Part 5

Nach diesen Arbeiten muessen wir, um einen wirklich bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, welche uns beschaeftigt, zu finden, uns zu Halphen und Noether wenden, deren Abhandlungen[465], im Jahre 1882 von der Akademie zu Berlin mit dem Preise gekroent, die Grundlage fuer eine allgemeine Theorie der Raumkurven sind; denn sie behandeln die Probleme: "alle voneinander verschiedenen Kurven von gegebener Ordnung zu bestimmen", "anzugeben, welche Kurven es auf einer gegebenen Oberflaeche giebt" und noch viele andere von nicht geringer Bedeutung. Diese beiden Arbeiten verschlingen sich so enge und durchdringen sich so innig, dass es sehr schwer wird, zu entscheiden, welcher Anteil jedem der beiden Autoren in den vielen gemeinsamen {75} Resultaten zufaellt, die sie enthalten. Wenn einerseits Noether die Theoreme, welche Ende des Jahres 1870 von Halphen in den _Comptes rendus_ und an anderen Stellen[466] ausgesprochen sind, ausbeuten konnte, so konnte dieser sich der Saetze bedienen, welche in der sehr bedeutenden Abhandlung von Brill und Noether, _Ueber die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie_[467] enthalten sind, und in derjenigen, in welcher Noether streng den Fundamentalsatz der Theorie der algebraischen Funktionen dargethan hatte, welcher in der Auseinandersetzung von Halphen unumgaenglich notwendig war.[468] Und man glaube nicht, dass die von den beiden Geometern bei ihrem Thema eingeschlagenen Wege im wesentlichen verschieden gewesen seien, vielmehr benutzten sie beide (wie Cayley geraten hatte) Monoide, und wenn der eine vorzugsweise Formeln und Saetze aus der Theorie der Abelschen Integrale gebraucht, so wendet der andere solche Lehrsaetze ueber die algebraischen Funktionen an, welche zu denselben Eigenschaften fuehren. Jedenfalls steht es ausser Zweifel, dass diese beiden hervorragenden Produktionen unseres Zeitalters bestimmt sind, die Grundlage fuer die zukuenftigen geometrischen Untersuchungen zu bilden, und wenn bis jetzt sich ihr Einfluss noch nicht so allgemein geltend gemacht hat, so ist dieses vorzugsweise den grossen Schwierigkeiten zuzuschreiben, die ihr Gegenstand noch immer darbietet, und vielleicht auch den Luecken, die in den Methoden vorhanden sind, die man zu Hilfe nehmen koennte, um jene zu ueberwinden.[469]

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Aber vor der Begruendung der allgemeinen Theorie wurden viele einzelne Kurven einem genaueren Studium unterworfen; da ich aber wuensche, mehr als getreuer, denn als glaenzender Geschichtsschreiber angesehen zu werden, so muss ich hier eine Aufzaehlung der Arbeiten unternehmen, in welchen die hervorragenderen unter diesen Untersuchungen enthalten sind.

"_Degli altri fia laudabile il tacerci,_ _Che il tempo saria corto a tanto suono._"[470]

Unter ihnen verdienen den ersten Platz diejenigen, welche die kubischen Raumkurven behandeln. Ueber diese haben Moebius[471] und Chasles[472] verschiedene sehr schoene Eigenschaften aufgefunden; dieselben vermehrten sich mit solcher Schnelligkeit, dass Staudt[473] binnen kurzem die vollstaendige Analogie, die zwischen ihnen und den Kegelschnitten besteht, feststellen konnte; diese Analogie hat sich von Tag zu Tag mehr vervollkommnet, dank den Studien von Seydewitz,[474] Joachimsthal[475] Cremona,[476] {77} Schroeter,[477] Reye,[478] Emil Weyr,[479] Sturm,[480] Hurwitz,[481] welche nicht allein die Aufstellung einer vollstaendigen synthetischen Behandlung dieser Kurven gestatten, sondern auch das Terrain fuer die so elegante analytische Auseinandersetzung ebneten, die mein innigst geliebter Lehrer E. d'Ovidio[482] und Pitarelli[483] gemacht haben.

Dann will ich die Theorie der unebenen, auf einem einschaligen Hyperboloide gezeichneten Kurven anfuehren, fuer welche Chasles[484] das Fundament gelegt hat, und die von unserem Cremona[485] so sehr bereichert ist. Ferner will {78} ich der vielen Eigenschaften erwaehnen, welche Poncelet,[486] Chasles,[487] Cremona,[488] Reye,[489] Paul Serret,[490] Laguerre,[491] Milinowski[492] und viele andere ueber die Raumkurven vierter Ordnung erster Art gefunden haben, und die schoenen Anwendungen, die sie fuer die Theorie der zweifach periodischen Funktionen geliefert haben, -- Harnack,[493] Lange,[494] Westphal,[495] Leaute[496] u. s. w. Auch kann ich die schoenen Arbeiten von Cremona,[497] von Armenante,[498] Bertini[499] und Em. Weyr[500] ueber die Raumkurven vierter Ordnung zweiter Art nicht stillschweigend uebergehen, ferner nicht die von Klein und Lie ueber die durch unendlich viele lineare Transformationen in sich selbst transformierten {79} Kurven,[501] noch auch die von Fiedler[502] angestellte Bestimmung der Kurven von nicht hoeherer als neunter Ordnung, die zu ihren eigenen Tangenten-Developpabelen dual sind. Und wie koennte ich es unterlassen, einen Blick auf die grosse Zahl von Kurven zu werfen, welche Cremona und Sturm[503] studiert haben, indem sie sich mit der Geometrie auf einer Oberflaeche dritter Ordnung beschaeftigten, dann auf die wichtigen Probleme, die von Clebsch und seinen Schuelern ueber die rationalen,[504] elliptischen und hyperelliptischen[505] Kurven geloest sind, und die eleganten Eigenschaften, welche Bertini[506] an den rationalen Kurven fuenfter Ordnung auffand, sowie W. Stahl[507] bei denjenigen, deren Punkte auf einer Oberflaeche zweiten Grades liegen, waehrend die Oskulationsebenen eine solche zweiter Klasse beruehren?

Indem der unerfahrene Leser so bedeutende und so verschiedene Untersuchungen aufzaehlen hoert, wird er sich von einem gewissen Kleinmute bedraengt fuehlen und sich fragen, wie es in kurzer Zeit moeglich sei, dieselben, wenn auch nicht alle, so doch groesstenteils sich anzueignen? Man beruhige sich. Die Uebersicht ist fuer den Studierenden viel weniger schwierig, als es nach meiner Besprechung scheinen koennte. Die von den Geometern der ersten Haelfte unseres Jahrhunderts aufgestellten Prinzipien sind so fruchtbar, dass, wenn jemand sich dieselben gruendlich zu eigen gemacht hat, er nicht allein selbst viele weitere Untersuchungen ableiten, sondern auch noch darnach streben kann, die Wissenschaft selbst weiter zu foerdern. Und dieses -- was sicherlich ein {80} nicht zu unterschaetzender Vorzug der heutigen Wissenschaft vor der unserer Vaeter ist -- wurde in Kuerze von einem ihrer Gruender mit den fortan klassischen Worten ausgesprochen: _"Peut donc qui voudra dans l'etat actuel de la science generaliser et creer en geometrie; le genie n'est plus indispensable pour ajouter une pierre a l'edifice"_,[508] goldene Worte, welche jeder, der Mathematik betreiben will, sich einpraegen muss; indem sie ihn auf einen wahrscheinlichen Sieg hoffen lassen, werden sie ihn anspornen, sich mutig den geistigen Kaempfen entgegenzustellen, die ihn erwarten.

* * * * *

VI.

Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen.

Bei dieser fluechtigen Musterung der neuesten geometrischen Entdeckungen gelangen wir nun zur Lehre von den Abbildungen, Korrespondenzen und Transformationen. -- Es ist bekannt, dass zwischen zwei ebenen Punktfeldern eine Korrespondenz (Verwandtschaft) besteht, wenn jedem Punkte des einen eine Gruppe von Punkten des anderen zugeordnet ist; diese heissen dann die "entsprechenden" zu jenem. Wenn im speziellen Falle jeder Punkt des einen Feldes einen einzigen entsprechenden in dem anderen hat, so heisst die Korrespondenz "eindeutig".

Die einfacheren Faelle der eindeutigen Korrespondenz sind die Homologie -- von Poncelet studiert (1822) -- und die Kollineation (Homographie), von Moebius (1827), Magnus (1833) und Chasles (1837) studiert. In diesen Faellen entspricht nicht nur jedem Punkte ein Punkt, sondern {81} auch jeder Geraden eine Gerade. -- Ein Beispiel einer komplizierteren Korrespondenz wurde von Steiner (1832) durch folgende Konstruktion erhalten:[509] Gegeben sind zwei getrennte Ebenen und zwei windschiefe Geraden; durch jeden Punkt der einen von jenen ziehe man die Gerade, welche die beiden gegebenen Geraden schneidet, und bestimme den Schnittpunkt mit der anderen Ebene. Indem man diesen Schnittpunkt dem in der ersten Ebene gewaehlten Punkte zuordnet, erhaelt man eine eindeutige Beziehung von der Art, dass jeder Geraden in der einen Ebene ein Kegelschnitt in der anderen entspricht. Laesst man nun die beiden Ebenen zusammenfallen, so erhaelt man eine Korrespondenz, welche im wesentlichen nicht von der durch Poncelet[510] zwischen in bezug auf ein Kegelschnittbueschel konjugierten Punkten gefundenen verschieden ist, und welche auf analytischem Wege von Pluecker[511] untersucht wurde, sodann von Magnus (1790-1861)[512] und von unserem Schiaparelli,[513] synthetisch aber von Seydewitz[514] und spaeter von Reye.[515] -- Auf ein drittes Beispiel fuehrte die Loesung einiger Probleme aus der mathematischen Physik; man gelangt dazu auf folgende Weise: Gegeben sei in einer Ebene ein fester Punkt, man associiert zwei mit ihm in gerader Linie gelegene Punkte, deren Abstaende von ihm umgekehrt proportional sind. Man erhaelt dann eine eindeutige Korrespondenz, welche jede Gerade in einen Kreis, und jeden Kreis wieder in einen Kreis verwandelt. Diese wurde von Sir William Thomson[516] {82} als "Prinzip der elektrischen Bilder" studiert und ist unter dem Namen "Transformation durch reciproke Radien" oder "Inversion" allgemein bekannt.[517]

Alle diese Transformationen sind linear oder quadratisch, da sie eine Gerade in eine Kurve erster oder zweiter Ordnung verwandeln. Jedoch machte Magnus schon die Bemerkung, dass, wenn man eine quadratische Transformation wiederholt, man im allgemeinen eine solche hoeherer Ordnung erhaelt.[518] Diese wichtige Bemerkung blieb aber bis zu dem Zeitpunkte unfruchtbar (1863), in welchem Cremona von den wenigen bisher eroerterten Faellen zur allgemeinen Theorie der geometrischen Transformationen der ebenen Figuren ueberging.[519]

{83}

Um dem Leser die Bedeutung der Schriften, welche Cremona dieser Theorie[520] gewidmet hat, zu zeigen, wuerde ich auseinanderzusetzen haben, auf welche Weise dieser grosse Geometer das Studium der eindeutigen Transformationen auf das eines homaloidischen Netzes von Kurven zurueckgefuehrt hat, und die Bestimmung eines solchen Netzes auf die Loesung eines unbestimmten Systemes von linearen Gleichungen; aber da die Anlage meiner Abhandlung mir das nicht gestattet, so muss ich mich darauf beschraenken, ihn davon durch den alten Beweis des "_consensus omnium_" zu ueberzeugen. Dann fuehre ich noch die Namen von Geometern an wie Cayley,[521] Clebsch,[522] Noether,[523] Rosanes,[524] S. Roberts,[525] die sich bemueht haben, die (bei der ersten Behandlung des Stoffes unvermeidlichen) Luecken, die sich in den Cremonaschen Abhandlungen[526] fanden, auszufuellen; ferner die Arbeiten von Ruffini,[527] Jonquieres,[528] Kantor,[529] Guccia,[530] Autonne,[531] welche mit dieser Lehre {84} eng zusammenhaengende Fragen behandeln, endlich die von Hirst,[532] T. Cotterill[533] (1808-1881), von Sturm,[534] Schoute[535] und sehr vielen anderen, welche sich das bescheidenere Ziel gesetzt haben, die Verbreitung derselben durch geeignete Beispiele und elegante Formeln zu erleichtern.[536]

Unter den Arbeiten, welche sich an die von Cremona anschliessen, verdienen eine hervorragende Stelle diejenigen von Bertini,[537] welche er den ebenen involutorischen Transformationen gewidmet hat, welche Arbeiten noch groessere Einfachheit und Eleganz erhielten durch den Begriff der Klasse und andere Begriffe, die von Caporali[538] (1855-1886) eingefuehrt wurden, jenem ausgezeichneten Geometer, dessen fruehen Verlust ganz Italien betrauert.[539]

{85}

Von ganz verschiedenem Charakter sind hingegen die eleganten Untersuchungen von Laguerre ueber solche Transformationen, welche er "Transformationen durch reciproke Richtungen" nannte; da es nicht moeglich ist, den Grundgedanken in wenigen Worten zusammenzufassen und die vielfachen Anwendungen, welche der Erfinder davon gemacht hat, anzudeuten, verweisen wir den Leser auf die Originalarbeiten des hervorragenden franzoesischen Geometers.[540]

Von der Theorie, die wir jetzt besprechen, bildet auch die Lehre von den "isogonalen Transformationen" einen Teil, welcher sich auf die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen stuetzt und deren Nuetzlichkeit (welche vielleicht groesser {86} ist fuer die mathematische Physik als fuer die reine Geometrie) Moebius,[541] Siebeck,[542] Durege,[543] Beltrami,[544] Vonder-Muehll,[545] F. Lucas,[546] Wedekind[547] und neuerdings Holzmueller[548] dargethan haben.[549]

{87}

Den Begriff der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen kann man auf verschiedene Weise verallgemeinern; die Weisen, die sich so ziemlich von selbst darbieten, sind folgende:

Vor allem, ohne die Ebene zu verlassen, kann man eine Korrespondenz aufstellen zwischen jedem Punkte derselben und einer Kurve eines doppelt unendlichen Systemes in derselben oder auch einer anderen Ebene;[550] diese Art der Korrespondenz ist eine Erweiterung der Korrelation (Reciprocitaet) zwischen zwei Feldern; angegeben von Pluecker, wurde dieselbe von Clebsch[551] entwickelt und veranlasste die Theorie der Konnexe.[552]

{88}

Wenn man dann zum Raume uebergeht, kann man eine Korrespondenz zwischen den Punkten zweier Oberflaechen aufstellen (insbesondere zwischen den Punkten einer krummen Oberflaeche und denen einer Ebene) oder zwischen den Punkten zweier Raeume.

Die Darstellung einer Oberflaeche auf einer Ebene kann man bis ins Altertum zurueckverfolgen, da schon Hipparch und Ptolomaeus (und wahrscheinlich andere vor ihnen) sich die Aufgabe der Herstellung geographischer Karten gestellt und Loesungen derselben mitgeteilt haben, die auf derjenigen Projektion beruhen, welche man heute die stereographische nennt. -- Die Projektion von Mercator (1512-1594), die Untersuchungen von Lambert (1728-1777) und Lagrange, die beruehmte Antwort von Gauss auf eine von der daenischen Akademie gestellte Frage[553] zeigen, wie die taeglichen Beduerfnisse der Geographie und Navigationskunde unaufhoerlich die Gelehrten angetrieben haben, sich mit dem Probleme der eindeutigen Darstellung der Oberflaeche unseres Planeten auf einer Ebene zu beschaeftigen.[554] -- Die erste Abbildung einer Oberflaeche auf einer anderen jedoch, die nur in der Absicht gemacht wurde, um eine derselben leichter studieren zu koennen, verdanken wir Gauss, der 1827 in seinen beruehmten _Disquisitions generales circa superficies curvas_ es als sehr vorteilhaft erkannte, die Punkte {89} einer beliebigen Oberflaeche den Punkten einer Kugelflaeche entsprechen zu lassen, indem man zwei solche Punkte zuordnet, deren Normalen einander parallel sind.[555] Eine besondere Eigentuemlichkeit dieser Korrespondenz ist die, dass, um Eindeutigkeit zu erhalten, es fast immer noetig ist, nur den Teil der Oberflaeche abzubilden, den man gerade ins Auge fasst; wir wollten diese Eigenschaft nicht stillschweigend uebergehen, da deren Anfuehrung uns Gelegenheit giebt, den Unterschied hervorzuheben, der zwischen der sphaerischen Abbildung und den Abbildungen besteht, welche von Pluecker,[556] Chasles[557] und Cayley[558] fuer das Studium der Geometrie auf einer Flaeche zweiten Grades, denen, die von Clebsch[559] und Cremona[560] fuer das Studium der Geometrie auf einer kubischen Flaeche, und von denen endlich, die von spaeteren Geometern fuer die Untersuchung anderer Flaechen vorgeschlagen sind.

Die erste Arbeit, welche _ex professo_ die Theorie der Abbildungen dieser Art behandelt, verdankt man Clebsch.[561] Die zahlreichen Beispiele, durch welche der Verfasser in dieser Arbeit, sowie in einigen aelteren und spaeteren[562] die allgemeine Theorie illustrierte, haben zur Aufstellung der Geometrie auf einer grossen Zahl von Flaechen mit vielen Einzelheiten gefuehrt. Ferner haben die fast gleichzeitigen Abhandlungen {90} von Cremona[563] und Noether,[564] sowie die ihnen folgenden von Armenante,[565] Klein,[566] Korndoerfer,[567] Caporali[568] und von noch anderen[569] im Verlaufe weniger Jahre diese Zahl ausserordentlich vermehrt.[570] Man kann sich eine ziemlich genaue Vorstellung von dem Reichtum dieses Zweiges der Geometrie machen, wenn man die schoene Abhandlung von Caporali ueber die dreifach unendlichen linearen Systeme ebener Kurven liest,[571] in welcher er einerseits die Theorie der Abbildung einer Oberflaeche auf eine Ebene auf das Studium solcher Systeme anwandte, andererseits in derselben wertvolle Hilfsmittel der Untersuchung fand.

Bei dem Studium der Abbildung einer Oberflaeche bietet sich von selbst eine wichtige Frage dar, naemlich die, ob sie alle eindeutig auf eine Ebene abbildbar sind, oder allgemeiner: ob zwei Oberflaechen sich als Punkt fuer Punkt {91} einander entsprechend darstellen lassen. Und da man leicht erkannte, dass die Antwort auf diese Frage eine negative sei, so wurde man natuerlich auf die andere Frage gefuehrt: Welche Oberflaechen lassen sich eindeutig auf einer Ebene abbilden? Oder allgemeiner: Welche Oberflaechen kann man eindeutig auf einer gegebenen abbilden? -- Die analoge Frage fuer zwei (ebene oder unebene) Kurven wurde von Clebsch vermittelst der Betrachtung des Geschlechtes und der Moduln geloest. Diese Analogie veranlasste nun Clebsch, die Loesung des vorhin angegebenen Problems in einer Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes auf die Oberflaechen[572] zu suchen. Dieser Versuch wurde jedoch nach meinem Dafuerhalten nicht von gutem Erfolge gekroent, und auch heute muss man trotz der nach Clebsch angestellten Versuche ausgezeichneter Mathematiker wie Cayley,[573] Noether,[574] Zeuthen[575] die Frage als noch ungeloest betrachten; um das zu beweisen, genuegt es zu sagen, dass, wenn es auch bekannt ist, dass alle Oberflaechen zweiter und dritter Ordnung (die nicht Kegelflaechen sind) eindeutig auf einer Ebene abbildbar sind, doch noch nicht alle Oberflaechen vierter Ordnung bestimmt sind, welche dieselbe Eigenschaft haben.[576] {92} Die allgemeineren Resultate, die man auf diesem Gebiete kennt, waren, wenn ich nicht irre, von Noether[577] erhalten; dieser gelangte durch eine ueberaus elegante analytische Betrachtung bei jeder Oberflaeche, welche eine einfach unendliche Schar rationaler Kurven enthaelt, zu einer Abbildung derselben auf einem Kegel.

Die Schwierigkeit aber, auf welche man bei der eindeutigen Abbildung gewisser Oberflaechen auf eine Ebene stiess, liessen bei Clebsch den Gedanken entstehen, zwischen einer Oberflaeche und einer Ebene eine vielfache Korrespondenz aufzustellen, oder auch (wie er an die Riemannschen Flaechen denkend sagte) eine Flaeche auf eine vielfache Ebene abzubilden und dann diese auf eine einfache Ebene zu beziehen.[578] Diese Idee, deren Keime sich vielleicht bis zu der von Chasles[579] vorgeschlagenen Verallgemeinerung der stereographischen Projektion zurueckverfolgen lassen, konnte nicht mehr vollstaendig von ihrem Urheber entwickelt werden; jedoch blieben die von ihm gegebenen Andeutungen nicht unfruchtbar, vielmehr entstand aus ihnen die Theorie der doppelten ebenen Transformationen, welche de Paolis aufgestellt und durch vielfache Anwendungen erlaeutert hat.[580]

Die zweite Verallgemeinerung der Cremonaschen Transformationen veranlasste die Theorie der rationalen Transformationen im Raeume. Zwei Beispiele einer solchen Korrespondenz boten sich in der Homographie zweier Raeume (und deren Spezialfaellen) dar und -- wie Magnus,[581] Hesse[582] und Cremona[583] bemerkt haben -- in der Transformation, die man erhaelt durch drei zu demselben Raeume korrelative (reciproke) Raeume, indem man jedem Punkte jenes Raumes {93} den Schnitt der Ebenen zuordnet, die ihm in diesen entsprechen. Die allgemeine Theorie entstand jedoch erst um das Jahr 1870 durch die Bemuehungen Cayleys,[584] Noethers[585] und Cremonas,[586] obwohl schon Magnus[587] Ende 1837 dieselbe angestrebt und ihre Wichtigkeit eingesehen hatte.

Von den bemerkenswerten Arbeiten, in welchen diese Gelehrten unsere Theorie im allgemeinen begruendeten, ist ohne Zweifel die wichtigste jene, die wir der Feder unseres beruehmten Landsmannes verdanken. Geleitet durch die Analogie, welche diese Disziplin mit der der eindeutigen Korrespondenz zwischen zwei Ebenen darbietet, zeigte er, wie jene sich auf das Studium der dreifach unendlichen homaloidischen Systeme von Oberflaechen zurueckfuehren laesst. Darauf setzte er auf eine sehr schoene Weise auseinander, wie man unendlich viele solcher Systeme erhalten koenne, wenn man die ebene Abbildung einer Oberflaeche kennt, und zeigte zuletzt durch treffende Beispiele, wie man die Theorie der rationalen Transformationen auf die Abbildung vieler Flaechen auf andere zurueckfuehrt, insbesondere auf die ebene Abbildung einiger von ihnen. Diese Anwendung, vereint mit der obenerwaehnten Methode, zeigt klar, wie man aus der ebenen Abbildung einer Oberflaeche nicht nur die Abbildungen von unendlich vielen anderen erhalten kann, sondern auch unzaehlig viele rationale Transformationen des Raumes.

Ungeachtet der Schriften, durch welche England, Deutschland und Italien so maechtig zur Gruendung und Erweiterung dieser Theorie beigetragen haben, kann man doch nicht sagen, dass dieselbe den Grad der Vollendung erreicht habe, {94} den andere erlangt haben. Das kommt vielleicht daher, dass die schwierigsten Fragen, welche sich in derselben darbieten, innig mit der Bestimmung der Singularitaeten der Oberflaechen zusammenhaengen, und ueber diese -- wir muessen es leider gestehen -- sind unsere Kenntnisse noch sehr beschraenkt. Darin hat man vielleicht die Erklaerung der Thatsache zu suchen, dass die Geometer, die auf jene oben erwaehnten folgten, sich mehr mit der Erlaeuterung der Methoden ihrer Meister, als mit der Vervollkommnung derselben und der Ausfuellung ihrer Luecken beschaeftigt haben.[588] Und dennoch -- wenn auch das Studium der Figur selbst ohne Zweifel dem der transformierten vorzuziehen ist -- giebt es bei dem heutigen Standpunkte der Wissenschaft sehr wenige Theorien, die so sehr es verdienen, dass man sie in allen ihren Einzelheiten vervollkommne, als gerade diese. In der That, um die Worte eines grossen Mannes zu gebrauchen, "wenn man ueber das Verfahren der Algebra nachdenkt und den Grund {95} der gewaltigen Vorteile aufsucht, die sie der Geometrie bietet, sieht man da nicht, dass sie dieselben der Leichtigkeit verdankt, mit welcher man anfaenglich eingefuehrte Ausdruecke Transformationen unterziehen kann, Transformationen, deren Geheimnis und deren Mechanismus die wahre Wissenschaft bilden und die das staendige Ziel der Analysten sind? Ist es darum nicht natuerlich, zu versuchen, in die reine Geometrie analoge Transformationen einzufuehren, welche direkt auf die vorgelegten Figuren und ihre Eigenschaften hinsteuern?[589]

Auf das allgemeine Studium der Transformationen folgt das solcher Transformationen, bei denen man einen gewissen Zweck im Auge hat,[590] z. B. die Verwandlung der Figuren in sich selbst oder ihre Zurueckfuehrung zur urspruenglichen Figur, wenn die Transformationen mehrmals hintereinander angewandt werden. Es existieren in der That auch schon einige gute Arbeiten, in welchen die Kollineationen und Korrelationen behandelt sind, welche eine Flaeche zweiter Ordnung, einen linearen Komplex[591] oder eine kubische Raumkurve[592] in sich selbst transformieren, sowie ueber die cyklischen Projektivitaeten.[593]

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