geometrie förderte, verstand er es andererseits, den höheren Kalkül von beengenden geometrischen Fesseln loszulösen und ihn zu einer selbständigen Disziplin zu gestalten. *Euler* vor allem gelang ferner die scharfe Erfassung des Funktionsbegriffes, dem die ersten Kapitel der »Introductio« gelten, jenes Begriffes, den man wohl zu den wichtigsten Schöpfungen der neueren Mathematik gerechnet hat[720]. Im Anschluß an *Bernoullis* Untersuchungen über isoperimetrische Probleme erfand *Euler* als einen besonderen Teil der höheren Analysis die Variationsrechnung.

Während *Johann Bernoulli* über die isoperimetrischen Probleme sich dahin geäußert hatte, daß man wohl vergebens nach einem allgemeinen Verfahren für ihre Lösung suchen werde, unternahm *Euler* die ersten Schritte zur Ausbildung einer »Methode, Kurven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt.« Eine Auswahl geeigneter Abschnitte der betreffenden umfangreichen Schrift *Eulers* wurde neuerdings in deutscher Übersetzung veröffentlicht[721]. Ein näheres Eingehen auf den Inhalt des gewöhnlich als »Methodus inveniendi« bezeichneten Hauptwerkes von *Euler* ist hier nicht am Platze[722]. Bemerkt sei nur, daß die von *Euler* befolgte Methode wesentlich geometrisch ist, wodurch die Behandlung der einfacheren Probleme sehr klar und durchsichtig wird. *Euler* hat sein Verfahren als Variationsrechnung bezeichnet und es mit folgenden Worten erläutert. »Die Variationsrechnung ist die Methode, die Änderung aufzufinden, die ein aus beliebig vielen Veränderlichen zusammengesetzter Ausdruck erleidet, wenn man entweder alle oder nur einige Variabeln sich ändern läßt«[723].

In einem Anhang zu dem Werke »Methodus inveniendi« setzt *Euler* die Bedeutung, welche die in diesem vorgetragenen Lehren für die Lösung physikalischer Probleme besitzen, des Näheren auseinander. Er meint, »es geschehe nichts in der Natur, dem nicht irgendein Verhältnis des Maximums oder des Minimums zu Grunde liege«. Daraus ergibt sich für die Forschung ein direktes und ein indirektes Verfahren. Das eine führt zur Bestätigung des anderen, wodurch ein hoher Grad von Gewißheit verbürgt wird. Handelt es sich z. B. darum, die Krümmung eines an den beiden Enden aufgehängten Seiles festzustellen, so geschieht dies entweder direkt, indem man die Wirkungen untersucht, welche die Schwere auf das Seil ausübt. Oder man bedient sich der Methode der Maxima und Minima und erörtert mit ihrer Hilfe, welche Gestalt das Seil annehmen muß, damit sein Schwerpunkt in die möglichst tiefe Lage gelangt. Auf beiden Wegen erhält man ein und dieselbe Kurve, die Kettenlinie, die der Parabel sehr ähnlich sieht[724].

Von der Kettenlinie, bei welcher die Elastizität keine Rolle spielt, ging man zur Untersuchung derjenigen Kurven über, die ein elastisches Band unter der Einwirkung von Kräften annimmt. Die hierbei entstehenden Gestalten waren längst bekannt. Jedermann kennt z. B. die in Abb. 120 dargestellte Form, die ein aus Fischbein oder Stahl hergestellter Streifen annimmt, wenn wir an den Endpunkten A und C zwei Kräfte in den Richtungen AD und CD wirken lassen, und der Streifen in B festgehalten wird.

Von der Untersuchung der elastischen Kurven, bei denen die Theorie der Maxima und Minima gleichfalls eine Rolle spielt, ging man zu den Schwingungen elastischer Bänder über. Der erste, der sich mit diesen Problemen eingehender befaßte, war *Daniel Bernoulli*. Wird die schwingende Bewegung hinreichend schnell, so wird durch sie ein Ton hervorgerufen, dessen Natur sich mit Hilfe von Experimenten untersuchen läßt. So vermochte man auf physikalischem Wege das Ergebnis der mathematischen Analyse zu bestätigen und tiefer in das Wesen der elastischen Körper einzudringen. Auch dies geschah besonders durch *Euler*. Er unterschied dabei verschiedene Fälle, z. B. das Verhalten eines elastischen Bandes, das an einem Ende befestigt ist, oder desjenigen, das an beiden Endpunkten festgehalten wird. Bei diesen Untersuchungen sonderte *Euler* die Schwingungen von Körpern, die erst infolge ihrer Spannung elastisch sind (elastische Saite) von den Schwingungen an sich elastischer Bänder[725]. Die Töne, die dadurch hervorgerufen werden, hat besonders *Chladni* in seiner »Akustik«[726] untersucht und mit den mathematisch gefundenen Ergebnissen *Eulers* in guter Übereinstimmung gefunden.

Eine der frühesten Arbeiten *Eulers* auf dem Gebiete der angewandten Mathematik betrifft die von *Newton* gegebene Theorie der Gezeiten[727]. Die Pariser Akademie der Wissenschaften hatte bei der Wichtigkeit des Gegenstandes zu Beginn des 18. Jahrhunderts zahlreiche Flutbeobachtungen in den französischen Häfen anstellen lassen. Dabei hatte sich gezeigt, daß man diese Beobachtungen nur zum Teil aus *Newtons* Theorie erklären konnte. Die Akademie schrieb deshalb im Jahre 1740 Preise über diese Frage aus. Unter den gekrönten Arbeiten befanden sich auch diejenigen von *Euler* und *Bernoulli*. Es gelang, auf der durch *Newton* geschaffenen Grundlage, mit Hilfe der höheren Analysis manche Umstände in Rechnung zu ziehen, die bei den Gezeiten mitwirken, so daß z. B. das Zurückbleiben der Flutwelle hinter der Kulmination des Mondes bestimmt werden konnte.