Part 11

[482] _Torino Mem._ II, 32 und _Collectanea mathematica_. An diese Abhandlungen schliesst sich eine von Gerbaldi, _Sui sistemi di cubiche gobbe o di sviluppabili di III. classe stabiliti col mezzo di due cubiche punteggiate projettivamente_ (_Torino Mem._ II, 32).

[483] _Giorn. di Matem._ 17 (1879). Betreffend die ausgearteten Formen der kubischen Raumkurve sehe man eine Note von Schubert (_Math. Ann._ 15). Die Theorie der kubischen Raumkurven fuehrt zu einer interessanten geometrischen Darstellung der Theorie der binaeren algebraischen Formen, die von Laguerre (_L'Institut_ 40), von Sturm (_Journ. f. Math._ 86) und von Appell (_Ann. Ec. norm._ II, 5) bearbeitet wurde. Vgl. auch eine Note von J. Tannery (_Bull. sciences math._ 11). Ferner sehe man in bezug hierauf die Note von W. R. W. Roberts (_Proc. math. Soc._ 13) und das Buch von Franz Meyer, _Apolaritaet und rationale Kurven_ (Tuebingen, 1883). Eine gute Darlegung der Theorie der Raumkurven dritter Ordnung hat auch von Drach geliefert in der Schrift _Einleitung in die Theorie der kubischen Kegelschnitte_ (Leipzig, 1867), infolge deren Beltrami interessante _Annotazioni_ geschrieben hat (_Lombardo Rend._ II, 1).

[484] _Comptes rendus_ 53 (1861).

[485] _Annali di matem._ 4. -- Die Note von Story, _On the number of intersections of curves traced on a scroll of any order_ (_Johns Hopkins Baltimore University Circulars_ 2, 1883) enthaelt eine Verallgemeinerung eines sehr wichtigen Theoremes von Chasles.

[486] Poncelet machte im Jahre 1822 die bemerkenswerte Entdeckung, dass durch jede Raumkurve vierter Ordnung erster Art vier Kegel zweiten Grades hindurchgehen. (S. _Traite des proprietes projectives_ I, S. 385, 2. Aufl.)

[487] _Comptes rendus_ 54, 55.

[488] _Comptes rendus_ 54; _Bologna Mem._ 1861; _Lombardo rend._ II, 1.

[489] _Annali di Matem._ II, 2.

[490] _Geometrie de direction_ (Paris, 1869); _Comptes rendus_ 82.

[491] _Liouvilles Journ._ II, 15.

[492] _Journ. fuer Math._ 97. -- Eine bemerkenswerte spezielle Raumkurve vierter Ordnung erster Art hat Schroeter untersucht: _Journ. fuer Math._ 93.

[493] _Math. Ann._ 12, 13.

[494] _Zeitschr. f. Math._ 28.

[495] _Math. Ann._ 13. Vgl. Cayley (das. 25).

[496] _Comptes rendus_ 82.

[497] _Annali di Matem._ I, 4.

[498] _Giorn. di Matem._ 11, 12.

[499] _Lombardo rend._ 1872.

[500] _Wiener Ber._ 1871. Ueber die rationalen Kurven vierter Ordnung sehe man auch Study (_Leipziger Sitzungsber._ 1886), die _Habilitationsschrift_ von Jolles (Aachen, 1886) und die Abhandlung von Roberts (_Proc. math. Soc._ 14). -- Unter den rationalen Kurven vierter Ordnung ist eine sehr bemerkenswerte diejenige, welche zwei stationaere Tangenten hat. Die eleganten Eigenschaften, welche dieselbe besitzt, wurden von Cremona (_Lombardo Rend._ 1868), Em. Weyr (das. 1871) und Appell (_Comptes rendus_ 83) entdeckt.

[501] _Comptes rendus_ 70.

[502] _Vierteljahrsschrift der naturf. Ges. in Zuerich_ 20.

[503] Ausser den zitierten _Synthetischen Untersuchungen_ sehe man _Journ. fuer Math._ 88 und _Math. Ann._ 21.

[504] S. Korndoerfer und Brill, _Math. Ann._ 3; Saltel, _Comptes rendus_ 80; Genty, _Bull. Soc. math._ 9.

[505] Siehe unter anderem die Bemerkung von Buchheim, _On the extension of certain theories relating to plane cubics to curves of any deficiency_ (_Proc. math. Soc._ 13).

[506] _Collectanea mathematica_.

[507] _Journ. fuer Math._ 99.

[508] Chasles, _Apercu historique_, 2. Aufl., S. 269; in der deutschen Uebersetzung von Sohncke, S. 267.

[509] Diese Konstruktion, die von den Deutschen "Steinersche Projektion" genannt wird, wurde im Jahre 1865 von neuem von Transon (1806-1876) gefunden, der ihr den Namen "_projection gauche_" gab (_Nouv. Ann._ II, 4 und 5).

[510] _Traite des proprietes projectives_ (1. Aufl. 1822, S. 198).

[511] _Journ. fuer Math._ 5.

[512] _Journ. fuer Math._ 8, und _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833.

[513] _Torino Mem._ 1862.

[514] _Grunerts Arch._ 7.

[515] _Zeitschr. f. Math._ 11.

[516] _Liouvilles Journ_. 10, 12. Vorher hatten schon G. Bellavitis (_Nuovi Saggi dell' Accademia di Padova_ 4 (1836) und Stubbs (_Phil. Mag._ 23, 1843) sich mit dieser Korrespondenz beschaeftigt. Man sehe auch Steiners Aufsatz aus dem Jahre 1826: _Einige geometrische Betrachtungen_ (_Journ. fuer Math._ 1; _Gesammelte Werke_ Bd. I, S. 19) Nr. 20.

[517] Auf den Begriff der Inversion ist von Johnson (Analyst 4) eine neue Einteilung der ebenen Kurven gegruendet worden. In derselben bedeutet der Name "Kreisgrad" einer Kurve den Grad ihrer Gleichung (in rechtwinkligen cartesischen Koordinaten) in x, y, r = x^2 + y^2; der Kreisgrad einer Kurve wird durch die Inversion nicht veraendert. Zwei Kurven, welche denselben Grad haben, gehoeren zu derselben Kategorie. Diese Einteilung scheint jedoch nicht von grosser Wichtigkeit zu sein.

[518] _Sammlung von Aufgaben und Lehrsaetzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833.

[519] In den Jahren 1859 und 1860 studierte Jonquieres die (nach seinem Namen benannte) Transformation n^{ter} Ordnung, bei welcher jeder Geraden eine Kurve n^{ter} Ordnung mit einem (n - 1)-fachen Punkte entspricht. Einige seiner Resultate wurden im Jahre 1864 in den _Nouv. Ann._ veroeffentlicht, aber das vollstaendige Werk, welches er dieser Transformation widmete, erschien erst 1885 und zwar durch Guccia (s. _Giorn. di Matem._ 23) herausgegeben. Wir bemerken auch, dass schon 1834 Moebius (_Journ. fuer Math._ 12; _Gesammelte Werke,_ 1) die eindeutige Korrespondenz zwischen zwei Ebenen, bei denen die Flaecheninhalte entsprechender Figuren in einem konstanten Verhaeltnisse stehen, studiert hat. Die Untersuchungen sind jedoch von ganz anderer Art als die im Texte betrachteten.

[520] _Bologna Mem._ 2, 5 (1863 und 1865); _Giorn. di Matem._ 1 und 3; vgl. auch Dewulfs Bearbeitung im _Bull. sciences math._ 5.

[521] _Proc. math. Soc._ 3.

[522] _Math. Ann._ 4.

[523] _Math. Ann._ 3, 5.

[524] _Journ. fuer Math._ 73.

[525] _Proc. math. Soc._ 4.

[526] Hier will ich einen wichtigen Lehrsatz beruehren, der gleichzeitig von Clifford (_Proc. math. Soc._ 3), Noether (_Goettinger Nachr._ 1870; _Math. Ann._ 3) und Rosanes (_Journ. fuer Math._ 73) erhalten wurde, und fuer einen Augenblick die Wichtigkeit der Cremonaschen Transformation aufzuheben schien: "Jede eindeutige Transformation von hoeherer als erster Ordnung kann man durch Wiederholung von quadratischen Transformationen erhalten." Dieser Satz ist offenbar die Umkehrung desjenigen von Magnus, der vorhin im Texte angefuehrt wurde.

[527] _Bologna Mem._ 1877-1878.

[528] _Comptes rendus_, 1885; _Giorn. di Matem._ 24.

[529] _Annali di Matem._ II, 10.

[530] _Comptes rendus_, 1885; _Rendic. del Circolo Matematico di Palermo_ 1.

[531] Man sehe die in den _Comptes rendus_, 1883, 1884, 1885, 1886 und in _Liouvilles Journ._ 1885, 1886, 1887 veroeffentlichten Abhandlungen.

[532] _Annali di Matem_. 7, ferner _Giorn. di Matem_. 4.

[533] _Proc. math. Soc._ 2.

[534] _Math. Ann._ 26.

[535] _Bull. sciences math._ II, 6 und 7.

[536] Meistenteils wurden die geometrischen Transformationen auf das Studium der algebraischen Kurven angewandt; jedoch fehlt es nicht an Schriften, welche sich mit der Transformation transcendenter Kurven in andere oder in sich selbst befassen: z. B. Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrsaetzen aus der analytischen Geometrie der Ebene_, 1833, S. 320, 455, 457-459, 497; Klein und Lie, _Math. Ann._ 4.

[537] _Annali di Matem._ II, 8; _Lombardo Rend._ 1883. Vgl. auch Geiser, _Journ. fuer Math._ 67.

[538] _Napoli Rend._, 1879.

[539] Die neueste Form, welche die Bertinischen Untersuchungen infolge dessen angenommen, machte es meinem Freunde Martinetti leichter, auf dem von diesem Gelehrten vorgezeichneten Wege weiter zu schreiten und die ebenen involutorischen Transformationen dritter und vierter Klasse zu bestimmen (_Annali di Matem._ II, 12, 13). Die Theorie der ebenen Transformationen wird sich binnen kurzem durch die wichtige Arbeit von Kantor bereichern, welche von der Akademie zu Neapel gekroent worden ist und jetzt gedruckt wird. Einzelne Resultate finden sich in den _Wiener Ber._ 1880 ausgesprochen, sowie in den _Wiener Denkschriften_ 46.

Saltel verdanken wir die Idee einer speziellen involutorischen Transformation dritten Grades, die er schon 1872 unter dem Namen "_Transformation arguesienne_" nach Desargues benannt (s. die _Memoires de l'Academie de Belgique_ 12, _Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 24), studiert hat. Man stellt dieselbe auf folgende Weise her: Gegeben sind in einer festen Ebene [PI] zwei Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 und ein fester Punkt O; man laesst entsprechen einem Punkte P von [PI] seinen konjugierten in der Involution, die auf der Geraden OP bestimmt wird durch den Kegelschnittbueschel, den [GAMMA]_1, und [GAMMA]_2 konstituieren. Es sind fundamental der Punkt O und die Grundpunkte dieses Bueschels. -- Wenn jene beiden Kegelschnitte [GAMMA]_1 und [GAMMA]_2 zusammenfallen, so reduziert sich diese Transformation offenbar auf die quadratische Inversion von Hirst. -- Im Raume hat man eine aehnliche Transformation. -- Eine andere Transformation ("_transformation hyperarguesienne_") wurde von demselben Verfasser als Erweiterung der vorhergehenden eingefuehrt (_Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 12) und wird auf folgende Weise hergestellt: Gegeben in einer Ebene [PI] drei Kegelschnitte [GAMMA]_1, [GAMMA]_2, [GAMMA]_3 und ein fester Punkt O. Man laesst einem Punkte P von [PI] seinen homologen entsprechen in der Projektivitaet, die bestimmt ist auf OP von den drei Paaren von Punkten, in welchen diese Gerade von den drei Kegelschnitten getroffen wird; jedoch ist diese Korrespondenz offenbar nicht birational. -- Die erste der Saltelschen Transformationen kann zur Loesung von Problemen aus der Theorie der Charakteristiken fuer die Kurven hoeherer als zweiter Ordnung dienen (_Bull. Soc. Math._ 2).

[540] _Bull. Soc. math._ 8; _Comptes rendus_ 94; _Nouv. Ann._ III, 1, 2. Diese Transformation kann man, wie Laguerre selbst bemerkte, auf den Raum ausdehnen (_Comptes rendus_ 92), jedoch ist die Art der Korrespondenz, die man erhaelt, keine neue; sie ist nach einer Bemerkung von Stephanos (_Comptes rendus_ 92) dieselbe, vermittelst derer Lie die Geometrie der Geraden mit der der Kugel verknuepfte (_Math. Ann._ 5).

[541] Die verschiedenen Abhandlungen von Moebius ueber diese Theorie finden sich vereint im II. Bande seiner _Gesammelten Werke_ (Leipzig, 1886).

[542] _Journ. fuer Math._ 55, 57, 59; _Grunerts Arch._ 33.

[543] _Grunerts Arch._ 42.

[544] _Bologna Mem._ 1870.

[545] _Journ. fuer Math._ 69.

[546] Des Naeheren siehe die Abhandlung: _Geometrie des polynomes_ (_Journ. Ec. polyt._ 28).

[547] _Beitraege zur geometrischen Interpretation binaerer Formen_ (Erlangen, 1875); vgl. _Math. Ann._ 9; _Studien im binaeren Wertgebiete_ (Karlsruhe, 1876); _Math. Ann._ 17; _Erlanger Berichte_, 1875.

[548] Siehe das Werk: _Einfuehrung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften_ (Leipzig, 1883).

[549] Zwischen drei geometrischen Gebilden kann man eine Korrespondenz aufstellen, so dass einem Paare von Elementen, das eine genommen in dem einen, das andere in einem zweiten, eindeutig ein solches im dritten Gebilde entspricht. Wenn unter Festhaltung eines Elementes die anderen beiden projektive Systeme beschreiben, so nennt man die Korrespondenz trilinear, und diese wurde im Falle der Gebilde erster Stufe von Rosanes (_Journ. fuer Math._ 1888) behandelt, sodann von Schubert (_Math. Ann._ 17 und _Mitteilungen der Math. Ges. in Hamburg_, 1881) und in einem Spezialfalle von Benno Klein (_Theorie der trilinear-symmetrischen Elementargebilde_, Marburg, 1881); im Falle der Gebilde zweiter Stufe von Hauck (_Journ. fuer Math._ 90, 97, 98), welcher einige Anwendungen derselben auf die darstellende Geometrie machte, die von bemerkenswertem praktischen Nutzen zu sein scheinen.

Fast gleichzeitig mit den Arbeiten von Schubert sind diejenigen, in denen Le Paige mit Hilfe der Theorie der algebraischen Formen die trilineare Korrespondenz untersuchte und auf die Geometrie anwandte; man sehe die _Essais de Geometrie superieure du troisieme ordre_ (_Mem. de la Soc. des sciences de Liege_ II, 10) und die Noten, welche im _Bulletin de l'Academie de Belgique_ III, 5 und in den _Wiener Ber._ 1883 veroeffentlicht sind. Derselbe Geometer beschaeftigte sich auch mit der quadrilinearen Beziehung (_Torino Atti_ 17, 1882) und machte von ihr Anwendung auf die kubischen Flaechen und gewisse Flaechen vierter Ordnung (_Bulletin de l'Academie de Belgique_ III, 4; _Acta math._ 5).

Wir unterlassen nicht, zu erwaehnen, dass die duploprojektive Beziehung, durch welche schon 1862 F. August die kubische Oberflaeche erzeugte (_Disquisitiones de superficiebus tertii ordinis, Berliner Dissertation_), eine trilineare Beziehung ist.

[550] Wenn z. B. ein Dreieck ABC gegeben ist, so sei P ein beliebiger Punkt seiner Ebene. Es giebt nun einen Kegelschnitt K, welcher die Seiten des Dreieckes in den Punkten (PA, BC), (PB, CA), (PC, AB) beruehrt. Laesst man K dem P entsprechen, so hat man eine Korrespondenz von der im Texte angegebenen Art. Aehnlich erhaelt man eine duale Korrespondenz. Beide wurden von Montag in seiner Dissertation: _Ueber ein durch die Saetze von Pascal und Brianchon vermitteltes geometrisches Beziehungssystem_ (Breslau, 1871) studiert. Weitere analoge Korrespondenzen kann man aus der Beobachtung entnehmen, dass jeder Punkt der Ebene ABC der Mittelpunkt eines Kegelschnittes ist, der dem Dreiecke ABC eingeschrieben ist, eines ihm umgeschriebenen und eines solchen, fuer welchen ABC ein Polardreieck ist. Aehnlich: Gegeben ein Tetraeder ABCD; man kann jedem Punkte P des Raumes die Flaeche zweiter Ordnung zuordnen, fuer welche P das Zentrum ist und in bezug auf welche ABCD ein Polartetraeder ist.

[551] _Math. Ann._ 6.

[552] Man sehe ausserdem die Arbeiten von Godt (_Goettinger Dissertation_, 1873), Armenante (_Lincei Atti_, 1875), Battaglini (_Giorn. di Matem._ 19, 20), Peano (_Torino Atti_ 16) und von Amodeo (_Napoli Rend._ 1887). Die den Konnexen analogen Figuren im Raume wurden von Krause behandelt (_Math. Ann._ 14). Man sehe auch zwei Noten von Lazzeri, _Sulle reciprocita birazionali nel piano e nello spazio_ (_Lincei Rend._ 1886).

[553] _Gauss' Werke_, 4. Bd. Eine italienische Uebersetzung wurde von Beltrami in den _Annali di Matem_. 4 veroeffentlicht.

[554] Die Methoden, die geographischen Karten zu konstruieren, gehoeren in die Anwendungen der Geometrie und befinden sich deshalb nicht unter denjenigen, deren Geschichte wir hier verzeichnen wollen. Wir verweisen daher den, der alle diejenigen kennen lernen will, welche angewandt worden sind, auf die Schriften von Fiorini, _Le projezioni delle carte geografiche_ (Bologna, 1881) und Zoeppritz, _Leitfaden der Kartenentwurfslehre_ (Leipzig, 1884). Eine Ausnahme will ich nur machen mit den Arbeiten von Tissot (_Comptes rendus_ 49; vgl. auch Dini, _Memoria sopra alcuni punti della teoria delle superficie_ [Florenz, 1868]; _Journ. Ec. polyt._ 37; _Nouv. Ann._ II, 17 flgg.), weil sie ein grosses Interesse auch vom Standpunkte der reinen Wissenschaft haben.

[555] Diese Abbildung, die man heute die "sphaerische" nennt, wurde vor Gauss von O. Rodrigues im Jahre 1815 angegeben; jedoch hat dieser ihre ganze Fruchtbarkeit nicht so in das Licht gestellt als der grosse deutsche Geometer.

[556] _Journ. fuer Math._ 34.

[557] _Comptes rendus_, 53.

[558] _Phil. Mag._ 1861.

[559] _Journ. fuer Math._ 68, oder _Grundzuege einer allgemeinen Theorie der Oberflaechen_ (Berlin, 1870), III. T.

[560] _Journ. fuer Math._ 65.

[561] _Math. Ann._ 1.

[562] S. _Journ. fuer Math._, _Math. Ann._ und _Goettinger Nachr._ und _Abh._

[563] _Math. Ann._ 4; _Annali di Matem._ II, 1; _Goettinger Nachr._ 1871 und viele andere Abhandlungen, welche in den _Lombardo Rend._ und den _Bologna Mem._ stehen. In der Abhandlung in den _Annali_ studierte Cremona die Regelflaechen (m + n)^{ten} Grades, welche eine m-fache und eine n-fache Leitlinie haben, und fand, dass deren asymptotische Kurven im allgemeinen algebraische Kurven von der Ordnung 2(m + n - 1) sind. Eine Konstruktion dieser Kurven wurde spaeter von Halphen angegeben (_Bull. Soc. math._ 5).

[564] _Math. Ann._ 3; vgl. auch das. 21, dann ziehe man auch noch eine Abhandlung von Brill hinzu (_Math. Ann._ 5).

[565] _Annali di Matem._ II, 1.

[566] _Math. Ann._ 4.

[567] _Math. Ann._ 1.

[568] _Annali di Matem._ II, 7.

[569] Z. B. sehe man Darboux (_Bull. Soc. math._ 2), Frahm (_Math. Ann._ 7), Lazzeri (_Annali della Scuola nuova sup. di Pisa_, 6), Guccia (_Association francaise pour l'avancement des sciences, Congres de Reims_, 1880).

[570] Ein wichtiger Begriff, den Clebsch bei seinen Studien ueber die Abbildung der Regelflaechen aufstellte (_Math. Ann._ 5), ist der des Typus einer Flaeche. Zwei Flaechen sind von demselben Typus, wenn bei der Abbildung der einen auf die andere es keine Fundamentalpunkte giebt, z. B, ist die roemische Flaeche von Steiner von demselben Typus mit der Ebene.

[571] S. die _Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_.

[572] _Comptes rendus_, 1868.

[573] _Math. Ann._ 3.

[574] _Annali di Matem._ II, 5; _Goettinger Nachr._ 1871 und 1873.

[575] _Math. Ann._ 4, 9, 10.

[576] Die Flaechen vierter Ordnung, von denen man die Abbildung auf eine Ebene kennt, sind die rationalen Regelflaechen, die roemische Flaeche, die Oberflaechen mit einer Doppelgeraden oder einem doppelten Kegelschnitte, die Monoide und eine Oberflaeche, die einen uniplanaren Doppelpunkt hat (s. eine Abhandlung von Noether in den _Goettinger Nachr._ 1871 und eine von Cremona in den _Collectanea mathematica_). Wer die Abbildung einer Oberflaeche auf einer anderen studieren will, darf die schoenen Untersuchungen von Zeuthen (s. die vorige Note und _Comptes rendus_, 1870) nicht uebergehen und die darauf folgenden von Krey (_Math. Ann._ 18) und Voss (_Math. Ann._ 27); einen nicht geringen Nutzen kann er auch aus der von Kantor (_Journ. fuer Math._ 95) aufgestellten Korrespondenz ziehen, die zwischen den Punkten einer gewissen kubischen Flaeche und gewissen Tripeln von Punkten einer Ebene besteht.

[577] _Math. Ann._ 3.

[578] _Math. Ann._ 3.

[579] _Apercu historique_, Note 28.

[580] _Lincei Mem._ 1876, 1877, 1878. Vgl. eine Note von Noether in den _Erlanger Sitzungsberichten_, 1878.

[581] _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analyt. Geom. d. Raumes_, S. 403 flg.

[582] _Journ. fuer Math._ 49.

[583] S. Note 563. Vgl. auch Sturm, _Math. Ann._ 19.

[584] _Proc. Math. Soc._ 3.

[585] _Math. Ann._ 3.

[586] _Lombardo Rend._ 1871; _Annali di Matem._ II, 5; _Bologna Mem._ 1871-1872. Man sehe auch die neuesten Arbeiten desselben Geometers in den _Transactions of Edinburgh_ 32, II. Th. und in den _Irish Trans._ 28 und _Proc. math. Soc._ 15.

[587] _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analyt. Geom. des Raumes_, 1837, S. 417-418, Anmerkung.

[588] Unter diesen fuehre ich die Abhandlung von de Paolis an: _Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d'ordine_ n _con un punto_ (n - 1)_-plo (Giorn. di Matem._ 13) die spaeteren ueber einige spezielle involutorische Transformationen des Raumes von Martinetti (_Lombardo Rend._ 1885) und von Paolis (_Lincei Trans._, 1885). -- Ich bemerke hier, was ich im Texte nicht thun konnte, dass es moeglich ist, das Punktfeld auf einer Geraden abzubilden und den Punktraum auf einer Ebene. Um erstere Abbildung auszufuehren, kann man jedem Punkte der Ebene ein Punktepaar der Geraden entsprechen lassen (Uebertragungsprinzip von Hesse, _Journ. fuer Math._ 66). Bei der zweiten kann man einem Punkte des Raumes den Kreis zuordnen, der den Fusspunkt des von jenem auf die darstellende Ebene gefaellten Lotes zum Mittelpunkt und zum Radius die Laenge dieses Lotes hat, indem man hinzufuegt, dass dieser Kreis in dem einen Sinne durchlaufen wird, wenn der Punkt auf der einen (bestimmten) Seite der Ebene liegt, im entgegengesetzten Sinne, wenn auf der anderen. Die Gesetze dieser Korrespondenz wurden von Fiedler vereinigt, um die Cyklographie zu bilden (s. das Werk _Cyklographie_, Leipzig, 1883, und die dritte Ausgabe der _Darstellenden Geometrie_) und wurden von ihm zur Loesung einiger Probleme angewandt (s. einige _Mitteilungen_ fuer die naturforschende Gesellschaft in Zuerich und _Acta math._ 5). Vor ihm jedoch hatte schon Crone verwandte Fragen in einer Dissertation behandelt, die sich in der _Tidsskrift for Mathematik_ 6 findet.

[589] Chasles, _Apercu historique_, 2. Ausg. S. 196.

[590] Magnus, _Sammlung von Aufgaben und Lehrsaetzen aus der anal. Geom. der Ebene_, 1833, S. 188 und 198.

[591] Voss, _Math. Ann._ 13; Segre, _Torino Mem._ II, 37; Sturm, _Math. Ann._ 26. In diesen Abhandlungen wird der Leser auch die weiteren bibliographischen Einzelheiten finden.

[592] Sturm, a. a. O.; Montesano, _Lincei Mem._ 1886.

[593] Lueroth, _Math. Ann._ 11, 13; Schroeter (das. 20); Veronese, _Lincei Mem._ 1881. S. auch einige der Abhandlungen, die sich in den _Gesammelten Werken_ von Moebius 2 finden. Auch die Arbeiten von Rosanes fuehren wir hier an (_Journ. fuer Math._ 88, 90, 95, 100), von Sturm (_Math. Ann._ 1, 6, 10, 12, 15, 19, 22, 28; _Proc. math. Soc._ 7), und von Pasch (_Math. Ann._ 23, 26), die verwandte Gegenstaende behandeln; dann noch die von Stephanos (_Math. Ann._ 23), von H. Wiener (_Rein geometrische Theorie der Darstellung binaerer Formen durch Punktgruppen auf der Geraden_, Darmstadt, 1885), von Segre (_Torino Mem._ II, 28 und _Journ. fuer Math._ 100), von Sannia (_Lezioni di geometria projettiva_, in Neapel im Drucke befindlich) ueber die Kollineationen und Korrelationen.

[594] _Math. Ann._ 3.

[595] _Giorn. di Matem._ 10.

[596] Man sehe die beiden von ihm 1884 zu Messina veroeffentlichten Abhandlungen.

[597] _Lombardo Rend._ 1886; _Lincei Rend._ 1885.

[598] _Die Geometrie der Lage._

[599] _Giorn. di Matem._ 21.

[600] _Lombardo Rend._ II, 14 und 15.

[601] _Journ. fuer Math._ 94.

[602] _Lincei Mem._ 1884-1885.

[603] _Wiener Ber._ 1881; _Journ. fuer Math._ 97.

[604] _Math. Ann._ 19 und 28.

[605] _Math. Ann._ 23.

[606] _Journ. fuer Math._ 82, in dem Aufsatze ueber reciproke Verwandtschaft von F^2-Systemen und [Phi]^2-Geweben.

[607] Ueber das gemeine Nullsystem vergl. die Note 610 des naechsten Abschnittes

[608] "Bis in die neueren Zeiten stand die analytische Methode, wie sie Cartesius geschaffen, sozusagen nur auf einem Fusse. Pluecker kommt die Ehre zu, sie auf zwei gleiche Stuetzen gestellt zu haben, indem er ein ergaenzendes Koordinatensystem einfuehrte. Diese Entdeckung war daher unvermeidlich geworden, nachdem einmal die Tiefblicke Steiners dem Geiste der Mathematiker zugefuehrt waren." Sylvester, _Phil. Mag_. III, 37, 1850, S. 363. Vgl. _Jahrbuch ueber die Fortschritte der Mathematik_ 2, S. 453.

[609] S. _Phil. Trans._, 1865, S. 725; 1866, S. 361.

[610] Es ist wohl zu beachten, dass ein linearer Komplex ein reciprokes Nullsystem veranlasst und dass dieses zuerst von Giorgini (_Memorie della Societa italiana delle scienze_ 20, 1827), dann aber auch von Moebius (_Lehrbuch der Statik_ I; vgl. auch _Journ. fuer Math._ 10, 1833) und von Chasles (_Apercu historique_, 1837) in ihren statischen und kinematischen Untersuchungen und von demselben Chasles und Staudt bei der Bestimmung der involutorischen reciproken Beziehungen gefunden wurde.

[611] _Cambridge Trans._ 11, Teil 2; _Quart. Journ._ 3.