Part 6

Wir wollen diesen Abschnitt unserer Arbeit beschliessen, indem wir noch einige Worte ueber die vielfachen Transformationen zwischen zwei Gebilden zweiter und dritter Stufe sagen, auf welche ich nur im Voruebergehen hinweisen konnte, indem ich einige Abhandlungen von Paolis anfuehrte. Der erste, der sich mit ihnen beschaeftigte, war Chr. Wiener,[594] welcher sie untersuchte, indem er eine eindeutige Korrespondenz in der Ebene herstellte zwischen den Geraden einer Ebene und den Kurven eines linearen Systemes; dann ist einem Punkte, betrachtet als Schnitt zweier Geraden, die Gruppe der Grundpunkte des Bueschels zugeordnet, der durch die entsprechenden Kurven konstituiert wird. Diese Art und Weise, vielfache Transformationen zu erzeugen, wurde von Tognoli[595] auf den Raum ausgedehnt; derselbe liess jedem Punkte, betrachtet als Schnitt dreier Ebenen, die Grundpunkte desjenigen Netzes entsprechen, das durch die drei den drei Ebenen entsprechenden Oberflaechen eines dreifach unendlichen linearen Systemes bestimmt wird. Solche Untersuchungen haben sich bis jetzt jedoch noch nicht als sehr fruchtbar gezeigt. Ziemlich wichtig dagegen sind die schon genannten Untersuchungen von Paolis ueber die doppelten Transformationen. Das zeigen die Arbeiten, in denen Visalli[596] und Jung[597] die vielfachen Transformationen untersucht haben und welche die Fortsetzungen jener sind.

Mit einigen speziellen vielfachen Transformationen des Raumes haben sich Reye[598] und Segre[599] beschaeftigt und von ihnen elegante Anwendungen gemacht. Aschieri[600] uebertrug eine spezielle ebene zweifache Transformation, welche Paolis bearbeitet hatte, auf den Raum und dehnte auch die {97} Anwendungen, die jener davon gemacht hatte, auf die Nicht-Euklidische Geometrie aus. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Gebiete haben wir jedoch keine ausser den wenigen, die in einer kurzen Arbeit von Reye[601] aufgezeichnet sind, und den sehr wichtigen ueber die doppelten Transformationen des Raumes von Paolis.[602] Wir zweifeln nicht, dass diese und jene als Grundlage einer allgemeinen Theorie der zweifachen Transformationen, die wir noch erwarten, dienen koennen; und wir erwarten dieselbe mit Ungeduld, da wir sicher sind, dass dieselbe der Geometrie nicht geringere Dienste leisten wird, als die sehr bekannten, die ihr durch die birationalen Transformationen geleistet sind, und jene, die, wie Paolis bemerkt, die doppelten leisten koennen.

Neben die vielfachen Korrespondenzen zwischen zwei Raeumen von Punkten (oder Ebenen) kann man die zwischen einem Punktraume und einem Ebenenraume stellen. Untersucht wurden dieselben fuer den Fall, dass durch jeden Punkt die entsprechenden Ebenen gehen und in jeder Ebene die entsprechenden Punkte liegen. Zusammen betrachtet bilden die zwei Raeume ein hoeheres Nullsystem oder Punktebenensystem. Die Theorie dieser Systeme ist in diesen letzten Jahren besonders durch die Arbeiten von Ameseder,[603] von Sturm[604] und Voss[605] hervorgetreten, waehrend Reye[606] das Verdienst zukommt, den Begriff des gemeinen Nullsystemes[607] zuerst, doch in einer anderen Weise -- die entsprechenden Elemente sind nicht Punkte und Ebenen, sondern Flaechen zweiter Ordnung und zweiter Klasse -- erweitert zu haben.

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VII.

Geometrie der Geraden.

Die griechische Geometrie betrachtet den Punkt als das erzeugende Element aller Figuren; die analytische Geometrie des Cartesius machte die Bestimmung des Punktes zur Grundlage aller ihrer Rechnungen. Das Prinzip der Dualitaet fuehrte nun die Gelehrten zu dem Schluesse, dass die Gerade in der Ebene und die Ebene im Raume mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge, wie der Punkt, die Rolle spielen koenne, die bis jetzt dieser in der Geometrie inne gehabt, und fuehrte in der Folge dazu, die Gerade und die Ebene als Elemente der Ebene und des Raumes anzunehmen und ein neues System der (synthetischen und analytischen) Geometrie aufzustellen. Das Verdienst dieses bemerkenswerten Fortschrittes gebuehrt groesstenteils Pluecker.[608]

Aber ganz auf Pluecker faellt der Ruhm, ein drittes die raeumlichen Gebilde erzeugendes Element -- die Gerade -- eingefuehrt und auf eine solche Betrachtung eine neue Geometrie des Raumes begruendet zu haben. Dieser beruehmte Gelehrte kehrte, nachdem er fast zwanzig Jahre hindurch die Geometrie verlassen hatte, um seine bedeutenden Geisteskraefte der Physik zu widmen, zu der Wissenschaft zurueck, die ihm urspruenglich seinen Ruhm gesichert hatte, um sie {99} mit einer neuen und wichtigen Disziplin zu beschenken, mit "der Geometrie der Geraden".

Die ersten Mitteilungen ueber diesen Gegenstand, die im Jahre 1865 der Koeniglichen Gesellschaft zu London[609] von dem grossen deutschen Geometer gemacht wurden, enthalten die Saetze ueber einige allgemeine Eigenschaften der Komplexe, Kongruenzen und Regelflaechen und einige spezielle Eigenschaften der linearen Komplexe und Kongruenzen;[610] die Beweise derselben sind nur angedeutet und sollen, nach Angabe des Autors, vermittelst der Koordinaten einer Geraden im Raume gefuehrt werden, die er als einen eigenen Gedanken eingefuehrt hatte, die man spaeter aber als Spezialfall dessen erkannte, was schon Cayley[611] aufgestellt hatte, um vermittelst einer einzigen Gleichung eine beliebige Kurve im Raume darstellen zu koennen.

Diese Mitteilungen veranlassten ploetzlich eine Reihe wichtiger Arbeiten, in denen Battaglini nicht nur, was Pluecker behauptet hatte, sondern auch viele Lehrsaetze bewies, die sich auf die Komplexe zweiten und hoeheren Grades beziehen.[612] -- Indessen hatte Pluecker schon die von ihm {100} skizzierten Gedanken ausgefuehrt und in dem Werke vereinigt, welches den Titel traegt: _Neue Geometrie des Raumes, gegruendet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement._[613]

Von diesem Buche zu sagen, dass es in allen seinen Teilen gleich wichtig und interessant sei, wuerde eine der Wahrheit nicht entsprechende Behauptung sein. Pluecker schaetzte nicht die Eleganz der Rechnung, an die wir durch Lagrange, Jacobi, Hesse, Clebsch gewoehnt sind; er teilte sicherlich nicht mit Lame[614] die Ansicht, dass "die Bezeichnung fuer die Analysis das sei, was die Stellung und Wahl der Worte fuer den Stil ist"; bei ihm brauchte die Rechnung nur der einen Bedingung zu genuegen, naemlich schnell zur Loesung der ins Auge gefassten Probleme zu fuehren. Dieser Mangel, der allen Arbeiten von Pluecker gemeinsam ist, macht sich lebhafter in dem letzten Werke bemerklich, welches einen Wettstreit eingehen sollte mit Mustern der Eleganz, wie den _Vorlesungen ueber analytische Geometrie des Raumes_ von Hesse und den _Vorlesungen ueber Dynamik_ von Jacobi, die kurz vorher (1861 und 1866) herausgekommen waren. Ausser diesem nicht geringen Mangel ist ein anderer noch bedeutenderer dadurch entstanden, dass Pluecker lange Zeit hindurch es vernachlaessigt hatte, den Fortschritten der Geometrie nachzugehen. Infolge dieser einseitigen Ausbildung finden wir in seinem Buche eine Menge von Untersuchungen, die uns nicht mehr interessieren, da sie unter andere allgemeinere, schon gemachte fallen, eine grosse Anzahl von Spezialfaellen, von deren Wichtigkeit wir uns nicht ueberzeugen koennen, eine Menge von komplizierten Formeln, deren Nutzen wir nicht einsehen. Trotz dieser Fehler -- die ich anfuehren muss, um die geringe Anzahl der Leser, die sie heute findet, zu begruenden -- kann man nicht verkennen, dass die letzte Arbeit von Pluecker reich an originellen Blicken ist, und es wuerde die Lektuere derselben jedem zu raten sein, der das Studium dieses Teiles der Geometrie unternehmen will, wenn nicht die Nachfolger {101} Plueckers seine Untersuchungen in besserer Form auseinandergesetzt und mit anderen Methoden ausgefuehrt, und jene Gedanken, die er nur hingeworfen hat, groesstenteils entwickelt haetten.

Pluecker hatte nicht die Zeit, die Theorie der Komplexe zweiten Grades zu vollenden, da der Tod ihn traf, als er gerade im Begriffe stand, den zweiten Teil seines Buches zu veroeffentlichen; aber die Untersuchungen, die er unvollendet zurueckliess, wurden von seinem Schueler F. Klein[615] zu Ende gefuehrt. Ihm verdanken wir nicht nur den allgemeinen Begriff der Koordinaten einer Geraden und eine Anzahl sehr schoener Lehrsaetze ueber die Komplexe zweiten Grades, sondern auch verschiedene allgemeine und ausserordentlich fruchtbare Ideen ueber die Geometrie der Geraden. In der That ist es Klein, der, einen Gedanken seines Lehrers praezisierend, die Bemerkung machte, dass man die Geometrie der Geraden ansehen koenne als das Studium einer quadratischen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, enthalten in einem linearen Raume von fuenf Dimensionen, und zeigte, dass jeder Komplex durch eine einzige Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden darstellbar ist. Dass diese Bemerkung und dieser Lehrsatz von der groessten Bedeutung fuer den Fortschritt der Geometrie der Geraden seien, wurde in glaenzender Weise durch die schoenen Untersuchungen meines lieben Freundes Segre[616] gezeigt, die mit denen von Klein innig zusammenhaengen.

Gleichzeitig mit Klein beschaeftigten sich Pasch,[617] Zeuthen,[618] Drach,[619] spaeter auch Paolis[620] wiederholt {102} mit der Geometrie der Geraden, indem sie verschiedene Fragen derselben vermittelst homogener Koordinaten behandelten. Clebsch[621] wandte auf diese Theorie die Methode der abgekuerzten Bezeichnung an; im Jahre 1873 vervollstaendigte Weiler[622] die Einteilung der Komplexe zweiten Grades nach den Begriffen, die Klein in seiner Dissertation angegeben hatte. Voss[623] studierte in einer Reihe sehr wichtiger Abhandlungen die Singularitaeten der Systeme von Geraden; Halphen bestimmte die Zahl der Geraden des Raumes, welche vorher aufgestellten Bedingungen genuegen;[624] Noether,[625] Klein[626] und Caporali[627] beschaeftigten sich mit der Abbildung der Komplexe ersten und zweiten Grades auf den gewoehnlichen Raum, Aschieri mit der einiger spezieller Komplexe;[628] Lie stellte den innigen Zusammenhang, der zwischen der Geometrie der Kugel und der Geometrie der Geraden besteht, ins Licht;[629] Reye endlich studierte die Formen der allgemeinen quadratischen Komplexe.[630] Nur mit Hilfe der synthetischen Geometrie wurde unsere Theorie von Chasles studiert[631] -- schon 1839 --, von Reye,[632] {103} von Silldorf,[633] Schur,[634] Bertini,[635] von d'Ovidio[636] und von W. Stahl;[637] Buchheim[638] bediente sich der Quaternionen, um die hauptsaechlichsten Eigenschaften der linearen Kongruenzen zu beweisen, waehrend viele Fragen aus der Infinitesimalgeometrie, die sich auf Systeme von Geraden beziehen, gluecklich in einigen Abhandlungen von Mannheim,[639] Lie,[640] Klein,[641] Picard[642] und Koenigs[643] geloest wurden. Schliesslich wurden einige spezielle Komplexe studiert von Aschieri,[644] Painvin,[645] von Reye,[646] Lie,[647] Weiler,[648] Roccella,[649] von Hirst,[650] Voss,[651] Genty,[652] Montesano,[653] von Segre und von mir.[654]

Neben der reichhaltigen Schar von Schriften, die wir dem von Pluecker gegebenen Anstosse verdanken, muessen wir noch eine andere ebenso glaenzende erwaehnen, die aber {104} von ganz anderer Art ist. Sie umfasst die Arbeiten von Dupin,[655] Malus[656] (1775-1811) und Ch. Sturm[657] (1803-1855), Bertrand,[658] Transon[659] ueber die Normalen von Oberflaechen und ueber die mathematische Theorie des Lichtes, dann die von Hamilton (1805-1865) ueber Systeme von Strahlen.[660] Diese Arbeiten finden ihre Kroenung in zwei beruehmten Abhandlungen, die von Kummer in den Jahren 1857 und 1866 veroeffentlicht sind.

In der ersteren, die im _Journal fuer Mathematik_[661] abgedruckt ist, hat sich Kummer die Aufgabe gestellt, durch eine einheitliche und einfachere Methode die Resultate von Hamilton darzulegen und sie in den Punkten, wo sie mangelhaft erschienen, zu vervollstaendigen.[662]

In der zweiten,[663] die noch wichtiger ist, stellte er sich, nach einigen schoenen allgemeinen Untersuchungen ueber die Zahl der Singularitaeten eines Systemes von Strahlen und seiner Brennflaeche, und loeste die Frage, alle algebraischen Systeme von Strahlen erster und zweiter Ordnung zu bestimmen, d. h. solche, bei denen durch jeden Punkt des Raumes einer oder zwei Strahlen des Systemes hindurchgehen.

Ich moechte wuenschen, dass mir hinreichender Raum zu Gebote staende, um den Leser in den Stand zu setzen, die ausgezeichneten Verdienste dieser klassischen Arbeit hoch {105} zu schaetzen, um ihn an der tiefen Bewunderung teilnehmen zu lassen, die ich fuer sie empfinde; ich moechte ihn sehen lassen, mit welch ausserordentlicher Gewandtheit der Verfasser zur Bestimmung aller Strahlensysteme erster und zweiter Ordnung zu gelangen weiss, zu den Gleichungen, die sie und ihre Brennflaechen darstellen (welches jene Oberflaechen vierter Ordnung mit Doppelpunkten sind, die ich Gelegenheit hatte, im Abschnitt III zu erwaehnen), zu den Singularitaeten der Systeme, den Konfigurationen, die sie bilden, zum Zusammenhange zwischen ihnen und den Singularitaeten der Brennflaeche u. s. w. Aber da die Bemessenheit des Raumes es mir verbietet, so muss ich mich darauf beschraenken, den Wunsch auszusprechen, dass dieser mein kurzer Ueberblick es bewirken koenne, dass bei jedwedem das Verlangen entsteht, die Untersuchungen Kummers selbst kennen zu lernen und den Weg zu verfolgen, den er mit solchem Gluecke eingeschlagen hat; ich spreche diesen Wunsch aus, da mich die Beobachtung schmerzlich bewegt, dass in den zwanzig Jahren, die schon seit dem Erscheinen der Kummerschen Arbeit verflossen sind, es noch nicht gelungen ist, eine solche Theorie, die sich so fruchtbar an schoenen Resultaten gezeigt hat, in einer bemerkenswerten Weise zu foerdern.[664]

{106}

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VIII.

Nicht-Euklidische Geometrie.

Die letzte Kategorie von Arbeiten, mit denen ich mich zu beschaeftigen habe, umfasst eine Reihe von Untersuchungen, die zu lebhaften Diskussionen Veranlassung gegeben haben und -- wunderbar zu sagen -- eine Zeit lang die Mathematiker in zwei Feldlager geteilt haben, "das eine gewappnet gegen das andere";[665] heutzutage bilden sie denjenigen Teil der Wissenschaft des Raumes, den man "Nicht-Euklidische Geometrie" und "Theorie der beliebig {107} ausgedehnten Mannigfaltigkeiten" oder "Geometrie von n Dimensionen"[666] nennt.

Jeder weiss, dass unter allen Saetzen, die in den _Elementen_ des Euklid enthalten sind, es einen giebt,[667] der nur schlecht dazu passt, wie es der griechische Geometer gethan hat, unter die Axiome oder die Postulate gestellt zu werden.[668] Derselbe ist von grosser Wichtigkeit im Euklidischen System, da auf ihn, wie man sagen kann, die ganze Theorie der Parallelen gegruendet ist. Weil es nun nicht auf Grund unmittelbarer Anschauung gerechtfertigt ist, ihn unter diejenigen Saetze zu zaehlen, fuer welche es vergeblich ist, einen Beweis zu fordern, so kam man auf die Frage, ob er in der That unbeweisbar sei, und ob man nicht, wenn das der Fall sein sollte, ihn unterdruecken und durch einen anderen ersetzen koenne, dessen Wahrheit offenbarer sei?

Diese Fragen sind ein natuerlicher Ausfluss unseres Zeitalters, von welchem eine der hervorragendsten Eigentuemlichkeiten (wie Humboldt bemerkt) die unparteiliche Kritik alles dessen ist, was uns die Vergangenheit hinterlassen hat; sie muessen als der erste Ursprung der Nicht-Euklidischen Geometrie angesehen werden.

Die ersten wichtigen Studien auf diesem Gebiete wurden gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts von Legendre[669] {108} gemacht. Dieselben stellten den Zusammenhang klar, der zwischen dem Postulate des Euklid und dem Satze besteht, der sich auf die Winkelsumme eines Dreiecks bezieht, und fuehrten Legendre dazu, nicht nur jenes Postulat durch ein anderes viel wichtigeres zu ersetzen, sondern auch eine Geometrie zu entwerfen, die von eben demselben Postulate unabhaengig ist.[670]

Nahe zur selben Zeit wie Legendre, befasste sich Gauss mit dieser Frage. Gleichwohl hat er niemals irgend eine Arbeit auf diesem Gebiete veroeffentlicht; seine Korrespondenz mit Schumacher[671] und mit Wolfgang Bolyai (1775-1856)[672] und einige bibliographische Artikel von ihm[673] {109} bezeugen nicht nur das Interesse, das er dafuer besass, sondern bekunden auch die reiche Ernte von Wahrheiten, die er auf diesem, wie auf den anderen von ihm bebauten Feldern eingebracht hat. Und als die Schriften von Lobatschewsky (1793-1856)[674] und Johann Bolyai (1802-1860)[675] ueber diesen Gegenstand erschienen, da sanktionierte der Fuerst der deutschen Mathematiker mit seiner Autoritaet die Ergebnisse, welche dieselben erhalten hatten. Man kann diese Ergebnisse zusammenfassen, indem man sagt, dass dieselben die Grundlage einer neuen Geometrie sind, die vollstaendig unabhaengig ist von dem Postulate des Euklid (die Nicht-Euklidische Geometrie, oder imaginaere oder auch Pangeometrie), die in gewissen Punkten mit der gewoehnlichen Geometrie uebereinstimmt, jedoch in vielen anderen sich von ihr unterscheidet, -- eine Geometrie, die eine Zeit lang einige als absurd verbannt haben wollten, da sie den von einer nur oberflaechlichen Sinneswahrnehmung bezeugten Erscheinungen widerspricht, die aber heute allgemein angenommen ist, da ihr logischer Wert ausser Zweifel gestellt ist.[676]

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Zu diesem Siege der Logik ueber den uebertriebenen Empirismus haben in sehr wirkungsvoller Weise einige Schriften von grosser Bedeutung beigetragen, die Riemann (1827-1866), von Helmholtz und Beltrami in den Jahren 1867 und 1868 veroeffentlichten.

Die Riemannsche Schrift: _Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen_[677] -- zwoelf Jahre vor ihrer Veroeffentlichung geschrieben -- war und ist noch durch die Allgemeinheit der Begriffe und die Knappheit der Form selbst fuer diejenigen, welche in der Mathematik schon vorgeschritten sind, von schwierigem Verstaendnisse. Jedoch ein grosser Teil der Ideen, welche dieselbe enthaelt, verbreiteten sich sehr bald, da sie, durch ein glueckliches Zusammentreffen, auch von Helmholtz ausgesprochen wurden, und dieser sie nicht nur den Mathematikern in rein wissenschaftlicher Form darlegte,[678] sondern auch in populaeren Vortraegen und Artikeln in verschiedenen Zeitschriften auch ausserhalb des engeren Kreises der Geometer behandelte.[679] Keinen geringeren Einfluss aber als die Schriften des beruehmten Verfassers der _Physiologischen Optik_ uebte der klassische _Saggio di interpretazione della Geometria non-euclidea_[680] von Beltrami aus. Gerade die Schaerfe und analytische Eleganz, welche diese Schrift auszeichnen, lenkte die Aufmerksamkeit der Geometer auf dieselbe; das glaenzende und ueberraschende Resultat, dass die Saetze der Nicht-Euklidischen Geometrie ihre Verwirklichung auf den Oberflaechen mit konstanter negativer Kruemmung fanden, machte einen tiefen Eindruck auch auf diejenigen, welche jeder nicht durch das {111} Experiment bewiesenen Behauptung allen Wert absprachen, und sicherte den Triumph der neuen Anschauungen; endlich -- die dort verteidigten gesunden Prinzipien einer wissenschaftlichen Philosophie und die glaenzende Form, in welcher die Abhandlung geschrieben ist, liessen und lassen noch bei allen eine lebhafte Bewunderung fuer unseren beruehmten Landsmann entstehen, durch dessen Bemuehung wiederum einmal die Wahrheit den Sieg davontrug.

Dass die Arbeiten dieser drei grossen Gelehrten einen wohlthaetigen Einfluss auf die ganze Geometrie ausgeuebt haben, hat sich zur Evidenz durch die Aenderung gezeigt, welche sich in bezug auf die Art und Weise vollzogen hat wie man heutzutage die ihr zu Grunde liegenden Saetze betrachtet.[681] Wenn frueher die Geometer den Philosophen die Sorge ueberliessen, zu entscheiden, ob die Wahrheiten, mit denen sie sich beschaeftigten, notwendige oder zufaellige seien, und dahin neigten, dieselben als notwendige zuzulassen, so streben sie jetzt, nachdem die empirische Grundlage der Geometrie erkannt ist, fortwaehrend darnach, genau festzusetzen, welche Thatsachen man der Sinneswahrnehmung entnehmen muss, um eine Wissenschaft der Ausdehnung zu gruenden.[682] Wer die schoenen _Vorlesungen ueber neuere {112} Geometrie_ (Leipzig, 1882) von Pasch liest, die neueren Lehrbuecher prueft und diese und jene mit den aelteren Buechern vergleicht, wird wesentliche Unterschiede finden.

In den aelteren Werken giebt der Lehrer die Voraussetzungen, die er nicht beweist, als notwendige, ewige und unanfechtbare Wahrheiten, in den neueren fuehrt er sozusagen den Schueler dazu, die noetigen Erfahrungen auszufuehren, um die Praemissen der spaeteren Deduktionen festzustellen. In den aelteren Arbeiten stellt der Verfasser die Euklidische Geometrie als die einzig denkbare hin, in den neueren als {113} eine der unendlich vielen, die man aufstellen koennte. Und diese Unterschiede bezeichnen einen thatsaechlichen Fortschritt, da sie zeigen, dass die Gelehrten sich von einem alteingewurzelten und schaedlichen Vorurteile frei gemacht haben; und fuer den Fortschritt der Wissenschaft hat die Erkenntnis eines Irrtums eine nicht geringere Wichtigkeit, als die Entdeckung einer Wahrheit.

Kurz nach der Veroeffentlichung der Arbeit von Beltrami erschien eine von F. Klein,[683] die auch von grosser Wichtigkeit ist; aber um die Stellung zu kennzeichnen, welche dieselbe in der Geschichte der Nicht-Euklidischen Geometrie einnimmt, muss ich mich einige Jahrzehnte rueckwaerts wenden.

Es ist bekannt, dass infolge des _Traite des proprietes projectives des figures_ eine Unterscheidung aufgestellt wurde zwischen den Eigenschaften der Figuren, die erhalten bleiben, wenn diese projiziert werden, und solchen, die nicht erhalten werden; es ist ferner bekannt, dass unter den ersteren alle Lagen-Eigenschaften, aber nur einzelne metrische Eigenschaften begriffen sind. Nun stellten die Geometer sich die Frage, ob es nicht moeglich sei, die metrischen Eigenschaften der Figuren so auszusprechen, dass sie bei der Projektion saemtlich erhalten werden. Fuer einige Arten der Projektion haben Chasles und Poncelet die Frage geloest, indem sie den Begriff der unendlich fernen Kreispunkte der Ebene und des unendlich entfernten imaginaeren Kreises einfuehrten; fuer andere wurde die Loesung von Laguerre[684] gegeben, dem es gelang, den Begriff des Winkels projektiv zu machen; aber derjenige, welcher die Loesung in ihrer ganzen Allgemeinheit gab, war Cayley[685] (1859), der in dem sechsten von seinen beruehmten _Memoirs upon Quantics_ zeigte, dass jede metrische Eigenschaft einer ebenen Figur als in einer {114} projektiven Beziehung zwischen dieser und einem festen Kegelschnitte enthalten betrachtet werden koenne.

Nun besteht der Hauptzweck der angefuehrten Abhandlung von Klein eben darin, die innige Beziehung zwischen den Schluessen Cayleys und denen, zu welchen Bolyai und Lobatschewsky gelangt waren, herzustellen; auf welche lichtvolle Weise dieses Ziel erreicht ist, das beweist der grosse Ruhm, zu dem diese Schrift alsbald gelangte.[686]

An diese Schriften schliessen sich viele andere; an die von Riemann und Beltrami einige interessante Arbeiten von de Tilly,[687] Genocchi,[688] von Escherich[689] und Bianchi;[690] an die von Klein verschiedene Abhandlungen von Battaglini,[691] d'Ovidio,[692] de Paolis[693] und Aschieri,[694] Cayley,[695] Lindemann,[696] Schering,[697] von Story,[698] {115} H. Stahl[699] und Voss,[700] von H. Cox[701] und A. Buchheim.[702]

Die mathematische Litteratur der allerneuesten Zeit jedoch ist nicht sehr reich an Forschungen auf diesem Gebiete;[703] es hat den Anschein, als wenn jenes Zeitalter, welches man das heroische nennen koennte, und durch welches jede Disziplin einmal hindurchgeht, schon von der Nicht-Euklidischen Geometrie durchlaufen sei. Sollten vielleicht die unermuedlichen Arbeiter der beiden Jahrzehnte 1860-1880 die Minen in jeder Richtung so gruendlich durchwuehlt haben, dass sie keine goldfuehrende Ader mehr bergen?

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IX.

Geometrie von n Dimensionen.