Part 4

An den Abschnitt der Gaussischen Abhandlung, welcher die geodaetischen Linien behandelt, knuepfen sich einige Arbeiten von Joachimsthal (1818-1861),[335] Schering,[336] Beltrami,[337] die von Lie[338] gemachte Einteilung der Oberflaechen auf Grund der Transformationsgruppen ihrer geodaetischen Linien und die Untersuchungen ueber geodaetische Kurven von demselben Verfasser.[339] Mit demjenigen Abschnitte, welcher sich auf die Abwickelbarkeit der Oberflaechen bezieht, steht eine wichtige Arbeit von Minding in enger Beziehung,[340] in der zum ersten Male die Frage aufgestellt ist, ob die Gleichheit der Kruemmung in entsprechenden Punkten eine hinreichende Bedingung fuer die Abwickelbarkeit zweier Oberflaechen sei: er gelangte fuer den allgemeinen Fall zu einem negativen Resultate, zu einem {56} positiven dagegen fuer den Fall konstanter Kruemmung. Dasselbe gilt von den Arbeiten von Bour[341] (1832-1866), Codazzi[342] und Bonnet,[343] welche fuer preiswuerdige Antworten auf die im Jahre 1861 von der Pariser Akademie der Wissenschaften gestellte Frage erkannt worden sind. Derselbe Gegenstand oder verwandte Gegenstaende wurden dann in den Abhandlungen von Christoffel,[344] von Mangoldt,[345] Weingarten,[346] Brill,[347] Minding,[348] Jellet,[349] Dini,[350] Enneper,[351] Razzaboni,[352] Lecornu,[353] Beltrami[354] und vielen anderen behandelt.

Die schoene von Gauss gegruendete Theorie der krummlinigen Koordinaten einer Oberflaeche liess den Wunsch entstehen, eine analoge Theorie fuer den Raum zu haben. Schon im Jahre 1837 stellte Lame sie fuer einen Spezialfall auf, naemlich fuer den der elliptischen Koordinaten,[355] spaeter wies er auf die orthogonalen krummlinigen Koordinaten {57} hin[356] und konstruierte dann die Theorie derselben,[357] ohne ihre Anwendung[358] und Entwickelung[359] zu vernachlaessigen. Die beruehmten _Lecons sur la theorie des coordonnees curvilignes et leurs diverses applications_ (Paris, 1859) von Lame fassen zusammen und vervollstaendigen die glaenzenden Resultate, die von Lame in diesem Zweige der Geometrie erhalten waren. In der Folge haben sich viele andere mit demselben beschaeftigt. Vor allen fuehre ich Aoust an, der ihm viele und wichtige Arbeiten widmete,[360] dann Brioschi,[361] Codazzi,[362] Chelini (1802-1878),[363] Darboux,[364] Combescure,[365] Levy,[366] Royer[367] und noch andere. Hierzu sehe man noch die Schriften, welche dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen behandeln und von denen ich nur diejenigen von Bouquet,[368] A. Serret,[369] Bonnet,[370] Catalan,[371] Moutard,[372] Darboux,[373] Cayley,[374] Ribaucour,[375] {58} Weingarten,[376] Schlaefli,[377] Hoppe,[378] Bianchi[379] und Molins[380] nennen will.

Von den Arbeiten, welche spezielle Oberflaechen behandeln, die nicht zu bis jetzt besprochenen Kategorien gehoeren, fuehren wir die von Lie[381] an, welche sich auf Oberflaechen beziehen, die infinitesimale lineare Transformationen in sich selbst zulassen; dann die von Enneper,[382] die sich auf Oberflaechen mit speziellen Meridiankurven beziehen, ferner die von Cayley[383] und Weingarten[384] und die von Willgrod[385] ueber Oberflaechen, welche durch ihre Kruemmungslinien in unendlich kleine Quadrate geteilt werden; schliesslich die von Bianchi[386] ueber Schraubenflaechen.

Ein bemerkenswerter Fortschritt in der analytischen Infinitesimalgeometrie der Oberflaechen wurde durch die Bemuehungen de Salverts geschaffen, der in einigen eleganten Arbeiten,[387] wahrscheinlich hervorgerufen durch die schoenen _Vorlesungen ueber die analytische Geometrie des Raumes_ von Hesse, zeigte, wie man durch Benutzung der Gleichung einer Oberflaeche in ihrer allgemeineren Form, f(x, y, z) = 0, ein bei weitem bequemeres System von Formeln fuer die Loesung gewisser Probleme aufstellen konnte, als wenn die Gleichung z = [phi](x, y) zu Grunde gelegt wird.

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Ueber Differentialgeometrie existieren noch einige gute Darlegungen. Eine verdankt man Hoppe; sie traegt den Titel: _Elemente der Flaechentheorie_; eine andere wurde von Brisse unternommen;[388] die neuesten sind die von Bianchi in seinen sehr schoenen _Lezioni di geometria differenziale_ (Pisa, 1886) und die, welche Darboux in seinen _Lecons sur la theorie generale des surfaces_ begonnen hat, von denen wir schon den ersten Teil besitzen (Paris, 1887).

Wir wollen diesen Abschnitt beschliessen, indem wir noch bemerken, dass die Zuhilfenahme der Analysis fuer das Studium der Infinitesimalgeometrie nicht notwendig ist; vielmehr haben Bertrand[389] und Bonnet[390] zuerst gezeigt, welchen Nutzen man bei diesen Studien auch aus synthetischen Betrachtungen ziehen kann. Ausserdem enthalten der erste Band des _Traite de calcul differential et integral_ von Bertrand und der _Traite de geometrie descriptive_ von de la Gournerie[391] und eine grosse Zahl von ueberaus schoenen Abhandlungen von Mannheim[392] bemerkenswerte geometrische Untersuchungen, welche dem Zweige der Wissenschaft des Raumes, mit dem wir uns eben beschaeftigt haben, angehoeren.

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IV.

Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. Abzaehlende Geometrie.

Bei der Besprechung der bedeutenderen Fortschritte, welche die Theorie der Kurven und die der Oberflaechen gemacht, haben wir zwei wichtige Kategorien der Untersuchung uebergangen, weil wir dieselben besser in einem besonderen Abschnitte unserer Arbeit zusammenfassen koennen.

Die erstere umfasst eine Reihe von Studien besonderer Natur und hat zum Zwecke die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven und Oberflaechen von gegebener Ordnung annehmen koennen, und ich halte es fuer angemessen, bei diesen eine Zeit lang zu verweilen.

Die Bestimmung der Gestalt der Kurven zweiter Ordnung reicht schon in das Altertum. Fuer dieselbe bedurfte es auch nicht eines hervorragenden Geistes, wenn man bedenkt, dass die Alten jene Kurven als Schnitte eines Kreiskegels betrachteten.

Dagegen ist die Bestimmung der Gestalt, welche die Kurven dritter Ordnung annehmen koennen, nicht ohne Schwierigkeit. Newton ueberwand diese, indem er lehrte, dass alle Kurven dritter Ordnung durch Projektion von fuenfen derselben, welche er divergierende Parabeln nannte, erhalten werden koennen.[393] Zu dieser ersten Einteilung der Formen {61} der Kurven dritter Ordnung fuegte Chasles[394] eine weitere hinzu, die, obwohl sie auf einem ganz anderen Gedanken beruhte, mit der von Newton eine nicht zu verkennende Analogie bietet. Nach ihr kann man die Formen der Kurven dritter Ordnung saemtlich auffinden durch Projektion von fuenfen derselben, die symmetrisch in bezug auf ein Zentrum sind. Eine dritte Methode der Einteilung endlich stuetzt sich auf das konstante Doppelverhaeltnis der vier Tangenten, die man an die allgemeine Kurve dritter Ordnung von einem ihrer Punkte aus ziehen kann; diese wurde von Durege entwickelt.[395]

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Bei weitem groessere Schwierigkeit bietet das Studium der Gestalt der ebenen Kurven vierter Ordnung, die schon angefuehrten Arbeiten von Bragelogne, Euler und Pluecker bilden hierzu einen wichtigen Beitrag. Es scheint aber nicht, dass man diese -- dasselbe gilt auch von den schon genannten auf die kubische Kurve bezueglichen -- als die Grundlage zu einer allgemeinen Theorie der Gestalt der ebenen Kurven ansehen darf; vielmehr muss man dieselben als die ersten Vorlaeufer jener Lehren betrachten, die man heute als eine feste Grundlage dieser Theorie ansieht. Solche Lehren gehoeren in das Gebiet der synthetischen Geometrie, zum Teil aber waren sie das Resultat der Anwendung der Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft der Ausdehnung. Von den ersteren wurden einige von Staudt in seiner _Geometrie der Lage_[396] auseinandergesetzt und beziehen sich auf die Gestalten der ebenen Polygone und der Polyeder, die paaren und die unpaaren Zuege der Kurven, die Rueckkehrelemente der Figuren; andere wurden von Tait[397] angegeben und von J. Meyer entwickelt,[398] andere schliesslich von Hart angedeutet[399] und mit vielem Gluecke von E. Koetter verallgemeinert.[400] Die zweiten sind fast alle aus der Schule von Klein hervorgegangen. Da ich auf die vielen Einzelheiten dieses Gegenstandes nicht eingehen kann, so moege es hier genuegen, unter den schon erhaltenen Resultaten einige besondere Saetze ueber die Kurve vierter Ordnung anzufuehren, die man Zeuthen[401] und Crone[402] verdankt; dann {63} eine sehr wichtige Relation zwischen den Zahlen der reellen und imaginaeren Singularitaeten einer ebenen Kurve, zu welcher Klein gefuehrt wurde,[403] als er die von Pluecker[404] und Zeuthen vorgeschlagenen Klassifikationen der Kurven vierter Ordnung studierte; ferner einen sehr schoenen Lehrsatz,[405] von Harnack (1851-1888) entdeckt, welcher dadurch, dass er eine unerwartete Beziehung zwischen der Form einer Kurve und ihrem Geschlechte enthuellte, die Wichtigkeit des letzteren von neuem bestaetigte.

Wenn so die Theorie der Gestaltlichkeit der ebenen Kurven noch weit entfernt vom Zustand der Reife ist, so kann man von den analogen Untersuchungen ueber die Oberflaechen sagen, dass sie sich noch in ihrer Kindheit befinden. Allgemeine Untersuchungen auf diesem Felde existieren meines Wissens nicht, ausser denjenigen, die von Moebius in seiner _Theorie der elementaren Verwandtschaften_ niedergelegt sind,[406] und welche, so scharfsinnig und interessant sie auch sind, einen geschickten Nachfolger erwarten lassen, welcher die ganze Fuelle derselben zu Tage foerdert. Dasselbe gilt fuer gewisse originelle Gesichtspunkte, die in den vielen Arbeiten von Klein zerstreut sind. Fuer den Fortschritt der Geometrie wuerde es von hoechstem Interesse sein, beide weiter entwickelt zu sehen; ungluecklicherweise wird aber diese Theorie wenig betrieben, in den letzten Jahren ist vielleicht Rohn[407] der einzige, der hierin einige Fortschritte gemacht hat, die wert sind, verzeichnet zu werden.

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Wenn auch die allgemeine Theorie ein bis jetzt noch unbefriedigtes Beduerfnis ist, so fehlt es doch nicht an Spezialuntersuchungen. Die Bestimmung der Gestalt der Oberflaechen zweiten Grades uebergehe ich als zu einfach und fuehre die der Oberflaechen dritter Ordnung an, die mit Erfolg von Klein,[408] Schlaefli,[409] Zeuthen[410] gemacht ist, und neuerdings von Bauer durch die Untersuchung der Gestalt der parabolischen Kurve vervollstaendigt wurde;[411] ferner die der Dupinschen Cykliden, die wir Maxwell[412] verdanken; dann die der Oberflaechen vierter Ordnung mit Doppelkegelschnitt, die ebenfalls von Zeuthen[413] herruehrt; die der Oberflaechen vierter Ordnung mit Cuspidalkegelschnitt, die von Crone[414] ausgefuehrt ist; endlich die der Kummerschen Flaechen und der Kegelflaechen viertes Grades, welche der Gegenstand wichtiger Untersuchungen von Rohn[415] gewesen sind. Die reichhaltige Sammlung von Modellen von Ludwig Brill, die sich jedes Jahr um neue und interessante Serien vermehrt, zeigt das Interesse, welches das gelehrte Deutschland fuer vorliegende Untersuchungen hat.[416]

Was die Gestalt der Kurven doppelter Kruemmung angeht, so existieren darueber bis jetzt noch keine allgemeinen Untersuchungen von Bedeutung; man kann sagen, dass sich dieselben auf die Beobachtungen beschraenken, die Chr. Wiener[417] {65} und Bjoerling[418] gemacht haben, indem sie die Modelle der gewoehnlichen Singularitaeten einer Raumkurve konstruierten.

Eine zahllose Reihe wichtiger Untersuchungen hat die Bestimmung der Anzahl der geometrischen Gebilde zum Ziele, welche Bedingungen genuegen, die hinreichen, eine endliche Zahl derselben festzulegen. Der Bezoutsche Lehrsatz, welcher die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systems von algebraischen Gleichungen angiebt, ist fast immer nicht verwendbar fuer die Loesung solcher Fragen, da, waehrend dieser Satz auf allgemeine Gleichungen ihres Grades sich stuetzt, die Gleichungen, welche man bei dem Versuche, diese Probleme analytisch zu loesen, erhaelt, von spezieller Form sind. Wahrscheinlich ist das der Grund dafuer, dass diese Probleme groesstenteils bis in verhaeltnismaessig neuerer Zeit ungeloest geblieben sind.[419]

Auf Chasles faellt der Ruhm, in seiner _Methode der Charakteristiken_ ein feines und maechtiges Hilfsmittel gefunden zu haben (1864), mit dem er eine grosse Zahl von Problemen der angedeuteten Art fuer den Fall, dass die betrachteten Gebilde Kegelschnitte in einer Ebene sind, loesen konnte und einen Weg bahnte, um auch in dem Falle, wo die {66} Gebilde beliebige sind, zur Loesung derselben zu gelangen.[420] Der Hauptgedanke desselben war die fortwaehrende Betrachtung der ausgearteten Kurven und der systematische Gebrauch der Charakteristiken eines einfach-unendlichen Systemes von Kegelschnitten, d. h. der Zahlen, die angeben, wie viele Kegelschnitte des Systemes durch einen gegebenen Punkt gehen, wie viele eine gegebene Gerade beruehren.

Dadurch, dass man diese Begriffe weiter ausdehnte, konnte man Hilfsmittel erhalten, die auf andere Figuren anwendbar sind. Chasles selbst entdeckte alsbald die Anwendung seiner Untersuchungen auf die Kegelschnitte im Raume[421] und auf die Flaechen zweiter Ordnung.[422] Zeuthen und Maillard gaben neue Beispiele der Erweiterung, der eine in der wichtigen Abhandlung, die wir schon Gelegenheit hatten zu zitieren, _Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_,[423] der andere in seiner Dissertation _Recherches des caracteristiques des systemes elementaires de courbes {67} planes du troisieme ordre_;[424] andere findet der Leser in den Schriften von Sturm ueber die kubischen Raumkurven[425] und denen von Schubert ueber die ebenen Kurven dritter Ordnung und dritter und vierter Klasse, im Raume betrachtet.[426] Ferner sind die von Chasles gemachten Betrachtungen enge mit denjenigen verbunden, welche in den wichtigen Abhandlungen von Cayley, _On the curves which satisfy given conditions_[427] enthalten sind, sowie in einigen Arbeiten von Jonquieres ueber Systeme von Kurven und Flaechen.[428] Endlich gehoeren hierher noch die Untersuchungen von Hirst[429] und Sturm[430] ueber Systeme von Projektivitaeten und Korrelationen, sowie die von Zeuthen[431] ueber die Plueckerschen Charakteristiken der Enveloppen. Wir wollen noch bemerken, dass zwischen den Systemen ebener Kurven und den Differentialgleichungen erster Ordnung mit zwei Variabelen eine sehr innige Beziehung besteht, die sich zu erkennen giebt, indem die Integrale einer dieser Gleichungen ein System von Kurven darstellen. Die gegebene Differentialgleichung laesst jedem Punkte eine bestimmte Anzahl von ihm ausgehender Richtungen entsprechen und einer Geraden eine bestimmte Anzahl auf ihr liegender Punkte. Auf diese Beziehungen wurde Clebsch durch seine Untersuchungen ueber die Konnexe[432] (vgl. s. VI) und unabhaengig von Fouret[433] {68} gefuehrt. In aehnlicher Weise kann man eine Beziehung zwischen den Differentialgleichungen erster Ordnung mit drei Variabelen und einem Systeme von Oberflaechen aufstellen, wie dies ebenfalls Fouret[434] bemerkt hat. Dieser Zusammenhang ist von grosser Wichtigkeit, weil er gestattet, Saetze auf transcendente Kurven oder Oberflaechen auszudehnen, von denen man glaubte, dass sie nur fuer algebraische Kurven oder Oberflaechen gueltig seien; so konnte Fouret den Satz ueber die Zahl der Kurven eines Systemes, welche eine gegebene algebraische Kurve beruehren, auf Systeme von transcendenten Kurven ausdehnen,[435] konnte ferner die Ordnung des Ortes der Beruehrungspunkte eines einfach unendlichen Systemes von Oberflaechen mit den Oberflaechen eines doppelt unendlichen Systemes bestimmen,[436] ebenso die Ordnung des Ortes der Beruehrungspunkte der Oberflaechen eines doppelt unendlichen Systemes mit einer gegebenen algebraischen Oberflaeche[437] u. s. w.[438]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze wegen uebergehe, war die ganze Tragweite der Chaslesschen Betrachtungen noch nicht offenbar geworden; das geschah durch den letzten, von dem ich zu sprechen habe, durch Hermann Schubert in seinem _Kalkuel der abzaehlenden Geometrie_.[439] Dieses Buch, das noch viel zu wenig {69} geschaetzt wird, kann man mit Recht als dasjenige betrachten, welches zuerst von Grund auf das Problem behandelte, "zu bestimmen, wie viele geometrische Gebilde von gegebener Definition einer hinreichenden Zahl von Bedingungen genuegen," d. h. das Problem der abzaehlenden Geometrie. Dort sind die Korrespondenzprinzipien unter ihrem wahren Gesichtspunkte auseinandergesetzt,[440] dort ist klar eroertert, was man unter dem Charakteristikenproblem einer bestimmten Figur zu verstehen hat, und sind Methoden von ausserordentlicher Macht fuer dessen Loesung gezeigt. Die Schubertschen Methoden sind dazu bestimmt, eines Tages das uebliche Hilfsmittel fuer den Mathematiker zu werden, wie es augenblicklich die Cartesische Geometrie ist, und niemand wird mich der Uebertreibung beschuldigen, der bedenkt, dass dieselben in einer Unzahl von Faellen zur Loesung des allgemeinen Problemes der Elimination dienen, d. h. die Zahl der Loesungen eines Systemes von algebraischen Gleichungen zu bestimmen. Daher muessen alle, Analytiker und Geometer, dem Werke von Schubert, durch welches er die abzaehlende Geometrie zu einer besonderen Disziplin erhoben hat, reiches Lob zollen, oder besser, anstatt es blos zu bewundern, sich {70} vornehmen, die fruchtbaren Methoden desselben zu vervollkommnen und sie von Maengeln frei zu machen, d. h. sie von dem Tadel, der ihnen von einigen gemacht worden ist, dass sie nicht ganz strenge seien, zu befreien und sie selbst oder wenigstens die Anwendungen, deren sie faehig sind, zu vermehren.

Die auf die Theorie der Charakteristiken bezueglichen Andeutungen[441] wuerden eine unverzeihliche Luecke darbieten, wenn sie nicht einen Hinblick auf eine wichtige Frage boeten, die zwischen einigen Geometern ventiliert wurde, und die man heute als schon geloest betrachten darf. Geleitet naemlich durch einen Induktionsschluss, behauptete Chasles, dass die Zahl derjenigen Kegelschnitte eines einfach unendlichen Systemes, welche einer neuen einfachen Bedingung genuegen, ausgedrueckt wird durch eine homogene lineare Funktion der Charakteristiken des Systemes, deren Koeffizienten einzig und allein von dieser Bedingung abhaengen. Darboux,[442] Clebsch,[443] Lindemann,[444] Hurwitz und Schubert,[445] sowie noch andere glaubten diesen Satz beweisen zu koennen. Aber dass die von ihnen angefuehrten Gruende nicht beweiskraeftig waren, wurde in einer Reihe von Arbeiten gezeigt, in welchen Halphen[446] die Hinfaelligkeit der Vermutung Chasles' klar legte und zeigte, wie man den vorher angefuehrten Satz modifizieren muesse. In der Theorie der Charakteristiken der Systeme von Flaechen zweiten Grades hat man einen analogen Satz, den ebenfalls Halphen[447] entdeckt hat. Jedoch glaube man nicht, dass diese Saetze {71} von Halphen die Resultate zerstoeren, welche man erhalten, indem man den Chaslesschen Weg einschlug; vielmehr sind dieselben gluecklicherweise meistenteils unabhaengig von dem fraglichen Theorem, und fuer die anderen Faelle ist es leicht zu zeigen, welche Korrektionen man machen muss.[448]

* * * * *

V.

Theorie der Kurven doppelter Kruemmung.

Die Theorie der ebenen Kurven kann man in zwei verschiedenen Richtungen verallgemeinern. Indem man die Thatsache ins Auge fasst, dass eine solche Kurve durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes einer Ebene dargestellt wird, so ergiebt sich als Analogon im Raume die Theorie der Oberflaechen, indem diese als durch eine Gleichung zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume darstellbar betrachtet werden, auf welche Betrachtung wir im Vorhergehenden eingegangen sind. Wenn man hingegen eine ebene Kurve als eine Reihe von einfach unendlich vielen Punkten ansieht, so kann man die Theorie ausdehnen, indem man die Beschraenkung aufhebt, dass diese in einer Ebene gelegen seien: dann entsteht die Theorie der unebenen Kurven.

Das Studium der Infinitesimaleigenschaften derselben kann man leicht genug mit Hilfe von Methoden machen, die nicht sehr verschieden sind von denjenigen, die fuer die {72} ebenen Kurven angewandt werden. Deshalb wurde dasselbe, wie ich schon sagte, vor mehr als einem Jahrhundert von Clairaut unternommen und wurde hernach von Lancret (1774-1807),[449] Monge,[450] Tinseau,[451] de Saint-Venant (1797-1886),[452] von Frenet,[453] Alfred Serret[454] und Paul Serret, von Liouville (1809-1882),[455] Bertrand,[456] von Puiseux (1820-1883),[457] von Lie[458] und vielen anderen fortgesetzt.[459]

Aber abgesehen von dieser Betrachtungsrichtung bietet das Studium der uebrigen allgemeinen Eigenschaften der unebenen Kurven sehr grosse Schwierigkeiten. Man vermutete eine Zeit lang, dass jede Kurve im Raume als der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen angesehen werden und daher durch ein System von zwei Gleichungen zwischen den Koordinaten eines Punktes im Raume dargestellt werden koennte;[460] aber bald erkannte man die Existenz von Kurven, die nicht der vollstaendige Schnitt von Oberflaechen sind, und die Notwendigkeit, dieselben nicht vermittelst zweier, {73} sondern dreier Gleichungen darzustellen, die ebenso vielen durch dieselbe hindurchgehenden Oberflaechen entsprechen. Man setzte voraus, dass die Kenntnis der Ordnung zur Einteilung der unebenen Kurven hinreichen wuerde, aber sobald man an die vierte Ordnung gekommen war, erkannte man, dass dieselbe nicht genuege.[461] Man haette nun glauben sollen, dass die Ordnung und die Zahl der scheinbaren Doppelpunkte fuer den besagten Zweck hinreichen wuerden, aber als man an die neunte Ordnung herantrat, sah man, dass man sich geirrt habe.[462] Auch eine dritte Zahl, die niedrigste Ordnung der Kegel, die durch die von einem Punkte herkommenden Sehnen (Doppelsekanten) der Kurve gehen, konnte nur bei den Kurven von niederer, als der fuenfzehnten Ordnung dazu verhelfen. So kam man denn zu dem Schlusse, dass es unmoeglich sei, eine gegebene Kurve vermittelst einer bestimmten Menge von vornherein angebbarer Zahlen zu charakterisieren.

Ich habe diese Thatsachen anfuehren wollen, um zu zeigen, dass die allgemeine Theorie der unebenen Kurven keine Aehnlichkeit mit irgend einem anderen Teile der Geometrie zeigt und, indem ich auf die erschreckliche Dunkelheit, die sie darbietet, hinwies, dem Leser das Mittel geben wollen, den Grund zu finden, warum die Kenntnisse, die wir ueber diese Gebilde haben, so wenig zahlreich und erst neueren Ursprunges sind.

Die ersten allgemeinen Resultate ueber die Kurven doppelter Kruemmung verdanken wir Cayley, welcher ihnen zwei wichtige Abhandlungen gewidmet hat. In einer derselben stellte er die Formeln (analog denen von Pluecker) auf, welche die Zahl der Singularitaeten einer Raumkurve {74} untereinander verbinden.[463] In der anderen fuehrte er fuer das Studium der Raumkurven von der Ordnung n diejenigen bemerkenswerten Flaechen ein, welche er "Monoide" nannte.[464]