Part 13

[771] _Math. Ann._ 2, 8. Man sehe auch die Abhandlung von S. Kantor, _Sur les transformations lineaires successives dans le meme espace a_ n _dimensions_ (_Bull. Soc. math._ 8).

[772] _Bull. Soc. math._ 2. Unter den in dieser Arbeit erhaltenen Resultaten heben wir folgendes hervor: "Wenn man in einem Raume von r - 1 Dimensionen zwei algebraische Mannigfaltigkeiten vom Grade [mu] und [nu] ins Auge fasst, bezueglich von m und n Dimensionen, so ist der Schnitt derselben eine Mannigfaltigkeit von n + m - (r-1) Dimensionen und vom Grade [mu][nu], wofern m + n >= r - 1, und die beiden Mannigfaltigkeiten nicht eine solche von m + n - r + 2 oder mehr Dimensionen gemeinsam haben", um den vollstaendigen Beweis desselben anzufuehren, den Noether in den _Math. Ann._ 11 geliefert hat.

[773] _Lincei Mem._ 1876-1877; vgl. auch Jordan (_Bull. Soc. math._ 3). -- Hier will ich eine Notiz machen, die im Texte nicht Platz finden konnte: Von vielen wurde behauptet, dass in einem Raume von konstanter positiver Kruemmung zwei geodaetische Linien, wenn sie sich treffen, im allgemeinen zwei Punkte gemeinsam haben; das ist nun nicht wahr, und dieses wurde zuerst von Klein beobachtet (_Jahrbuch ueber die Fortschritte der Mathematik_ 9, S. 313), dann von Newcomb (_Journ. fuer Math._ 83) und von Frankland (_Proc. math. Soc._ 8). Ueber dasselbe Thema sehe man eine Abhandlung von Killing (_Journ. fuer Math._ 86 und 89).

[774] _Math. Ann._ 26; _Acta math._ 8. -- Der Abhandlung von Veronese gehen noch die Untersuchungen von Spottiswoode (1825-1883) voran, ueber die Darstellung der Figuren der Geometrie von n Dimensionen vermittelst correlativer Figuren der gewoehnlichen Geometrie (_Comptes rendus_ 81).

[775] _Memoire de Geometrie sur deux principes generaux de la science._

[776] _Beitraege zur Geometrie der Lage,_ s. 29.

[777] _Vierteljahrsschrift der naturforschenden Gesellschaft zu Zuerich_ 15, oder _Die darstellende Geometrie._

[778] Vgl. die interessante Abhandlung von Fiedler, _Geometrie und Geomechanik_, erschienen in der genannten _Vierteljahrsschrift_, und in franzoesischer Uebersetzung in _Liouvilles Journ._ III, 4 veroeffentlicht.

[779] Den Nutzen, welcher der Geometrie durch die Annahme einiger Begriffe, die man jetzt noch als der Mechanik angehoerig betrachtet, erwachsen wuerde, bezeugen der _Expose geometrique du calcul differentiel et integral_ (Paris, 1861), von Lamarle (1806-1875) verfasst, die von Mannheim der kinematischen Geometrie gewidmeten Partien in seinem _Cours de geometrie descriptive_ (Paris, 1880) und das schoene juengst veroeffentlichte Buch meines Freundes Peano mit dem Titel: _Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale_ (Turin, 1887).

[780] Man sehe die Anhaenge der _Proc. math. Soc._ seit Bd. 14.

[781] _Nouv. Ann._ II, 1, 2; _Liouvilles Journ._ II, 7; _Berliner Abh._ 1865, 1866; _Berliner Ber._ 1872 oder _Borchardts Gesammelte Werke_, S. 179, 201, 233.

[782] Insbesondere _Journ. fuer Math._ 24 oder _Werke_, Bd. II, S. 177, 241.

[783] S. _Acta Societatis scientiarum Fennicae_, 1866; _Bull. de l'Academie de St. Petersbourg_ 14; _Math. Ann._ 2; _Nouv. Ann._ II, 10; _Zeitschr. f. Math._ 11; _Goettinger Nachr._ 1882 oder _Bull. sciences math._ II, 7; _Journ. fuer Math._ 96, 97; _Goettinger Nachr._ 1884; _Grunerts Arch._ II, 2; _Giorn. di Matem._ 26.

[784] _Memoires de l'Academie de Berlin,_ 1761; vgl. Legendres _Elements de Geometrie_, Note IV der aelteren Auflagen.

[785] _Berliner Ber._ 1882; _Math. Ann._ 20; vereinfacht durch Weierstrass, _Berliner Ber._ 1885; man vgl. auch Rouche, _Nouv. Ann._ III, 2.

[786] Die einzigen rein synthetischen Untersuchungen ueber die Kurven und Oberflaechen von hoeherer als zweiter Ordnung, die ich kenne, sind die von Reye (_Geometrie der Lage_) ueber die ebenen kubischen Kurven, einige von Thieme (_Zeitschr. f. Math_ 24; _Math. Ann._ 20, 28), von Milinowski (_Zeitschr. f. Math._ 21, 23; _Journ. fuer Math._ 89, 97) und von Schur (_Zeitschr. f. Math._ 24). Ihnen koennte man die beiden folgenden Arbeiten hinzufuegen, die im Jahre 1868 von der Berliner Akademie gekroent sind: H. J. S. Smith, _Memoire sur quelques problemes cubiques et biquadratiques_ (_Annali di Matem._ II, 3); Kortum, _Ueber geometrische Aufgaben dritten und vierten Grades_ (Bonn, 1869). Die Geometer erwarten ungeduldig die Veroeffentlichung einer Schrift von E. Koetter, die 1886 von der Berliner Akademie den Steinerschen Preis erhielt und dazu berufen erscheint, in das Gebiet der reinen Geometrie die allgemeine Theorie der ebenen algebraischen Kurven zu versetzen. (Sie ist waehrend der Anfertigung der Uebersetzung vorliegender Schrift in den _Berliner Abh._ 1887 unter dem Titel: _Grundzuege einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Kurven_ erschienen.)

[787] Die Angemessenheit des gleichzeitigen Gebrauches der Geometrie und Analysis, auch in den Fragen der angewandten Mathematik, wurde ausdruecklich von Lame mit folgenden Worten erklaert: _"Quand on medite sur l'histoire des mathematiques appliquees, on est effectivement conduit a attribuer leurs principales decouvertes, leurs progres les plus decisifs a l'association de l'analyse et de la geometrie. Et les travaux, que produit l'emploi de chacun de ces instruments, apparaissent alors comme des preparations, des perfectionnements, en attendant l'epoque qui sera fecondee par leur reunion."_ (_Lecons sur les coordonnees curvilignes_, 1859, S. XIII und XIV.)

[788] Poinsot, _Comptes rendus_ 6 (1838) S. 809.

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Corrections made to printed original.

page 17, "l'origine et le developpement": 'el developpement' in original.

Footnote 265, "geometrische.": 'geometrisehe' in original.