Part 2

Der _Geometrie descriptive_ von Monge darf man die _Geometrie de position_ von Carnot[33] an die Seite stellen, weil diese, indem sie mit jener das Ziel gemeinsam hat, der Geometrie diejenige Allgemeinheit zu verschaffen, welche man ausschliesslich der Analysis zugetraut hatte, nicht weniger als jene dazu beitrug, den Aufschwung der reinen Geometrie vorzubereiten, welchen man von dem Erscheinen des _Traite des proprietes projectives des figures_ (1822)[34] datieren kann.

Um zu ueberzeugen, wie bemerkenswert dieses Datum sei, wird es genuegen, zu erwaehnen, dass gerade in dem {16} grossen Werke von Poncelet die Macht der Zentralprojektion als einer Methode der Demonstration und des Prinzips der Kontinuitaet als eines Untersuchungsmittels zum ersten Male gezeigt ist;[35] dass das tiefere Studium der Homologie zweier ebener oder raeumlicher Systeme in demselben zum Begriffe der Korrespondenz zwischen zwei Mannigfaltigkeiten zweier oder dreier Dimensionen fuehrte; dass die Kenntnisse der Alten ueber die Polaritaet in Bezug auf einen Kegelschnitt und die von der Mongeschen Schule gewonnenen ueber die Polaritaet in Bezug auf eine Flaeche zweiter Ordnung, die dort zum ersten Male sich vereinigt finden, das Gesetz der Dualitaet vorbereiteten, welches, von Snellius (1581-1626)[36] und Viete[37] in der sphaerischen Geometrie erkannt, bestimmt war, in seiner ganzen Allgemeinheit vier Jahre spaeter von Gergonne (1771-1859)[38] ausgesprochen zu werden; dass sich schliesslich dort jene eleganten Untersuchungen ueber die Vielecke, die einem Kegelschnitt ein- und einem anderen umbeschrieben sind, finden, die Jacobi (1804-1851), Richelot (1808-1875) und anderen Gelegenheit geben sollten, davon eine der elegantesten Anwendungen der Theorie der elliptischen Funktionen zu machen, welche man kennt.[39]

Die Abhandlungen, welche Poncelet der Theorie der harmonischen Mittel, der reciproken Polaren und der {17} Transversalen widmete, sowie andere weniger bedeutende von Gelehrten, welche zur Mongeschen Schule gehoerten, fuehren uns zum Jahre 1837, in welchem Chasles' (1796-1880) _Apercu historique sur l'origine et le developpement des methodes en geometrie_[40] veroeffentlicht wurde. In diesem unuebertrefflichen Werke brachte der Autor, nachdem er in bewunderungswerter Form alles, was das Erbteil der reinen Geometrie in seiner Zeit bildete, zusammengestellt hatte, die Rechte zur Geltung, die sie auf die Beachtung der Gelehrten hatte und welche von den blinden Anbetern der Analysis ihr versagt worden waren, und zeigte durch wichtige und originelle Untersuchungen, mit welchem Rechte er sich zum Beschuetzer der Sache der Geometrie gemacht hatte.[41]

Jedoch in dem Zeitraume, welcher zwischen dem Erscheinen des Ponceletschen Werkes und desjenigen von Chasles liegt, hatte sich Deutschland aus dem Schlafe geruettelt, in welchen die einschlaefernden Arbeiten der Schule {18} der Kombinatoriker es versetzt hatten. Dieses Wiedererwachen bedeutete einen neuen Uebergang des Szepters der Mathematik von Frankreich nach Deutschland.[42] In der That sehen wir durch die Arbeiten von Gelehrten wie Moebius (1790-1868),[43] Steiner (1796-1863),[44] {19} Pluecker (1801-1868)[45] und von Staudt (1798-1867)[46] die analytische Geometrie sich mit Methoden bereichern, von denen wir nicht wissen, ob wir mehr ihre Eleganz oder ihre Macht bewundern sollen, so der Barycentrische Calcul und die abgekuerzte Bezeichnung; wir sehen die synthetische Geometrie Hilfsmittel erwerben fuer das Studium, der Kurven und Oberflaechen, die bis dahin fuer dieselbe unerreichbar {20} waren, sowie fuer die Gruendung einer reinen Geometrie der Lage, die ganz und gar unabhaengig ist von dem Begriffe des Masses. Dank dem von Crelle (1780-1855) in dieser Zeit gegruendeten Journal (1826), das bald zu verdientem Rufe gelangte, vorzueglich durch die Abhandlungen Abels (1802-1829), Jacobis und Steiners verbreiteten sich die eben angefuehrten Resultate schnell. Und so sehen wir hinter diesen Groessen eine zahlreiche und glaenzende Anzahl von Schuelern, welche, indem sie Aehren lasen auf den Feldern, die von ihren Meistern bebaut waren, die Fruchtbarkeit des Samens zeigten, den jene ausgestreut hatten.

Hiermit will ich den Abriss der geistigen Bewegung, welche die neuesten geometrischen Untersuchungen vorbereitet hat, geschlossen haben und ich muss mich nun im einzelnen mit denselben befassen. Um mir nun die vorgenommene Aufgabe der Darlegung derselben zu erleichtern, werde ich meine Darstellung in verschiedene Teile teilen. Zuerst will ich mich mit der Theorie der ebenen Kurven und der Oberflaechen beschaeftigen, dann, nach einer kurzen Abschweifung zu den Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen und ueber die abzaehlende Geometrie, werde ich mich mit den Studien ueber die Raumkurven befassen, um davon zur Darlegung des Ursprunges und der Entwickelung der Lehre von den geometrischen Transformationen ueberzugehen; darauf wende ich mich zur Geometrie der Geraden, um dann mit der Nicht-euklidischen Geometrie und der Theorie der Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen zu schliessen.[47]

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* * * * *

II.

Theorie der ebenen Kurven.

Die allgemeine Theorie der ebenen Kurven entstand zugleich mit der cartesischen Geometrie. Es ist leicht die Gruende fuer die Thatsache anzugeben, dass das Erscheinen einer so wichtigen Theorie sich bis zu diesem Zeitpunkte verzoegert hatte. In der That sind ja die Definition der Ordnung einer Kurve, die daraus folgende Einteilung der Kurven in algebraische und transcendente, der exakte Begriff einer in ihrer Ordnung allgemeinen Kurve ihrer Natur nach wesentlich analytische Begriffe. Sie synthetisch zu bestimmen, ist ein sehr schweres Problem, welches heutzutage erst den wiederholten Anstrengungen der Geometer zu weichen sich anschickt; dagegen, wenn man ein Koordinatensystem anwendet, eine wie leichte Sache ist es dann, diese fundamentalen Begriffe festzustellen, sie unter einander zu verbinden und aus ihnen interessante Folgerungen zu ziehen!

Die Wahrheit dieser Behauptung finden wir durch die Thatsache bestaetigt, dass kurz nach Descartes wichtige Eigenschaften, die allen algebraischen Kurven gemeinsam sind, entdeckt wurden. Solche sind z. B. diejenigen, welche Newton in den drei beruehmten Theoremen, die in seiner _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706) enthalten sind, bekannt gemacht hat; ferner diejenigen, welche Newtons Schueler Cotes (1682-1716) und Maclaurin als eine Verallgemeinerung der von Newton entdeckten Eigenschaften gaben;[48] {22} schliesslich die von Waring (1734-1798)[49] gefundenen. Ueberdies wurden noch von Maclaurin[50] und Braikenridge (etwa 1700, + nach 1759)[51] einige interessante organische Erzeugungsweisen von Kurven hinzugefuegt, die aehnlich denjenigen waren, welche Newton fuer die Kegelschnitte gegeben hat.[52] Endlich wurden von De Gua (1712-1786)[53] Methoden fuer die Bestimmung der Singularitaeten der durch Gleichungen definierten ebenen Kurven angegeben.

Es ist ueberfluessig zu sagen, dass die ersten methodischen Bearbeitungen der Theorie der ebenen Kurven unter dem Einfluesse der analytischen Geometrie stehen; wir verdanken solche Euler[54] und Cramer (1704-1752)[55]. Diese studierten dieselben von Grund auf (kurz nacheinander, der eine 1748, der andere 1750), indem sie sich vorzugsweise mit den Singularitaeten befassten, besonders mit den Fragen, welche man heute mit Hilfe der Geometrie des unendlich Kleinen loest. In dem Werke von Cramer, das in vielen Beziehungen zu bewundern ist, finden wir auch schon die ersten Untersuchungen ueber die Schnitte von Kurven und unter diesen auch den Hinweis auf das, was man spaeter "das Cramersche Paradoxon" genannt hat; das ist jener scheinbare Widerspruch zwischen der Zahl der Punkte, die zur Bestimmung einer Kurve von gegebener Ordnung noetig {23} sind, und der Zahl der Schnitte zweier Kurven derselben Ordnung,[56] ein Widerspruch, welcher viele Jahre spaeter (1818) von Lame (1795-1870) durch das beruehmte Prinzip aufgehoben wurde, welches seinen Namen traegt und das man als den Grundstein jenes gewaltigen Bauwerkes ansehen muss, welches aus einer Fuelle von Lehrsaetzen von Gergonne,[57] Pluecker,[58] Jacobi,[59] Cayley[60] errichtet ist, und auf dessen Gipfel die geometrische Interpretation des beruehmten Abelschen Theorems[61] steht.

Nach den Arbeiten Eulers, Cramers und dem _Examen des differentes methodes employees pour resoudre les problemes de geometrie_, in welchem Lame mit grossem Erfolge das vorhin angefuehrte Prinzip auseinandergesetzt und angewandt hatte, muessen wir uns zu Pluecker wenden, um zu Arbeiten zu kommen, welche einen bemerkenswerten Fortschritt in der Theorie, die uns beschaeftigt, bewirken. In dem im Jahre 1835 von diesem ausgezeichneten Geometer veroeffentlichten _System der analytischen Geometrie_ ist von der Methode der abgekuerzten Bezeichnung Gebrauch gemacht und dieselbe fuer die Vervollstaendigung der Klassifikation der kubischen ebenen Kurven benutzt worden, welche so viele bedeutende Gelehrte unternommen hatten. In der vier Jahre spaeter gedruckten {24} _Theorie der algebraischen Kurven_[62] findet sich dann noch ausser einer Aufzaehlung der ebenen Kurven vierter Ordnung,[63] welche Bragelogne (1688-1744)[64] und Euler[65] nur versucht hatten, die Aufstellung und Loesung einer Frage von sehr grosser Wichtigkeit, derjenigen naemlich, die Beziehungen zwischen den Zahlen der gewoehnlichen Singularitaeten einer ebenen Kurve zu finden. Schon Poncelet hatte (1818) den Zusammenhang zwischen der Ordnung und der Klasse einer allgemeinen Kurve ihrer Ordnung gefunden und spaeter den Einfluss eines Doppelpunktes bestimmt; indem er nun auf diese Resultate das Prinzip der Dualitaet anwandte, stiess er auf jenen anderen scheinbaren Widerspruch, welchen wir heute das Ponceletsche Paradoxon nennen, ohne dass es ihm gelang, dafuer eine vollstaendige Erklaerung zu finden. Das geschah durch Pluecker vermittelst der beruehmten nach ihm benannten Formeln, welche gestatten, drei Charakteristiken einer Kurve zu finden (Ordnung, Klasse, Zahl der Doppelpunkte, der Doppeltangenten, Zahl der Wendetangenten und der Rueckkehrpunkte), wenn man die uebrigen kennt.

Auf die Frage, welche in einem gewissen Sinne reciprok zu der durch die Plueckerschen Formeln geloesten ist, ob jeder Loesung derselben eine wirkliche Kurve entspreche, musste man negativ antworten, da neuere Untersuchungen {25} dargethan haben, dass fuer gewisse Kurven (die rationalen Kurven) die Zahl der Rueckkehrpunkte eine gewisse Grenze nicht uebersteigen kann.[66]

Auf der anderen Frage, die Plueckerschen Formeln auf eine Kurve auszudehnen, welche mit Singularitaeten hoeherer Ordnung ausgestattet ist, beruhen die Untersuchungen von Cayley und anderen,[67] welche zu dem Schluesse gefuehrt haben, dass jede Singularitaet einer Kurve als aequivalent einer gewissen Anzahl von Doppelpunkten, Spitzen, Wendetangenten und Doppeltangenten betrachtet werden kann.

Ich fuege noch hinzu, dass man durch Jacobi,[68] Hesse (1811-1874),[69] Salmon,[70] Cayley[71] und deren zahlreiche Kommentatoren[72] heute im Besitze eleganter Methoden ist, um analytisch die Wendepunkte einer durch eine Gleichung gegebenen Kurve, sowie die Beruehrungspunkte ihrer Doppeltangenten anzugeben.

Dank dem einen der ueberaus wertvollen Lehrbuecher,[73] mit welchen Salmon so gewaltig zur Verbreitung der neuesten algebraischen und geometrischen Methoden beigetragen hat, ist es heutzutage leicht, sich ueber diese und viele andere Fragen, welche sich auf die analytische Theorie der ebenen Kurven beziehen, eine genaue Kenntnis zu verschaffen.

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Man braucht aber nicht zu glauben, dass bei diesem Studium der fortwaehrende Gebrauch der Analysis unumgaenglich sei; vielmehr erhob sich bald neben der Darlegung der Theorie der ebenen Kurven durch Euler, Cramer, Pluecker, Salmon eine ebenso vollstaendige, aber mehr geometrische Theorie.

In einer beruehmten Mitteilung, die im Jahre 1848 der Berliner Akademie gemacht wurde, zeigte Steiner, indem er die Theorie der Polaren eines Punktes in Bezug auf eine Kurve wieder aufnahm, welche Bobillier (1797-1832) schon vordem[74] als eine Erweiterung der Diametralkurven Newtons und Cramers aufgestellt, und mit welcher auch Grassmann (1809-1877) sich beschaeftigt hatte,[75] dass dieselbe als Grundlage fuer ein vom Gebrauche der Koordinaten unabhaengiges Studium der ebenen Kurven dienen kann, und fuehrte jene bemerkenswerten zu einer gegebenen Kurve covarianten Kurven ein, die heute seinen, Hesses und Cayleys Namen tragen. Diese kurzen Andeutungen, verbunden mit den Untersuchungen von Steiner selbst, von Chasles[76] und Jonquieres[77] ueber die Entstehung der algebraischen Kurven vermittelst projektiver Bueschel von Kurven niederer Ordnung, dienten als Grundlage fuer die _Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane_,[78] in {27} welcher Cremona in einer einheitlichen Methode zugleich mit vielen neuen Resultaten alles auseinandersetzt, was wichtigeres von den analytischen Geometern, die ihm vorhergingen, erhalten worden war.

Bei dem ausserordentlichen Interesse der Sache scheint es mir auch, dass man in die Reihe der schon zitierten Arbeiten auch die Serie von Abhandlungen zu stellen hat, in welchen Clebsch (1833-1872) zuerst die Algebra der linearen Transformationen auf die Geometrie angewandt hat, dann, nachdem er die Wichtigkeit des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve ins Licht gestellt, die Anwendung der Theorie der elliptischen[79] und Abelschen Funktionen auf die Wissenschaft von der Ausdehnung darlegte und sie fuer das Studium der rationalen und elliptischen Kurven benuetzte.[80] Es ist wahr, dass Brill und Noether in einer Abhandlung,[81] deren Bedeutung von Tag zu Tag waechst, gezeigt haben, dass die Theorie der algebraischen Funktionen in vielen Faellen die der eben angefuehrten Transcendenten ersetzen kann, aber das vermindert nicht, sondern vergroessert vielmehr das Verdienst, welches man den Methoden von Clebsch zuerkennen muss, da die von hervorragenden Geistern gemachten Anstrengungen, den Gebrauch eines {28} Hilfsmittels vermeiden zu koennen, der ueberzeugendste Beweis der Macht desselben sind.

Die bis jetzt besprochenen Arbeiten behandeln allgemeine Eigenschaften der ebenen algebraischen Kurven.[82] Aber an sie reiht sich eine grosse Menge von schoenen Spezialabhandlungen, welche eine bestimmte Kategorie von Kurven behandeln; auf diese wollen wir einen kurzen Blick werfen.

Unter ihnen sind vor allen zu bemerken die von Maclaurin,[83] von Sylvester,[84] Cayley,[85] Salmon,[86] Durege,[87] Cremona,[88] von Sturm,[89] von Kuepper,[90] Grassmann,[91] Milinowski[92] und von anderen ueber die Kurven dritter Ordnung,[93] die Kapitel des _Barycentrischen Calculs_, dann verschiedene Arbeiten von Em. Weyr,[94] von Clebsch und {29} vielen anderen[95] ueber die rationalen Kurven; die wichtigen Untersuchungen Steiners und Chasles' ueber die Kurven, die mit einem Centrum versehen sind,[96] und die von Steiner ueber die dreispitzige Hypocykloide;[97] ferner die Arbeiten, welche dem Beweise oder der Verallgemeinerung der dort ausgesprochenen Eigenschaften gewidmet sind,[98] die interessanten Untersuchungen von Bertini[99] ueber rationale Kurven, fuer welche man willkuerlich die vielfachen Punkte bestimmen kann, die wichtigen Studien von Brill ueber die Kurven vom Geschlechte zwei,[100] dann die eleganten Abhandlungen von Klein und Lie[101] ueber die Kurven, welche eine infinitesimale Transformation in sich selbst zulassen, endlich die von Fouret ueber die Kurven, welche die eigenen reciproken Polaren in bezug auf unendlich viele Kegelschnitte sind,[102] und die von Smith (1826-1883) ueber die Singularitaeten der Modularkurven.[103]

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Neben diesen verdient dann noch eine hervorragende Stelle die Abhandlung von Steiner ueber die einer ebenen kubischen Kurve[104] oder einer Kurve vierter Ordnung mit zwei Doppelpunkten eingeschriebenen Vielecke, auf welche die juengsten Arbeiten von Kuepper[105] und Schoute[106] von neuem die Aufmerksamkeit der Gelehrten gelenkt haben. Die Knappheit des Raumes noetigt mich, fluechtig hinwegzugehen ueber die Untersuchungen von Cayley _On polyzomal Curves otherwise the Curves_ [Wurzel]u + [Wurzel]v + ... = 0;[107] von Grassmann, Clebsch,[108] Schroeter[109] und Durege,[110] betreffend die Erzeugung ebener Kurven dritter Ordnung, ueber die von Lueroth,[111] von Casey,[112] Darboux,[113] Siebeck,[114] von Crone,[115] Zeuthen[116] und noch anderen ueber einige spezielle ebene Kurven vierter Ordnung, ueber die von Battaglini, die sich auf die syzygetischen Kurven dritter Ordnung beziehen,[117] und andere, welche auch eine besondere Erwaehnung verdienen wuerden.

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Was ich aber nicht mit Stillschweigen uebergehen kann, das sind die Arbeiten von Hesse ueber die Wendepunkte einer Kurve dritter Ordnung und ueber die Gleichung, welche zu deren Bestimmung dient;[118] dann die von demselben Hesse,[119] Steiner,[120] Aronhold[121] (1819-1884) ueber die Doppeltangenten einer Kurve vierter Ordnung, welche eine hervorragende Stelle verdienen, da sie viele bemerkenswerte Eigenschaften derselben ins Licht gestellt haben; dieselben wurden darauf von Geiser[122] durch stereometrische Betrachtungen dargethan, von Clebsch[123] dagegen und Roch[124] vermittelst der Theorie der Abelschen Funktionen untersucht.

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III.

Theorie der Oberflaechen.

Das Streben nach Verallgemeinerung, welches die geometrischen Untersuchungen leitete, seitdem sich der Einfluss der Analysis auf dieselbe mehr oder weniger offen geltend gemacht, trieb alsbald die Gelehrten dazu, sich mit den Erscheinungen des Raumes zu beschaeftigen, welche Analogien mit den schon in der Ebene betrachteten darbieten. Daher sehen wir denn auch die Forschungen ueber die Oberflaechen {32} bald denen ueber die ebenen Kurven folgen. Die Theorie dieser Gebilde ist jedoch neueren Ursprungs.

Den griechischen Geometern waren in der That nur einige wenige besondere Oberflaechen bekannt (die Kugel, die Cylinder und Kegel, Konoide und Sphaeroide, die plektoidischen Oberflaechen und wenige andere). Erst Wren (1669), Parent und Euler begannen sich mit den Oberflaechen zweiten Grades zu beschaeftigen, und wir muessen zur Schule von Monge gehen, um die Eigenschaften von groesserer Wichtigkeit dieser hoechst bemerkenswerten Oberflaechen anzutreffen.[125] Zu diesen ersten Eigenschaften wurden in unserem Jahrhundert durch das zahlreiche Heer von Geometern, welche die Flaechen zweiter Ordnung einer besonderen Betrachtung unterwarfen, viele andere hinzugefuegt, und dank den Arbeiten so ausgezeichneter Gelehrter, wie Jacobi,[126] {33} MacCullagh (1809-1847),[127] Chasles,[128] Hesse,[129] Seydewitz (1807-1852),[130] Schroeter[131] konnte die Theorie der Oberflaechen zweiter Ordnung in den mehr elementaren {34} Unterricht eingefuehrt werden und methodisch auf analytischem sowohl wie synthetischem Wege behandelt werden.[132]

Aber nach der Lehre von den Oberflaechen zweiten Grades entstand und entwickelte sich alsbald die der Oberflaechen hoeherer Ordnung. Chasles[133] und Gergonne,[134] als die ersten, entdeckten an diesen Gebilden wunderbare Eigenschaften. Poncelet bestimmte die Klasse einer in ihrer Ordnung allgemeinen algebraischen Oberflaeche[135] und eroeffnete so die Untersuchungen, welche zu den Beziehungen fuehren sollten, mit welchen Salmon[136] und Cayley[137] die Loesung der analogen Aufgabe zu derjenigen versuchten, welche Pluecker durch seine beruehmten Formeln geloest hatte.

Jacobi[138] und spaeter Reye[139] beschaeftigten sich mit den Kurven und Gruppen von Punkten, die durch den Schnitt von algebraischen Oberflaechen entstehen. Chasles,[140] Cremona,[141] Reye,[139] Escherich,[142] Schur,[143] mit ihrer {35} Entstehung vermittelst projektiver oder reciproker Systeme von Oberflaechen niederer Ordnung, Grassmann (1809-1877)[144] mit anderen Erzeugungsweisen; Salmon,[145] Clebsch,[146] Sturm,[147] Schubert[148] und andere behandelten eine wichtige Klasse von Aufgaben, welche sich auf Gerade beziehen, die mit einer gegebenen Oberflaeche Beruehrungen von vorher bestimmter Ordnung haben; schliesslich entdeckte Schur vor kurzem eine lineare Konstruktion[149] fuer Flaechen beliebiger Ordnung. Eine interessante Erweiterung der Polarentheorie der Oberflaechen beliebiger Ordnung verdanken wir Reye.[150]

Trotz dieser und anderer Arbeiten, die ich der Kuerze halber stillschweigend uebergehen muss, trotz der schoenen Darlegungen, welche Salmon[151] und Cremona[152] ueber sie gemacht haben, kann man doch nicht sagen, dass die Theorie der Oberflaechen weit vorgeschritten sei. Die Fragen, die noch zu loesen bleiben, sind zahlreich und von fundamentaler Wichtigkeit, und die Mittel, die zur Ueberwindung der Schwierigkeiten, welche deren Loesung bietet, zur Verfuegung stehen, sind noch nicht genuegend vervollkommnet. Vielleicht ist das der Grund dafuer, dass so viele Gelehrte sich zum Studium besonderer Flaechen wandten, indem sie hofften, nicht nur auf diesem Felde eine reichlichere Ernte von Wahrheiten zu machen, sondern auch zu Untersuchungsmethoden zu gelangen, die der Verallgemeinerung faehig sind. -- Und {36} dass ihre Erwartungen teilweise nicht getaeuscht worden sind, das beweisen die zahlreichen Resultate, die man schon ueber die Oberflaechen dritten Grades, sowie ueber einige von der vierten Ordnung erhalten hat, ueber welche es mir noch obliegt, Bericht zu erstatten.