Part 15

Inzwischen mehrten sich die Beobachtungen, daß auch für die organische Welt *Fermats* Satz als Stütze dienen könne. Der Bau der Knochen, der Federn und der Halme: alles schien darauf hinzudeuten, daß die Natur von ihren Mitteln den zweckmäßigsten und sparsamsten Gebrauch macht und insbesondere bei dem Aufbau der organischen Körper gewissermaßen nach einem Sparsamkeitsgesetz verfährt, das sich als ein besonderer Fall des in der Optik und in der Mechanik beobachteten Prinzips der kleinsten Wirkung darstellt. Letzteres wurde dann auch um die Mitte des 18. Jahrhunderts von *Maupertuis* zur Grundlage der gesamten Naturlehre gemacht und in folgende Worte gekleidet: »Wenn in der Natur eine Veränderung vor sich geht, so ist der für diese Veränderung erforderliche Aufwand der möglichst kleinste«[291].

Wie wir später sehen werden, wurde diese, in ihren Anfängen bis ins Altertum zurückreichende Vorstellung, die *Fermat* klarer formulierte und das 18. Jahrhundert weiter entwickelte, erst durch schärfere mechanische Prinzipien verdrängt, als *Lagrange* die Neubegründung der Mechanik unternahm.

Wir kehren noch einmal zu *Fermat* zurück, um seine Verdienste um die Begründung der Zahlentheorie, der Kombinationslehre und der Wahrscheinlichkeitsrechnung wenigstens kurz zu erwähnen. Schienen auch diese Gebiete zuerst rein mathematisch zu sein, so sind sie im Laufe ihrer Entwicklung doch in den Dienst der Naturwissenschaften getreten. Ganz besonders gilt dies von der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ihre ersten Anfänge begegnen uns im 15. und 16. Jahrhundert. Sie knüpfen an die Glücksspiele an.

Die Begründer der Wahrscheinlichkeitsrechnung als einer mathematischen Disziplin sind *Fermat* und sein Zeitgenosse *Pascal* (1623-1662). *Pascal* wurde die Frage vorgelegt, bei wieviel Würfen man Aussicht habe, mit zwei Würfeln den Sechserpasch zu werfen. Als das wichtigste Mittel zur Bewältigung der Probleme der Wahrscheinlichkeitsrechnung schufen *Pascal* und *Fermat* die Kombinatorik, deren Anfänge uns schon bei den Indern begegnen.

Was *Fermats* Verdienst um die Theorie der Zahlen anbelangt, so sei daran erinnert, daß auch auf diesem Gebiete ein Satz, und zwar ein fundamentaler, seinen Namen führt.

Um die Fortentwicklung der Kombinationslehre haben sich im 18. Jahrhundert *Jacob Bernoulli* und im 19. *Laplace* und *Gauß* die hervorragendsten Verdienste erworben.

Zur selben Zeit, als *Descartes* neben die alte *Euklid*ische die analytische Geometrie setzte, begegnen uns die Anfänge einer dritten geometrischen Betrachtungsweise, derjenigen der Zentralprojektion. Aus ihr hat sich im 19. Jahrhundert auf Grund der Untersuchungen *Poncelets* und *Steiners* die projektivische Geometrie entwickelt[292], deren Sätze sich durch einen hohen Grad von Allgemeingültigkeit vor denjenigen der *Euklid*ischen und der analytischen Geometrie auszeichnen.

Die Anfänge der Infinitesimalrechnung.

In den Anfang des 17. Jahrhunderts fallen auch die ersten Schritte zur Begründung einer mathematischen Methode, deren Ausgestaltung zu einem der mächtigsten Hilfsmittel der Naturforschung *Newton* und *Leibniz* vorbehalten blieb. Dies ist die Infinitesimalrechnung. Unter den Männern, die hier als Vorläufer zu nennen sind, nimmt *Kepler* neben dem Italiener *Cavalieri*, einem Schüler *Galileis*, die erste Stelle ein. Schon die Alten, insbesondere *Archimedes*, hatten bemerkt, daß manche geometrische Aufgaben mit Hilfe der Elementarmathematik nicht gelöst werden können. Dies hatte auf die Anwendung eines unter dem Namen der Exhaustionsmethode bekannten Verfahrens geführt, vermittelst dessen z. B. *Archimedes*[293] die Quadratur der Parabel gelang. Auch die von *Archimedes* und früheren angestellte Berechnung des Kreisumfanges mit Hilfe der ein- und umgeschriebenen Vielecke zeigt uns, wie man schon im Altertum, wenn auch in umständlicher Weise, die Rektifikation einer Kurve vorzunehmen wußte[294]. Nach neueren Entdeckungen (s. Bd. I S. 164) besaß *Archimedes* sogar schon ein Verfahren, das der Integration, wie man sie heute ausübt, in seinem Wesen schon entsprach.

Der Fortschritt der Astronomie und der Physik war an die Entwicklung eines Verfahrens geknüpft, das eine allgemein gültige Lösung für die Ausmessung von Kurven, der von Kurven eingeschlossenen Flächen, sowie der durch Bewegung solcher Flächen entstandenen Körper ermöglichte. Wie wichtig mußte es z. B. für *Kepler* sein, den Umfang der Ellipse aus der großen (a) und der kleinen (b) Achse berechnen zu können[295]. Er hat sich auch hieran versucht und gibt den Wert für diesen Umfang als nahezu gleich π (a + b) an. Daß es sich hier um eine Annäherung handelt, hebt *Kepler* ausdrücklich hervor. Auch wird ihm zweifelsohne bekannt gewesen sein, daß der Ausdruck nur gebraucht werden darf, wenn a und b wenig voneinander verschieden sind[296].

Mit der Bestimmung des Rauminhaltes von Rotationskörpern befaßt sich *Kepler* in seiner Doliometrie[297] oder Faßberechnung. *Lagrange* hat später von diesem Buche gerühmt, daß es ähnlich wie die Sandesrechnung des *Archimedes* an einem gewöhnlichen Gegenstande die erhabensten Gedanken entwickele. Ein besonderer Umstand veranlaßte *Kepler*, seine Betrachtungen gerade an die Raumbestimmung von Fässern anzuknüpfen. Er hatte nämlich beim Einkauf von Wein beobachtet, daß die Händler den Inhalt der Fässer bestimmten, indem sie einen Meßstab durch den Spund bis zu den gegenüber befindlichen Dauben führten, ohne auf die Krümmung der letzteren Rücksicht zu nehmen. Ein dem Fasse an Inhalt gleicher Körper entsteht, wenn der Längsschnitt um die Achse rotiert. *Keplers* Grundgedanke bestand nun darin, derartige Rotationskörper in eine unendliche Zahl von Elementarteilen zu zerlegen und diese zu summieren, eine Untersuchung, die er in der »Doliometrie« auf etwa 90 Fälle ausdehnte.

Bei der Quadratur von Flächen hatten sich *Archimedes* und *Euklid* der »Exhaustionsmethode« bedient, deren Wesen wir an früherer Stelle kennen lernten. *Kepler* dagegen bediente sich bei seinen Quadraturen und Kubaturen unendlich kleiner Größen und ging dabei von Vorstellungen aus, welche die alten Mathematiker im allgemeinen vermieden hatten. So gelten für ihn unendlich kleine Bogen als gerade Linien, unendlich schmale Ebenen als Linien und unendlich dünne Ebenen als Körper, eine Vorstellung, die später auch *Cavalieri* seinen Integrationen zugrunde legte.

Als Beispiel diene die Quadratur des Kreises, an der wir bei *Archimedes* das Exhaustionsverfahren kennen gelernt haben. Der Kreisumfang, sagt *Kepler*, hat unendlich viele Teile. Jedes dieser Teilchen ist als Basis eines gleichschenkligen Dreiecks anzusehen. Wir erhalten so unendlich viele Dreiecke, die sämtlich mit ihren Spitzen im Mittelpunkte des Kreises liegen. Werden nun die sämtlichen Grundlinien, deren Summe gleich der Peripherie ist, auf einer Geraden aneinander gefügt und mit dem Mittelpunkte des Kreises verbunden, so erhalten wir ein aus unendlich vielen Dreieckchen bestehendes größeres Dreieck, dessen Inhalt gleich dem des Kreises ist.

Auf die gleiche Weise wird der Inhalt der Kugel berechnet. »Sie enthält«, sagt *Kepler*, »der Möglichkeit nach gleichsam unendlich viele Kegel, deren Grundflächen sozusagen Punkte sind, während die Spitzen im Mittelpunkte der Kugel zusammenstoßen.«

Eins der lehrreichsten Beispiele für *Keplers* Verfahren ist seine Kubatur des Ringes (s. Abb. 53). Dieser wird zunächst durch Ebenen, welche durch die Achse A gehen, in unendlich viele Scheibchen zerlegt. Diese Scheibchen sind aber nicht überall gleich dick, sondern sie sind, von ihrer eigenen Mitte aus gerechnet, nach der Achse A zu dünner und nach der entgegengesetzten Richtung dicker. Diese Unterschiede gleichen sich aber aus, und infolgedessen ist der Rauminhalt des Ringes gleich dem Inhalt eines Zylinders, dessen Grundfläche mit einer Schnittfläche des Ringes zusammenfällt, während seine Höhe gleich dem Kreise ist, den der Mittelpunkt F dieser Schnittfläche bei ihrer Rotation um die Achse A beschreibt.

Zu den wenigen, von den Alten betrachteten Rotationskörpern fügte *Kepler* eine Fülle von neuen, so daß die Gesamtzahl der von ihm betrachteten Körper sich auf 92 beläuft. Diese Mannigfaltigkeit ergab sich, indem er geradlinige Figuren und die vier Kegelschnitte um Durchmesser, Sehnen, Tangenten oder außerhalb dieser Kurven gelegene Achsen rotieren ließ (s. Abb. 54). Die entstandenen Körper benannte *Kepler* oft nach Früchten. So entstand sein »Apfel«, wenn ein Kreisabschnitt, der größer als der Halbkreis ist, um seine Sehne rotiert[299]. War der rotierende Kreisabschnitt dagegen kleiner als der Halbkreis, so nannte er den entstandenen Körper »Zitrone«.

Die mathematische Strenge eines *Euklid* und *Archimedes* vermochte *Kepler* bei seinen Ableitungen nicht zu erreichen. Dazu bedurfte es der weiteren Entwicklung der Infinitesimalmethode, die er erst begründete. In manchen Fällen mußte er sich mit Wahrscheinlichkeitsschlüssen begnügen, oder er verfehlte gar die richtige Lösung des vorliegenden Einzelfalles.

*Kepler* hatte sich in seiner »Doliometrie« nicht nur die Aufgabe gestellt, den Inhalt von Fässern und anderen Rotationskörpern zu berechnen, sondern er wollte zugleich untersuchen, welche Form des Fasses die zweckmäßigste sei, d. h. beim geringsten Verbrauch an Material möglichst viel fassen könne. Ein Problem von der Art des zuletzt erwähnten hat man als ein isoperimetrisches bezeichnet, und wir werden erfahren, daß auch in späteren Perioden derartige Probleme für die Entwicklung der höheren Analysis von der allergrößten Wichtigkeit gewesen sind. Als Beispiel unter *Keplers* hierher gehörigen Betrachtungen sei der Satz erwähnt, daß der Würfel das größte Parallelepipedon ist, das in eine Kugel einbeschrieben werden kann[300].

*Kepler* bemerkte auch schon, daß die Maximalwerte dadurch gekennzeichnet sind, daß in ihrer Nähe die Veränderungen einer Funktion gleich Null werden. Ist z. B. MP (Abb. 55) die größte Ordinate der Kurve AMB, so ist die Zu- und Abnahme von MP bei unendlich kleiner paralleler Verschiebung gleich Null. *Kepler* zeigte durch diesen für die Theorie der Maxima und Minima grundlegenden Satz, wenn er ihn auch noch nicht zu beweisen vermochte, wie tief er auch nach dieser Seite in die Infinitesimalbetrachtungen eingedrungen war. In *Keplers* Worten lautet der Satz: »An solchen Stellen, wo der Übergang von einem kleineren zum größten und wieder zum kleineren stattfindet, ist der Unterschied immer bis zu einem gewissen Grade unmerklich.«

Wenig später als *Kepler* nahm der Italiener *Cavalieri*[301] das Problem der Quadratur und Kubatur gleichfalls nach einer von der Mathematik der Alten abweichenden Methode in Angriff. Dies geschah 1635 in seiner »Geometrie der Indivisibilien«[302]. Eine klare Definition des Wortes »Indivisibilien«, d. h. die »Unteilbaren«, hat *Cavalieri* nicht gegeben. Sein Verfahren, die Flächen auf Linien und die Körper auf Flächen zurückzuführen, hat auch wohl das Mißverständnis hervorgerufen, als ob *Cavalieri* die Flächen als die Summen unendlich vieler Parallelen und die Körper als die Summen von Flächen auffassen wollte, und infolgedessen Widerspruch erregt. *Cavalieri* weiß aber sehr wohl, daß die Summe aller parallelen Sehnen einer geschlossenen Fläche unendlich und daß das Verhältnis zwischen zwei solchen Summen unbestimmt ist. Besitzen dagegen die zahlreichen parallelen Sehnen, welche durch zwei Flächen gelegt werden, die von zwei Parallelen eingeschlossen sind, gleichen Abstand, so erhält das Verhältnis der Sehnensummen einen Wert, der sich mit der Vermehrung der Sehnen einer bestimmten Grenze nähert. Und zwar entspricht dies Verhältnis dem der beiden Flächen, welche durch die Sehnen zerteilt werden. Ein einfaches Beispiel möge das Gesagte erläutern. Man errichte über der Grundlinie eines Dreiecks ein Rechteck von gleicher Höhe und ziehe dann in beiden Figuren eine Anzahl Linien parallel zur Grundlinie in gleichen Abständen. Dann wird die Summe der Strecken im Dreieck halb so groß sein wie die Summe der Strecken im Rechteck. Daraus schließt *Cavalieri*, daß auch die Flächen im Verhältnis von 1 : 2 stehen.

Nach demselben Verfahren ergibt sich, daß eine Ellipse und ein Kreis, dessen Durchmesser mit einer Achse der Ellipse zusammenfällt, sich der Fläche nach verhalten wie die andere Achse der Ellipse zum Kreisdurchmesser.

Wird *Cavalieris* Methode auf körperliche Gebilde übertragen, so sind statt der Linien parallele Ebenen in gleichen Abständen zu wählen. Schneiden diese Ebenen die Körper in Flächen, die in einem gegebenen Verhältnis stehen, so gilt für die Volumina der Körper das gleiche Verhältnis. Noch heute trägt dieser Satz bekanntlich den Namen *Cavalieris*. Eingeschränkt auf inhaltsgleiche Gebilde lautet er: Gebilde der Ebene sowie des Raumes sind inhaltsgleich, wenn die in gleicher Höhe geführten Schnitte gleiche Strecken bzw. Flächen ergeben.

Gegenüber der Methode *Keplers*, der sich bestimmte Aufgaben stellte, besaß die Methode *Cavalieris* den Vorzug größerer Allgemeingültigkeit und abstrakterer Behandlung. Trotz des Widerspruches, den beide Männer fanden, war die von ihnen eingeführte Infinitesimalbetrachtung die wertvollste Idee, die jemals die Mathematik bereichert hat. Erweisen sollte sich ihre Fruchtbarkeit zwar erst nach der Erfindung der analytischen Geometrie, aus deren Verknüpfung mit der neuen Betrachtungsweise die Differential- und Integralrechnung als das wichtigste mathematische Hilfsmittel der neueren Naturforschung hervorging.

Unter den wissenschaftlichen Gegnern *Keplers* und *Cavalieris* ist besonders *Guldin* zu nennen. Er befaßte sich in einem umfangreichen Werke mit der Bestimmung der Schwerpunkte von Kurven, Flächen und Körpern und zwar eingehender, als es bisher geschehen war[303]. Fußend auf einem Satz, der sich bei *Pappus* findet, ging *Guldin* gleichfalls zu Inhaltsbestimmungen über. Der *Pappus-Guldin*sche Satz, der heute noch als die *Guldin*sche Regel bezeichnet wird, besagt, daß der Rauminhalt eines Rotationskörpers gleich dem Produkt aus der erzeugenden Fläche und dem Wege ihres Schwerpunktes ist.

Einen einwandfreien Beweis dieses Satzes vermochte *Guldin* nicht zu geben. Seine Richtigkeit folgerte er vielmehr aus dem Umstande, daß man mit Hilfe dieser Regel zu den gleichen Ergebnissen gelangt, die sich auch auf anderen Wegen finden lassen. Seine Beispiele sind oft dieselben, die *Kepler* behandelt hat. Während aber *Keplers*, von *Guldin* als unwissenschaftlich bekämpfte Methode den Keim der höheren Mathematik enthielt, ist *Guldins* Verfahren ohne Einfluß auf die Weiterentwicklung dieser Wissenschaft geblieben, zumal die Quadratur der gegebenen Figur und die Bestimmung ihres Schwerpunktes häufig weit schwieriger sind, als die direkte Kubatur des betreffenden Rotationskörpers[304].

Einen weiteren Schritt auf dem Gebiete der Infinitesimalbetrachtungen bedeutet die »Arithmetik des Unendlichen« des Engländers *Wallis*[305] (1655). *Wallis* wurde durch die Untersuchungen *Cavalieris* angeregt, sich mit Quadraturen und Kubaturen zu beschäftigen. Sie bilden den wesentlichen Inhalt seiner »Arithmetik des Unendlichen«. Aus dem Titel des Werkes ist schon ersichtlich, daß *Wallis* im Gegensatz zu *Cavalieri*, der seine Ableitungen geometrisch zu gestalten suchte, vorzugsweise rechnerisch verfuhr. Dies gelang ihm, indem er die analytische Methode des *Descartes* auf die infinitesimale Betrachtungsweise *Keplers* und *Cavalieris* übertrug. Ob *Wallis* mit der Doliometrie *Keplers* bekannt war, ist allerdings zweifelhaft[306].

*Wallis* zerlegt z. B. eine Fläche, um deren Quadratur es sich handelt, durch unendlich viele parallele Ordinaten in eine unendlich große Zahl von unendlich schmalen Parallelogrammen und sucht deren Summe zu ermitteln. Dabei bedient er sich der noch heute üblichen Form des Grenzüberganges.

Die Erweiterung dieser von *Kepler*, *Cavalieri* und anderen geschaffenen Grundlagen einer neuen, höheren Mathematik zu einem allgemeinen, für die Fortentwicklung der Naturwissenschaft sowohl wie der Technik unentbehrlichen Hilfsmittel ist insbesondere das Werk von *Newton* und von *Leibniz*.

Durch seine Untersuchungen über unendliche Reihen war *Newton* zu einer allgemeineren Lösung der Tangentenaufgabe gelangt, mit der sich schon *Fermat* und *Descartes* beschäftigt hatten. *Newton* veröffentlichte sein Verfahren zunächst nicht, sondern setzte seit 1669 mehrere Personen, mit denen er in wissenschaftlichem Verkehr stand, davon in Kenntnis. Durch einen Brief des Sekretärs der Royal-Society[307] erfuhr auch *Leibniz* davon. Diesen Brief empfing *Leibniz* jedoch erst 1677. Er antwortete noch in demselben Jahre unter Darlegung einer Methode, die zum gleichen Ziele führe und machte sie im Jahre 1684 und 1686 bekannt. In der Schrift vom Jahre 1684[308] entwickelte er die Prinzipien der Differentialrechnung. Er bezeichnete es als ihre Aufgabe, den unendlich kleinen Zuwachs zu bestimmen, den eine Funktion f(x) erfährt, wenn sich die Variable x unendlich wenig ändert. Jenen unendlich kleinen Zuwachs nannte *Leibniz* das Differential der Funktion. Er bezeichnete ihn mit d.

In der zweiten Schrift[309] entwickelte *Leibniz* die Prinzipien der Integralrechnung. Er stellte sich darin die Aufgabe, umgekehrt aus dem unendlich kleinen Zuwachs die Funktion zu finden, ein Verfahren, das man als Integration bezeichnet. *Leibniz* führte für die gesuchte Funktion das Zeichen ∫ (Integral) ein. Auch erkannte er schon den Zusammenhang, in dem das Integrationsverfahren mit der Quadratur und mit der Kubatur steht.

Bald nach diesen Veröffentlichungen erschienen die »Prinzipien« (1687), in denen *Newton* sich der geometrischen Einkleidung seiner Beweise bediente. So kam es, daß sich die von *Leibniz* erfundene Methode rasch ausbreitete, während diejenige *Newtons* fast unbekannt blieb und vollständig erst nach seinem Tode[310] veröffentlicht wurde. Er nannte sie Methode der Fluxionen. Die unendlich kleinen Größen, mit denen *Leibniz* operiert, ersetzt *Newton* durch seine verschwindenden Größen. Das Neue ist bei *Newton* vor allem der Begriff der Grenze. Er versteht darunter den Wert, dem sich die gleichsam fließenden (daher der Ausdruck Fluxionen) Größen immer mehr nähern.

Erwähnt sei noch, daß im Jahre 1699 ein heftiger Prioritätsstreit entbrannte. Er wurde entfacht durch die Bemerkung eines Mathematikers[311], daß *Leibniz* sein Verfahren wahrscheinlich *Newton* entlehnt habe. *Leibniz* war daraufhin so unvorsichtig, in einer anonymen Schrift *Newton* des Plagiats zu beschuldigen. Eine Aussöhnung fand nicht statt. *Leibniz* hat bis zu seinem Tode (1716) sehr unter diesem Streit gelitten. *Newton* hat in seinen »Prinzipien« anerkannt, daß *Leibniz* auf die gleiche Methode wie er gekommen sei. Erst in der nach *Newtons* Tode erschienenen Auflage ist die Bemerkung fortgelassen.

Daran, daß *Newton* die Priorität gebührt, ist nicht zu zweifeln, wie auch *Leibniz* wohl die Anregung zu seiner Entdeckung durch *Newton* empfangen hat. Vor allem hat *Leibniz* das Verdienst, die neue Methode zuerst bekanntgegeben und durch den von ihm geschaffenen Algorithmus ganz besonders zu ihrer Ausbreitung beigetragen zu haben.

Die tiefere Begründung der Infinitesimalmethode erfolgte erst durch *Carnot*[312], den großen *Carnot* der französischen Revolution, dessen Neffe grundlegende Untersuchungen auf dem Gebiete der Wärmelehre anstellte (s. Bd. III ds. Werkes). Um die mathematische Strenge des Verfahrens hat sich *Cauchy* das größte Verdienst erworben. Er entschied sich für die von *Newton* begründete Methode der Grenzwerte, die an Klarheit und Schärfe von keiner anderen erreicht wird.

7. Die Beziehungen der Naturwissenschaft zur neueren Philosophie.

Wie die Mathematik, so ist auch die Philosophie auf die Entwicklung der Naturwissenschaften von großem Einfluß gewesen. Alle drei entspringen ja der gleichen Quelle, nämlich dem uns innewohnenden Triebe, uns gegen die geistige Umwelt einzustellen. Bei der Philosophie erweitert sich dieser Trieb dahin, auch das Verhältnis der Umwelt zum denkenden und forschenden Subjekt zu ergründen. Wie sich die Mathematik, die Philosophie und die Naturwissenschaften seit dem Altertum gegenseitig bedingt haben, wurde in früheren Abschnitten gezeigt. Im Anfange war die Berührung eine so innige, daß gewöhnlich ein und derselbe Mann Philosoph, Mathematiker und Naturforscher war. Man braucht nur an *Thales*, *Platon* und *Aristoteles* zu erinnern. Später setzte die Spezialisierung ein. Männer wie *Archimedes* und *Heron* haben sich schwerlich eingehender mit philosophischen Fragen beschäftigt, wenigstens erkennen wir es nicht aus ihren Werken. Auch die Mathematik wurde vielen ein Sondergebiet, das sich von den übrigen loslöste und als reine Mathematik seine eigenen Wege ging. Dagegen ist die Vereinigung des naturwissenschaftlichen Forschens mit mathematischem Denken durch alle Zeiten erhalten geblieben. Die Astronomie war seit den ersten Anfängen angewandte Mathematik, die Physik war es, sobald sie sich mechanischen Problemen zuwandte, und die übrigen Zweige der Naturwissenschaft erhoben sich erst in dem Maße auf eine Stufe, die als wissenschaftlich bezeichnet werden kann, in dem sie der Mathematik und der auf ihr beruhenden Mechanik ihre Tore öffneten.

Trotz der engen Beziehungen, die zwischen den Naturwissenschaften, der Mathematik und der Philosophie herrschen und jederzeit vorhanden waren, haben sich diese drei Wissenschaften keineswegs stets gegenseitig gefördert. Selbst die Mathematik konnte die Entwicklung der Naturwissenschaften hemmen, indem sie letztere mit geometrischen und Zahlenspekulationen überwucherte, anstatt ihnen lediglich bei der Ausbildung des messenden Verfahrens behilflich zu sein. Geradezu unheilvoll ist mitunter der Einfluß der Philosophie auf die Naturwissenschaft gewesen. Letztere hatte am meisten, erstere am wenigsten festen Boden unter den Füßen. Die Philosophie konnte daher besonders leicht auf Abwege geraten. Das ist bis in die neueste Zeit geschehen, wie uns die Betrachtungen über den Einfluß der während der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts herrschenden Naturphilosophie zeigen werden. In Deutschland konnten die Naturwissenschaften damals erst wieder aufblühen, nachdem sie sich von der zeitgenössischen Philosophie losgelöst hatten. Eine ähnliche Befreiung aus den Fesseln der Philosophie mußte auch dem Aufblühen der Naturwissenschaften zu Beginn des 17. Jahrhunderts vorhergehen. Bis dahin reicht für die Philosophie das Zeitalter der Scholastik. Sie erblickte ihre Aufgabe in der Vermittlung zwischen Wissen und Glauben. Anfangs galt ihr das Dogma als unerschütterliche Wahrheit und *Aristoteles* als die Hauptquelle alles Wissens. Zwischen beiden zu vermitteln, erforderte einen großen Aufwand an Spitzfindigkeit. Eine solche war auch der Grundsatz, daß etwas vom Standpunkt des Dogmas aus wahr, mit der Vernunft aber unvereinbar sein könne. Dieser Grundsatz wurde von der Kirche sehr befehdet, da er schon ein Streben der Philosophie bekundete, sich von den Fesseln der Kirche zu befreien. Dieses Streben führte schließlich dahin, daß die Philosophie selbständig wurde, und daß der durch das scholastische Verfahren rege gewordene Geist des Prüfens und des Zweifelns endlich mit allen Voraussetzungen brach. Diese Erneuerung begegnet uns bei *Bacon* und bei *Descartes*.