Part 9

[82] Zu den im Texte angefuehrten Schriften muessen noch die von Brill hinzugezogen werden (_Math. Ann._ 13), ferner die von Geiser (_Annali di Matem._ II, 9) und die von Del Pezzo (_Napoli Rend._ 22) ueber den Zusammenhang, der zwischen den Singularitaeten einer Kurve und denen ihrer Hesseschen Kurve besteht; ferner die von Laguerre (_Comptes rendus_ 40) und Holst (_Math. Ann._ 11 und _Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7), ueber die metrischen Eigenschaften der Kurven.

[83] _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus._

[84] Vgl. Salmon-Fiedler, _Hoehere ebene Kurven_, 5. Kap.

[85] _Phil. Trans._ 1857; _Liouvilles Journ._ 9, 10.

[86] _Journ. fuer Math._ 42.

[87] _Zeitschr. f. Math._ 17; _Prager Ber._ 1871. -- Man sehe auch das Buch _Die ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1871) und die Abhandlung von Gent (_Zeitschr. f. Math._ 17).

[88] _Giorn. di Matem._ 2.

[89] _Journ. fuer Math._ 90.

[90] _Prager Abh._ VI, 5.

[91] _Goettinger Nachr._ 1871 und 1872.

[92] _Journ. fuer Math._ 78.

[93] Hierzu Harnack, _Math. Ann._ 9. Caporali, _Lincei Atti_, III, 1; Folie und Le Paige, _Memoires de l'Academie de Belgique_, 43. Halphen, _Math. Ann._ 15; _Bull. Soc. math._ 9.

[94] _Siehe Giorn. di Matem._, _Lombardo Rend._, _Math. Ann._, _Wiener Ber._ und _Prager Ber._

[95] Fuer die Clebschschen Arbeiten sehe man die in Note 80 angefuehrten Baende des _Journ. fuer Math._ nach. Ueber die ebenen rationalen Kurven dritter Ordnung sehe man die Arbeiten von Durege (_Math. Ann._ 1), Igel (das. 6), Rosenow (Dissertation, Breslau, 1873), Schubert (_Math. Ann._ 12), Dingeldey (das. 27, 28); ueber die Kurven vierter Ordnung die von Brill (Math. Ann. 12) und Nagel (das. 19); ueber die fuenfter Ordnung von Rohn (das. 25), und ueber die rationalen Kurven beliebiger Ordnung die Schriften von Haase (_Math. Ann._ 2), von Lueroth (das. 9), Pasch (das. 18), Brill (das. 20), von Weltzien (das. 26) und Garbieri (_Giorn. di Matem._ 16).

[96] _Journ. fuer Math._ 47; _Comptes rendus_, 1871.

[97] _Journ. fuer Math._ 53.

[98] Guessfeldt, _Math. Ann._ 2; Laguerre, _Bull. Soc. math._ 7; Cremona und Clebsch, _Journ. f. Math._ 64; Kiepert, _Zeitschr. f. Math._ 17; Frahm ebendas. 18; Milinowski das. 19; Intrigila, _Giorn. di Matem._ 23; Kantor, _Wiener Ber._ 1878 und _Bull. Sciences math._ II, 3.

[99] _Giorn. di Matem._ 15.

[100] _Journ. fuer Math._ 65.

[101] _Math. Ann._ 4.

[102] _Bull. de la Societe philomathique_, VII, I.

[103] Wenn p das Quadrat des Moduls einer elliptischen Funktion, q das Quadrat des vermittelst einer primaeren Transformation ungerader Ordnung transformierten Moduls und schliesslich F(p, q, 1) = 0 die entsprechende Modulargleichung ist, so ist die Gleichung einer Modularkurve F([alpha], [beta], [gamma]) = 0. Siehe _Proc. math. Soc._ 9.

[104] _Journ. f. Math._ 65; vgl. Ed. Weyr das. 73; Hurwitz, _Math. Ann._ 19.

[105] _Math. Ann._ 24.

[106] _Journ. fuer Math._ 95, 99; siehe auch die Abhandlung von August, _Grunerts Arch._ 59.

[107] _Transactions of the Royal Society of Edinburgh_ 25.

[108] _Math. Ann._ 5.

[109] _Math. Ann._ 5, 6. Man sehe auch hierzu die Abhandlung von Harnack in der _Zeitschr. f. Math._ 22. Die hauptsaechlichsten von Durege und Schroeter auf synthetischem Wege gefundenen Lehrsaetze sind analytisch von Walter in seiner Dissertation _Ueber den Zusammenhang der Kurven dritter Ordnung mit den Kegelschnittscharen_ (Giessen, 1878) bewiesen. Den genannten Schriften Schroeters ueber die Kurven dritter Ordnung koennen wir nun noch sein neuerdings erschienenes rein geometrisches Lehrbuch: _Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1888) hinzufuegen.

[110] _Math. Ann._ 5.

[111] _Math. Ann._ 1, 13; vgl. Clebsch, _Journ. fuer Math._ 59.

[112] _Irish Trans._ 1869.

[113] Siehe dessen Werk, _Sur une classe remarquable de courbes et surfaces algebriques_ (Paris, 1873).

[114] _Journ. fuer Math._ 57, 59, 66.

[115] _Tidsskrift for Mathematik_, IV, 3.

[116] _Forhandlinger af Videnskabs Selskab af Kjobenhavn_ 1879.

[117] Erschienen in den _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_ (Mailand, 1881).

[118] _Journ. fuer Math._ 28, 34, 38.

[119] _Journ. fuer Math._ 49, 55; vgl. auch Cayley (das. 58).

[120] _Journ. fuer Math._ 49.

[121] _Berliner Ber._ 1864, sowie _Nouv. Ann._ II, 11.

[122] _Math. Ann._ 1; _Journ. fuer Math._ 72.

[123] Vgl. Note 80.

[124] _Journ. fuer Math._ 66. -- Ueber die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung sehe man auch folgende Arbeiten: Riemann, _Zur Theorie der Abelschen Funktionen fuer den Fall p=3_. _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876), S. 456-499; Noether, _Math. Ann._ 15; Cayley, _Journ. fuer Math._ 94; Frobenius (das. 99); Freyberg, _Math. Ann. _17; H. Weber (ebendas. 23).

[125] Um sich von dem bedeutenden Anteil, welchen die Mongesche Schule an der Schoepfung der Theorie der Flaechen zweiten Grades hatte, zu ueberzeugen, genuegt es, sich folgendes zu vergegenwaertigen: Ihr verdanken wir die doppelte Erzeugungsweise des einmanteligen Hyperboloides und des hyperbolischen Paraboloides durch die Bewegung einer Geraden (Monge, _Journ. Ec. polyt._ 1) und die Erzeugung aller Flaechen zweiten Grades, mit Ausnahme des hyperbolischen Paraboloides, durch Bewegung eines Kreises (Hachette, _Elements de Geometrie a trois dimensions_). Monge und Hachette verdankt man den Beweis der Existenz der drei Hauptebenen einer Oberflaeche zweiter Ordnung; Monge (_Correspondance sur l'Ecole polytechnique_) die Entdeckung des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren Kanten eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren, und Bobillier (_Gergonnes Ann._ 18) die des Ortes der Scheitel der dreirechtwinkligen Trieder, deren Seitenflaechen eine Flaeche zweiter Ordnung beruehren; Monge bestimmte die Kruemmungslinien des Ellipsoides (_Journ. Ec. polyt._ 2); Livet (das. 13) und Binet (ebendas. 16) dehnten die bekannten Lehrsaetze des Apollonius auf den Raum aus, waehrend Chasles (_Correspondance sur l'Ec. polyt._) andere analoge Saetze gab; Dupin (_Journ. Ec. polyt._ 14) machte einige interessante Methoden zur Erzeugung solcher Oberflaechen bekannt. Brianchon (das. 13) zeigte, dass die reciproke Polare einer Flaeche zweiten Grades ebenfalls eine Flaeche zweiten Grades sei, u. s. w.

[126] _Journ. fuer Math._ 12.

[127] _Irish Proc._ 2.

[128] _Apercu historique_, Note 25, 28, 31, 32; _Comptes rendus_, 1855; _Liouvilles Journ._ 1860 u. s. w.

[129] _Journ. fuer Math._ 18, 20, 24, 26, 60, 73, 85, 90.

[130] _Grunerts Arch._ 9.

[131] _Journ. fuer Math._ 62. Ueber die Oberflaechen zweiter Ordnung sehe man auch die Abhandlungen von Townsend (_Cambridge Journ._ 3), von Darboux (_Bull. Soc. Math._ 2), von Meray und Cremona (_Annali di matem._ I, 3) u. s. w. und die _Geometrie de direction_ (Paris, 1869) von P. Serret.

Eine der wichtigsten Fragen, welche sich in der Theorie der Flaechen zweiten Grades darbietet, ist die Konstruktion derselben, wenn neun ihrer Punkte gegeben sind. Dieselbe wurde von Seydewitz (_Grunerts Arch._ 9), Chasles (_Comptes rendus_, 1855), Steiner (_Gesammelte Werke_, II. Bd., _Nachlass_), Schroeter (_Journ. fuer Math._ 62), Sturm (_Math. Ann._ 1) und Dino (_Napoli Rend._ 1879) geloest. -- Daran knuepft sich die Untersuchung des achten Punktes, der allen Flaechen zweiter Ordnung gemeinsam ist, die durch sieben gegebene Punkte gehen. Dieser wurde der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von Hesse (_Journ. fuer Math._ 20, 26, 73, 75, 99), Picquet (das. 73, 99), Caspary, Schroeter, Sturm, Zeuthen (das. 99) und Reye (das. 100).

Ein anderes interessantes Problem ist die Untersuchung der Flaechen zweiten Grades, in bezug auf welche zwei gegebene Flaechen zweiten Grades reziproke Polaren voneinander sind; dasselbe wurde analytisch von Battaglini behandelt (_Lincei Atti,_ 1875), von d'Ovidio (_Giorn. di Matem._ 10) und synthetisch von Thieme (_Zeitschr. f. Math._ 22).

Ueber einige Flaechen zweiten Grades, welche besondere metrische Eigenschaften besitzen (orthogonale, gleichseitige Hyperboloide), haben geschrieben: Steiner (_Journ. fuer Math._ 2 und _Systematische Entwickelung_), Chasles (_Liouvilles Journ._ 1 [1836]), Schroeter (_Journ. fuer Math._ 85), Schoenfliess (_Zeitschr. fuer Math._ 23, 24 und _Journ. fuer Math._ 99), Vogt (_Journ. fuer Math._ 86) und Ruth (_Wiener Ber._ 80).

Zu den neuesten Studien ueber die Flaechen zweites Grades gehoeren die von Zeuthen (_Math. Ann._ 19, 26) ueber die Theorie der projektiven Figuren auf einer solchen Flaeche; daran schliessen sich auch einige schoene Untersuchungen, welche Voss gemacht hat (_Math. Ann._ 25, 26), um gewisse Resultate von Poncelet und Bruno (_Torino Atti_ 17) weiter auszudehnen. Auch sind die Anwendungen der hyperelliptischen Funktionen auf sie bemerkenswert, welche Staude (_Math. Ann._ 20, 21, 25, 27) gemacht hat.

[132] Davon geben Zeugnis die Partien, welche in ihren wertvollen Lehrbuechern diesen Oberflaechen gewidmet haben: Hesse (_Vorlesungen ueber die analytische Geometrie des Raumes_), Salmon (_Analytische Geometrie des Raumes_), Cremona (_Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_), Reye (_Die Geometrie der Lage_) und Schroeter (_Theorie der Oberflaechen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_).

[133] _Memoire de geometrie sur deux principes generaux de la science_ (Anhang zum _Apercu historique_).

[134] _Gergonnes Ann._ 17.

[135] _Memoire sur la theorie generale des polaires reciproques_. (_Journ. fuer Math._ 4).

[136] _Cambridge Journ._ 2, 4; _Irish Trans._ 23.

[137] _Cambridge Journ._ 7, 8; _Phil. Trans._ 1869, 71 u. 72. Man sehe auch die von Zeuthen in den _Math. Ann._ 4, 9, 10, von Jonquieres in den _Nouv. Ann._ 13 und von Halphen in den _Annali di Matem._ II, 9 veroeffentlichten Abhandlungen.

[138] _Journ. fuer Math._ 15.

[139] _Math. Ann._ 1, 2. Vgl. auch eine Abhandl. von Padova im _Giorn. di Matem._ 9, sowie eine von Valentiner, _Tidsskrift for Mathematik_ IV, 3.

[140] _Comptes rendus_ 45.

[141] _Preliminari di una teoria geometrica delle superficie_. (_Bologna Mem._ II, 6, 7).

[142] _Wiener Ber._ 1877, 1882.

[143] _Math. Ann._ 27.

[144] _Journ. fuer Math._ 49.

[145] _Cambridge Journ._ 4; _Quart. Journ._ 1; _Phil. Trans._ 1860.

[146] _Journ. fuer Math._ 58, 63.

[147] _Journ. fuer Math._ 72.

[148] _Math. Ann._ 10, 11, 12; _Abzaehlende Geometrie_, 5. Abschnitt. S. auch Krey, _Math. Ann._ 15.

[149] _Math. Ann._ 23.

[150] _Journ. fuer Math._ 72, 78, 79, 82.

[151] _Geometry of three dimensions_; in deutscher Uebersetzung von Fiedler: _Analytische Geometrie des Raumes in zwei Baenden_ (3. Auflage, 1879/80).

[152] _Preliminari_ etc. Vgl. Note 141.

[153] Vgl. die in Note 136 und 137 angefuehrten Arbeiten.

[154] _Cambridge Journ._ 6.

[155] Auch im _Journ. fuer Math._ 53 publiziert.

[156] Die einzige mir bekannte Arbeit, welche mit den Studien von Cayley und Salmon im Zusammenhange steht, ist eine von Schlaefli (_Quart. Journ._ 2), die besonders dadurch wichtig ist, dass sie die erste ist, welche den Begriff der "Doppelsechs" enthaelt.

[157] _Journ. fuer Math._ 62.

[158] _Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis_ (Berlin, 1862).

[159] _Journ. fuer Math._ 68; ferner _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), in welchem Buche die deutsche Uebersetzung der in Note 141 und 152 zitierten "_Preliminari_" und diejenige dieser Preisschrift (durch Curtze) vereinigt sind.

[160] _Synthetische Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_. Leipzig, 1867.

[161] _Journ. fuer Math._ 51; vgl. eine von Schroeter (das. 96) veroeffentlichte Abhandlung.

[162] Vgl. die in Note 158 zitierte Arbeit. -- Man sehe auch Schubert, _Math. Ann._ 17.

[163] _Grunerts Arch._ 56.

[164] _Bull. soc. math._ 4.

[165] _Acta math._ 3.

[166] _Lombardo Rend._ Maerz 1871.

[167] _Grunerts Arch._ 56.

[168] _Math. Ann._ 23.

[169] _Lombardo Rend._ 1884; _Annali di Matem._ II, 12.

[170] _Math. Ann._ 13; _Lincei Mem._ 1876-1877.

[171] _Napoli Rend._ 1881.

[172] _Journ. fuer Math._ 78.

[173] _Lombardo Rend._ 1879.

[174] _Acta math._ 5.

[175] _Phil Trans._ 1863; vgl. Cayley (das. 1869).

[176] _Math. Ann._ 14.

[177] _Lombardo Atti_, 1861.

[178] _Theorie der mehrdeutigen Elementargebilde_ u. s. w. Leipzig, 1869; _Geometrie der raeumlichen Erzeugnisse ein-zweideutiger Gebilde_, Leipzig, 1870.

[179] _Ueber die geradlinige Flaeche dritter Ordnung und deren Abbildung auf eine Ebene._ (Dissertation. Strassburg, 1876.)

[180] _Math. Ann._ 4.

[181] _Phil. Mag._ 1864.

[182] _Math. Ann._ 10.

[183] _Phil. Trans._ 150.

[184] _Journ. fuer Math._ 58.

[185] _Math. Ann._ 5.

[186] _Lincei Mem._ 1880-1881. Man sehe auch eine Note von Brioschi in den _Lincei Atti_ II, 3, in welcher bewiesen wird, dass die 45 dreifach beruehrenden Ebenen einer Oberflaeche dritter Ordnung dreien Oberflaechen zehnter Klasse gemeinsam sind. Neuerdings fand Bauer (_Abh. der Bayr. Akad. der Wiss._ 14, 1883) analytisch von neuem, was Sturm schon 1867 in seinen _Synthetischen Untersuchungen ueber Flaechen dritter Ordnung_ erkannt hatte, dass die Schnittkurve einer Oberflaeche dritter Ordnung mit ihrer Hesseschen Flaeche fuer beide eine parobolische Kurve ist; ein bemerkenswertes Resultat, weil es das Analogon im Raume zu einem bekannten Satze ueber die ebene kubische Kurve ist.

[187] _Liouvilles Journ._ II, 14; _Traite des substitutions et des equations algebriques_ (Paris, 1870).

[188] _Traite des proprietes projectives des figures_.

[189] _Comptes rendus_, 1862.

[190] Ebendas., 1861.

[191] _Phil. Trans._ 1864.

[192] _Bologna Mem._ 1868.

[193] _Berliner Ber._ 1864; _Journ. fuer Math._ 64.

[194] _Nouv. Ann._ II, 5.

[195] Die Dupinsche Cyklide gehoert zu diesen.

[196] Vgl. _Comptes rendus_ 1864.

[197] Die Untersuchungen von Darboux finden sich in dem schon angefuehrten Buche: _Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algebriques_ (Paris, 1873) zusammengefasst.

[198] S. die Aufzaehlung der Arbeiten, die zu Ende des in der vorigen Note zitierten Werkes sich findet, und die _Notice sur la vie et les travaux de M. Laguerre_, veroeffentlicht von Poincare in den _Comptes rendus_ 104.

[199] _Phil. Trans._ 1871.

[200] _Lombardo Rend._ 1871.

[201] _Journ. fuer Math._ 70.

[202] _Math. Ann._ 4.

[203] _Om Flader af fjerde Orden med Dobbeltkeglesnit_ (Kopenhagen, 1879). Von dieser Abhandlung habe ich eine italienische Uebersetzung in den _Annali di Matem._ II, 14 veroeffentlicht.

[204] _Journ. fuer Math._ 69.

[205] _Math. Ann._ 1, 2, 3, 4.

[206] _Annali di Matem._ II, 13.

[207] _Leipziger Dissertation_ (Greifswald, 1885).

[208] _Math. Ann._ 19.

[209] _Torino Mem._ II, 36.

[210] _Math. Ann._ 24. Betreffend die Konstruktion einer Oberflaeche vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt sehe man eine Abhandlung von Bobek (_Wiener Ber._ 11. und 18. Dez. 1884) und eine von Veronese (_Atti dell' Istituto Veneto_, VI, 1); hinsichtlich der Konstruktion einer Cyklide sehe man eine Abhandlung von Saltel (_Bull. Soc. math._ 3).

[211] Weierstrass, _Berliner Ber._ 1863.

[212] Unter den Eigenschaften der roemischen Flaeche von Steiner verdient eine hervorragende Stelle die (durch verschiedene Methoden von Cremona und Clebsch nachgewiesene) Eigenschaft, dass sie zu asymptotischen Kurven (Haupttangentenkurven) rationale Kurven vierter Ordnung hat. Eine andere Eigenschaft derselben wurde von Darboux (_Bull. sciences math._ II, 4) entdeckt und besteht darin, dass sie die einzige Flaeche ist, ausser den Flaechen zweiten Grades und den Regelflaechen dritten Grades, bei welcher durch jeden Punkt unendlich viele Kegelschnitte gehen. Neuerdings hat Picard (_Journ. fuer Math._ 100) gezeigt, dass sie die einzige nicht geradlinige Oberflaeche ist, deren saemtliche ebene Schnitte rationale Kurven sind. Man sehe hierzu noch eine Note von Guccia in den _Rendiconti del circolo matematico di Palermo_, 1. -- Lie machte (_Archiv for Math. og Naturvidenskab._ 3) die interessante Bemerkung, dass der Ort der Pole einer Ebene in Bezug auf die Kegelschnitte einer Steinerschen Flaeche eine ebensolche Flaeche ist.

[213] _Journ. fuer Math._ 63; _Lombardo Rend._ 1867.

[214] _Journ. fuer Math._ 64.

[215] _Math. Ann._ 3.

[216] _Journ. fuer Math._ 64; _Proc. math. Soc._ 5.

[217] _Giorn. di Matem._ 1; _Bologna Mem._ 1879.

[218] _Journ. fuer Math._ 67.

[219] _Math. Ann._ 5.

[220] _Nouv. Ann._ II, 11, 12; _Bull. Soc. math._ 1.

[221] _La superficie di Steiner studiata nella sua rappresentazione analitica mediante le forme ternarie quadratiche_ (Torino, 1881).

[222] _Berliner Abh._ 1866 und _Berliner Ber._ 1864.

[223] Diese Oberflaeche hat eine fundamentale Bedeutung in der mathematischen Theorie des Lichtes. Es ist in der That bekannt, dass die Bestimmung der Ebenen, welche sie laengs Kreisen beruehren, Hamilton zur Entdeckung der konischen Refraktion fuehrte, einer Erscheinung, welche der Aufmerksamkeit der Physiker entgangen war. Sie erfreut sich vieler interessanter Eigenschaften und war Gegenstand wichtiger Untersuchungen verschiedener Gelehrten, insbesondere Mannheims (_Comptes rendus_, 78, 81, 85, 88, 90; _Association franc. pour l'avanc. des sciences_ 1874, 75, 76, 78), _Proc. Roy. Soc._ 1882; _Collectanea mathematica_ u. s. w.

[224] _Liouvilles Journ._ 11; _Journ. fuer Math._ 87. Vgl. eine Abhandlung von Segre im _Giorn. di Matem._ 21. Andere Spezialfaelle der Kummerschen Flaeche wurden von Rohn und Segre (_Leipziger Ber._ 1884) studiert.

[225] Diese Eigenschaft der Kummerschen Flaeche veranlasste eine Untersuchung ueber die Oberflaechen beliebiger Ordnung, welche dieselbe besitzen, eine Untersuchung, die schon von Kummer und Cayley unternommen ist, _Berliner Ber._ 1878.

[226] _Berliner Ber._ 1870, oder _Math. Ann._ 23.

[227] _Journ. fuer Math._ 97; vgl. Segre das. 98.

[228] _Journ. fuer Math._ 83, 94; oder _Borchardts Gesammelte Werke_ (Berlin, 1888, S. 341); vgl. Brioschi und Darboux, _Compt. rend._, 1881.

[229] _Journ. fuer Math._ 84.

[230] S. die in Note 207 zitierte Abhandlung, und fuer die Geschichte der Anwendung der hyperelliptischen Funktionen auf die Kummersche Oberflaeche die Einleitung der Abhandlung von Rohn, _Math. Ann._ 15.

[231] _Journ. fuer Math._ 70.

[232] _Muenchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15.

[233] Die anderen Oberflaechen vierter Ordnung mit singulaeren Punkten wurden von Cayley studiert (_Proc. math. Soc._ 1870, 1871), vollstaendiger von Rohn in einer sehr schoenen Abhandlung, die von der Jablonowskischen Gesellschaft kuerzlich praemiiert ist (vgl. _Math. Ann._ 29). Endlich wurden die von Flaechen zweiten Grades eingehuellten Flaechen vierter Ordnung von Kummer untersucht, _Berliner Ber._ 1872.

[234] _On the quartic surfaces_ (+) (u, v, w)^2 = 0 (_Quart. Journ._ 10, 11); _On the quartic surfaces represented by the equation symmetrical determinant_ = 0 (_Quart. Journ._ 14).

[235] Bekanntlich nennt man nach Cayley ein Monoid eine Oberflaeche n^{ter} Ordnung mit einem (n-1)-fachen Punkte.

[236] _Math. Ann._ 24; vgl. auch die Dissertation von Lampe, Berlin, 1864.

[237] _Math. Ann._ 18, 17. Ausser den im Texte zitierten Oberflaechen wurden noch andere spezielle Flaechen studiert, die ich der Kuerze wegen uebergehen muss; der groessere Teil derselben wurde vermittelst der Theorie der Abbildungen entdeckt oder betrachtet, siehe s. VI.

[238] _Correspondance mathematique_ 9; _Liouvilles Journ._ 2.

[239] _Cambridge Journ._ 8 und _Irish Trans._ 23.

[240] _Phil. Trans._ 1863-1869. In den angefuehrten Arbeiten haben Cayley und Salmon die Regelflaechen bearbeitet als die Oerter der Geraden, die drei gegebene Kurven treffen, oder eine einmal und eine zweite zweimal treffen, oder Trisekanten einer Kurve sind. Rupp hat neuerdings diese Betrachtungen wieder aufgenommen, um auf eine andere Weise die Resultate zu erhalten und zu modifizieren, zu denen jene Mathematiker gelangt waren (_Math. Ann._ 18).

[241] _Annali di Matem._ II, 1.

[242] _Traite de geometrie descriptive_, Art. 629 u. 635.

[243] _Math. Ann._ 8, 12, 13.

[244] _Comptes rendus_, 1862; vgl. d'Ovidio und Dino, _Giorn. di Matem._ 3.

[245] _Dissertation_, gedr. zu Berlin 1864, und _Journ. fuer Math._ 67.

[246] _Recherches sur les surfaces reglees tetraedrales symetriques_ (Paris, 1867). Ich bemerke, dass ein Bueschel von Oberflaechen, die in Bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind, mit einem projektiven Ebenenbueschel eine bemerkenswerte Flaeche erzeugt, die von Eckardt (_Zeitschr. f. Math._ 20) bearbeitet ist und welche die allgemeine Oberflaeche dritter Ordnung in sich schliesst.

[247] _Math. Ann._ 5.

[248] _Annali di Matem._ II, 4.

[249] _Prager Abhandlungen_ VI, 5.

[250] _Memoires de Bordeaux_ II, 3.

[251] _Ueber die Flaechen, deren Gleichungen aus denen ebener Kurven durch eine bestimmte Substitution hervorgehen. Math. Ann._ 7.

[252] _Lincei Mem._ 1878-1879.

[253] _Math. Ann._ 4.

[254] _Math. Ann._ 27, 29. S. auch eine Abhandlung von Eckardt (daselbst 7).

[255] _Math. Ann._ 3.

[256] das. 14, 15. S. auch eine Bemerkung von Dino, _Napoli Rend._ 19.

[257] _Comptes rendus_, 52.

[258] _Journ. fuer Math._ 68.

[259] _Math. Ann._ 2.

[260] _Proc. math. Soc._ 4; _Comptes rendus_, 1861; vgl. Hungady _Journ. fuer Math._ 92.

[261] Klein und Lie, _Comptes rendus_, 70.

[262] Fouret, _Bulletin de la Societe philomatique_, VII, 1.

[263] Jung, _Lincei Rend._ 1885 und 1886. S. auch zwei Bemerkungen ueber denselben Gegenstand, veroeffentlicht von Visalli (ebendas. 1886).

[264] Goursat, _Ann. Ec. norm._ III, 4; Lecornu, _Acta math._ 10.

[265] Cfr. die bewunderungswerten _Vergleichenden Betrachtungen ueber neuere geometrische Forschungen_ von F. Klein (Erlangen, 1872).

[266] Veroeffentlicht im Jahre 1795 unter dem Titel: _Feuilles d'Analyse appliquee a la Geometrie_. Die letzte (fuenfte) Ausgabe wurde von Liouville im Jahre 1850 besorgt und durch einen Anhang sehr wertvoller Noten bereichert.

[267] Der Koeniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen ueberreicht am 8. Oktober 1827 und abgedruckt im 6. Bande der _Commentationes recentiores societatis Gottingensis_. Diese _Disquisitiones_ stehen im 4. Bande der von der genannten Gesellschaft herausgegebenen _Werke_ von Gauss, ferner in franzoesischer Uebersetzung in der angefuehrten Liouvilleschen Ausgabe des Werkes von Monge.

[268] Wenn x = e(t), y = f(t), z = g(t) die Ausdruecke der Koordinaten der Punkte dieser Kurve in Funktionen eines Parameters t sind und F(x, y, z) = 0 die Gleichung der gegebenen Oberflaeche, so ist die fragliche Enveloppe die der Oberflaeche F{x + e(t), y + f(t), z + g(t)} = 0.

[269] Ueber solche Flaechen sehe man die neue Arbeit von Lie (_Archiv for Mathematik og Naturvidenskab_ 7).

[270] Vor Monge hatten sich schon Euler (_Histoire de l'Academie de Berlin_, 1766) und Meunier (_Memoires de l'Academie des sciences de Paris_ 10, 1776) mit diesem Thema beschaeftigt.

[271] Unter den neueren Arbeiten ueber die Kruemmungslinien fuehren wir nur die von Hamilton, Frost und Cayley an, die sich als Aufgabe gestellt haben, zu finden, wie dieselben um einen Nabelpunkt herum verteilt sind (_Quart. Journ._ 12).

[272] Vgl. hierzu eine von Cremona veroeffentlichte Arbeit in den _Bologna Mem._ III, 1. Wir fuehren hier auch einige Noten von Darboux an (_Comptes rendus_, 84, 92, 97), welche die Bestimmung der Kruemmungslinien einiger spezieller bemerkenswerter Flaechen zum Zwecke haben.

[273] Die Differentialgleichung der Minimalflaechen verdanken wir Lagrange (_Miscellanea Taurinensia_, 1760-1761); die geometrische Interpretation derselben wurde ein wenig spaeter von Meunier gegeben (vgl. Note 270).

[274] An die in den ss. 18 und 21 der _Application_ gemachten Untersuchungen knuepft sich eine Abhandlung von O. Rodrigues, die sich in der _Correspondance sur l'Ecole polytechnique_ 3 findet.