Part 14

*Hevel* war auch ein fleißiger Kometenforscher. Es war ihm vergönnt von 1652-1683 neun größere Kometen zu beobachten. Die hierdurch und durch andere gewonnenen Aufzeichnungen über 400 Kometen hat er in seiner Cometographie vom Jahre 1668 veröffentlicht.

*Hevel* starb im Jahre 1687. Er hatte einen ausgedehnten Briefwechsel mit den bedeutendsten Gelehrten seiner Zeit unterhalten. Die von *Hevel* gesammelten Briefe umfaßten viele Folianten, sind aber von seinen Erben für einen Spottpreis verkauft worden[264]. In einer Geschichte der Wissenschaften verdient dies Verhalten verurteilt zu werden, zur Warnung für spätere Geschlechter und zur Mahnung an die Pflichten, welche der Staat hat, wenn dem einzelnen das Verständnis abgeht.

Die unmittelbar auf *Kepler* folgende Generation schuf auch die mit der Physik und mit der Astronomie in engem Zusammenhange stehende allgemeine Geographie. Ihr Begründer ist Bernhard *Varenius* und das Werk, durch das er dies vollbrachte, seine »Geographia generalis« (1650)[265]. Der große Fortschritt, den wir bei *Varenius* finden, besteht vor allein darin, daß er nicht lediglich schildert und beschreibt, sondern in erster Linie vergleicht. Sein Werk wird daher mit Recht dem zweihundert Jahre später erschienenen Kosmos *A. v. Humboldts* zur Seite gestellt.

6. Die Förderung der Naturwissenschaften durch die Fortschritte der Mathematik.

Die Entdeckungen der großen Erneuerer der Naturwissenschaften sind zum großen Teil der Anwendung der Mathematik auf physikalische und astronomische Probleme zu verdanken. Der Fortschritt in der von *Galilei* und *Kepler* eingeschlagenen Richtung war daher nicht nur an die Ausbildung und Ausbreitung des induktiven Verfahrens, sondern auch an die Weiterentwicklung der Mathematik geknüpft. Letztere nahm denn auch in diesem Zeitalter unter der Mitwirkung der bedeutendsten Naturforscher einen kräftigen Aufschwung, der in der nachfolgenden Periode durch *Newton*, *Leibniz*, *Descartes* und *Huygens* eine Fortsetzung erfuhr.

Fortschritte der Rechenkunst.

In dem Maße, wie die Genauigkeit der Beobachtungen zunahm, war auch die Berechnung der Ergebnisse zeitraubender und mühseliger geworden, so daß man das Bedürfnis fühlte, an die Stelle des Multiplizierens und Dividierens großer Zahlen eine Vereinfachung treten zu lassen. Diesem wurde durch die Erfindung der Logarithmen genügt, durch die jene Operationen auf das viel schneller zu bewerkstelligende Addieren und Subtrahieren zurückgeführt wurden. Zur Berechnung astronomischer Tafeln wandte *Kepler* zum erstenmal im Jahre 1620 die Logarithmen an, die nach einem Ausspruch von *Laplace* das Leben des Astronomen verlängern, indem sie die Arbeit von Monaten auf Stunden abkürzen.

Ein großes Verdienst um die für die Allgemeinheit wie für die Wissenschaft gleichwichtige Fortbildung der Rechenkunst erwarb sich auch der Holländer *Simon Stevin*[266], dessen Lebensgang und physikalische Forschungen wir an späterer Stelle kennen lernen werden. *Stevin* ist die erste systematische Darstellung des Rechnens mit Dezimalbrüchen zu verdanken. Dabei verfehlte er nicht, auf den Wert der dezimalen Schreib- und Rechnungsweise hinzuweisen und im Zusammenhange damit von den Regierungen die Einführung dezimaler Münz-, Maß- und Gewichtssysteme zu fordern, ein Wunsch, der erst zweihundert Jahre später durch die Männer der französischen Revolution verwirklicht wurde.

*Stevins* Schreibweise für die Dezimalbrüche ist noch eine umständliche. Er fügte nämlich jeder Ziffer die Stelle, die sie einnimmt, als Index bei. Der Dezimalbruch 0,3469 z. B. nimmt bei ihm folgende Form an: 3① 4② 6③ 9④. Fast zur selben Zeit entstand aber nach *Vietas* Vorschlag die heutige Schreibweise unter Anwendung des Kommas.

Mit Zinsberechnungen war man schon im Altertum bekannt. Bei den Indern und den italienischen Kaufleuten des Mittelalters begegnen uns auch Zinseszinsberechnungen. *Stevin* gebührt das Verdienst, zuerst[267] Tafeln für die Berechnung von Zinsen und Zinseszinsen veröffentlicht zu haben.

Von größtem Einfluß auf die weitere Entwicklung der Mathematik, wie auf die mathematische Behandlung der Naturwissenschaften war auch die Fortbildung der algebraischen Zeichensprache und des wichtigsten Gebietes der Algebra, der Lehre von den Gleichungen.

Wir haben in früheren Abschnitten erfahren, daß in der ältesten Periode die Mathematik der Zeichen entbehrte und alle Rechnungen und Beziehungen in Worten zum Ausdruck brachte. Bald traten jedoch Fachausdrücke und Abkürzungen und endlich besondere Zeichen auf. So stellten sich gegen den Ausgang des 15. Jahrhunderts, als man in Italien noch für Plus und Minus die Abkürzungen p und m brauchte, die Zeichen + und - ein[268].

Das Zeichen = für die Gleichsetzung ist noch jüngeren Datums. Es begegnet uns ein halbes Jahrhundert später und wird von dem Erfinder[269] damit begründet, daß nichts gleicher sei als ein Paar paralleler Strichelchen. Klammern, Wurzel- und Unendlichkeitszeichen sind noch später entstanden.

Der bedeutendste Fortschritt in der Ausbildung der Algebra zu einer auf internationaler Kurzschrift beruhenden Sprache geschah durch den Franzosen *Vieta* mit seiner Einführung allgemeiner Buchstabengrößen[270]. Bei ihm begegnen uns auch die ersten Anfänge einer Verknüpfung der Algebra mit der Geometrie, indem er die Wurzeln gegebener Gleichungen geometrisch darstellen lehrte. Auch das Verfahren, die Zahl π durch eine unendliche Reihe zu ermitteln, rührt von *Vieta* her. Er hat auf diesem Wege π bis auf 10 Dezimalen berechnet.

*Franziskus Vieta* wurde 1540 im Poitou geboren und starb 1603 in Paris. Er wirkte unter *Heinrich IV.* als Parlamentsrat und später als Mitglied des Königlichen Geheimen Rates. *Vieta* gilt als der hervorragendste französische Mathematiker des 16. Jahrhunderts.

Mit allgemeinen Sätzen war man in der Arithmetik schon lange vor *Vieta* bekannt geworden. Wollte man aber eine für das ganze Bereich der konkreten Zahlen gültige Regel ausdrücken, so mußte dies in Worten geschehen. Ein Beispiel diene zur Erläuterung. Ausdrücke von der Form 3 (4 + 2) = 3 · 6 = 3 · 4 + 3 · 2 = 12 + 6 = 18 lassen sich für beliebig viele konkrete Fälle bilden. Man hatte auch daraus den allgemeinen Satz entnommen, daß eine Summe mit einer Zahl multipliziert wird, indem man entweder zuerst summiert und die erhaltene Zahl mit der gegebenen Zahl multipliziert, oder auch, indem man die Summanden einzeln mit der gegebenen Zahl multipliziert und die erhaltenen Produkte dann addiert. Diese umständliche Regel ließ sich in der mit Buchstabengrößen arbeitenden Algebra, zumal bald nach *Vieta* der Gebrauch von Klammern aufkam, auf folgenden, ohne weiteres verständlichen, sämtliche möglichen konkreten Fälle umfassenden Ausdruck bringen:

a (b + c) = a · b + a · c.

*Vieta* unternahm es auch, die Trigonometrie mit der Algebra zu verknüpfen, indem er lehrte, wie sich nach algebraischem Verfahren die trigonometrischen Funktionen umformen und in mannigfache Beziehungen bringen lassen. Auf diese Weise entstand durch ihn derjenige Teil der Trigonometrie, den man auch wohl als Goniometrie bezeichnet. So leitete er die Formeln für sin n α und cos n α ab und zeigte z. B., daß sin 3 α = sin α · cos 2 α + cos α · sin 2 α ist[271].

Die Lehre von den Gleichungen.

Der zweite große Fortschritt auf dem Gebiete der Algebra betraf die Lehre von den Gleichungen. *Vieta* war noch der Meinung, daß nur die positiven Wurzelwerte einer Gleichung eine Lösung darstellen. Daß auch die negativen Wurzeln reell sind und überhaupt jede Gleichung so viel Wurzeln hat, als ihr Grad anzeigt, erkannten erst die Mathematiker des 17. Jahrhunderts.

Daß jede Gleichung n. Grades n Wurzeln besitzt, folgerte der Niederländer *Girard* 1629 in seinem Werke »Neue Entdeckungen auf dem Gebiete der Algebra« aus dem von ihm erkannten Zusammenhange zwischen den Wurzeln einer Gleichung mit ihren Koeffizienten[272]. Dieser Zusammenhang ergab sich daraus, daß die Entstehung einer Gleichung n. Grades durch die Multiplikation von n Faktoren ersten Grades nachgewiesen wurde, eine Erkenntnis, deren mathematischer Ausdruck X_{n} = (x - α_{1})(x - α_{2})(x - α_{3}) ... (x - α_{n}) lautet, wenn wir mit X_{n} das Polynom der Gleichung und mit α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{n} die Wurzeln bezeichnen.

Nachdem *Girard* das Bildungsgesetz der Gleichungen erkannt hatte, erhielten auch die imaginären Wurzeln, mit denen man früher nichts anzufangen wußte, gleichsam ihre Daseinsberechtigung. Wenn *Girard* z. B. findet, daß eine bestimmte Gleichung vierten Grades neben zwei reellen noch zwei imaginäre Wurzeln liefert, so läßt er sich durch das Auftreten der letzteren nicht beirren, sondern erläutert es dahin, daß diese Wurzeln es eben sind, welche dem Bildungsgesetz Genüge leisten.

In der ersten Hälfte des 17. Jahrhunderts begann man mit den negativen Zahlen und mit der Null zu rechnen. Auch hierin hat *Girard* neben dem gleich zu nennenden *Descartes* Bahnbrechendes geleistet. *Girard* bemerkt, die negative Lösung werde geometrisch durch Rückwärtsschreiten dargestellt[273]. Dieser Gedanke findet sich bei *Descartes* für eine Reihe von Aufgaben verwertet. Er sowie *Girard* erklären die negativen Wurzeln geometrisch als Strecken, deren Richtung derjenigen entgegengesetzt ist, welche die den positiven Wurzeln entsprechenden Strecken angeben[274].

Auf Gleichungen dritten Grades kamen schon die Alten durch das Problem der Würfelverdopplung (Bd. I. S. 85). Auch *Archimedes* wurde auf eine kubische Aufgabe geführt, als er eine Kugel durch eine Ebene so zu zerlegen suchte, daß die beiden Teile der Kugel in einem bestimmten Verhältnis stehen. Die Folge war, daß sich auch die Araber mit Gleichungen dritten Grades beschäftigten, ohne indessen andere als geometrische Lösungen zu finden. Die algebraische Auflösung dieser Gleichungen war daher eins der wichtigsten Probleme der neueren Mathematik. Seine Bewältigung gelang zu Beginn des 16. Jahrhunderts[275], indem man eine Regel fand, um die Gleichung x^3 + ax = b zu lösen. Bekannt gegeben wurde diese Lösung durch *Cardano* (*Cardani*sche Formel). Er hatte sie indes nicht selbst gefunden, sondern verdankte sie *Tartaglia*. Es ergibt sich, daß eine Gleichung dritten Grades drei Wurzeln hat und daß die Summe dieser Wurzeln gleich dem Koeffizienten von x^2 ist. Bei diesen Untersuchungen war man gezwungen, auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu berücksichtigen und mit solchen »imaginären« Werten wie mit algebraischen Zahlen zu rechnen.

Mit einer Gleichung vierten Grades haben sich zuerst arabische Mathematiker beschäftigt. Die Lösung gelang durch Konstruktion[276]. Die algebraische Lösung dagegen blieb einem Schüler *Cardanos*[277] vorbehalten. Er führte die biquadratische Gleichung auf eine kubische zurück.

Diese Erfolge des 16. Jahrhunderts bewirkten, daß man im 17. und 18. sich eifrig um die Lösung von Gleichungen fünften und höheren Grades mühte. Alle Anstrengungen waren jedoch vergeblich. Sie führten schließlich zu dem negativen Ergebnis, daß es unmöglich sei, solche Gleichungen algebraisch aufzulösen[278].

Die Begründung der analytischen Geometrie.

Eine ganz ungeahnte Wichtigkeit erhielt die Lehre von den Gleichungen, als *Descartes* diesen Teil der Algebra mit der Geometrie in die engste Beziehung setzte und dadurch die Grundlagen der analytischen Geometrie der Ebene schuf. *Descartes* zeigte, daß jede gesetzmäßig entstandene Kurve auf eine Gleichung zurückgeführt werden kann, aus der sämtliche Eigenschaften der Kurve sich durch Rechnung ableiten lassen. Gesetzmäßig entsteht eine Kurve, wenn sie als der geometrische Ort aller Punkte zu betrachten ist, die einer bestimmten Bedingung genügen. Jene Bedingung drückt *Descartes* durch eine unbestimmte Gleichung zwischen zwei voneinander abhängigen Größen x und y aus, die er durch Linien darstellt. Den Grundgedanken des auf diesen Voraussetzungen beruhenden Verfahrens[279] spricht er in folgenden Worten aus: »Indem man der Linie y der Reihe nach unendlich viele verschiedene Größen beilegt, erhält man auch unendlich viele Werte für die Linie x.« Auf diese Weise sind aber, wie *Descartes* hinzufügt, unendlich viele Punkte bestimmt, welche der gegebenen Gleichung genügen. Verbindet man diese Punkte, so erhält man eine Kurve als das geometrische Bild jener Gleichung.

Die Möglichkeit einer analytischen Geometrie des Raumes wurde von *Descartes* nur angedeutet. Er bemerkt nämlich, eine dreidimensionale Kurve sei völlig bestimmt, wenn man von jedem ihrer Punkte zwei Lote auf zwei zueinander senkrechte Ebenen fälle. Auf diesen entständen dadurch ebene Kurven, die uns einen vollkommenen Begriff von dem Verlauf der Raumkurve gäben.

*Descartes* knüpfte zwar unmittelbar an *Vieta* an, den wir als den Schöpfer der algebraischen Geometrie kennen gelernt haben. Auf den Grundgedanken seines Verfahrens wurde er aber durch das Studium der Alten geführt. In der Einleitung zu seiner »Geometrie« erzählt *Descartes*, er habe sich mit einer Aufgabe des *Pappus* beschäftigt, deren vollständige Lösung den Alten nicht gelungen sei. Den Grund dafür habe er darin gefunden, daß die Aufgabe eine unbestimmte, d. h. die Zahl der Gleichungen kleiner als die der Unbekannten war. Eine Lösung ließ sich, wie *Descartes* erkannte, nur dadurch ermöglichen, daß man für die überzählige Unbekannte oder die überzähligen Unbekannten bestimmte Werte annahm, wodurch dann jedesmal auch die andere oder die anderen Unbekannten bestimmt waren. Allerdings ergaben sich dann soviel Lösungen, so oft man diese Operation vornahm, und statt eines bestimmten Punktes erhielt man eine Reihe von Punkten oder eine Linie, deren Punkte der gestellten Aufgabe genügten. Der große Fortschritt der *Descartes*'schen Methode bestand darin, daß fortan geometrische Gebilde der Rechnung unterworfen und alle geometrischen Aufgaben allgemein gelöst werden konnten, während das Altertum nur geometrische Einzelfälle betrachtete.

Auch neue, für die Weiterentwicklung der Mathematik in ihrer Anwendung auf die Naturwissenschaften höchst wichtige Probleme wurden durch das analytische Verfahren zugänglich. Eins der ersten, mit dem sich schon *Descartes* befaßte und an dem sich vorzugsweise die Infinitesimalrechnung entwickelt hat, war die Tangentenaufgabe. *Descartes* stellte sie zunächst in der Fassung, daß er für einen gegebenen Punkt einer Kurve die zur Tangente senkrechte Linie, die Normale, suchte. Ein Jahr nach dem Erscheinen seiner »Geometrie« sehen wir ihn jedoch schon mit der Konstruktion der Tangente an die Zykloide beschäftigt, jener Kurve, auf die zuerst *Galilei* aufmerksam geworden war[280]. *Descartes'* Verfahren, unbestimmte Gleichungen geometrisch zu deuten, lehrte alsbald eine Fülle neuer Kurven kennen. Erwähnt seien nur die von ihm entdeckte logarithmische Spirale und das gleichfalls von ihm gefundene und nach ihm benannte Cartesische Blatt, dessen Gleichung x^3 + y^3 = a · x · y lautet.

Die Geometrie der Ebene wurde insbesondere durch *Fermat*, diejenige des Raumes erst ein Jahrhundert später durch *Clairaut* (1713-1765) weiter ausgebaut.

*Fermats* Verdienste um die Fortbildung der Mathematik zur wichtigsten Hilfsdisziplin der Naturwissenschaften sind so hervorragend, daß wir bei diesem Manne und seinen Leistungen etwas verweilen müssen.

*Pierre Fermat* wurde 1601 in der Nähe von Toulouse geboren. Er starb dort im Jahre 1665. Wir wollen versuchen *Fermat*, dem man den Ruhm zuerkannt hat, der bedeutendste französische Mathematiker[281] zu sein, als Mitbegründer der analytischen Geometrie zu würdigen, mit deren Problemen er sich bereits 10 Jahre vor dem Erscheinen des *Descartes*'schen Werkes beschäftigte. Auch *Fermat* knüpfte wie *Descartes* an die alte Mathematik an. *Fermat* bemühte sich nämlich, eine verloren gegangene und nur in Bruchstücken durch *Pappus* bekannt gewordene Schrift des *Euklid*, die sogenannten Porismen[282], wieder herzustellen.

*Fermats* für die analytische Geometrie grundlegende Arbeit zeichnet sich der »Geometrie« des *Descartes* gegenüber durch größere Klarheit und erschöpfende Behandlung aus. Nirgends findet sich bei *Descartes* eine solch klare Darstellung des Grundgedankens, wie *Fermat* sie gleich zu Beginn seiner Arbeit gibt. Die Gleichungen, sagt er, können in bequemer Weise dargestellt werden, wenn wir zwei Strecken unter einem gegebenen Winkel, als den man am passendsten den rechten nimmt, aneinandersetzen und einen Anfangspunkt wählen. Diesen Nullpunkt bezeichnet *Fermat* mit N. Die Strecke, die er von dort abträgt, wird mit A (unser x), die dazu senkrechte mit E (unser y) bezeichnet. Die konstanten Werte (a, b, c usw.) werden bei ihm durch B, D, G ausgedrückt. Die Gleichung einer Geraden, welche durch den Nullpunkt geht, begegnet uns bei *Fermat* zum ersten Male. Sie lautet D · A = B · E. (unser ax = by). Die Parabelgleichung schreibt er A^2 = D · E (unser x^2 = ay), die Kreisgleichung B^2 - A^2 = E^2 (heute r^2 - x^2 = y^2) usw.[283].

Maxima- und Minimaaufgaben.

*Fermat* war einer der ersten, der eine allgemeine Methode fand, die Maxima- und Minimaaufgaben zu lösen. Zum ersten Male begegnet uns ein hierher gehöriges Problem, und zwar in geometrischer Fassung, bei *Euklid*[284]. Es läuft, modern ausgedrückt, darauf hinaus, für x · (a - x) den größten Wert zu finden. Die Lösung ergibt, daß dies Produkt ein Maximum ist, wenn x = a/2 gesetzt wird. Daß der Kreis bei gegebenem Umfang unter allen ebenen Figuren die größte Fläche, und die Kugel bei gegebener Oberfläche unter allen Körpern den größten Rauminhalt besitzt, war den Alten gleichfalls bekannt.

Unter den neueren Mathematikern haben sich, von vereinzelten Fällen abgesehen[285], zuerst *Kepler*, *Cavalieri* und *Fermat* mit den in ihrer Anwendung auf das physikalische Gebiet so außerordentlich wichtigen Maxima- und Minimabestimmungen beschäftigt. Mit *Keplers* und mit *Cavalieris* Verdienst um die Begründung der neueren Mathematik werden wir uns später befassen.

*Fermats* Methode ist diejenige, die auch heute wohl noch für eine elementare Behandlung von Maxima- und Minimaaufgaben Anwendung findet[286]. Er setzt nämlich an Stelle einer Unbekannten x einen neuen Wert x - Δ, in welchem Δ (*Fermat* braucht dafür die Bezeichnung E) als eine von Null nur wenig abweichende Größe betrachtet wird.

Nachdem er den Ausdruck umgeformt, wird der Übergang von Δ zur Null vollzogen und der für x gesuchte Wert ermittelt.

Ein Beispiel *Fermats*, bei dem wir jedoch von seiner Ausdrucksweise absehen, möge sein Verfahren erläutern. Für x^2 (a - x) wird nach dem Wert von x gefragt, für den dieses Produkt den größten Wert annimmt. Für x wird x + Δ gesetzt und wir erhalten:

x^2 (a - x) = (x + Δ)^2 (a - x - Δ).

Die Ausrechnung und Umformung ergibt:

2ax - 3x^2 + Δ (a - 3x - Δ) = 0.

Wird darin Δ = 0 gesetzt, so erhalten wir:

2ax - 3x^2 = 0

und daraus:

x = 2/3 a.

Der von *Fermat* gelehrten Methode fehlte noch ein bestimmtes Kennzeichen dafür, ob der erhaltene Wert ein Maximum oder ein Minimum ist. Dies allgemein zu entscheiden, vermochte man erst mit Hilfe des von *Leibniz* herrührenden Verfahrens der Differentialrechnung.

In dem Bestreben, die von ihm gefundene Methode auf die Naturlehre anzuwenden, wurde *Fermat* zu seinem Prinzip von der geringsten Wirkung[287] geführt. *Fermats* Satz läuft darauf hinaus, daß die Natur, »die große Arbeiterin, die unserer Instrumente und Maschinen nicht bedarf«, alle Geschehnisse mit einem Minimum von Aufwand ablaufen lasse. Dieser Gedanke war auch den Alten nicht fremd. So erklärten sie die Form der Bienenzellen aus dem Streben der Natur, möglichst an Material zu sparen[288]. Der alexandrinische Physiker *Heron* äußerte einen ähnlichen Gedanken in bezug auf das Reflexionsgesetz. Er wies nämlich darauf hin, daß die Reflexion des Lichtes von A nach B auf dem kürzesten Wege erfolgt, wenn der Reflexionspunkt C die Lage hat, daß der Einfallswinkel ACD gleich dem Austrittswinkel BCD ist, da jede andere Verbindung der Punkte A und B mit der spiegelnden Fläche, z. B. die Verbindung *AC_{1}B* (Abb. 51), länger ist.

Diese Betrachtungsweise übertrug *Fermat* zunächst auf das damals im Mittelpunkte der Erörterung stehende Brechungsgesetz. *Fermats* Gedankengang war etwa folgender: Daß der Lichtstrahl beim Übergang von dem dünneren zum dichteren Medium gebrochen wird, rührt daher, daß das Licht in letzterem einen größeren Widerstand findet und sich infolgedessen langsamer bewegt. Je größer nämlich der Widerstand ist, um so länger wird die für seine Überwindung beanspruchte Zeit sein. Die im Sinne des Prinzips der kleinsten Aktion gestellte Frage lautete also: Welchen Weg muß der Lichtstrahl nehmen, um mit dem geringsten Gesamtwiderstande, der sich aus den Widerständen in den beiden Medien summiert, oder was auf dasselbe hinausläuft, da ja dem kleineren Widerstande eine kürzere Zeit entspricht, um innerhalb der kürzesten Zeit von A nach B zu gelangen (Abb. 52)? *Fermat* findet mit Hilfe seines Verfahrens, daß dieses Minimum stattfindet, wenn sich der Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels wie die Geschwindigkeiten in den zugehörigen Medien verhalten (sin α : sin β = v_{1} : v_{2} = n).

*Fermat* schloß auch umgekehrt aus dem Gesetz als einer feststehenden Tatsache auf die Zulässigkeit seines, immerhin einen gewissen metaphysischen Zug aufweisenden Prinzips. Denn metaphysisch war das Prinzip, so lange es darauf hinauslief, an die Stelle des ursächlichen Wirkens der Natur gewissermaßen ein überlegtes, aus Vernunftgründen entspringendes Handeln zu setzen.

Das Prinzip der kleinsten Wirkung ist für die weitere Folge von nicht geringem Einfluß gewesen, obgleich es das »unbestimmteste von allen Prinzipien«[289] ist, aus dem man das Wirken der Natur zu erklären sucht. Auch *Huygens* benutzte den *Fermat*schen Satz. Bei der nahen Beziehung, in der *Huygens* zu *Leibniz* stand, hat man wohl vermutet, daß der letztere seine Lehre von der prästabilierten Harmonie in Anlehnung an die Gedanken *Fermats* geschaffen hat. Die Mathematiker und die Physikotheologen des 18. Jahrhunderts hielten gleichfalls an diesem Prinzip fest und suchten seine Allgemeingültigkeit dadurch nachzuweisen, daß sie zahlreiche Einzelfälle daraus ableiteten. Auf solche Weise äußerte das Prinzip eine sehr anregende und fruchtbare Wirkung. Viele Untersuchungen über größte und kleinste Werte, die man im 18. Jahrhundert unternahm, waren von dem Bestreben geleitet, die Naturvorgänge aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung zu erklären. Hand in Hand damit erwuchs in der Variationsrechnung ein besonderer Zweig der Mathematik, der sich mit Maxima- und Minima-Aufgaben befaßte und allgemeingültige Regeln für ihre Lösung erkennen ließ. Einen vorläufigen Abschluß fanden diese Untersuchungen, an denen sich auch *Johann* und *Jacob Bernoulli* beteiligten, in *Eulers* Schrift vom Jahre 1744[290]. Welchen Standpunkt *Euler* dem *Fermat*schen Prinzip gegenüber einnahm, ersehen wir aus folgenden, jenem Hauptwerk entnommenen Worten: »Da die Einrichtung der Welt die vorzüglichste ist, wird nichts in ihr angetroffen, woraus nicht irgend eine Maximum- oder Minimumeigenschaft hervorleuchtet. Deshalb kann kein Zweifel bestehen, daß alle Wirkungen in der Welt durch die Methode der Maxima und Minima aus den Zwecken wie aus den wirkenden Ursachen selbst abgeleitet werden können«.