Part 7

Die Theorie der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeiten oder die Geometrie von n Dimensionen verdankt ihren Ursprung der Unterstuetzung, welche die Algebra von der Geometrie erhielt, seitdem Cartesius jene auf diese anzuwenden gelehrt hat. In der That ist diese Unterstuetzung eine begrenzte, da nur die analytischen Thatsachen, welche mit der Theorie der Funktionen einer, zweier oder dreier Variabelen verknuepft sind (oder mit der Theorie der binaeren, ternaeren oder quaternaeren Formen), einer den Sinnen zugaenglichen {116} Darstellung faehig sind. Aber der Geist der Verallgemeinerung, der, wie ich schon sagte, einer der maechtigsten Antriebe zu den modernen geometrischen Untersuchungen war und noch fortwaehrend ist, bewog die Geometer, die Fesseln zu brechen, welche die Natur ihrem Vorstellungsvermoegen angelegt zu haben schien, und von beliebig ausgedehnten Raeumen zu sprechen.[704]

Und sie sprachen davon, ehe sie sich noch mit der mehr philosophischen, als mathematischen Frage beschaeftigt hatten, ob in der That solche Raeume existieren; und sie thaten dies mit Recht, da sie nur so, ohne ein vielleicht unloesbares Problem in Angriff zu nehmen, ihr Ziel erreichen konnten; durch eine kuehne Einbildungskraft verschafften sie sich die (sinnlich wahrnehmbaren oder uebersinnlichen) Darstellungen vieler analytischer Resultate.[705]

Um zu zeigen, dass man wirklich in der angegebenen Weise zu einer solchen Theorie gekommen ist, begnuege ich mich damit, die Thatsache anzufuehren, dass dieselbe von Analysten wie Cauchy[706] (1789-1857) und Riemann[707] aufgestellt wurde; dass sie sich noch bei vielen anderen minder bedeutenden mehr oder weniger versteckt findet in der Absicht, fuer die Theoreme der Analysis ausdrucksvollere Fassungen zu erhalten; ferner dass Lagrange schon Ende des vergangenen Jahrhunderts die Bemerkung machte, "dass man die Mechanik als eine Geometrie von vier Dimensionen {117} ansehen koenne", in welcher die Zeit als vierte Koordinate fungiert.[708]

Dieser Begriff des beliebig ausgedehnten Raumes ist jedoch seinem Ursprunge und seiner Bestimmung nach wesentlich analytisch. Pluecker, dem das Schicksal einen so wichtigen Anteil an der Foerderung der modernen Geometrie zugeteilt hat, war es vorbehalten, diesem Begriffe ein geometrisches Gewand zu geben, indem er beobachtete, dass man unserem Raume eine beliebige Anzahl Dimensionen zuerteilen kann vermittelst einer passenden Wahl des geometrischen Gebildes, welches man als erzeugendes Element des Raumes auffasst; so wird er drei Dimensionen haben, wenn man den Punkt oder die Ebene waehlt, vier, wenn man die Gerade oder die Kugel nimmt, neun, wenn man die Flaeche zweiten Grades nimmt, u. s. w.[709]

{118}

Dieser Gedanke ist weniger abstrakt als der vorhergehende, und leichter zu begreifen; dessen ungeachtet verbreitete er sich viel langsamer, als der erstere, wahrscheinlich deswegen, weil sein Urheber nicht Worte genug machte, um seine Wichtigkeit zu zeigen. Der andere hingegen wurde besonders infolge der beruehmten Abhandlung von Riemann, _Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen_, in vielen Richtungen weiter entwickelt, und die mathematische Litteratur ueber diesen Gegenstand ist von einer schon betraechtlichen Reichhaltigkeit und waechst noch von Tag zu Tag.

Zur Rechtfertigung dieser Behauptung erinnere ich an die schon genannten Abhandlungen von Helmholtz, fuehre die von Beltrami,[710] Schlaefli,[711] Newcomb,[712] Stringham,[713] das neue Buch von Killing[714] an und die darauf folgenden Untersuchungen von Schur,[715] die enge mit der Riemannschen Abhandlung zusammenhaengen; die Untersuchung von Betti[716] ueber den Zusammenhang eines Raumes von n Dimensionen; die von Clifford,[717] Beltrami,[718] Jordan,[719] von Lipschitz,[720] Monro,[721] Scheeffer (1859-1885),[722] Heath[723] und Killing[724] ueber die Kinematik und Mechanik eines {119} solchen Raumes;[725] ferner die von Jordan[726] und Brunel[727] ueber die verschiedenen Beruehrungs- und Schmiegungsraeume, welche eine Kurve in einem Raume von n Dimensionen zulaesst,[728] die von Craig[729] ueber die metrischen Eigenschaften der Oberflaechen in einem solchen Raume, die von Kronecker,[730] von Beez,[731] Lipschitz,[732] Christoffel,[733] von Brill,[734] Suworoff[735] und Voss[736] ueber die Kruemmung eines beliebig ausgedehnten Raumes; die von Kronecker und Tonelli[737] ueber das Potential; die von Lie,[738] Klein,[739] Jordan[726] und Lipschitz[740] ueber die Erweiterung des Dupinschen und des Eulerschen Lehrsatzes; sodann die konforme Abbildung einer Oberflaeche des vierdimensionalen Raumes auf den gewoehnlichen Raum, die von Craig[741] studiert wurde, endlich die von Lipschitz gegebene Verallgemeinerung des beruehmten Problemes der drei Koerper.[742] Zum Schlusse wollen {120} wir die Aufmerksamkeit des Lesers lenken auf die Erweiterungen gewisser Begriffe, einiger Saetze und Formeln der elementaren Geometrie, die vorzueglich von Rudel,[743] Hoppe,[744] Schlegel[745] und Mehmke[746] gemacht sind; dazu gehoeren auch die Untersuchungen von Stringham,[747] Hoppe,[748] Schlegel,[749] Scheffler,[750] Rudel,[751] O. Biermann,[752] Puchta[753] und anderen ueber die regulaeren Koerper des vierdimensionalen Raumes, die soweit gediehen, dass sie Schlegel gestatteten, Modelle der Projektionen dieser Koerper auf unseren Raum herzustellen.[754]

Ausser dieser Richtung wurde eine andere nicht weniger fruchtbare von den Bearbeitern der Mannigfaltigkeiten von n Dimensionen verfolgt, welche projektiv ist, waehrend die erstere wesentlich metrisch ist.--Eine kurze Andeutung, {121} die von Cayley im Jahre 1846 gegeben wurde[755] ueber eine Methode, um die Konfigurationen von Punkten, Geraden und Ebenen zu untersuchen, kann man als die erste ansehen, welche auf diese neue Richtung hinwies. Aber es scheint, wie Bailly[756] bemerkt hat, "dass die Ideen, wie wir, ein Kindesalter und eine erste Zeit der Schwaeche haben; sie sind nicht von Geburt an produktiv, sondern erhalten erst mit dem Alter und mit der Zeit ihre Fruchtbarkeit". Daher sehen wir denn mehr als 30 Jahre verfliessen, ehe der geniale Gedanke des grossen englischen Geometers, in der richtigen Weise entwickelt, die synthetische Geometrie der Raeume von n Dimensionen, welche wir heute besitzen, hervorrief.

Als Einleitung zu derselben muss man die wichtige Arbeit von Clifford ansehen: _On the classification of loci_,[757] in welcher das allgemeine Studium der Kurven in beliebigen linearen Raeumen in Angriff genommen ist; jeden Augenblick kommen in demselben Operationen vor, die wirkliche Erweiterungen derer sind, die man in der gewoehnlichen projektiven Geometrie zu machen pflegt. Jedoch kann man sagen, dass dieser neue Zweig der Geometrie mit der Abhandlung beginnt, die Veronese der _Behandlung der projektiven Eigenschaften der Raeume von_ n _Dimensionen durch die Prinzipien des Schneidens und Projizierens_ gewidmet hat.[758] In derselben laesst der beruehmte Verfasser, Riemann folgend, einen Raum von n Dimensionen entstehen, indem er von demselben einen solchen, der eine Dimension weniger hat, von einem ausserhalb gelegenen Punkte projiziert, und {122} indem er sich dieser Erzeugungsweise bedient, gelangt er zur Erweiterung des groesseren Teiles der Theorien der gewoehnlichen Geometrie der Lage.[759] Die Fruchtbarkeit der in dieser grundlegenden Abhandlung eroerterten Prinzipien wurde durch viele interessante Arbeiten, welche die Fortsetzung derselben bilden, ins Licht gestellt; dieselben bereichern noch von Tag zu Tag ein Lehrgebiet, in welchem Italien eine hervorragende Stelle einnimmt. Unter ihnen will ich -- abgesehen von denen, die Veronese selbst publiziert hat,[760] -- die Untersuchungen von Segre anfuehren ueber die Theorie der quadratischen Gebilde in einem Raume von n Dimensionen und ihre Anwendung auf die Geometrie der Geraden,[761] ueber die kollinearen und reciproken Korrespondenzen,[762] ueber die Bueschel von Kegeln zweiten Grades,[763] ueber die Regelflaechen,[764] ueber die Oberflaechen vierter {123} Ordnung mit Doppelkegelschnitt[765] und ueber die Theorie der Systeme von Kegelschnitten,[766] dann die von Bertini[767] und Aschieri,[768] die verwandte Gegenstaende behandeln; die Schriften von del Pezzo ueber die Oberflaechen in einem n-dimensionalen Raume.[769] Noch viele andere muesste ich nennen, aber

Io non posso ritrar di tutti appieno; Perocche si mi caccia il lungo tema, Che molte volte al fatto il dir vien meno.[770]

Jedoch Arbeiten, welche zu verschweigen mich keine Betrachtung verleiten koennte, sind die -- viel frueher als die von Veronese erschienenen -- von Noether ueber die eindeutigen Korrespondenzen zwischen zwei n-dimensionalen Raeumen (1869, 1874),[771] jene ebenfalls aelteren von Halphen (1875) ueber die Schnitte der Mannigfaltigkeiten, die in einem beliebigen linearen Raume enthalten sind,[772] von d'Ovidio {124} ueber die Metrik eines solchen Raumes (1876),[773] endlich die neuerlichen von Schubert ueber die abzaehlende Geometrie eines Raumes von solcher Beschaffenheit.[774]

* * * * *

Schluss.

Hiermit scheint es mir angemessen, die vorgenommene Musterung zu beschliessen. Freilich sind viele wirklich interessante Untersuchungen derselben entgangen, da sie unter keiner der Kategorien, in welche ich die von mir besprochenen Arbeiten eingeteilt habe, Platz finden konnten. So konnte ich nicht ueber die Theorie der projektiven Koordinaten berichten, die von Chasles[775] erhalten wurden, als er die gewoehnlichen Cartesischen Koordinaten einer kollinearen Verwandlung unterzog, die dann direkt von Staudt[776] aufgestellt wurde und vollstaendiger von Fiedler;[777] {125} dann habe ich nicht ueber die Methode der symbolischen Bezeichnung berichtet, da diese mehr Mittel als Zweck fuer den Geometer ist; die Theorie der Beruehrungstransformationen (Lie) und der Differential-Invarianten (Halphen) habe ich stillschweigend uebergangen, da sie auf der Grenze zwischen der Geometrie und der Theorie der Differentialgleichungen stehen; ueber die sogenannte _Analysis situs_ habe ich mich einer Besprechung enthalten, da eben diese Lehre von Riemann geschaffen und von seinen Schuelern betrieben wurde, um Probleme der Funktionentheorie zu loesen. Dann haben sich meiner Darlegung die schoenen Auseinandersetzungen von Battaglini und Ball entzogen ueber die Kraefte und Bewegungen,[778] von Chasles, Aronhold, Mannheim und Burmester ueber die kinematische Geometrie und von Reye ueber die Traegheitsmomente, da sie bisher[779] mehr zur Mechanik als zur Geometrie gehoerig angesehen wurden. Gleiches gilt von den interessanten Experimenten Plateaus (1801-1883) in bezug auf die Minimalflaechen, deren Besitz die Physiker fuer sich beanspruchen, von den schoenen Untersuchungen ueber die Polyeder (Moebius, Bravais, Jordan, Hess), welche den Uebergang von der Geometrie zur Mineralogie bilden, und den neuesten Arbeiten ueber die geometrische Wahrscheinlichkeit (Crofton, Czuber, Cesaro), welche ich geneigt waere unter die Anwendungen der Geometrie zu rechnen. Dann habe ich nicht ueber die Methode der Aequipollenzen gesprochen (Bellavitis) und die Theorie der Quaternionen (Hamilton), da beide sich bis jetzt noch {126} nicht von so grosser Fruchtbarkeit erwiesen haben, um als notwendiges Hilfsmittel des Geometers angesehen zu werden.

Ungern musste ich hinweggehen ueber die Theorie der Kugelsysteme, die mit grossem Erfolge von Lie und Reye bearbeitet ist. Ich habe keinen Blick auf die Theorie der Konfigurationen werfen koennen (Reye, Kantor, Jung, Martinetti), da dieselbe gerade noch im Stadium ihrer Bildung begriffen ist, und auf die mehr den Elementen angehoerige Erweiterung der Lehre vom Dreiecke, zu welcher Arbeiten von Brocard[780] die Anregung gegeben haben. Kurz erwaehnen will ich noch zwei Reihen von Untersuchungen ueber Maximal- und Minimalfiguren, von denen die einen (Painvin, P. Serret, Lebesgue, Borchardt, Kronecker) das Problem von Lagrange, das Tetraeder groessten Inhalts zu finden, von dem die Inhalte der Seitenflaechen gegeben sind, und Erweiterungen, bez. Umgestaltungen desselben behandeln,[781] die anderen (Lindeloef, Berner, Edler, Sturm, Schwarz, Lange, Certo) sich an die beruehmten Aufsaetze von Steiner[782] anschliessen.[783]

Keinesfalls aber darf mit Stillschweigen uebergangen werden, dass es unserem Jahrzehnte vergoennt gewesen ist, die alte Frage der Quadratur des Kreises zur endgiltigen Erledigung zu bringen. Nachdem im vergangenen Jahrhundert Lambert[784] die Zahl [pi] als irrational nachgewiesen, verblieb immer noch der Nachweis, dass [pi] auch nicht Wurzel {127} einer algebraischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten sei; denn erst damit ist dargethan, dass die Quadratur des Kreises nicht vermittelst einer endlichen Anzahl von Konstruktionen, welche mit Hilfe des Lineals und des Zirkels ausfuehrbar sind, vollzogen werden koenne. Dieser Beweis wurde, unter Benutzung Hermitescher Vorarbeiten ueber die Exponentialfunktion, 1882 von Lindemann[785] erbracht.

Trotz der aufgezaehlten und unzaehliger anderer Unvollkommenheiten des Bildes, das ich ueber den heutigen Zustand der Geometrie zu entwerfen versucht habe, wird dennoch der Leser, wenn er einen Blick auf dasselbe wirft, von tiefer Verwunderung betroffen sein, nicht allein ueber die gewaltige Entwickelung der Mathematik in diesen letzten fuenfzig Jahren, sondern auch ueber die neue, schoenere, verlockendere Gestalt, welche sie mehr und mehr annimmt.

Die geometrischen Figuren, die eine Zeit lang als fest, unbeweglich, leblos erschienen, bekamen eine unerwartete Lebendigkeit durch die Theorie der geometrischen Transformationen, vermoege derer sie sich bewegen, sich in einander verwandeln, gegenseitige Beziehungen enthuellen und unter sich bisher unbekannte Verwandtschaften herstellen.

Ferner glaubte man eine Zeit lang, dass wir als dreidimensionale Wesen, die in einem Raume leben, in welchem wir nur drei Dimensionen wahrnehmen koennen, dazu verurteilt waeren, ewig nur die Mannigfaltigkeiten von nicht mehr als drei Dimensionen zu studieren. Jetzt aber ist es uns erlaubt und fast unsere Pflicht, von dieser Idee als einem gefaehrlichen Vorurteile uns frei zu machen, und die Fuelle von Arbeiten, die wir vor uns bewundern, belehren alle diejenigen, welche ihre Augen nicht von der neuen Sonne wegwenden wollen, ueber die Wichtigkeit dieses Fortschrittes.

Endlich ist, kann man sagen, der Kampf zwischen der Geometrie und der Analysis, der sich gegen Ende des {128} vergangenen Jahrhunderts erhoben und zu Anfang dieses fortgesetzt hat, nunmehr beendigt; weder die eine, noch die andere hat den Sieg davon getragen, aber jede hat auch den Unglaeubigsten gezeigt, dass sie bei jeglichem Ringen als Siegerin hervorgehen koenne. Der _Mecanique analytique_, in welcher Lagrange mit Freuden konstatierte, dass er es soweit gebracht habe, jegliche Figur zu vermeiden, hat ein Lehrbuch der Mechanik einen glaenzenden Bescheid gegeben, welches das Motto traegt: "_Geometrica geometrice_"; dem hundertjaehrigen Dienste, welchen die Algebra der Geometrie bot, koennen sich heute die zahllosen und unvergleichlichen Vorteile entgegenstellen, welche jene von dieser zog; schliesslich wird man doch an Stelle der analytischen oder pseudosynthetischen Theorie der Kurven und Oberflaechen in Kurzem die rein synthetische Theorie setzen koennen, die man gegenwaertig aus dem von Staudt[786] gelieferten Materiale errichtet.

Und zu dieser Periode des Friedens oder vielmehr des edlen Wetteifers der Analysis und Geometrie muessen sich alle Glueck sagen, da jeder Fortschritt der einen einen entsprechenden in der anderen nach sich zieht oder dazu {129} auffordert. Das entspricht dem heutigen Standpunkte der gesamten Wissenschaft, denn nun funktionieren, wie Spencer sagt, die verschiedenen Disziplinen als Hilfskuenste, die einen fuer die anderen.

Diese Stellung der modernen Mathematik jedoch legt jedem, der sie mit Erfolg betreiben will, eine schwere Verpflichtung auf, naemlich die, nicht die eine der beiden Disziplinen, welche sie zusammen bilden, um die andere zu vernachlaessigen und sich in der Handhabung der Wissenschaft der Zahlen ebensowohl, als in derjenigen der Ausdehnung auszubilden.[787]

Um heiteren Mutes diese vermehrten Anstrengungen auf uns zu nehmen, dazu hilft uns die Betrachtung, "dass die Analysis und Synthesis im Grunde genommen gleichsam immer vereinigt in unseren Arbeiten sind und zusammen das vollstaendigste Werkzeug des menschlichen Geistes bilden. Denn unser Geist macht keine Fortschritte, als nur mit der Hilfe von Zeichen oder Bildern, und wenn er zum ersten Male in schwierige Fragen einzudringen sucht, so hat er nicht einen Ueberfluss an diesen beiden Mitteln und jener besonderen Kraft, die er oft genug nur aus ihrem Zusammenwirken schoepft."[788]

Indem wir uns also der Beschraenktheit unserer Kraefte bewusst sind, werden wir nur ein kleines Feld waehlen, auf dem wir unsere Thaetigkeit ueben, aber nicht vergessen, dass {130} wir, um alle Fruechte, die es zu bieten faehig ist, einzuernten, das Recht und sozusagen die Pflicht haben, alle die Hilfsmittel pruefend anzuwenden, welche der menschliche Geist waehrend so vieler Jahrhunderte unausgesetzter Thaetigkeit angehaeuft hat, und die jedem zu Gebote stehen, der die Klugheit hat, sie zu Rate zu ziehen, und das Geschick, sie anzuwenden.

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Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften.

_Acta math._: Acta mathematica.

_Amer. Journ._: American Journal of Mathematics pure and applied.

_Ann. Ec. norm._: Annales scientifiques de l'Ecole normale superieure.

_Annali di Matem._: Annali di Matematica pura ed applicata.

_Berliner Abh._: Mathematisch-physikalische Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

_Berliner Ber._: Monatsberichte, bez. seit 1882 Sitzungsberichte oder auch: Mathematisch-naturwissenschaftliche Mitteilungen derselben Akademie.

_Bologna Mem._: Memorie } dell' Accademia di Scienze dell' Istituto _Bologna Rend._: Rendiconti } di Bologna.

_Bull. sciences math._: Bulletin des sciences mathematiques (bis 1884: et astronomiques).

_Bull. Soc. math._: Bulletin de la Societe mathematique de France.

_Cambridge Journ._: Cambridge and Dublin mathematical Journal.

_Cambridge Proc._: Proceedings } of the Philosophical Society of _Cambridge Trans._: Transactions } Cambridge.

_Comptes rendus_: Comptes rendus hebdomadaires des seances de l'Academie des sciences (de Paris).

_Gergonnes Ann._: Annales de Mathematiques.

_Giorn. di Matem._: Giornale di Matematiche.

_Goettinger Abh._: Abhandlungen } der Gesellschaft der Wissenschaften _Goettinger Nachr._: Nachrichten von} zu Goettingen.

_Grunerts Arch._: Archiv der Mathematik und Physik.

_Journ. Ec. polyt._: Journal de l'Ecole polytechnique.

_Journ. fuer Math._: Journal fuer die reine und angewandte Mathematik.

_Irish Proc._: Proceedings } of the Irish Academy. _Irish Trans._: Transactions }

{131} _Leipziger Ber._: Berichte ueber die Verhandlungen der Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig.

_Lincei Atti_: Atti } _Lincei Mem._: Memorie } dell' Accademia dei Lincei. _Lincei Rend._: Rendiconti } _Lincei Trans._: Transunti }

_Liouvilles Journ._: Journal de Mathematiques pures et appliquees.

_Lombardo Rend._: Rendiconti dell' Istituto Lombardo di scienze e lettere.

_Math. Ann._: Mathematische Annalen.

_Mem. pres._: Memoires presentes par divers savants a l'Academie des sciences (de Paris).

_Muenchener Abh._: Abhandlungen } der Akademie der Wissenschaften _Muenchener Ber._: Sitzungsberichte } zu Muenchen.

_Napoli Rend._: Rendiconti dell' Accademia delle scienze fisiche e matematiche di Napoli.

_Nouv. Ann._: Nouvelles Annales de Mathematiques.

_Phil. Mag._: London, Edinburgh and Dublin philosophical Magazine.

_Phil. Trans._: Philosophical Transactions } of the Royal Society of _Proc. Roy. Soc._: Proceedings } London.

_Prager Abh._: Abhandlungen } der boehmischen Gesellschaft der _Prager Ber._: Sitzungsberichte } Wissenschaften.

_Proc. math. Soc._: Proceedings of the London mathematical Society.

_Quart. Journ._: Quarterly Journal of pure and applied Mathematics.

_Torino Atti_: Atti } dell' Accademia delle scienze di Torino. _Torino Mem._: Memorie }

_Wiener Ber._: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Klasse der Akademie der Wissenschaften zu Wien. Zweite Abteilung.

_Zeitschr. f. Math._: Zeitschrift fuer Mathematik und Physik.

Die arabische Ziffer bezieht sich auf den Band (Teil, Jahrgang), beim _Journ. Ec. polyt._ auf das Heft, die roemische auf die Serie (Reihe).

{132}

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Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist.

Die Zahl ist die der Seite, auf welcher sie steht.

Abel 20 -- d'Alembert 14 -- Apollonius 6 -- Archimedes 6 -- Aronhold 31.

Baltzer 53 -- Bellavitis 60 -- Benedetti 9 -- Bobillier 26 -- Bolyai, J. 109 -- Bolyai, W. 108 -- Borchardt 43 -- Bour 56 -- Bragelogne 24 -- Braikenridge 22.

Caporali 84 -- Cardano 8 -- Carnot 14 -- Cauchy 116 -- Chasles 17 -- Chelini 57 -- Clairaut 13 -- Clebsch 27 -- Clifford 26 -- Cotterill 84 -- Cotes 21 -- Cramer 22 -- Crelle 20.

Desargues 9 -- Descartes 10 -- Dirichlet 119 -- Dupin 15.

Enneper 50 -- Eratosthenes 6 -- Euler 13.

Ferrari 8 -- Fermat 9 -- Ferro 8 -- Fibonacci 8.

Gauss 47 -- Gergonne 16 -- La Gournerie 44 -- Grassmann 26 -- De Gua 22.

Hachette 15 -- Halley 11 -- Hamilton 104 -- Harnack 63 -- Hesse 25 -- Hipparch 6 -- La Hire 11 -- Houeel 109 -- Huygens 11.

Jacobi 16 -- Joachimsthal 55.

Lacroix 15 -- Lagrange 14 -- Laguerre 40 -- Lamarle 125 -- Lambert 88 -- Lame 23 -- Lancret 72 -- Laplace 14 -- Legendre 14 -- Leibniz 11 -- Liouville 72 -- Lobatschewsky 109.

Mac Cullagh 33 -- Maclaurin 11 -- Magnus 81 -- Mascheroni 9 -- Mercator 88 -- Moebius 18 -- Monge 13.

Newton 11.

Oresme 16.

Pappus 6 -- Parent 13 -- Pascal 9 -- Plateau 125 -- Plato 5 -- Pluecker 19 -- Poisson 14 -- Poncelet 14 -- Ptolomaeus 6 -- Puiseux 72 -- Pythagoras 5.

Richelot 16 -- Riemann 110.

Saint-Venant 72 -- Scheeffer 118 -- Schooten 13 -- Serret, A. 50 -- Seydewitz 33 -- Simpson 11 -- Smith 29 -- Snellius 16 -- Spottiswoode 124 -- Staudt 19 -- Steiner 18 -- Stewart 11 --Sturm, Ch. 104.

Tartaglia 8 -- Thales 4 -- Transon 81.

Vieta 9.

Waring 22 -- Wren 32.

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Berichtigung. S. 97 Z. 7 v. o. lies viel- statt zwei-.

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Noten.

[1] "It is difficult to give an idea of the vast extent of modern mathematics. This word "extent" is not the right one: I mean extent crowded with beautiful detail -- not an extent of mere uniformity such as an objectless plain, but of a tract of beautiful country seen at first in the distance, but which will bear to be rambled through and studied in every detail of hillside and valley, stream, rock, wood and flower." (Rede von Cayley i. J. 1883 vor der "British Association for the Advancement of Science" gehalten.)

Bei dieser Gelegenheit fuehren wir noch folgendes Urteil von E. Dubois-Reymond ueber den Charakter der modernen Wissenschaft an: "Nie war die Wissenschaft entfernt so reich an den erhabensten Verallgemeinerungen, nie stellte sie in ihren Zielen, ihren Ergebnissen eine groessere Einheit dar. Nie schritt sie rascher, zweckbewusster, mit gewaltigeren Methoden voran, und nie fand zwischen ihren verschiedenen Zweigen lebhaftere Wechselwirkung statt." (_Ueber die wissenschaftlichen Zustaende der Gegenwart_, Reden, Bd. II, S. 452.)

[2] _Histoire des sciences mathematiques en Italie_ par G. Libri, 1838. Bd. I, S. 3.

[3] Hankel, _Die Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten_ (Tuebingen. II. Aufl. 1885). S. 7.