Part 10

[275] Ausser den Kruemmungs- und asymptotischen Linien auf einer Flaeche sind noch diejenigen bemerkenswert, bei denen die Schmiegungskugel in einem beliebigen ihrer Punkte die Oberflaeche selbst beruehrt. Dieselben wurden von Darboux (_Comptes rendus_ 83) und von Enneper (_Goettinger Nachrichten_, 1871) studiert.

[276] Dupin fand (_Applications de Geometrie et de Mechanique_, 1822), dass die einzigen Oberflaechen, bei denen saemtliche Kruemmungslinien Kreise sind, die Kugel, der Rotations-Kegel und -Cylinder und die Cyklide sind, welch letztere er schon als die Enveloppe einer Kugel erkannt hatte, die sich so bewegt, dass sie immer drei feste Kugeln tangiert.

[277] _Liouvilles Journ._ 13.

[278] _Journ. Ec. polyt._ 19, 35; _Comptes rendus_ 42.

[279] _Atti dell' Accademia dei Quaranta_, 1868-1869; _Annali delle Universita toscane_, 1869; _Annali di Matem._ II, 1, 4.

[280] _Goettinger Abh._ 13, 16, 23; _Journ. fuer Math._ 94.

[281] _Comptes rendus_, 96.

[282] das. 46.

[283] _Journ. Ec. polyt._ 53.

[284] _Journ. fuer Math._ 94.

[285] _Goettinger Dissertation_, 1883.

[286] _Journ. fuer Math._ 59.

[287] _Annali di Matem._ I, 8.

[288] _Archiv for Math. og Naturvidenskab_, 4; _Bull. Sciences math._ II, 4.

[289] _Journ. fuer Math._ 62.

[290] _Berliner Ber._ 1840; _Journ. fuer Math._ 24.

[291] _Berliner Ber._ 1866.

[292] _Abhandlungen der Jablonowskischen Gesellschaft zu Leipzig_ 4; _Journ. fuer Math._ 13.

[293] _Liouvilles Journ._ II, 5.

[294] das. I, 11.

[295] _Goettinger Abh._ 13, _oder Gesammelte Werke_ S. 283 und 417. Niewenglowski hat die Riemannschen Untersuchungen in elementarer Form dargelegt in den _Ann. Ec. norm._ II, 9.

[296] _Berliner Ber._ 1867.

[297] _Math. Ann._ 1.

[298] _Akademiens Afhandlingar_, _Helsingfors_, 1883.

[299] _Journ. Ec. polyt._ 37.

[300] _Heidelberger Dissertation_, 1875.

[301] _Comptes rendus_ 41; vgl. Enneper, _Zeitschr. f. Math._ 7, 9.

[302] _Journ. Ec. polyt._ 39.

[303] _Bestimmung einer speziellen Minimalflaeche_ (Berlin, 1871). Vgl. Cayley, _Quart. Journ._ 14.

[304] _Journ. fuer Math._ 80.

[305] das. 87; _Comptes rendus_ 96.

[306] _Zeitschr. f. Math._ 14; _Goettinger Nachr._ 1866.

[307] _Liouvilles Journ._ II, 8.

[308] _Bologna Mem._ II, 7. Die wunderschoene Einleitung dieser Abhandlung enthaelt die Geschichte der Theorie der Minimalflaechen.

[309] _Archiv for Math. og Naturv._ 3, 4, 6; _Math. Ann._ 14, 15.

[310] _Journ. fuer Math._ 81, 85.

[311] _Annali di Matem._ II, 9.

[312] _Etude des elassoides. Memoires couronnes par l'Academie de Belgique_ 44.

[313] _Giorn. di Matem._ 22.

[314] _Lombardo Rend._ 1876; _Giorn. di Matem._ 14.

[315] _Journ. fuer Math._ 78.

[316] Das Studium der Kruemmung einer Oberflaeche in einem singulaeren Punkte wurde von Painvin im _Journ. fuer Math._ 72 angestellt.

[317] Ein analoger Satz wurde neuerdings von Sturm entdeckt (_Math. Ann._ 21).

[318] Einige Vervollkommnungen und Ergaenzungen dieses Teiles der Gaussischen Abhandlung wurden von Liouville (_Journ. Ec. polyt._ 24), von Baltzer (1818-1887) (_Leipziger Berichte_ 1872) und durch von Escherich (_Grunerts Arch._ 57) vorgenommen.

[319] Der Satz von Gauss: "Damit eine Oberflaeche auf eine andere abwickelbar sei, ist notwendig, dass die Kruemmung in den entsprechenden Punkten gleich sei", wurde auf verschiedene Arten von Liouville (_Liouvilles Journ._ 12), von Bertrand, Puiseux und Diguet (das. 13) bewiesen. Vgl. auch Minding, _Journ. fuer Math._ 19.

[320] _Annali di Matem._ II, 1.

[321] _Bologna Mem._ II, 8.

[322] _Math. Ann._ 1.

[323] _Comptes rendus_ 37.

[324] das. 44, 46, 57, 67.

[325] _Annali di Matem._ I, 7. -- Das allgemeinere Problem der Bestimmung zweier Oberflaechen, so dass jedem Punkte der einen ein Punkt oder eine Gruppe von Punkten der anderen entspricht, und dass den geodaetischen Linien der einen geodaetische Linien der anderen korrespondieren, wurde spaeter von Dini behandelt. (_Annali di Matem._ II, 3).

[326] _Giorn. di Matem._ 6.

[327] _Comptes rendus_, 1865.

[328] _Archiv for Math. og Nat._ 4, 5.

[329] _Giorn. di Matem._ 16, 20, 21.

[330] _Lund Arskrift_ 19.

[331] _Comptes rendus_ 96, 97.

[332] _Acta math._ 9.

[333] _Journ. fuer Math._ 64.

[334] _Berliner Ber._ 1882-1883. -- Hieran schliesst sich die Schrift von Lilienthal's: _Untersuchungen zur allgemeinen Theorie der krummen Oberflaechen und der geradlinigen Strahlensysteme_ (Bonn, 1886).

[335] _Journ. fuer Math._ 26, 30. -- Joachimsthals Vorlesungen: _Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf die allgemeine Theorie der Flaechen und der Linien doppelter Kruemmung_ erschienen nach seinem Tode (Leipzig, 2. Auflage, 1881).

[336] _Goettinger Nachr._ 1867.

[337] _Lombardo Atti_ II, 1.

[338] _Programm der Universitaet von Christiania_, 1879.

[339] _Math. Ann._ 20.

[340] _Journ. fuer Math._ 6, 18, 19.

[341] _Journ. Ec. polyt._ 39.

[342] _Mem. pres._ 27 (1879) (_Memoire relatif a l'application des surfaces les unes sur les autres_).

[343] _Journ. Ec. polyt._ 41, 42.

[344] _Berliner Abh._, 1869.

[345] _Journ. fuer Math._ 94.

[346] _Berliner Ber._ 1882.

[347] _Muenchener Abh._ 14.

[348] _Journ. fuer Math._ 6.

[349] _Irish Trans._ 22, I. T.

[350] _Giorn. di Matem._ 2.

[351] _Goettinger Nachr._ 1875.

[352] _Giorn. di Matem._ 21.

[353] _Journ. Ec. polyt._ 48.

[354] _Bologna Mem._ IV, 3.

[355] _Mem. pres._ 5; _Liouvilles Journ._ 2. -- Unter den vielen Anwendungen, die man von den elliptischen Koordinaten gemacht hat, wollen wir nur diejenigen anfuehren, die Jacobi davon gemacht hat bei der Bestimmung der geodaetischen Linien (_Journ. fuer Math._ 14; _Comptes rendus_ 8; _Liouvilles Journ._ 6) und bei einigen Fragen der Dynamik. S. _Vorlesungen ueber Dynamik_, 1866 in erster, 1884 in zweiter Ausgabe als Supplementband zu den _Gesammelten Werken_ erschienen.

[356] _Journ. Ec. polyt._ 23.

[357] _Liouvilles Journ._ 5.

[358] das. 4.

[359] das. 8.

[360] _Comptes rendus_ 48, 54; _Journ. fuer Math._ 58; _Annali di Matem._ I, 6 und II, 1, 3, 5.

[361] _Annali di Matem._ II, 1.

[362] das. II, 1, 2, 4, 5.

[363] _Bologna Mem._ 1868-1869.

[364] _Ann. Ec. norm._ II, 7.

[365] _Ann. Ec. norm._ I, 4.

[366] _Journ. Ec. polyt._ 43.

[367] _Annales des mines_ VII, 5.

[368] _Liouvilles Journ._ 11.

[369] das. 12.

[370] _Comptes rendus_ 54.

[371] _Memoires couronnes par l'Academie de Belgique_, 32.

[372] _Comptes rendus_ 59.

[373] das. 59, 60, 67, 76; _Ann. Ec. norm._ I, 2; II, 3.

[374] _Comptes rendus_ 74, 75; _Phil. Trans._ 163. Vgl. Weingarten, _Journ. fuer Math._ 83.

[375] _Comptes rendus_ 76.

[376] _Journ. fuer Math._ 85.

[377] das. 76; vgl. Darboux, _Comptes rendus_ 84.

[378] _Grunerts Arch._ 55, 56, 57, 58 und 63.

[379] _Giorn. di Matem._ 21, 22; _Annali di Matem._ II, 13; _Lincei Rend._ 1886.

[380] _Memoires de l'Academie de Toulouse_ VIII, 1.

[381] _Archiv for Math. og Naturv._ 7.

[382] _Goettinger Abh._ 19. -- Wenn u der Winkel der Normalen der Oberflaeche in einem Punkte mit der z-Axe, und v der Winkel der Projektion derselben auf die xy-Ebene mit der x-Axe ist, so nennt man nach Enneper Kurven, deren Gleichungen u = _const._ oder v = _const._ sind, Meridiankurven.

[383] _Comptes rendus_ 74; _Proc. math. Soc._ 4.

[384] _Berliner Ber._ 1883.

[385] _Goettinger Dissertation,_ 1883.

[386] _Giorn. di Matem._ 17.

[387] _Memoires de la societe scientifique de Bruxelles_ 5, 7, 8.

[388] _Ann. Ec. norm._ II, 3; _Journ. Ec. polyt._ 53.

[389] _Liouvilles Journ._ 9, 12.

[390] _Journ. Ec. polyt._ 30, 32; _Liouvilles Journ._ 14; _Comptes rendus_ 54.

[391] Man sehe auch die _These_ (Dissertation) von Picart, _Essai d'une theorie geometrique des surfaces_ (Paris, 1863).

[392] _Liouvilles Journ._ II, 17 und III, 4; _Bull. Soc. math. _2, 5, 6; _Comptes rendus_ 74, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 88; _Proc. math. Soc._ 12; _The Messenger of Mathematics_ II, 8.

[393] _Enumeratio linearum tertii ordinis_ (1706). Indem wir eine Bemerkung von Bellavitis (1803-1880) verwerten (s. s. 107 der Schrift _Sulla classificazione delle curve di terzo ordine, Memorie della Societa italiana delle scienze residente in Modena_, Bd. 25, II. Teil S. 34), geben wir dieses Resultat wieder, indem wir sagen, dass jede Kurve dritter Ordnung sich durch eine geeignete projektive Transformation auf eine der folgenden Formen bringen laesst: Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge und einem Ovale (_parabola campaniformis cum ovali_), Kurve mit einem Doppelpunkte (_parabola nodata_), Kurve, bestehend aus einem Schlangenzuge (_parabola pura_), Kurve mit einem isolierten Punkte (_parabola punctata_), Kurve mit einer Spitze (_parabola cuspidata_). Unter den Beweisen, die fuer diesen Satz gegeben sind, fuehre ich den von Moebius an, der sich auf die Prinzipien der analytischen Sphaerik gruendet (_Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 89-176), und den, der aus der Klassifikation von Bellavitis (s. oben) hervorgeht. An Moebius schliesst sich an: M. Baur, _Synthetische Einteilung der ebenen Kurven III. Ordnung_ (Stuttgart, 1888). Dann bemerke ich noch hierzu, dass die Einteilungen, die von Moebius und Bellavitis (fast gleichzeitig, da die erste 1852 veroeffentlicht wurde und die zweite 1851 geschrieben und 1855 veroeffentlicht wurde) vorgeschlagen sind, gemeinsam haben, dass sie die Kollineation als Grundlage der Bildung der Gattungen, die Affinitaet zur Grundlage der Bildung der Arten dieser Kurven nehmen. Plueckers Einteilung befindet sich im _System der analytischen Geometrie_. J. W. Newman hat der _British Association for the Advancement of Science_ (vgl. Report 1869-1870) eine Diskussion der Formen der ebenen kubischen Kurven und eine daraus sich ergebende Nomenklatur vorgelegt, die von der gewoehnlich ueblichen abweicht.

[394] _Apercu historique_, Note 20.

[395] _Journ. fuer Math._ 75 und 76. Wir koennen hinzufuegen, dass Reye im Anhange der 3. Auflage des ersten Teiles seiner _Geometrie der Lage_, der vor wenigen Monaten erschienen ist, eine neue und elegante Methode zur Bestimmung der Formen der ebenen kubischen Kurven einfuehrt, indem er sie als die Jacobischen Kurven von Kegelschnittnetzen auffasste.

[396] ss. 12, 13, 14, 15.

[397] _The Messenger of Mathematics_ II, 6.

[398] _Anwendung der Topologie auf die Gestalten der algebraischen Kurven, speziell der rationalen Kurven vierter und fuenfter Ordnung_ (Muenchener Dissertation, 1878).

[399] _Irish Trans._ 1875.

[400] _Beitraege zur Theorie der Oskulationen bei ebenen Kurven dritter Ordnung_ (Berliner Dissertation, 1884).

[401] _Math. Ann._ 7, 10. S. uebrigens die Abhandlung: _Almindelige Egenskaber ved Systemer af plane Kurver_ (Abh. der Akad. der Wissensch. in Kopenhagen V, 10).

[402] _Math. Ann._ 12; _Tidsskrift for Mathem._ IV, 1.

[403] _Math. Ann._ 10. Vgl. auch Perrin, _Bull Soc. math._ 6.

[404] _Theorie der algebraischen Kurven_ S. 249 flgg. -- Im Anschluss an Pluecker moegen noch Beers _Tabulae curvarum quarti ordinis symmetricarum_ (Bonn, 1862) erwaehnt werden.

[405] "Eine Kurve vom Geschlechte p kann hoechstens aus p + 1 Zuegen bestehen". _Math. Ann._ 10. Der Spezialfall dieses Satzes, p = 0, ist seit langer Zeit bekannt; schon Bellavitis hatte denselben in der vorher angefuehrten Abhandlung besprochen; er erklaert die Benennung _unicursal_, die von Cayley den rationalen Kurven gegeben war, und die von vielen noch heute gebraucht wird.

[406] _Gesammelte Werke_ 2, S. 433.

[407] _Math. Ann._ 12, 13; _Leipziger Ber._ 1884.

[408] _Math. Ann._ 6.

[409] _Annali di Matem._ II, 5 und 7.

[410] _Math. Ann._ 8.

[411] _Muenchener Ber._ 1883.

[412] _Quart. Journ._ 9.

[413] Siehe die schon zitierte Abhandlung: _Om Flader af fjerde Orden med Doppeltkeglesnit_.

[414] _Om Flader af fjerde Orden med Tilbagegangskeglesnit_ (Kopenhagen, 1881).

[415] _Muenchener Dissertation_, 1878; _Math. Ann._ 15, 18, 28, 29.

[416] Fuer den, der sich mit der Konstruktion spezieller Oberflaechen befassen will, fuehre ich die praktischen Regeln an, welche Hicks (_Messenger of Mathematics_ II, 5) fuer die Konstruktion der Wellenflaeche gegeben hat.

[417] _Zeitschr. f. Math._ 25.

[418] _Modelle von Raumkurven- und Developpabelen-Singularitaeten_ (Lund, Gleerup, 1881).

[419] Unter den von Steiner ausgesprochenen Saetzen, nach deren Ursprung wir, seine Nachfolger, vergebens suchen, finden sich einige derartige (s. _Journ. fuer Math._ 37, 45, 49; _Gesammelte Werke_, II. Bd. S. 389, 439 und 613), welche glauben lassen, dass er eine Methode besessen habe, um einige von den im Texte gekennzeichneten Problemen zu loesen. Etliche lassen sich durch eine quadratische Transformation beweisen, wie Berner in seiner Dissertation: _De transformatione secundi ordinis ad figuras geometricas adhibita_ (Berlin, 1864) gezeigt hat. -- Jonquieres (_Liouvilles Journ._ II, 6; _Comptes rendus_, 1864, 65 und 66) fand auch eine Weise, um zur Loesung einiger Probleme dieser Art zu gelangen, aber der von ihm eingeschlagene Weg (welcher der Hauptsache nach in einer Anwendung des Bezoutschen Satzes besteht) fuehrte ihn unbedingt zu Irrtuemern wegen uneigentlicher (fremder) Loesungen, die er nicht ausgeschieden hatte. Vgl. die schoene Abhandlung von Study in den _Math. Ann._ 27.

[420] _Comptes rendus_, 1864; vgl. auch Zeuthen, _Nyt Bidrag til Laeren om Systemer af Keglesnit_ (Kopenhagen, 1865) oder _Nouv. Ann._ II, 5; Dino, _Comptes rendus_, 1867. Die Baende der _Comptes rendus_ von 1864 ab enthalten eine ungeheuere Anzahl von Lehrsaetzen verschiedener Art, die von Chasles aufgestellt sind und deren Beweis sich auf die Theorie der Charakteristiken und auf das Korrespondenzprinzip stuetzt. Unter diesen Arbeiten ist eine der bemerkenswertesten diejenige, in welcher der Verfasser mit Hilfe des Korrespondenzprinzips die Zahl der Schnitte zweier Kurven in einer Ebene bestimmt (_Comptes rendus_ 75). Die dort angewandte Beweisfuehrung kann verallgemeinert werden und in vielen Faellen dazu dienen, die Zahl der Loesungen eines bestimmten Systemes von algebraischen Gleichungen zu finden. (S. Saltel, _Memoires de l'Academie de Belgique_ 24; _Comptes rendus_ 81; Fouret, _Bull. Soc. math._ 1, 2; _Comptes rendus_ 78.

[421] _Comptes rendus_ 61.

[422] Ebendas. 62. S. auch Salmon, _Quart. Journ._ 1866; Schubert, _Journ. fuer Math._ 71 und 73. -- Eine interessante Anwendung der Theorie der Systeme von Flaechen zweiter Ordnung auf das Studium der quadratischen (vorletzten) Polaren der Punkte des Raumes in bezug auf eine beliebige algebraische Flaeche wurde von Zeuthen gemacht (_Annali di Matem._ II. 4).

[423] Vgl. auch _Comptes rendus_ 74, 75.

[424] Paris, 1871.

[425] _Journ. fuer Math._ 79, 80.

[426] _Goettinger Nachr._ 1874, 75; _Math. Ann._ 13.

[427] _Phil. Trans._ 1858.

[428] _Recherches sur les series ou systemes de courbes et de surfaces algebriques_ (Paris, 1866); _Comptes rendus_, 1866; _Journ. fuer Math._ 66 u. s. w. Die eleganten analytischen Untersuchungen von Brill und Krey (_Math. Ann._ und _Acta math._) haben zum Ziele die Aufloesung von Problemen aus der abzaehlenden Geometrie, die sich auf Systeme von Kurven und Oberflaechen beziehen.

[429] _Annali di Matem._ II, 6; _Proc. math. Soc._ 5, 6, 8.

[430] _Math. Ann._ 1, 6, 12, 15.

[431] _Compt. rend._ 88. Bemerkenswert in dieser Abhandlung ist die Ausdehnung des Begriffes des Geschlechtes einer Kurve auf Systeme von Kurven.

[432] _Math. Ann._ 6.

[433] _Comptes rendus_ 78 und 86; _Bull. Soc. math._ 2 und 7.

[434] _Comptes rendus_ 79, 86.

[435] das. 82, 84.

[436] das. 80.

[437] das. 82.

[438] Andere Anwendungen dieses Prinzipes finden sich in den von Fouret veroeffentlichten Arbeiten in den _Comptes rendus_ 83, 85, im _Bull. Soc. math._ 6 und im _Bulletin de la Societe philomathique_ VI, 11. -- Wir bemerken, dass die geometrische Interpretation der Gleichung

( dz dz ) ( dz ) ( dz ) L ( x -- + y -- - z ) - M ( -- ) - N ( -- ) + R = 0, ( dx dy ) ( dx ) ( dy )

wenn L, M, N, R lineare Funktionen sind, welche von Fouret in den _Comptes rendus_ 83 gegeben ist, ihn zu gewissen Oberflaechen fuehrte, die zuerst von Klein und Lie studiert worden waren (_Comptes rendus_ 70).

[439] Leipzig, 1879. In demselben sind die frueheren Arbeiten von Schubert vereinigt und befinden sich die Grundlagen seiner spaeteren Arbeiten.

[440] Das erste dieser Prinzipien wurde von Chasles fuer die rationalen Gebilde erster Stufe (_Comptes rendus_ 1864-1866) ausgesprochen und dann von Cayley auf alle Gebilde erster Stufe ausgedehnt (_Comptes rendus_ 62, _Proc. math. Soc._ 1866), und noch vollstaendiger im _Second memoir on the curves which satisfy given conditions_ (_Phil. Trans._ 158). Bewiesen wurde das Cayleysche Prinzip von Brill (_Math. Ann._ 6 und 7), neuerdings wurde es in einer sehr bemerkenswerten Weise von Hurwitz ausgedehnt (_Math. Ann._ 28).

Saltel ergaenzte das Chaslessche Korrespondenzprinzip, indem er die Bestimmung der Zahl der Koinzidenzen, die ins Unendliche fallen, zeigte (_Comptes rendus_ 80) und illustrierte seine Resultate durch mehrere Beispiele (_Comptes rendus_ 80, 81, 82, 83, und _Bulletin de l'Academie de Belgique_ II, 92).

Fuer die rationalen Gebilde zweiter und dritter Stufe hat man auch ein Korrespondenzprinzip, welches von Salmon (_Geometry of three dimensions_ II. Aufl.) und von Zeuthen (_Comptes rendus_ 78) entdeckt ist. Fuer die Gebilde hoeherer Stufe siehe eine Note von Pieri in den _Lincei Rend._ 1887.

[441] Betreffend andere bibliographische Einzelheiten ueber diesen Zweig der Geometrie vgl. man den Artikel von Painvin, der in dem _Bull. Sciences math._ 3 veroeffentlicht ist, sowie einen von mir selbst in der _Bibliotheca mathematica_ II, 2 (1888), S. 39, 67 veroeffentlichten Artikel _Notizie storiche sulla geometria numerativa_.

[442] _Comptes rendus_ 67.

[443] _Math. Ann._ 6.

[444] _Vorlesungen ueber Geometrie_ von A. Clebsch (herausgegeben von Lindemann) (Leipzig, 1876) S. 399.

[445] _Goettinger Nachr._ 1876.

[446] _Comptes rendus_, 1876; _Journ. Ec. polyt._ 45; _Proc. math. Soc._ 9, 10; _Math. Ann._ 15.

[447] _Journ. Ec. polyt._ 45.

[448] Auch von dem Satze, den Cremona ausgesprochen hat (_Annali di Matem._ I, 6 und _Giorn. di Matem._ 3) ueber die doppelt unendlichen Systeme von Kegelschnitten, als Erweiterung des Satzes von Chasles, kann man eine Anwendung machen, worueber man das einsehen moege, was del Pezzo in seiner interessanten Abhandlung _Sui sistemi di coniche_ (_Napoli Rend._ 1884) auseinandergesetzt hat, und neuere Beobachtungen von Study (_Math. Ann._ 27).

[449] _Mem. pres._ 1, 1806.

[450] das. (aeltere Serie) 10, 1785, und die schon zitierte _Application_.

[451] _Mem. pres._ 9, 1781.

[452] _Journ. Ec. polyt._ 30.

[453] _Liouvilles Journ._ 17.

[454] das. 16.

[455] Man sehe die Noten zur _Application de l'Analyse a la Geometrie_, 5. Aufl. und _Liouvilles Journ._ 17.

[456] _Liouvilles Journ._ 15, 16.

[457] das. 7.

[458] _Forhandlingar i Videnskab-Selskabet i Christiania_, 1882.

[459] Eingehenderes findet man in der Note 65 der _Analytischen Geometrie des Raumes_ von G. Salmon, deutsch bearbeitet von W. Fiedler, 3. Aufl. 1880, II. Teil S. 37. -- In Bezug auf eine synthetische Darstellung der Differentialgeometrie der Raumkurven sehe man Schell, _Allgemeine Theorie der Kurven doppelter Kruemmung in rein geometrischer Darstellung_ (Leipzig, 1859), und Paul Serret, _Theorie nouvelle geometrique et mecanique des courbes a double courbure_ (Paris, 1860).

[460] Vgl. Magnus, _Aufgaben und Lehrsaetze aus der analytischen Geometrie des Raumes,_ 1837, S. 160.

[461] Die Existenz zweier Raumkurven vierter Ordnung wurde zuerst durch Salmon im Jahre 1850 (_Cambridge Journ._ 5) und darauf von Steiner (_Journ. fuer Math._ 53) bekannt gemacht.

[462] Auf der kubischen Flaeche treten schon von der sechsten Ordnung ab gegen die Geraden der Flaeche verschiedenartig sich verhaltende Kurven derselben Ordnung auf, die in der Zahl der scheinbaren Doppelpunkte uebereinstimmen. Vgl. Sturm, _Math. Ann._ 21.

[463] _Liouvilles Journ._ 10, oder _Cambridge Journ._ 5. Dieser Abhandlung folgte eine, die von Salmon in demselben Bande des _Cambr. Journ._ veroeffentlicht wurde, und zu ihrer Ergaenzung wiederum dient eine von Zeuthen, die in den _Annali di Matem._ II, 3 abgedruckt ist. -- An sie schliessen sich ferner die Schriften, welche Cayley (_Phil. Trans._ 153), Piquet (_Comptes rendus_ 77 und _Bull. Soc. math._ 1), und Geiser (_Collectanea mathematica in memoriam D. Chelini_, Mailand, 1881) geschrieben haben ueber die Geraden, welche eine Raumkurve eine gewisse Anzahl Male schneiden.

[464] _Comptes rendus_ 54 und 58. Mit dieser Abhandlung vergleiche man die Dissertation von Ed. Weyr, _Ueber algebraische Raumkurven_ (Goettingen, 1873) und andere Schriften desselben Verfassers (_Comptes rendus_ 76, _Wiener Ber._ 69). Den zitierten Abhandlungen von Cayley muesste ich noch eine dritte hinzufuegen (_Quart. Journ._ 3), in welcher der Autor sich die Aufgabe gestellt hat, eine Kurve als Komplex ihrer Sekanten (im Sinne Plueckers) zu betrachten und sie daher mittelst einer einzigen Gleichung zwischen den Koordinaten einer Geraden im Raume darzustellen, aber ich kann davon absehen, da die Fruchtbarkeit einer solchen Betrachtung noch nicht dargethan ist.

[465] Halphen, _Memoire sur la classification des courbes gauches algebriques_ (_Journ. Ec. polyt._ 52). Man sehe auch desselben Autors Abhandlung _Sur les singularites des courbes gauches algebriques_ (_Bull. Soc. math._ 9). -- Noether, _Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumkurven_ (_Berliner Abh._ 1883, _Journ. fuer Math._ 93).

[466] _Comptes rendus_ 70; _Bull. Soc. math._ 1 und 2.

[467] _Math. Ann._ 7.

[468] _Math. Ann._ 6. Ein anderer Beweis desselben Satzes wurde von Halphen gegeben, _Bull. Soc. math._ 5.

[469] Die Gerechtigkeit verlangt, dass ich auch noch eine sehr schoene Arbeit von Valentiner anfuehre: _Bidrag til Rumcurvener Theori_ (Kopenhagen, 1881) (vgl. auch _Tidsskrift for Math._ IV, 5 und _Acta math._ 2), die fast zu gleicher Zeit mit denen von Halphen und Noether erschienen ist und mit diesen in den Methoden und den Resultaten bemerkenswerte Beruehrungspunkte hat. -- Ich will in dieser Note auch noch, da ich es im Texte nicht thun konnte, einen Satz von Cremona anfuehren (von Dino in den _Napoli Rend._ 1879 bewiesen) und einige von Sturm (_Report of the British Association_, 1881; _Math. Ann._ 19), welche bemerkenswerte allgemeine Eigenschaften der Raumkurven ausdruecken, sowie an die Untersuchungen von Cayley, Piquet und Geiser ueber eine Raumkurve mehrmals schneidende Geraden erinnern, von denen in der Note 463 gesprochen wurde. Erwaehnenswert ist auch die (von Hossfeld in der _Zeitschr. f. Math._ 29 gefundene) Thatsache, dass die Rueckkehrkurve der zweien Oberflaechen umbeschriebenen abwickelbaren Flaeche nicht der vollstaendige Schnitt zweier Oberflaechen ist.

[470]

"Von anderen wird es loeblich sein zu schweigen, Weil allzukurz die Zeit fuer die Erzaehlung." -- Dantes Goettliche Komoedie; _Die Hoelle_, 15. Gesang, Vers 104-105.

[471] _Der barycentrische Calcuel_ (Leipzig, 1827).

[472] _Apercu historique,_ Note 33; _Liouvilles Journ._ 19 (1854).

[473] _Beitraege zur Geometrie der Lage_, 3. Heft (Nuernberg, 1860).

[474] _Grunerts Arch._ 10.

[475] _Journ. fuer Math._ 56.

[476] _Journ. fuer Math._ 58, 60, 63; _Nouv. Ann._ II, 1; _Annali di Matem._ I, 1, 2, 5; _Lombardo Rend._ II, 12.

[477] _Journ. fuer Math._ 56; _Theorie der Oberflaechen zweiter Ordnung und der Raumkurven dritter Ordnung_ (Leipzig, 1880); _Math. Ann._ 25. Vgl. auch eine Note von mir in den _Napoli Rend._, 1885.

[478] _Zeitschr. fuer Math._, 1868; _Geometrie der Lage_.

[479] _Lombardo Rend._ 1871.

[480] _Journ. fuer Math._ 79, 80; _Annali di Matem._ II, 3.

[481] _Math. Ann._ 20 und 30.