Part 3

Es ist allgemein bekannt, dass die beiden hervorragendsten Eigenschaften einer Flaeche dritter Ordnung die sind, 27 Gerade zu enthalten, und ein Pentaeder zu besitzen, welches zu Ecken die Doppelpunkte und zu Kanten die Geraden der Hesseschen Flaeche jener Oberflaeche hat. England und Deutschland koennen sich um die Ehre, sie entdeckt zu haben, streiten. Wenn auch schon im Jahre 1849 Cayley und Salmon[153] die Geraden einer kubischen Flaeche bestimmt haben, und im Jahre 1851 Sylvester[154] das Pentaeder entdeckte, so ist doch nicht minder wahr, dass Steiner unabhaengig von ihnen die Existenz jener und dieses in seiner beruehmten Mitteilung, welche er der Berliner Akademie im Jahre 1853 machte, behauptet hat.[155] Aber waehrend die Studien der englischen Geometer fast gaenzlich der Fortsetzung entbehren,[156] steht die Arbeit von Steiner an der Spitze einer langen Reihe von Schriften, durch welche die Theorie der Oberflaechen dritter Ordnung schnell einen ungehofften Grad der Vollendung erhielt. Indem ich die Abhandlungen von Schroeter,[157] August[158] u. s. w., in welchen einige der von Steiner ausgesprochenen Saetze bewiesen werden, nur kurz erwaehne, will ich mich darauf beschraenken, die Aufmerksamkeit der Leser auf die mit Recht beruehmten Schriften zu lenken, die von {37} Cremona[159] und von Sturm[160] ueber diese Oberflaechen verfasst und im Jahre 1866 von der Berliner Akademie mit dem Steiner-Preise gekroent sind, Arbeiten, auf welche jeder zurueckkommen muss, welcher sich mit diesen wichtigen geometrischen Gebilden vertraut machen will. Ich kann mich nicht aufhalten bei den verschiedenen Erzeugungsweisen einer Flaeche dritter Ordnung, die Grassmann,[161] August,[162] Affolter[163] und Piquet[164] den von Steiner angegebenen hinzugefuegt haben, bei der Konstruktion dieser Flaechen, welche Le Paige[165] gegeben hat, bei den vielen Saetzen, die sich auf die Verteilung der Geraden, der dreifach beruehrenden Ebenen und die Kurven einer kubischen Flaeche beziehen und welche vor kurzem von Cremona,[166] Affolter,[167] von Sturm[168] und Bertini[169] entdeckt wurden, endlich bei den von Cremona,[170] Caporali,[171] Reye[172] und Beltrami[173] studierten Eigenschaften gewisser Hexaeder, welche mit einer Flaeche dritter Ordnung verknuepft sind, sowie bei den von Zeuthen[174] betrachteten zwoelf {38} vollstaendigen, in sie einbeschriebenen Pentaedern. Ich will noch anfuehren, dass eine Einteilung dieser Oberflaechen, die auf die Betrachtung der 27 auf ihr gelegenen Geraden sich stuetzt, von Schlaefli gemacht ist[175] und eine neuere von Rodenberg,[176] die sich auf das Pentaeder gruendet, dass ferner ein genaues und eingehendes Studium der Regelflaechen dritten Grades (von denen eine von Cayley entdeckt wurde) den Gegenstand wertvoller Arbeiten Cremonas,[177] Em. Weyrs[178] und Benno Kleins[179] bildet, dass schliesslich die sogenannte Diagonalflaeche einen wichtigen Teil in einer Untersuchung von Clebsch ueber die Gleichungen fuenftes Grades bildet[180] und dass andere besondere Faelle von Cayley[181] und Eckardt[182] in einigen wertvollen Abhandlungen betrachtet wurden. Wenn ich dann noch gesagt habe, dass die Untersuchungen von Salmon,[183] Clebsch,[184] Gordan[185] und de Paolis[186] die {39} geometrische Bedeutung fuer das Verschwinden der fundamentalen invarianten Formen der quaternaeren kubischen Form festgestellt haben, welche gleich Null gesetzt in homogenen Koordinaten eine Flaeche dritter Ordnung darstellt, dass schliesslich Jordan[187] von Grund auf die Natur der Gleichung studiert hat, welche zur Bestimmung der Geraden einer kubischen Flaeche dient, dann glaube ich dem Leser genug Momente an die Hand gegeben zu haben, um daraus den (von mir eben angedeuteten) Schluss zu ziehen, dass die Theorie dieser geometrischen Gebilde, von welchem Punkte man sie auch betrachten mag, heute einen beachtenswerten Grad der Vollendung erreicht hat.

Solches kann man jedoch nicht von der Theorie der Oberflaechen vierten Grades behaupten, vielmehr sind von ihnen nur wenige Klassen genauer studiert; ueber jede derselben werde ich kurz sprechen. An die erste Stelle will ich die Developpabele vierter Klasse setzen, die zweien Flaechen zweiten Grades umbeschrieben ist, und die geradlinigen Flaechen vierten Grades; jene wurde von Poncelet[188] und Chasles[189] untersucht, diese von demselben Chasles,[190] von Cayley[191] und vollstaendiger von Cremona.[192]

Dann lasse ich die Oberflaechen vierter Ordnung folgen, auf welchen Scharen von Kegelschnitten existieren und welche alle mit ausserordentlichem Scharfsinne von Kummer[193] bestimmt wurden. Unter diesen sind zwei besonderer Erwaehnung wert, da sie das Objekt zahlreicher Untersuchungen gewesen sind: die Oberflaeche vierter Ordnung mit einem Doppelkegelschnitt und die roemische Flaeche von Steiner.

Von der ersteren entdeckte Kummer im Jahre 1864 die bemerkenswerte Eigenschaft, dass die ihr doppelt {40} umgeschriebene Developpabele aus fuenf Kegeln zweiter Ordnung besteht. Gleichzeitig fand Moutard[194] dieselbe Eigenschaft fuer den Fall, dass die Doppelkurve der Oberflaeche der unendlich entfernte imaginaere Kugelkreis ist,[195] und er bemerkte weiter gleichzeitig mit Darboux,[196] dass in diesem Falle die Oberflaeche zu einem dreifachen Systeme von orthogonalen Oberflaechen, gebildet von Flaechen derselben Art, gehoeren kann. Von jener Zeit ab wurden die Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve den unendlich entfernten imaginaeren Kugelkreis haben, wiederholt von Darboux,[197] von Laguerre (1834-1886)[198] und von Casey[199] studiert; hingegen diejenigen, welche als Doppelkurve einen beliebigen Kegelschnitt besitzen, von Cremona,[200] Geiser,[201] Sturm,[202] Zeuthen,[203] von Clebsch,[204] Korndoerfer,[205] Berzolari[206] und Domsch[207] -- welcher auf sie die hyperelliptischen Funktionen anwandte -- und diejenigen, welche einen Kuspidalkegelschnitt haben, von Toetoessy.[208] Was die Klassifikation dieser Oberflaechen betrifft, so moege {41} es mir gestattet sein, meinen Namen anzufuehren[209] neben dem meines teuern Freundes Segre.[210]

Die roemische Flaeche von Steiner hat wiederholt die Aufmerksamkeit der Geometer auf sich gezogen und zwar vorzueglich zweier Eigenschaften wegen; die eine derselben, naemlich von jeder Tangentialebene in zwei Kegelschnitten getroffen zu werden, wurde besonders von den Synthetikern betrachtet, die andere, dass die homogenen Koordinaten ihrer Punkte sich als ganz allgemeine ternaere quadratische Formen darstellen lassen,[211] wurde mehr von den analytischen Geometern verwertet. Wer Lust hat, alle Eigenschaften, die sie besitzt, kennen zu lernen,[212] wird dieselben in den synthetischen Abhandlungen von Cremona,[213] Schroeter[214] und Sturm,[215] auf den Seiten, welche Reye ihr in seiner {42} _Geometrie der Lage_ (2. Bd.) gewidmet hat, und in den analytischen Abhandlungen von Cayley,[216] Beltrami,[217] Clebsch,[218] Eckardt,[219] Laguerre[220] und Gerbaldi[221] finden.

Kummer verdanken wir auch die Kenntnis einer anderen wichtigen Klasse von Flaechen vierter Ordnung; dieselbe besteht aus Oberflaechen, die nicht singulaere Linien enthalten, sondern nur singulaere Punkte.[222] Wir werden in kurzem (s. VII) sehen, welche Untersuchungen Kummer zu diesen Oberflaechen gefuehrt haben; fuer jetzt genuege es, hervorzuheben, dass die interessanteste unter ihnen (welche man heute die Kummersche Oberflaeche nennt) 16 singulaere Doppelpunkte und 16 singulaere Tangentialebenen hat und dass Specialfaelle derselben die Wellenflaeche von Fresnel[223] und das von Cayley 1846 untersuchte Tetraedroid[224] sind. Eine solche Oberflaeche ist zu sich selbst dual.[225] Ihre {43} asymptotischen Kurven wurden von Klein und Lie bestimmt[226] und Reye[227] zeigte, dass jede die Grundkurve eine Bueschels von Oberflaechen vierter Ordnung ist; zwischen ihnen und den Thetafunktionen existiert eine innige Beziehung, welche Cayley und Borchardt (1817-1880)[228] entdeckt haben und die H. Weber[229] zusammen mit anderen entwickelt hat;[230] die algebraischen Fragen, welche sich an die Bestimmung ihrer Singularitaeten knuepfen, wurden von Jordan[231] geloest; endlich kann man dieselbe, wie Rohn[232] es gethan hat, vermittelst der Theorie der hyperelliptischen Funktionen[233] behandeln.

Indem ich die Oberflaechen vierter Ordnung, welche als Doppelkurve einen in zwei getrennte oder zusammenfallende Gerade degenerierten Kegelschnitt haben und andere, mit denen Cayley[234] sich beschaeftigt hat, uebergehe, will ich noch die Monoide erwaehnen,[235] die von Rohn studiert sind,[236] und {44} diejenigen Flaechen, welche, ohne geradlinig zu sein, eine gewisse Anzahl von Geraden enthalten. Dieselben sind der Ort der Punkte, in welchen vier entsprechende Ebenen von vier kollinearen Raeumen sich schneiden; Chasles hat ihre Ordnung bestimmt und Schur eine Menge eleganter Eigenschaften derselben gefunden.[237]

Ich will diesen Abschnitt meiner Musterung beschliessen, indem ich noch einige Oberflaechen von hoeherer als der vierten Ordnung anfuehre, welche die Gelehrten schon beschaeftigten. Zuerst verdienen die geradlinigen Oberflaechen erwaehnt zu werden, welche im allgemeinen von Chasles,[238] Salmon,[239] Cayley,[240] von Pluecker,[241] La Gournerie (1814-1883),[242] Voss[243] und im besonderen von Chasles,[244] Cremona,[244] Schwarz,[245] La Gournerie[246] (Regelflaechen, die in bezug auf ein Tetraeder symmetrisch sind), von {45} Clebsch,[247] Armenante[248] (rationale und elliptische Regelflaechen), von Em. Weyr[249] (Regelflaechen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier gerader Punktreihen in der Korrespondenz [m, n]), von Ed. Weyr[250] (Oberflaechen, erzeugt durch die Bewegung eines variabelen Kegelschnittes), von Eckardt[251] und Chizzoni[252] (Regelflaechen, erzeugt durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier ebener projektiv bezogener Kurven). Dann folgen solche, die, wenn sie auch nicht Regelflaechen sind, doch Gerade enthalten und die von Sturm[253] und Affolter[254] untersucht sind, ferner die algebraischen Minimalflaechen, bei welchen Geiser[255] und Lie[256] bemerkenswerte Eigentuemlichkeiten fanden. Dann will ich noch einige Flaechen nennen, die aus einer Oberflaeche zweiten Grades abgeleitet sind (Ort der Kruemmungscentren; Fusspunktflaechen, Aspidalflaechen etc.), sowie die Oerter der Spitzen der Kegel zweiten Grades, die m Gerade beruehren und durch (6-m) Punkte gehen, welche Flaechen eingehend von Chasles,[257] Lueroth,[258] Hierholzer[259] und von Cayley[260] studiert wurden, da sie zur Aufloesung gewisser Probleme aus der Theorie der Charakteristiken der einfach unendlichen Systeme von Kegeln zweiter Ordnung dienten; schliesslich diejenigen, welche unendlich viele lineare {46} Transformationen zulassen, die kontinuierlich aufeinander folgen;[261] diejenigen, welche die eigenen reziproken Polaren in bezug auf unendlich viele Flaechen zweiten Grades sind,[262] diejenigen, welche durch reciproke Cremonasche Systeme erzeugt werden,[263] und diejenigen, welche dieselben Symmetrie-Ebenen wie ein regulaeres Polyeder besitzen.[264]

Die Untersuchungen ueber die Oberflaechen, mit denen wir uns bis jetzt beschaeftigt haben, behandeln Eigenschaften, welche vermittelst einer wohl bekannten Betrachtungsweise auf das Gebiet der projektiven Geometrie zurueckgefuehrt sind oder sich darauf zurueckfuehren lassen. Es giebt aber noch viele andere Untersuchungen, welche Eigenschaften von ganz anderer Art behandeln, die groesstenteils auf keine Weise sich als projektiv betrachten lassen, da die Gruppe der Transformationen, die zu ihnen gehoert, nicht die der projektiven Geometrie ist.[265] Diese bilden zusammen mit den Studien, die sich auf die Infinitesimaleigenschaften der Raumkurven beziehen (ueber welche wir einiges im folgenden Paragraphen sagen werden), einen sehr wichtigen Zweig der Geometrie fuer sich sowohl, als auch wegen der Anwendungen, welche man von ihnen in der Geodaesie und der mathematischen Physik machen kann; man kennt ihn unter dem Namen der Differentialgeometrie. Ueber die wesentlichen Punkte derselben wollen wir nun einiges sagen. Und da man den Ursprung dieses Teiles der Geometrie von dem Erscheinen der _Application de l'Analyse a la Geometrie_[266] {47} von Monge datieren kann, und das spaetere Werk, welches von groesserem Einfluesse war, das von Gauss (1777-1855) ist, welches den Titel traegt: _Disquisitiones generales circa superficies curvas_,[267] so nehmen wir in unserer kurzen Darlegung die von Monge und Gauss angenommene Einteilung des Stoffes als Anhalt, indem wir zuerst besprechen, was diese selbst in Hinsicht auf die von ihnen behandelten Gegenstaende geleistet haben, und dann vorfuehren, was ihre Nachfolger hinzugefuegt haben.

Der erste Paragraph des Mongeschen Werkes bietet kein besonderes Interesse, da er nur die Bestimmung der Beruehrungsebenen und Normalen einer Oberflaeche zum Zwecke hat; er kann also als Einleitung betrachtet werden. Die vier folgenden Paragraphen behandeln cylindrische Oberflaechen, Kegel- und Rotationsflaechen und solche, welche (um einen modernen Ausdruck zu gebrauchen) in einer linearen Kongruenz mit einer unendlich fernen Leitgeraden enthalten sind. Hoechst bemerkenswert ist der folgende Paragraph, indem Monge dort bei der Besprechung der Enveloppen den wichtigen Begriff der Charakteristik und der Rueckkehrkurve (_arete de rebroussement_) einer Enveloppe eingefuehrt hat; an diesen Paragraphen schliessen sich die drei folgenden enge an; sie behandeln Roehrenflaechen mit ebener Leitlinie (s. 7), Flaechen, die als Linien groesster Neigung gegen eine gegebene Ebene Gerade von konstanter Neigung haben (s. 8), und schliesslich Enveloppen einer Oberflaeche, die sich unter der Bedingung bewegt, dass ein mit ihr unveraenderlich verbundener Punkt eine gegebene Kurve durchlaeuft (s. 9).[268] -- Von da ab beginnt die Theorie der partiellen {48} Differentialgleichungen die wichtige Rolle zu spielen, die Monge ihr in der analytischen Geometrie zugewiesen hat; von diesem Punkte an zeigt es sich, dass es in vielen Faellen fuer die Bestimmung der Natur einer Oberflaeche nuetzlicher und bequemer ist, eine Differentialgleichung fuer sie zu haben, als eine solche in endlichen Ausdruecken. Beispiele hierfuer bieten die Flaechen, die in einem speziellen linearen Komplexe enthalten sind mit einer unendlich fernen oder endlichen Axe (von Monge im s. 10 und s. 11 behandelt), fernere Beispiele die abwickelbaren Flaechen (s. 12), andere die im s. 9 beschriebenen, andere schliesslich die Oerter beweglicher Kurven, von welchen ein Punkt eine feste Kurve durchlaeuft (s. 14).[269] -- Die Theorie der Kruemmung einer Oberflaeche in einem Punkte,[270] sowie das Studium der Verteilung der Normalen derselben Flaeche[271] fuehren zu einer neuen Art von Flaechen, die der Betrachtung wert sind; jene und diese finden sich im s. 15, der sicherlich einer der wichtigsten des Mongeschen Werkes ist. Der Spezialfall des Ellipsoides ist im s. 16 behandelt, derselbe enthaelt die Bestimmung der Kruemmungslinien dieser Flaeche.[272] -- Gross an Zahl und von grosser Wichtigkeit sind die Fragen, zu denen die Theorie der Kruemmung Anlass giebt. Man kann z. B. die Oberflaechen untersuchen, bei denen der eine Kruemmungsradius fuer jeden Punkt denselben Wert hat; Monge fand (s. 18), dass dieselben von einer Flaeche von konstanter Form eingehuellt werden, die sich in der {49} vorhin (in den ss. 9 und 13) angegebenen Weise bewegt. Man kann dagegen auch voraussetzen, dass in jedem Punkte die beiden Kruemmungsradien gleich und von gleichem Sinne seien: die Oberflaeche ist dann eine Kugel. Wenn dagegen die beiden Kruemmungsradien in jedem Punkte gleich, aber von entgegengesetztem Sinne sind, so ist die Flaeche eine Minimalflaeche.[273] Oder es sei in jedem Punkte einer der Kruemmungsradien gleich gross (s. 21).[274]

An die Theorie der Kruemmung schliessen sich dann die Studien ueber die Roehrenflaechen mit beliebiger Leitkurve (ss. 22 und 26) und ueber diejenigen Flaechen, bei welchen alle Normalen eine gegebene Kugel (s. 23), einen gegebenen Kegel (s. 24) oder eine gegebene Developpabele (s. 25) beruehren. -- Fuer einige dieser Flaechenfamilien hat Monge die Konstruktion angegeben, fuer alle die Gleichungen, sei es die Differentialgleichungen oder die endlichen, und, da er sich das Problem gestellt und geloest hat, von jenen zu diesen zu gelangen, so verdient denn sein grosses Werk, dass es auch von denen, welche sich mit der Analysis des Unendlichen beschaeftigen, eingehend studiert werde.

Kurz nach dem Erscheinen des Werkes von Monge wurde die Differentialgeometrie durch eine hoechst wichtige Arbeit bereichert, die _Developpements de Geometrie_ von Ch. Dupin (1813). In derselben wird unter anderem der Begriff der konjugierten Tangenten eines Punktes einer Oberflaeche und der der Indikatrix eingefuehrt; dort sind die asymptotischen Linien (Haupttangentenkurven)[275] untersucht, und {50} der beruehmte Satz bewiesen, der unter dem Namen des Dupinschen Theorems allgemein bekannt ist.

Als Fortsetzung des Mongeschen Werkes kann man die zahlreichen Untersuchungen ueber Flaechen mit ebenen oder sphaerischen Kruemmungslinien ansehen, die man Dupin,[276] Alfred Serret (1819-1885),[277] O. Bonnet,[278] Dini,[279] Enneper (1830-1885),[280] Darboux,[281] Picart,[282] Lecornu,[283] Dobriner,[284] Voretsch[285] und anderen verdankt.

Von derselben Art, aber von groesserer Allgemeinheit sind die wichtigen Untersuchungen von Weingarten ueber solche Oberflaechen, bei denen in jedem Punkte der eine Kruemmungsradius eine Funktion des anderen ist,[286] welche Untersuchungen Dini (a. O.), Beltrami[287] und Lie[288] zur Bestimmung der windschiefen Oberflaechen mit derselben Eigenschaft gefuehrt haben. Dasselbe kann man von den Untersuchungen sagen, welche man ebenfalls Weingarten verdankt[289] und die sich auf Oberflaechen beziehen, deren Normalen eine andere vorgelegte Oberflaeche beruehren. -- Dem s. 20 des Mongeschen Werkes koennen wir die {51} zahlreichen Abhandlungen anschliessen, welche die Minimalflaechen behandeln. Wir fuehren zunaechst die von Steiner[290] und Weierstrass[291] an, die sich mit der allgemeinen Theorie befassen, dann die von Scherk[292] und Bonnet,[293] welche einige Spezialfaelle derselben bearbeitet haben; Serret[294] beschaeftigte sich dann mit solchen, die durch zwei Gerade hindurch gehen, Riemann[295] und Weierstrass[296] mit solchen, die einen gegebenen Umriss haben, Geiser[297] mit algebraischen, Noevius[298] mit solchen periodischen, welche unendlich viele Geraden und unendlich viele ebene geodaetische Linien besitzen; Catalan[299] mit solchen, die als geodaetische Linie eine Parabel haben, Henneberg[300] mit denen, welche eine semikubische Parabel als geodaetische Linie haben; Bonnet[301] untersuchte solche, auf welchen sich eine Schar von ebenen Kruemmungslinien befindet; Bour[302] diejenigen, welche auf eine Rotationsflaeche sich abwickeln lassen; Schwarz solche, die durch ein windschiefes Vierseit bestimmt sind[303] oder die von Kegeln eingehuellt sind,[304] und solche, die ohne algebraisch zu sein, doch algebraische Kurven enthalten;[305] {52} Enneper[306] untersuchte diejenigen, welche unendlich viele Kreise enthalten, u. s. w. Andere Fragen wurden von Mathet[307] behandelt, von Beltrami,[308] von Lie,[309] Kiepert,[310] Henneberg,[311] Ribaucour,[312] Bianchi[313] und Pincherle.[314] Schliesslich ist die Theorie der Minimalflaechen einer bemerkenswerten Erweiterung faehig, die von Lipschitz[315] entdeckt wurde.

Wir gehen jetzt dazu ueber, kurz auseinander zu setzen, welches die hervorragenderen Stellen des zweiten Werkes sind, dem wir, wie schon gesagt, die wichtigsten Lehren der Differentialgeometrie verdanken, der _Disquisitiones generales circa superficies curvas_ von Gauss.

Schon zu Ende des ersten Paragraphen derselben finden wir einen hoechst wichtigen Begriff, naemlich den der sphaerischen Abbildung einer Oberflaeche, dessen Fruchtbarkeit vielfache Anwendungen, die von ihm gemacht sind, dargethan haben. Kurz darauf (s. IV) treffen wir die zwei unabhaengigen Veraenderlichen, vermittelst derer man die Koordinaten der Punkte einer Oberflaeche ausdrueckt, d. h. die krummlinigen Koordinaten auf einer Oberflaeche. (Vgl. auch die ss. XVII und XIX). Dann enthaelt s. VI die Erweiterung der Betrachtung, die man gewoehnlich zur Grundlage der Theorie der Kruemmung der ebenen und unebenen Kurven nimmt, auf den Raum, aus welcher Erweiterung der Begriff des Kruemmungsmasses einer Oberflaeche in einem {53} gewoehnlichen Punkte hervorgegangen ist.[316] Bekanntlich ist dasselbe gleich dem Produkte aus den beiden Hauptkruemmungsradien der Flaeche in jenem Punkte[317] (s. VIII). Das Kruemmungsmass einer Oberflaeche kann man sowohl durch die gewoehnlichen kartesischen Koordinaten (ss. VII und IX) als auch durch die krummlinigen Koordinaten der Oberflaeche ausdruecken (ss. X und XI).[318]

Bei der Untersuchung dieses letzteren Ausdruckes bieten sich die Coefficienten E, F, G des Ausdruckes des Kurvenelementes dar, deren Bedeutung in der Theorie der Oberflaechen, die auf eine andere abwickelbar sind[319] (s. XII), Gauss zuerst hervorgehoben hat. Dabei stellte er eine neue Betrachtungsweise der Oberflaechen auf (s. XIII), indem er dieselben als unendlich duenne, biegsame und unausdehnbare Koerper ansah. Die folgenden Paragraphen der Abhandlung von Gauss behandeln die geodaetischen Linien und haben die Bestimmung ihrer Differentialgleichungen zum Zwecke (s. XIV und XVIII), dann die Uebertragung der Polarkoordinaten, des Kreises (s. XV), der Parallelkurven (ss. XVI), auf die Geometrie auf einer Oberflaeche, sowie die Berechnung der totalen Kruemmung eines geodaetischen Dreiecks (s. XX). Die ss. XXI und XXII beziehen sich auf die Transformation des Ausdruckes fuer das Kurvenelement, die uebrigen behandeln andere Fragen aus der Geodaesie und duerften daher unsere Aufmerksamkeit nicht auf sich ziehen.

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Schon aus diesen fluechtigen Andeutungen ersieht man, wie reich an fundamentalen Begriffen die Abhandlung von Gauss ist. Die Entwickelungen, die sie gehabt, und die vielen Arbeiten, welche sie hervorgerufen, und von denen wir noch kurz zu sprechen haben, werden ihre Bedeutung noch klarer machen. Unter diesen Arbeiten muss man den schoenen _Ricerche di analisi applicata alla geometria_, die Beltrami im zweiten und dritten Bande des _Giornale di Matematiche_ veroeffentlicht hat, eine hervorragende Stelle einraeumen, dann den Abhandlungen von demselben Verfasser _Dalle variabili complesse su una superficie qualunque_,[320] _Teoria generale dei parametri differenziali_[321] und _Zur Theorie des Kruemmungsmasses_.[322] Bemerkenswert sind ferner die Studien von Bonnet[323] und von Darboux[324] ueber die sphaerische Abbildung der Oberflaechen, die sich an die ersten in den _Disquisitiones_ enthaltenen Untersuchungen anknuepfen. Der Begriff der Kruemmung fuehrte zum Studium der Oberflaechen mit konstanter (positiver oder negativer) Kruemmung, dem so viele ausgezeichnete Geometer ihre Kraefte gewidmet haben. Unter diesen fuehren wir die zwei Arbeiten von Beltrami an: _Risoluzione del problema. Riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le geodetiche vengano rappresentate da linee rette_[325] und _Saggio di una interpretazione della Geometria non-euclidea_,[326] dann die Schriften von Dini,[327] Lie,[328] {55} Bianchi,[329] Baeklund,[330] Darboux[331] und Dobriner.[332] Von derselben Art, aber allgemeiner, sind die Studien von Christoffel[333] ueber die Bestimmung der Gestalt einer Oberflaeche mit Hilfe von auf ihr selbst genommenen Massen und von Lipschitz[334] ueber die Oberflaechen, welche bestimmte auf die Kruemmung bezuegliche Eigenschaften haben, oder bei welchen der Ausdruck des Kurvenelements von vornherein festgesetzt ist.