Part 8

[4] Diese Thatsache koennte man als ein neues Moment ansehen, wie sich -- nach einem beruehmten Ausspruche Humboldts -- der Einfluss, den die tellurischen Erscheinungen auf die Richtung unserer wissenschaftlichen Untersuchungen ausueben, geltend macht.

[5] Vgl. Emil Weyr, _Ueber die Geometrie der alten Aegypter_ (Wien, 1881).

[6] Fuer die Mathematiker, welche vor 1200 gelebt haben, sind die hier niedergeschriebenen Jahreszahlen aus den _Vorlesungen ueber die Geschichte der Mathematik_ von M. Cantor (I. Bd. Leipzig, 1880) entnommen. Die erste Zahl in der Klammer bezieht sich auf das Geburtsjahr, die zweite auf das Todesjahr.

[7] In Bezug auf groessere Einzelheiten sehe man Bretschneider, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_ (Leipzig, 1870).

[8] Betti und Brioschi, Vorrede zu _Gli elementi di Euclide_ (Florenz, 1867). Eine gegenteilige Ansicht hat Lacroix in seinem wohlbekannten Buche _Essais sur l'enseignement en general et sur celui des mathematiques en particulier_ (4. Aufl. 1883. S. 296) ausgesprochen.

[9] Um zu zeigen, wie glaenzend und bewunderungswuerdig die noch immer verkannte griechische Mathematik gewesen sein muss, genuege es, die Thatsache anzufuehren, dass die Theorie der Kegelschnitte, ein hauptsaechlicher Gegenstand des Studiums der alten Geometer, von ihnen zu solcher Vollendung gebracht wurde, dass man im wesentlichen nur weniges hinzuzufuegen haette, um sie auf den Stand zu bringen, auf dem sie sich heute befindet. Die Bewunderung fuer jene wird noch jeden Tag groesser durch die historischen Forschungen gelehrter Mathematiker [z. B. Zeuthen (s. das Werk _Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertume_, deutsch von Fischer-Benzon. Kopenhagen, 1886), P. Tannery (s. _Bull. des sciences math._ und _Mem. de la Societe de Bordeaux_) und andere], welche das Vorurteil zu beseitigen suchen, dass die Griechen keine Untersuchungsmethoden gehabt haetten, die vergleichbar sind mit denen, auf welche unsere Zeit so stolz ist, und die als Ersatz dafuer die Ansicht aufzustellen streben, dass es ihnen nur an den noetigen Formeln zur Darstellung der Methoden selbst gefehlt habe.

[10] Ich kann nicht umhin, die beredten Worte, welche der beruehmte Geschichtsschreiber der Mathematik in Italien bei dieser Gelegenheit geschrieben hat, anzufuehren: "...... mais bientot le Romain arrive, il saisit la science personnifiee dans Archimede, et l'etouffe. Partout ou il domine la science disparait: l'Etrurie, l'Espagne, Carthage en font foi. Si plus tard Rome n'ayant plus d'ennemis a combattre se laisse envahir par les sciences de la Grece, ce sont des livres seulement qu'elle recevra; elle les lira et les traduira sans y ajouter une seule decouverte. Guerriers, poetes, historiens, elle les a, oui; mais quelle observation astronomique, quel theoreme de geometrie devons-nous aux Romains?" (Libri a. O. S. 186.)

Um zu zeigen, in welchem Ansehen unsere Vorfahren die Mathematik hielten, genuege es mitzuteilen (vgl. Hankel, _Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter_, Leipzig, 1874. S. 103), dass sie dieselbe oft mit Astrologie und den verwandten Kuensten zusammenwarfen. Es darf uns daher nicht Wunder nehmen, wenn wir in dem Codex Justinians unter den gesammelten Bestimmungen unter dem Titel "De maleficis et mathematicis et ceteris similibus" folgendes finden: "Ars autem mathematica damnabilis interdicta est omnino." Wenn man in demselben Codex etwas weiter die Wendung findet: "Artem geometriae discere atque exercere publice interest," so muss man sich hueten, sie als eine Uebersetzung des Ausspruches Napoleons I. anzusehen: "L'avancement, le perfectionnement des Mathematiques sont lies a la prosperite de l'Etat," denn es ist fast sicher, dass der roemische Gesetzgeber den praktischen Teil der Geometrie meinte.

[11] Unter den Fragen der Geometrie, welche die italienischen Gelehrten des 16. Jahrhunderts sich gegenseitig stellten, finden sich solche von einiger Wichtigkeit, da sie die _"Geometria del compasso"_ (Geometrie des Kreises) entstehen liessen, welcher gerade in dieser Zeit Benedetti (?-1590) eine Schrift widmete, und die in neuerer Zeit von Mascheroni (1750-1808) und Steiner gepflegt wurde.

[12] Pascal entdeckte an der Cykloide eine Fuelle bemerkenswerter Eigenschaften, wies auf die Perspektivitaet als eine fuer das Studium der Kegelschnitte sehr guenstige Methode hin, bewies den beruehmten Lehrsatz von dem "Hexagramma mysticum," wie er es nannte, u. s. w.

Desargues fuehrte die gemeinsame Betrachtung der drei Kegelschnitte ein, den wichtigen Begriff des unendlich fernen Punktes einer Geraden, den Begriff der Involution von sechs Punkten, loeste mehrere wichtige Fragen, die sich auf die Kegelschnitte beziehen, u. s. w.

In den Werken von Desargues (vgl. die von Poudra 1864 besorgte Ausgabe) findet sich auch eine Methode vorgeschlagen, um einige projektive Eigenschaften der Kurven zu untersuchen, welche darauf beruht, dass man dieselbe durch Systeme von Geraden ersetzt. Descartes und Poncelet betrachteten die Schluesse, die auf einer solchen Substitution beruhen, als der Strenge entbehrend (vgl. _Traite des proprietes projectives_, Bd. II, S. 128). Jedoch wurde das von Desargues vorgeschlagene Verfahren in der neueren Zeit wiederholentlich von demselben Poncelet (a.a.O. Bd. I, S. 374), von Jonquieres (in verschiedenen Abhandlungen in den _Annali di Matem., Journ. f. Math._ und in den _Math. Ann._), von Cremona (s. die _Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_) gebraucht, und gehoert heute zu den wertvollen Untersuchungsmethoden, die wir dem "Prinzip der Erhaltung der Anzahl" verdanken.

[13] Vgl. E. Dubois-Reymond, _Kulturgeschichte und Naturwissenschaft_, in den Gesammelten Reden, Bd. I 1886, S. 207-208.

[14] Favaro, _Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni. Memorie di Modena_, 18, 1879.

Matthiessen, _Grundzuege der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen_ (Leipzig, 1878), 7. Abschnitt.

[15] Ueber den Ursprung der analytischen Geometrie sehe man Guenther, _Die Anfaenge und die Entwickelungsstadien des Coordinatenprincipes_ (_Abhandlungen der naturforsch. Gesellsch. zu Nuernberg_, 6) und ueber Cartesius die Rede von Jacobi, ins Franzoesische uebersetzt und veroeffentlicht in _Liouvilles Journ._ 12 unter dem Titel: _De la vie de Descartes et de sa methode pour bien conduire la raison et chercher la verite dans les sciences._

[16] Siehe z. B. den _Traite de la lumiere_ (Leyden, 1691).

[17] _Sectiones conicae in novem libros distributae_ (Paris, 1685), _Memoires sur les Epicycloides_ (_Anciennes Memoires de l'Academie des sciences,_ 9), _Traite des roulettes_ etc. (ebendas., 1704).

[18] Man sehe die von ihm bewirkte Herausgabe von griechischen Werken nach, sowie seine Versuche, verloren gegangene Buecher (wie das achte Buch von Apollonius' Kegelschnitten) wieder herzustellen.

[19] Vergl. sein Buch _A complete System of Fluxions_ (Edinburgh, 1742).

[20] _Treatise on conic Sections_ (1735).

[21] _General theorems of considerable use in the higher parts of mathematics_ (Edinburgh, 1746); _Propositiones geometricae more veterum demonstratae_ (Edinburgh, 1763).

[22] Hinsichtlich der von Simpson und Stewart gemachten Versuche, die griechische Geometrie wieder aufleben zu machen, sehe man Buckle, _Geschichte der Civilisation in England_ (deutsch von A. Ruge), Bd. I, Kap. 5.

[23] Die von den Griechen hauptsaechlich untersuchten Kurven sind: der Kreis, die Ellipse, die Hyperbel, die Parabel, die Archimedische Spirale, die Diokles'sche Cykloide, die Konchoide des Nikomedes, die Quadratrix des Hippias und Dinostratus, die Schraubenlinien, die Spirallinien und einige andere. Zu diesen fuegten die neuen Rechnungsarten hinzu: das Folium und die Ovale von Descartes, die Tschirnhausensche Quadratrix, die Cykloide, die Hypo- und Epicykloiden, die logarithmische Spirale, die Kettenlinie, die Sinuscurve, die Logarithmuscurve und unzaehlige andere.

[24] Siehe das fuenfte Buch seiner _Exercitationes geometriae._

[25] Parent, _Essai et Recherches de Mathematiques et de Physique_ (II. Aufl. 1713), Bd. 2.

[26] _Traite de Courbes a double courbure._ 4

[27] _Recherches sur la courbure des surfaces (Berliner Abh.)._

[28] Abhandlungen der Akademie von Turin (1770-1773) und von Paris (1784); _Feuilles d'analyse appliquee a la geometrie_ (Paris, 1795), oder _Applications de l'Analyse a la Geometrie_ (Paris, 1801).

[29] Ausspruch von d'Alembert.

[30] _Lecons de geometrie descriptive_ (Paris, 1794).

[31] In Bezug auf Monge sehe man Dupin, _Essai historique sur les services et les travaux scientifiques de Gaspard Monge_ (Paris, 1819); Arago, _Notices biographiques._

Ueber die Geschichte des Ursprunges und der Entwickelung der darstellenden Geometrie sehe man den ersten Abschnitt des 1. Bandes des Werkes von Chr. Wiener, _Lehrbuch der darstellenden Geometrie_ (Leipzig, 1884, 1887), in welchem der Studierende eine Menge interessanter Einzelheiten finden wird, sei es ueber die Studien, welche diese Disziplin vorbereiteten, sei es ueber die Untersuchungen, welche die Nachfolger von Monge gemacht haben.

Monge hatte als Mitarbeiter bei seinem reformierenden Werke einige seiner Kollegen [unter anderen Lacroix (1765-1843) und Hachette (1769-1834)], sowie viele von seinen Schuelern an der polytechnischen Schule. Der Kuerze halber beschraenke ich mich darauf, den anzufuehren, "der ueber die anderen wie ein Adler fliegt", Charles Dupin (1784-1873), vorzueglich wegen seiner klassischen _Developpements de geometrie_ (1813), die noch von allen gelesen werden muessen, welche auch nur eine maessige Kenntnis des heutigen Zustandes der Geometrie erlangen wollen.

[32] Monge's Einfluss laesst sich noch in den neuesten Arbeiten bemerken; zum Beweise genuege es, die Idee anzufuehren, die Schranken, durch welche die Alten die Planimetrie von der Stereometrie getrennt hatten, niederzureissen, und den gluecklichen Versuch, den neuerdings (1884) De Paolis in seinen goldenen _Elementi di Geometria_ (Turin) gemacht hat, dieselbe auszufuehren.

[33] "La Geometrie de position de Carnot n'aurait pas, sous le rapport de la metaphysique de la Science, le haut merite que je lui ai attribue, qu'elle n'en serait pas moins l'origine et la base des progres que la Geometrie, cultivee a la maniere des anciens, a fait depuis trente ans en France et en Allemagne" (Arago, _Biographie de Carnot_).

[34] Zweite Auflage, 1865, 1866.

[35] Den Ursprung dieses Prinzipes betreffend, sehe man die Note von C. Taylor, _On the history of geometrical continuity_ (_Cambridge Proc._, 1880 und 1881).

[36] _Doctrina triangulorum canonicae_ u. s. w. (Leyden, 1627).

[37] _Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII._ (Opera Vietae, 1646).

[38] _Gergonnes Ann._ 17.

[39] Jacobi, _Journ. fuer Math._ 3; Richelot, das. 5, 38; Rosanes und Pasch, ebendas. 64; Leaute, _Comptes rendus_, 79; Fergola, Padeletti und Trudi, _Napoli Rend._ 21; Simon, _Journ. fuer Math._ 81; Gundelfinger, das. 83; Halphen, _Liouvilles Journ._ III, 5; _Bull. de la Soc. philom._ VII, 3. Man sehe auch die interessante Abhandlung von Hurwitz: _Ueber unendlich-vieldeutige geometrische Aufgaben, insbesondere ueber die Schliessungsprobleme_ (_Math. Ann._ 15) und die Note von Forsith, _On in- and circumscribed polyhedra_ (_Proc. Math. Soc._ 1883).

[40] In deutscher Uebersetzung von Sohncke: _Geschichte der Geometrie, hauptsaechlich in Bezug auf die neueren Methoden_ (Halle, 1839), jedoch ohne das _Memoire sur deux principes generaux de la science_ (vgl. die folgende Note). Das franzoesische Original erschien 1875 in 2. Auflage.

[41] Unter den Arbeiten, welche das Werk von Chasles bilden, verdient eine besondere Erwaehnung die Abhandlung (fuer welche urspruenglich der _Apercu historique_ als Einleitung dienen sollte) _Sur deux principes generaux de la Science_, welche die allgemeine Theorie der Homographie (Kollineation) und der Reciprocitaet enthaelt, sowie die Untersuchung der beiden Faelle, in welchen diese involutorisch ist, und die Anwendung dieser Transformationen auf das Studium der Flaechen zweiten Grades und der geometrischen Oberflaechen ueberhaupt, sowie auf die Verallgemeinerung des cartesischen Koordinatensystems. Auch muessen noch die _Noten_ erwaehnt werden, da sie eingehende historische Studien und geometrische Untersuchungen von grosser Bedeutung enthalten. Unter den letzteren will ich diejenigen anfuehren, in denen die Theorie des Doppel- oder anharmonischen Verhaeltnisses und der Involution, die anharmonischen Eigenschaften der Kegelschnitte, die Fokaleigenschaften der Flaechen zweiten Grades, viele Lehrsaetze ueber die kubischen Raumkurven, glueckliche Versuche, die Saetze von Pascal und Brianchon auf die Flaechen zweiten Grades auszudehnen, eine Verallgemeinerung der stereographischen Projektion u. s. w. auseinandergesetzt sind.

[42] Dieser Uebergang ging nicht friedlich von statten, war vielmehr mit einer Reihe lebhafter Diskussionen verbunden, in welchen Poncelet, Chasles und Bobillier zu Gegnern hatten Pluecker, Steiner und Magnus und deren Hauptschauplatz das _Bulletin_ von Ferussac war. -- Hier wuerde es am Orte sein, den Anteil zu bestimmen, der jedem dieser Gelehrten in den Wissensgebieten zukommt, an denen sie zusammen arbeiteten; aber dafuer wuerde die Feder eines competenteren und gelehrteren Mannes, als ich bin, noetig sein. Im Uebrigen sind nach meinem Dafuerhalten gewisse Produktionen der menschlichen Intelligenz eine natuerliche Frucht ihrer Zeit; daher darf es nicht wunder nehmen, wenn sie gleichzeitig aus verschiedenen Koepfen hervorgegangen scheinen, und darum braucht man auch keine Erklaerung dieser Thatsache in der "mala fides" dieses oder jenes zu suchen. Dass solches wirklich bei der Erfindung der Differentialrechnung eingetreten ist, steht heute ausser allem Zweifel. Dass dies ebenso bei der modernen Geometrie eingetreten ist, kann die Thatsache beweisen, dass dieselbe hervorgegangen ist aus einem allseitig gefuehlten Beduerfnisse (man vergleiche dazu den Ausspruch Dupins _[Developpements de geometrie]_, der als Motto auf dem _Traite des proprietes projectives des figures_ steht, mit der Vorrede der _Systematischen Entwickelung_ und mit dem _Apercu historique_ an verschiedenen Stellen) nach allgemeinen Methoden, die als Ariadnefaden dienen sollten zur Fuehrung in dem Labyrinthe von Hilfssaetzen, Lehrsaetzen, Porismen und Problemen, die von den Vorfahren ueberliefert sind.

[43] Die hauptsaechlichste Arbeit von Moebius auf dem Gebiete der reinen Geometrie ist die mit dem Titel: _Der barycentrische Calcul_ (Leipzig, 1827); dort sind die bisherigen Kenntnisse ueber den Schwerpunkt (Barycentrum) eines Systemes von Punkten einer neuen und wichtigen Rechnungsart zu Grunde gelegt; diese fuehrt zu einem neuen Koordinatensystem, dessen Anwendung auf das Studium der Raumkurven und ebenen Kurven und der Oberflaechen der Verfasser darlegt. In demselben werden ferner methodisch und in grosser Ausfuehrlichkeit wichtige geometrische Transformationen, die heute noch fortwaehrend Anwendung finden, betrachtet. Viele spaetere Abhandlungen von Moebius sind als Anhaenge zum barycentrischen Calcul zu betrachten. (Siehe die beiden ersten Baende der _Gesammelten Werke_ von Moebius, herausgegeben auf Veranlassung der Saechsischen Gesellschaft der Wissenschaften, Leipzig, 1885-1887.)

[44] Ich meine das Werk: _Systematische Entwickelung der Abhaengigkeit geometrischer Gestalten von einander_ (Berlin, 1832), in dem "der Organismus aufgedeckt ist, durch welchen die verschiedenartigsten Erscheinungen in der Raumwelt miteinander verbunden sind". -- Die spaeteren Schriften von Steiner und diejenigen anderer, welche sich auf das angefuehrte Werk stuetzen, zeigen, welches Recht der Verfasser desselben dazu hatte, den Inhalt durch die schon angefuehrten Worte zu charakterisieren. Steiners _Gesammelte Werke_ sind auf Veranlassung der Akademie der Wissenschaften zu Berlin herausgegeben (Berlin, 1881, 1882).

[45] Des Naeheren will ich hier nur die drei Buecher anfuehren: _Analytisch-geometrische Entwickelungen_ (Essen, 1828-1831), _System der analytischen Geometrie_ (Berlin, 1835), _Theorie der algebraischen Kurven_ (Bonn, 1839), sowie die mit ihnen zusammenhaengenden Abhandlungen, die in _Gergonnes Ann._ und im _Journ. fuer Math._ veroeffentlicht sind.

[46] Das Werk, in welchem Staudt sein System der Geometrie dargelegt hat, wurde im Jahre 1847 zu Nuernberg veroeffentlicht unter dem Titel: _Geometrie der Lage_. Die ungemeine Knappheit des Stiles ist vielleicht die Ursache der grossen Schwierigkeit, auf welche die Verbreitung desselben stiess; heute erst sind, dank den von Reye (in erster Auflage 1866-1868 erschienenen und) unter demselben Titel veroeffentlichten Vorlesungen die in demselben enthaltenen Ideen allen bekannt, die sich mit Geometrie beschaeftigen. In Italien wird jetzt zuerst von allen Laendern eine Uebersetzung desselben angefertigt.

Nicht weniger wichtig sind die _Beitraege zur Geometrie der Lage_ (in 3 Heften), welche Staudt seiner _Geometrie der Lage_ 1866-1860 folgen liess. Wir beschraenken uns darauf, hervorzuheben, dass dort die einzige strenge, allgemeine und vollstaendige Theorie der imaginaeren Elemente in der projektiven Geometrie auseinandergesetzt ist; diese Theorie wurde in verschiedener Weise von mehreren Geometern, Lueroth (_Math. Ann._ 8, 11), August (_Progr. der Friedrichs-Realschule in Berlin_, 1872) und Stolz (_Math. Ann._ 4) erlaeutert; ueber die eng mit ihr zusammenhaengende Rechnung mit den "Wuerfen" sehe man ausser den erwaehnten Abhandlungen von Lueroth noch zwei Arbeiten von Sturm _(Math. Ann._ 9) und Schroeder (ebendas. 10).

[47] Ohne Zweifel ist diese Einteilung etwas willkuerlich; vielleicht wird mancher, indem er bedenkt, dass gewisse Theorien mit demselben Rechte zu mehr als einem von den folgenden Abschnitten gehoeren koennen, dieselbe unpassend finden. Gleichwohl schmeichle ich mir, dass die meisten nach reiflicher Pruefung des besprochenen Gegenstandes finden werden, dass die von mir gewaehlte Einteilung nicht ohne bemerkenswerte Vorteile ist.

[48] Cotes, _Harmonia mensurarum_ (1722); Maclaurin, _De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus_. (Ins Franzoesische uebersetzt von de Jonquieres und seinen _Melanges de Geometrie pure_ [Paris, 1856] angehaengt.)

[49] _Miscellanea analytica_ etc. (1762); _Proprietates geometricarum curvarum_ (1772); _Phil. Trans._ 1763-1791.

[50] _Geometria organica_ (1720).

[51] _Phil. Trans._ 1735; _Exercitationes Geometriae de descriptione linearum curvarum_ (1733).

[52] Uebrigens hat, wie C. Taylor (_Cambridge Proc._ 3) bemerkte, Newton selbst seine organische Erzeugungsweise der Kegelschnitte in der _Enumeratio linearum tertii ordinis_ auf Kurven hoeherer Ordnung ausgedehnt.

[53] _Usage de l'analyse de Descartes_ (1740).

[54] _Introductio in analysin infinitorum_. 2. Bd.

[55] _Introduction a l'analyse des lignes courbes algebriques_.

[56] Kurz vor der Veroeffentlichung des Cramerschen Werkes fand Euler (man sehe die _Berliner Abh._ 1748), dass von den neun Grundpunkten eines Bueschels ebener Kurven dritter Ordnung einer durch die acht uebrigen bestimmt ist.

[57] _Gergonnes Ann._ 17, 19.

[58] _Journ. fuer Math._ 16; _Theorie der algebraischen Curven_ (wo S. 12-13 sich eine kurze Geschichte dieser Saetze findet).

[59] _Journ. fuer Math._ 15.

[60] _Cambridge Journ._ 3; vgl. Bacharach, _Math. Ann._ 26.

[61] Riemann, _Journ. fuer Math._ 54; Clebsch, das. 58; Roch, ebendas. 64; Clebsch und Gordan, _Theorie der Abelschen Funktionen_ (Leipzig, 1866); Brill und Noether, _Ueber die algebraischen Funktionen_ u. s. w. (_Math. Ann._ 7); Cremona, _Bologna Mem._ 1870; Casorati, Cremona und Brioschi, _Lombardo Rend._ II, 2.

[62] In diesem Werke ist mit ersichtlicher Bevorzugung von dem "Prinzipe der Abzaehlung der Konstanten" Kenntnis gegeben und Gebrauch gemacht; wir wollen dasselbe erwaehnen, da sich darauf eine Untersuchungsmethode stuetzt, deren ganze Bedeutung aufzuheben nicht gelingen wird, obwohl sich Beispiele von Irrtuemern anfuehren lassen, zu denen es fuehren kann, wenn es ohne die notwendige Vorsicht angewandt wird.

Mit der Theorie der ebenen Kurven befassen sich auch die beiden folgenden Buecher, deren Existenz ich aus einer Anfuehrung Plueckers kenne (_Theorie der algebraischen Curven_, S. 206); A. Peters, _Neue Curvenlehre_ 1835; C. C. F. Krause, _Novae theoriae linearum curvarum originariae et vere scientificae specimina quinque prima_. _Edidit Schroeder_, 1835.

[63] S. auch eine Abhandlung Plueckers, _Liouvilles Journ._ 1.

[64] _Mem. pres._ 1730-31-32.

[65] S. die in Note 54 citierte _Introductio_.

[66] Hierzu siehe Clebsch, _Vorlesungen ueber Geometrie_, S. 352; Malet, _Hermathema_, 1880; Pellet, _Nouv. Ann._ II., 20, 1881.

[67] Cayley, _Quart. Journ._ 7 und _Journ. fuer Math._ 64; La Gournerie, _Liouvilles Journ._ II, 14; Noether, _Math. Ann._ 9; Zeuthen, das. 10; Halphen, _Comptes rendus_ 78, _Liouvilles Journ._ II, 2, _Mem. pres._ 26; J. S. Smith, _Proc. math. Soc._ 6; Brill, _Math. Ann._ 16; Raffy, das. 23. -- An diese Frage knuepft sich die Untersuchung der Zahl der Schnitte zweier Kurven, welche von einem ihnen gemeinsamen vielfachen Punkte absorbiert werden. Hierzu sehe der Leser die interessante Abhandlung von Zeuthen, _Acta math._ 1.

[68] _Journ. fuer Math._ 40; vgl. Clebsch (das. 63).

[69] _Journ. fuer Math._ 36, 40, 41.

[70] _Phil. Mag._ Oktoberheft 1858.

[71] _Phil. Trans._ 1859.

[72] z. B. Dersch, _Math. Ann._ 7.

[73] _A Treatise on higher plane curves_ (1852); ins Deutsche uebertragen durch Fiedler (Leipzig, 1873)

[74] _Gergonnes Ann._ 19.

[75] _Journ. fuer Math._ 24. -- Die Theorie der Polaren in bezug auf Kurven und Oberflaechen wurde in der letzten Zeit auf eine bemerkenswerte Weise von Clifford (1845-1879) (_Proc. math. Soc._ 1868 oder _Mathematical Papers of Clifford_, 1882, S. 115) und von Reye (_Journ. fuer Math._ 72, 78) verallgemeinert. De Paolis widmete ihr eine interessante Schrift, welche in den _Lincei Mem._ 1885-1886 veroeffentlicht ist.

[76] _Comptes rendus_, 1853.

[77] _Essai sur la generation des courbes geometriques_, 1858 (_Mem. pres._ 16). Vgl. Haertenberger, _Journ. fuer Math._ 58; Olivier das. 70, 71; Schoute, _Nieuw Archief voor Wiskunde_, 4, und die allerneuesten Untersuchungen von Jonquieres ueber die Maximalzahl der vielfachen Punkte, die man bei einer ebenen Kurve beliebig annehmen kann (_Comptes rendus_ 105).

[78] Veroeffentlicht im Jahre 1862 in den _Bologna Mem._ Moege es mir gestattet sein, hier den Wunsch auszusprechen, dass der beruehmte Cremona, dessen Interesse fuer die Verbreitung der geometrischen Studien bekannt ist, seine beruehmten Schriften ueber die Theorie der Kurven und Oberflaechen durch neue Ausgaben allen zugaenglich machen wolle. -- Diese Schriften sind in deutscher Uebersetzung von Curtze unter dem Titel: _Einleitung in eine geometrische Theorie der ebenen Kurven_ (Greifswald, 1865), bez. _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen in synthetischer Behandlung_ (Berlin, 1870) erschienen.

[79] Als Vorbereitung fuer solche Untersuchungen sind die von Aronhold (_Berliner Ber._ 1861) anzusehen, dann die von Brioschi (_Comptes rendus_, 1863, 64) ueber die Darstellung der Koordinaten der Punkte von gewissen Kurven als elliptische Funktionen eines Parameters.

[80] _Journ. fuer Math._ 58, 64. Die von Clebsch erhaltenen Resultate haben sich infolge des schoenen Werkes von Lindemann, welches den Titel traegt: _Vorlesungen ueber Geometrie von A. Clebsch_ (I. Bd. Leipzig, 1876) und von dem das Erscheinen des zweiten Bandes allgemein gewuenscht wird, schnell verbreitet.

[81] _Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie. Math. Ann._ 7.