Part 12

[612] _Giorn. di Matem._ 6, 7, 10, 18. Wenn auch Battaglini seinen Studien ueber die quadratischen Komplexe eine Gleichung zu Grunde legte, die nicht den allgemeinsten Komplex ihres Grades darstellt, so gelten doch viele von den Schluessen, die er gemacht hat, -- man kann sagen alle, mit Ausnahme derjenigen, welche sich auf die singulaere Flaeche und die singulaeren Strahlen des Komplexes beziehen -- fuer allgemeine Komplexe, indem sie unabhaengig sind von der Gestalt dieser Gleichung. Auch die von ihm aufgestellten Formeln passen sich mit leichten Aenderungen groesstenteils dem allgemeinen Falle an.

[613] Leipzig, 1868-1869.

[614] S. dessen _Examen des differentes methodes_ etc.

[615] _Math. Ann._ 2, 5, 7, 22, 23 (darin der Wiederabdruck der 1868 in Bonn erschienenen Dissertation: _Ueber die Transformation der allgemeinen Gleichung des zweiten Grades zwischen Linienkoordinaten auf eine kanonische Form_), 28. Ausserdem enthalten viele Arbeiten von Klein ueber Fragen der hoeheren Algebra oder der hoeheren Analysis, die in den _Math. Ann._ und sonst veroeffentlicht sind, ziemlich oft Betrachtungen, welche der Geometrie der Geraden angehoeren.

[616] _Torino Mem._ II, 36.

[617] _Journ. fuer Math._ 75, 76; _Habilitationsschrift_ (Giessen, 1870).

[618] _Math. Ann._ 1.

[619] _Math. Ann._ 2.

[620] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[621] _Math. Ann._ 2, 5.

[622] _Math. Ann._ 7. Man kann es nur beklagen, dass die in verschiedener Beziehung so ausgezeichnete Arbeit von Weiler eine grosse Zahl von Ungenauigkeiten enthaelt.

[623] _Math. Ann._ 8, 9, 10, 12, 13. S. auch Schubert das. 12 und dessen _Abzaehlende Geometrie_.

[624] _Comptes rendus_ 74, 75;_ Bull. Soc. math._ 1.

[625] _Goettinger Nachr._ 1869.

[626] _Goettinger Nachr._ 1869.

[627] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[628] _Giorn. di Matem._ 8; _Lombardo Rend._ II, 12, 13, 14.

[629] _Math. Ann._ 5. Vgl. eine Abhandlung von Cremona, gelesen vor der _Accademia dei Lincei_ (_Atti_ II, 3).

[630] _Journ. fuer Math._ 98. Vgl. auch 95 und 97.

[631] _Liouvilles Journ._ 4.

[632] _Die Geometrie der Lage_, 2. Abt. 2. Aufl., in der sich die von Reye in dem _Journ. fuer Math._ veroeffentlichten synthetischen Arbeiten ueber die Geometrie der Geraden vereinigt finden.

[633] _Zeitschr. f. Math._ 20.

[634] _Dissertation_ (Berlin, 1879) oder _Math. Ann._ 15.

[635] _Giorn. di Matem._ 17; _Lincei Rend._ 1879.

[636] _Torino Atti_, 1881.

[637] _Journ. fuer Math._ 91, 92, 93, 94, 95, 97.

[638] _The Messenger of Mathematics_ II, 13.

[639] _Liouvilles Journ._ II, 17.

[640] S. Note 629.

[641] _Math. Ann._ 5.

[642] _Ann. Ec. norm._ II, 6; _Grunerts Arch._ 40.

[643] _Ann. Ec. norm._ III, 1.

[644] S. Note 628.

[645] _Nouv. Ann._ II, 2; _Liouvilles Journ._ II, 19.

[646] _Die Geometrie der Lage_.

[647] _Goettinger Nachr._ 1870.

[648] _Journ. fuer Math._ 95; _Zeitschr. f. Math._ 24, 27.

[649] _Sugli enti geometrici dello spazio di rette generati dalle intersezioni dei complessi correspondenti in due o pin fasci projettivi di complessi lineari_ (Piazza Armerina, 1882).

[650] _Proc. math. Soc._ 10; _Collectanea mathematica_, 1881.

[651] _Math. Ann._ 13.

[652] _Memoire de geometrie vectorielle sur les complexes du second ordre, qui ont un centre de figure_ (_Liouvilles Journ._ III, 8).

[653] _Sui complessi di rette di secondo grado generati da due fasci projettivi di complessi lineari_ (Napoli, 1886), und _Napoli Rend._ 1886.

[654] _Math. Ann._ 23; _Giorn. di Matem._ 23; _Torino Atti_, 1884.

[655] _Applications de Geometrie et de Mechanique_, 1822.

[656] _Journ. Ec. polyt._ 14.

[657] _Comptes rendus_ 20.

[658] _Liouvilles Journ._ 15.

[659] _Journ. Ec. polyt._ 38.

[660] _Irish Trans._ 16, 1831.

[661] Bd. 57.

[662] Die Eigenschaften der unendlich duennen Strahlenbuendel, mit denen Kummer sich in dieser Abhandlung beschaeftigt, gaben spaeter (1862) Stoff zu einer schoenen Arbeit von Moebius (_Leipziger Ber._ 14; _Werke_ 4), an welche sich dann die von Zech (_Zeitschr. f. Math._ 17) veroeffentlichten Untersuchungen knuepfen; vgl. auch eine neuerliche Abhandlung von Hensel (_Journ. fuer Math._ 102).

[663] _Berliner Abh._ 1866.

[664] Von noch erschienenen Arbeiten, die man als eine Fortsetzung derer von Kummer ansehen kann oder die auf anderem Wege zu dessen Resultaten gefuehrt haben, erwaehne ich: Reye (_Journ. fuer Math._ 86 und 93), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16), Stahl (s. Note 637), Caporali (_Napoli Rend._ 1879), Loria (_Torino Atti_, 1884 und 1886) -- oder von solchen, die zu diesen einige neue Formeln oder ein neues algebraisches Strahlensystem hinzugefuegt haben: Kummer (_Berliner Ber._ 1878), Masoni (_Napoli Rend._ 22), Roccella (s. Note 649), Hirst (_Proc. math. Soc._ 16 und 17; _Rendiconti del Circolo mathematico di Palermo_ 1), Sturm (_Math. Ann._ 6; _Journ. fuer Math._ 101).

[665] Zum Beweise, dass die Fragen, auf welche sich diese Arbeiten beziehen, bei einigen Gelehrten jene Ruhe und Unparteilichkeit des Urteils, die immer bei ihren Diskussionen walten sollte, aufgehoben haben, will ich hier zwei Stellen anfuehren, die eine von einem Schriftsteller, der allen, welche sich mit Philosophie beschaeftigen, sehr wohl bekannt ist, die andere aus einer Zeitschrift, die in Deutschland ziemlich verbreitet ist: ".... so gewiss ist es logische Spielerei, ein System von vier oder fuenf Dimensionen noch Raum zu nennen. Gegen solche Versuche muss man sich wahren; sie sind Grimassen der Wissenschaft, die durch voellig nutzlose Paradoxien das gewoehnliche Bewusstsein einschuechtern und ueber sein gutes Recht in der Begrenzung der Begriffe taeuschen" (Lotze, _Logik_, S. 217). "Die absolute oder Nicht-Euklidische Geometrie, die Geometrie des endlichen Raumes und die Lehre von n Raumdimensionen sind entweder Karrikaturen oder Krankheitserscheinungen der Mathematik" (J. Gilles, _Blaetter fuer das Bayrische Gymnasial- und Realschulwesen_ 28, S. 423). Man sehe auch die heftigen Aeusserungen Duehrings, die von Erdmann in seiner trefflichen Abhandlung: _Die Axiome der Geometrie_ (Leipzig, 1877, S. 85) wiedergegeben sind, ferner Kroman, _Unsere Naturerkenntnis_, deutsch von Fischer-Benzon (Kopenhagen, 1883, S. 145 bis 175); endlich die Kap. 13 und 14 des Werkes von Stallo, _La matiere et la physique moderne_ (Paris, 1884). Auf Vorwuerfe von der oben erwaehnten Art erwidern wir mit d'Alembert: "_Allez en avant, et la foi vous viendra!_"

[666] Als Litteraturnachweis fuer diesen Teil der Geometrie sehe man die Artikel von G. Bruce-Halsted, veroeffentlicht im _Amer. Journ._ 1 und 2.

[667] Es ist dieser Satz: "Wenn bei einer Geraden, welche zwei andere schneidet, die Summe der inneren Winkel auf derselben Seite kleiner als zwei Rechte ist, so schneiden sich letztere auf derselben Seite." D'Alembert nannte diesen Satz: "_l'ecueil et le scandale des elements de la geometrie_".

[668] Eine Zeit lang glaubte man, dass der fragliche Satz von Euklid unter die Axiome gestellt sei; aber neuere historische Untersuchungen (s. Hankel, _Vorlesungen ueber komplexe Zahlen und ihre Funktionen_, S. 52) neigen zu der Ansicht, dass derselbe irrtuemlicher Weise von den Abschreibern zu den Axiomen geschrieben sei, waehrend er im Originale unter den Postulaten gestanden hatte.

[669] Vgl. _Die Elemente der Mathematik_ von Baltzer, 4. Teil, Planimetrie.

[670] Man erzaehlt, Lagrange habe beobachtet, dass die sphaerische Geometrie von dem Euklidischen Postulate unabhaengig sei, und gehofft, aus dieser Beobachtung eine Art und Weise ableiten zu koennen, den Ungelegenheiten der Euklidischen Methode zu entgehen, indem er die ebene Geometrie als die Geometrie auf einer Kugel mit unendlich grossem Radius betrachtete.

[671] _Briefwechsel zwischen Gauss und Schumacher_, herausgegeben von Peters, 6 Baende (Altona, 1860-1865); die betreffenden Stellen dieses Briefwechsels sind von Houeel ins Franzoesische uebersetzt und seiner 1866 erschienenen franzoesischen Uebersetzung von Lobatschewskys _Geometrischen Untersuchungen_ (vgl. Note 10) zugefuegt.

[672] Vgl. die Gedaechtnisschrift auf Gauss von Schering in den _Goettinger Abh._ 22 (1877).

[673] _Goettingische Gelehrte Anzeigen_, 1816 und 1822; oder _Gauss' Werke_ 4 (1873), S. 364 und 368. Vgl. auch Sartorius von Waltershausen, _Gauss zum Gedaechtnis_ (Leipzig, 1856), S. 81. -- Moege es gestattet sein, hier die Mitteilung anzuschliessen, dass Gauss das alte Problem der Kreisteilung, in dem man seit zwei Jahrtausenden nicht vorwaerts gekommen war, durch Untersuchungen auf einem Gebiete wesentlich gefoerdert hat, das ohne Zusammenhang mit diesem Problem schien und auf welchem man solchen Gewinnst fuer die Geometrie nicht erwartete (_Disquisitiones arithmeticae_, Leipzig, 1801; _Werke_ 1; vgl. Bachmann, _Die Lehre von der Kreisteilung_, Leipzig, 1872), indem er zeigte, dass die Teilung in n Teile mit Hilfe von Lineal und Zirkel auch noch moeglich ist, wenn n eine Primzahl von der Form 2^m +1 ist. Man sehe hierzu auch Legendre, _Elements de trigonometrie_, Anhang; Richelot, Staudt, Schroeter, _Journ. fuer Math._ 9, 24, 75; Affolter, _Math. Ann._ 6.

[674] _Courier von Kasan_, 1829-1830; _Abhandlungen der Universitaet Kasan_, 1835, 1836, 1837, 1838; _Geometrische Untersuchungen ueber die Theorie der Parallellinien_ (Berlin, 1810); _Journ. fuer Math._ 17.

[675] Die Schrift von Johann Bolyai erschien als Anhang des Werkes von W. Bolyai: _Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae ..... introducendi_, 2. Bd. (Maros-Vasarhely 1833), wurde dann ins Franzoesische uebersetzt von Houeel _(Memoires de Bordeaux)_, ins Italienische von Battaglini (_Giorn. di Matem._ 5).

[676] Es ist das Verdienst Houeels (?--1886) und Battaglinis, die Werke von Lobatschewsky und Bolyai durch Uebersetzungen und vorzuegliche Kommentare (s. Note 7 und 11 und _Giorn. di Matem._ 5 und 8) verbreitet zu haben. -- Heute ist es leicht, die Nicht-Euklidische Geometrie zu lernen, da Flye S^{te} Marie (_Etudes analytiques sur la theorie des paralleles_, Paris, 1871), Frischauf (_Elemente der absoluten Geometrie_, Leipzig, 1876) und de Tilly (_Essai sur les principes fundamentaux de la geometrie et de la mecanique_, Bordeaux, 1879) methodische Bearbeitungen derselben geschrieben haben. In England wurden die neuen Ideen ueber die Prinzipien der Geometrie bearbeitet und herrlich dargestellt von Clifford; man sehe die Schrift _Lectures and Essays_, sowie die von Smith den _Mathematical Papers by W. K. Clifford_ (London, 1882) vorausgeschickte Einleitung.

[677] _Goettinger Abh._ 13 (1867), oder _Gesammelte Werke_ (Leipzig, 1876), ins Franzoesische uebersetzt von Houeel (_Annali di Matem._ II, 3), ins Englische von Clifford (_Nature_ 8 oder _Mathematical Papers_ S. 55).

[678] In der Abhandlung _Ueber die Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen_ (_Goettinger Nachr._ 1868).

[679] Hierzu sehe man _Populaere wissenschaftliche Vortraege_ von Helmholtz (Braunschweig, 1871-1876); _Revue des cours scientifiques_, 9. Juli 1870 etc.

[680] _Giorn. di Matem._ 6. Dieser Artikel wurde ins Franzoesische uebersetzt von Houeel und veroeffentlicht in den _Ann. Ec. norm._ 6, 1869.

[681] Man vergleiche hierzu die Worte, mit denen d'Alembert die Meinung zurueckwies, dass die Wahrheiten der Mechanik experimentelle seien (_Traite de Dynamique_, Paris, 1858, _Discours preliminaire_, S. XII), mit den folgenden von Clifford (_The Common Sense of the Exact Sciences_, London, 1885, _International Scientific Series_ 51): "In derselben Weise, wie wir, um irgend einen Zweig der Physik zu schaffen, von der Erfahrung ausgehen und auf unsere Experimente eine gewisse Anzahl von Axiomen stuetzen, welche solchergestalt die Grundlage desselben bilden, so sind die Axiome, die wir als Grundlage der Geometrie nehmen, wenn auch weniger offenbar, in der That ein Ergebnis der Erfahrung." Man sehe auch das Werk von Houeel, _Du role de l'experience dans les sciences exactes_ (Prag, 1875), oder die Uebersetzung, die davon in _Grunerts Arch._ 59 veroeffentlicht wurde.

[682] Ich bemerke, dass, wer die _Ausdehnungslehre_ des grossen deutschen Geometers und Philologen Hermann Grassmann liest, mit Erstaunen sehen wird, dass er schon 1844 zu Schluessen gelangt war, die von den im Texte angegebenen nicht sehr verschieden sind. Aber wer weiss nicht, dass, um geschaetzt zu werden, dieses ausgezeichnete Werk noetig hatte, dass andere auf einem anderen Wege zu den aeusserst originellen Wahrheiten gelangten, die es enthaelt? -- Hier scheint es mir angebracht zu sein, eine Erklaerung zu geben, welche zu meiner Rechtfertigung dient. Bei dieser kurzen Geschichte der Kaempfe, welche die Geometer in diesen letzten Zeiten ausgefochten haben, traf es sich selten und nur fluechtig, dass ich Arbeiten von Grassmann zitierte, und ich glaube nicht, dass ich noch Gelegenheit haben werde, diesen Namen auszusprechen. Das heisst nicht, dass dieser Geometer nicht der Erwaehnung wuerdig sei, dass seine Entdeckungen und seine Methoden nicht verdienten, bekannt zu werden; aber es liegt daran, dass der Formalismus, in den er seine Gedanken gekleidet, sie den meisten unzugaenglich gemacht und ihnen fast jede Moeglichkeit genommen hat, irgend einen Einfluss auszuueben. Grassmann war waehrend eines grossen Teiles seines Lebens ein Einsiedler in der Mathematik; nur waehrend seiner letzten Jahre befasste er sich damit, etliche seiner Produktionen in modernem Gewande zu veroeffentlichen, um deren Verwandtschaft mit denen seiner Zeitgenossen zu zeigen (man sehe _Math. Ann._ 10, 12; _Goettinger Nachr._ 1872; _Journ. fuer Math._ 84); daher ist es natuerlich, dass ihn zu nennen demjenigen selten widerfaehrt, welcher sich vornimmt, die Errungenschaften zu beschreiben, die man den vereinten Anstrengungen der modernen Geometer verdankt. -- Man vergleiche Peano, _Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle operazioni della logica deduttiva_ (Turin, 1888). -- Ueber die wissenschaftlichen Verdienste Grassmanns sehe man einen Artikel von Cremona in den _Nouv. Ann._ I, 19, dann den 14. Bd. der _Math. Ann._ und den 11. Bd. des _Bulletino di Bibliografia e di Storia delle Scienze matematiche_. Ein Vergleich zwischen den Methoden Grassmanns und anderen moderneren wurde von Schlegel in der _Zeitschr. f. Math._ 24 gemacht.

[683] _Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie_ (_Math. Ann._ 4).

[684] _Nouv. Ann._ 12.

[685] _Phil. Trans._ 149; vgl. Clifford, _Analytical Metrics_ (_Quart. Journ._ 1865, 1866 oder _Mathematical Papers_, S. 80).

[686] Eine spaetere Abhandlung von Klein unter demselben Titel (_Math. Ann._ 6) ist zur Ergaenzung einiger Punkte der ersteren bestimmt. An dieselbe knuepfen sich die wichtigen Untersuchungen von Lueroth und Zeuthen (_Math. Ann._ 7), von Thomae (vgl. die 2. Aufl. der _Geometrie der Lage_ von Reye), von Darboux (_Math. Ann._ 17), von Schur (das. 18), de Paolis (_Lincei Mem._ 1880-1881) und von Reye (3. Aufl. der _Geometrie der Lage_) ueber den Fundamentalsatz der projektiven Geometrie.

[687] _Etudes de mecanique abstraite_ (_Memoires couronnees par l'Academie de Belgique_ 21, 1870).

[688] _Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 36; _Torino Mem._ II, 29; _Mem. de la societa italiana delle scienze_ III, 2.

[689] _Wiener Ber._ 1874. Man sehe auch die schoene Abhandlung von Beltrami: _Sulle equazioni generali dell' elasticita_, in den _Annali di Matem._ II, 10.

[690] _Sull' applicabilita delle superficie degli spazii a curvatura costante_ (_Lincei Atti_ III, 2).

[691] _Lincei Rend._ 1873 und 1876.

[692] _Annali di Matem._ II, 6, 7; _Giorn. di Matem._ 13; _Torino Atti_, 1876; _Lincei Mem._ III, 3; _Lombardo Rend._ 1881.

[693] _Lincei Mem._ 1877-1878.

[694] _Lombardo Rend._ II, 14, 15.

[695] _Math. Ann._ 5.

[696] _Math. Ann._ 7.

[697] _Goettinger Nachr._ 1873.

[698] _Amer. Journ._ 2, 4, 5.

[699] _Die Massfunktionen in der analytischen Geometrie._ Programm (Berlin, 1873).

[700] _Math. Ann._ 10.

[701] _Quart. Journ._ 18.

[702] _On the theory of screws in elliptic space._ (_Proc. math. Soc._ 15 und 16).

[703] Die interessantesten von den mir bekannten sind die von Segre, _Sulle geometrie metriche dei complessi lineari e delle sfere_, veroeffentlicht in den _Torino Atti_, 1883.

[704] Das Produkt zweier Strecken ist eine Flaeche, das dreier ein Koerper, was ist das geometrische Bild des Produktes von vieren? -- Die analytischen Geometer der Cartesischen Epoche bezeichneten dasselbe durch das Wort "sursolide" (ueberkoerperlich), welches sich in ihren Schriften findet; man kann sie daher als diejenigen ansehen, welche zuerst die im Texte erwaehnte Richtung eingeschlagen haben.

[705] S. Cayley, _A memoir on abstract Geometry_ (_Phil. Trans._ 1870); vgl. auch _Cambridge Journ._ 4, 1845.

[706] _Comptes rendus_, 1847.

[707] Ueberdies scheint es ausser Zweifel zu stehen, dass Gauss ausgedehnte und bestimmte Ideen ueber die Geometrie von mehreren Dimensionen gehabt hat; vgl. Sartorius von Waltershausen, a. O. S. 81 (s. Note 673 des vor. Abschn.).

[708] _Theorie des fonctions analytiques_ (Paris, an V, S. 223).

[709] Ich darf nicht verschweigen, dass schon 1827 Moebius einen Einblick hatte, wie durch Zulassung der Existenz eines vierdimensionalen Raumes ein unerklaerlicher Unterschied zwischen der Ebene und dem Raume aufgehoben wird; dieser Unterschied besteht darin, dass, waehrend man zwei in Bezug auf eine Gerade symmetrische ebene Figuren immer zur Deckung bringen kann, es nicht moeglich ist, zwei raeumliche in Bezug auf eine Ebene symmetrische Figuren zusammenfallen zu lassen. Spaeter bemerkte Zoellner beilaeufig, wie die Existenz eines vierdimensionalen Raumes gewisse Bewegungen zulassen wuerde, die wir fuer unmoeglich halten; die folgenden Resultate koennen als Beispiele zu dieser Beobachtung dienen: Newcomb zeigte (_Amer. Journ._ 1), dass, wenn es einen Raum von vier Dimensionen giebt, es moeglich ist, die beiden Seiten einer geschlossenen materiellen Flaeche umzuwechseln, ohne dieselbe zu zerreissen. Klein bemerkte (_Math. Ann._ 9), dass bei dieser Voraussetzung die Knoten nicht erhalten bleiben koennten, und Veronese fuehrte (in der 1881 an der Universitaet zu Padua gehaltenen _Prolusione_) die Thatsache an, dass man dann aus einem geschlossenen Zimmer einen Koerper herausnehmen koenne, ohne die Waende desselben zu zerbrechen. Hoppe gab (_Grunerts Arch._ 64) Formeln an, welche die Beobachtungen Kleins illustrierten. Diese Formeln erforderten einige Modifikationen, die von Durege angegeben wurden (_Wiener Ber._ 1880); vgl. auch _Grunerts Arch._ 65 und die synthetischen Betrachtungen von Schlegel, _Zeitschr. f. Math._ 28.

[710] _Annali di Matem._ II, 2 und 5.

[711] _Journ. fuer Math._ 65; _Annali di Matem._ II, 5.

[712] _Journ. fuer Math._ 83.

[713] _Amer. Journ._ 2.

[714] _Die Nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung_, Leipzig, 1885.

[715] _Math. Ann._ 27.

[716] _Annali di Matem._ II, 4.

[717] _Proc. math. Soc._ 7 oder _Mathematical Papers_, S. 236.

[718] _Bull. sciences math._ 11, 1876.

[719] _Comptes rendus_, 79.

[720] _Journ. fuer Math._ 70 flgg., _Quart. Journ._ 12.

[721] _Proc. math. Soc._ 9.

[722] _Berliner Dissertation_, 1880.

[723] _Phil. Trans._ 175.

[724] _Journ. fuer Math._ 98.

[725] Nach Lipschitz hatte Lejeune-Dirichlet (1805-1859) das allgemeine Gravitationsgesetz im elliptischen Raume studiert. Diese Studien wurden dann von Schering bearbeitet und in den _Goettinger Nachr._ 1870 und 1873 veroeffentlicht.

[726] _Comptes rendus_ 79.

[727] _Math. Ann._ 19.

[728] Hoppe machte analoge Untersuchungen fuer die Kurven des vierdimensionalen Raumes (_Grunerts Arch._ 64).

[729] _Amer. Journ._ 4.

[730] _Berliner Ber._ 1869.

[731] _Math. Ann._ 7; _Zeitschr. f. Math._ 20, 21, 24.

[732] _Journ. fuer Math._ 70 und 72.

[733] _Journ. fuer Math._ 70.

[734] _Math. Ann._ 24.

[735] _Bull. sciences math._ I, 4.

[736] _Math. Ann._ 26.

[737] _Collectanea mathematica; Annali di matem._ II, 10.

[738] _Goettinger Nachr._, 1871.

[739] _Math. Ann._ 5.

[740] _Journ. fuer Math._ 81; _Comptes rendus_ 82.

[741] _Amer. Journ._ 4.

[742] _Journ. fuer Math._ 74 oder _Quart. Journ._ 12. Ich fuege noch hinzu, dass Salmon und Cayley sich der Raeume von mehreren Dimensionen in ihren Untersuchungen ueber die Theorie der Charakteristiken (s. IV) bedient haben, dass Mehler, _Journ. fuer Math._ 84, eine Anwendung von der Betrachtung eines vierdimensionalen Raumes fuer Untersuchungen ueber dreifache Systeme orthogonaler Oberflaechen, und dass Lewis davon eine aehnliche Anwendung machte bei der Betrachtung einiger Traegheitsmomente (_Quart. Journ._ 16). Dann fand Wolstenholme, dass die Zahl der Normalen, die man von einem Punkte eines d-dimensionalen Raumes an eine Oberflaeche von der n^{ten} Ordnung ziehen kann,

n --- { (n-1)^d - 1 } n-2

betraegt (_Educational Times_ 10).

[743] _Von den Elementen und Grundgebilden der synthetischen Geometrie_ (Bamberg, 1887).

[744] _Grunerts Arch._ 64.

[745] _Bull. Soc. math._ 10.

[746] _Grunerts Arch._ 70.

[747] _Amer. Journ._ 3.

[748] _Grunerts Arch._ 66, 67, 68, 69.

[749] _Nova Acta der Leopold.-Carol. Akademie_ 44.

[750] _Die polydimensionalen Groessen und die vollkommenen Primzahlen._

[751] _Von Koerpern hoeherer Dimensionen_ (Kaiserslautern, 1882).

[752] _Wiener Ber._ 90.

[753] _Wiener Ber._ 89 und 90.

[754] Diese bilden eine der merkwuerdigsten von den durch L. Brill in Darmstadt veroeffentlichten Serien von Modellen.

[755] _Journ. fuer Math._ 31, S. 213. Liest man die wenigen Seiten, welche die Abhandlung von Cayley bilden, so gewinnt man die Ueberzeugung, dass er schon 1846 einen klaren Einblick von der Nuetzlichkeit hatte, welche der gewoehnlichen Geometrie der Lage die Betrachtung des Raumes von mehreren Dimensionen bringen koenne.

[756] _Histoire de l'astronomie moderne_ 2, S. 60.

[757] _Phil. Trans._ 1878 oder _Mathematical Papers_ S. 305.

[758] _Math. Ann._ 19.

[759] Unter den in der Abhandlung von Veronese bearbeiteten Untersuchungen sind die ueber die Konfigurationen besonderer Erwaehnung wert, ferner die Formeln, welche -- als eine Erweiterung derer von Pluecker und Cayley -- die gewoehnlichen Singularitaeten einer Kurve eines n-dimensionalen Raumes unter einander verknuepfen, die Erzeugung von in einem solchen Raume enthaltenen Oberflaechen durch projektive Systeme und die Anwendung derselben auf das Studium einiger Oberflaechen unseres Raumes; dann kann ich nicht stillschweigend uebergehen die Studien ueber die in einem quadratischen Gebilde von n Dimensionen enthaltenen linearen Raeume, die Veronese gemacht hat, um einige Saetze von Cayley zu erweitern (_Quart. Journ._ 12), indem er die von Klein (_Math. Ann._ 5) verallgemeinerte stereographische Projektion anwandte, ferner nicht etliche wichtige Resultate ueber die Kurven, von denen uebrigens einige schon Clifford (_Phil. Trans._, 1878) auf einem anderen Wege erhalten hatte.

[760] _Annali di Matem._ II, 11; _Lincei Mem._ 1883-1884; _Atti dell' Istituto Veneto_ V, 8. Letztere Abhandlung ist der darstellenden Geometrie des Raumes von 4 Dimensionen gewidmet und kann daher als die Ausfuehrung eines Gedankens angesehen werden, den Sylvester im Jahre 1869 in seiner Rede vor der British Association angedeutet hat.

[761] _Torino Mem._ II, 36.

[762] _Lincei Mem._ 1883-1884; _Torino Mem._ II, 37; _Lincei Rend._ 1886.

[763] _Torino Atti_ 19.

[764] _Torino Atti_ 19, 20, 21; _Math. Ann._ 27.

[765] _Math. Ann._ 24.

[766] _Torino Atti_ 20.

[767] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1886. Man sehe auch desselben Verfassers wichtige Note: _Sui sistemi lineari, Lombardo Rend._ 82.

[768] _Lombardo Rend._ 1885, 1886.

[769] _Napoli Rend._ 1885, 1886. Vgl. auch Rodenberg, _Math. Ann._ 26.

[770]

Ich kann sie alle hier nicht wiederholen, Weil mich des Stoffes Fuelle so bedraengt, Dass hinter dem Gescheh'nen oft das Wort bleibt. -- (Dantes _Divina Commedia_, der _Hoelle_ 4. Ges. V. 145-147.)