Part 1

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DIE HAUPTSAECHLICHSTEN

THEORIEN DER GEOMETRIE

IN IHRER FRUEHEREN

UND

HEUTIGEN ENTWICKELUNG.

HISTORISCHE MONOGRAPHIE

VON

DR. GINO LORIA,

PROFESSOR DER HOEHEREN GEOMETRIE AN DER UNIVERSITAET ZU GENUA.

UNTER BENUTZUNG ZAHLREICHER ZUSAETZE UND VERBESSERUNGEN SEITENS DES VERFASSERS

INS DEUTSCHE UEBERTRAGEN

VON

FRITZ SCHUETTE.

MIT EINEM VORWORTE VON PROFESSOR R. STURM.

LEIPZIG,

VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1888.

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Druck von B. G. Teubner in Dresden.

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Seiner teueren Mutter

als schwaches Unterpfand inniger Liebe

widmet diese Arbeit

der Verfasser.

{III}

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Vorwort.

Diese deutsche Uebersetzung der im vergangenen Jahre in den _Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Torino_ (Ser. II, Bd. 38) erschienenen Monographie des Herrn Gino Loria: _Il passato e il presente delle principali teorie geometriche_, welche mein Schueler Herr Fritz Schuette angefertigt hat, begleite ich gern mit einem empfehlenden Vorworte, nachdem ich sie mit der Originalschrift und den handschriftlichen Zusaetzen und Verbesserungen des Herrn Verfassers in Bezug auf ihre Richtigkeit verglichen habe.

Eine Geschichte der Geometrie unserer Zeit, in der jedes Jahrzehnt uns mehr vorwaerts bringt, als es frueher in einem Jahrhundert geschah, welche uns zu ungeahnten allgemeinen Anschauungen gefuehrt hat, zu besitzen, ist der Wunsch aller Geometer; aber wir wissen auch alle, wie unvergleichlich schwerer die Aufgabe, eine solche zu schreiben, heute ist als vor fuenfzig Jahren, wo der _Apercu historique_ von Chasles erschien.

Herr Loria will seine "Chronik", wie er seine Schrift in der Einleitung nennt, nur als eine Vorarbeit angesehen haben, welche zur Inangriffnahme des grossen Werkes der Abfassung einer Geschichte der modernen Geometrie anspornen und diesem Werke dienen soll. Der Umfang, den er zunaechst seiner Arbeit gegeben hat, bringt es, wie er selbst mehrfach bemerkt, freilich mit sich, dass die Darstellung bisweilen auf eine blosse Aufzaehlung von Namen und Schriften hinauslaeuft. Aber auch in diesem engeren Rahmen ist es, meine ich, dem {IV} Verfasser gelungen, dem Leser, als welchen ich mir in erster Linie einen Studierenden vorstelle, der schon etwas ueber die Anfaenge hinaus ist, eine anschauliche Uebersicht der hauptsaechlichsten Untersuchungsrichtungen der Geometrie unserer Zeit vorzufuehren; fuer alle Geometer aber werden die reichhaltigen Litteraturnachweise von grossem Werte sein. Etwaige Luecken in denselben wird jeder, der unsere fast unuebersehbare und den wenigsten vollstaendig zugaengliche mathematische Litteratur kennt, dem Verfasser nicht anrechnen, und jede Mitteilung einer wesentlichen Verbesserung oder Ergaenzung wird er gewiss gern entgegennehmen, um seine Schrift noch wertvoller zu machen, falls ihr eine neue Auflage beschieden wuerde.

Die Veraenderungen, welche diese Uebersetzung im Vergleich mit dem italienischen Originale aufweist, bestehen, ausser stark vermehrten Litteraturnachweisen, in einer viel eingehenderen Besprechung der Differentialgeometrie im Abschnitte III und der Umarbeitung der auf die Gestalt der Kurven und der Oberflaechen und die abzaehlende Geometrie bezueglichen Teile der Abschnitte II und III zu einem besonderen Abschnitte.

Muenster i. W., Ende Mai 1888.

R. STURM.

{V}

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Inhaltsverzeichnis.

Seite

Einleitung 1

I. Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts 3

II. Theorie der ebenen Kurven 21

III. Theorie der Oberflaechen 31

IV. Untersuchungen ueber die Gestalt der Kurven und Oberflaechen. Abzaehlende Geometrie 60

V. Theorie der Kurven doppelter Kruemmung 71

VI. Abbildungen, Korrespondenzen, Transformationen 80

VII. Geometrie der Geraden 98

VIII. Nicht-Euklidische Geometrie 106

IX. Geometrie von n Dimensionen 115

Schluss 124

Abkuerzungen fuer die haeufig erwaehnten Zeitschriften 130

Verzeichnis der verstorbenen Geometer, deren Lebenszeit angegeben ist 132

{1}

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Einleitung.

"Apres six mille annees d'observations l'esprit humain n'est pas epuise; il cherche et il trouve encore afin qu'il connaisse qu'il peut trouver a l'infini et que la seule paresse peut donner des bornes a ses connaissances et a ses inventions." -- Bossuet.

Die Fortschritte der exakten Wissenschaft im allgemeinen und der Mathematik im besonderen[1] sind in diesen letzten Zeiten so betraechtlich gewesen, fortwaehrend folgen weitere nach, so schnell und unaufhaltsam, dass sich lebhaft das Beduerfnis fuehlen macht, einen Rueckblick auf den schon gemachten Weg zu werfen, welcher den Anfaengern ein leichteres Eindringen in die Geheimnisse derselben und den schon Vorgeschrittenen ein sichereres Urteil gestattet, welches die Probleme sind, deren Loesung am dringendsten ist.

Der Wunsch, diesem Beduerfnisse zu entsprechen, soweit es die Geometrie anlangt, d. h. soweit es den hoeheren Teil {2} unserer positiven Kenntnis betrifft -- da, wie Pascal sagte, tout ce qui passe la geometrie nous surpasse -- ist es, der mich veranlasst, vorliegende Abhandlung zu schreiben.

Moege dieser unvollkommene Abriss die Veranlassung sein zu einer Schrift, die der Erhabenheit ihres Zieles wuerdig ist; moege diese duerftige Chronik der Vorlaeufer sein einer "Geschichte der Geometrie in unserem Jahrhundert". {3}

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I.

Die Geometrie vor der Mitte des 19. Jahrhunderts.

"Alle Entwickelungsstufen der Zivilisation sind so eng miteinander verknuepft, dass man vergebens versuchen wuerde, irgend einen Zweig der Geschichte von einer bestimmten Epoche ab zu studieren, ohne einen Blick auf die vorhergehenden Zeiten und Ereignisse zu werfen."[2] Wenn das im allgemeinen wahr ist, so wird es doppelt der Fall sein "bei einer Wissenschaft, die so konservativ ist, wie die Mathematik, welche das Werk der vorhergehenden Periode nicht zerstoert, um an dessen Stelle neue Bauten zu errichten".[3] Daher ist es unerlaesslich, dass ich, bevor ich an das eigentliche Thema dieser Abhandlung herantrete, d. h. bevor ich ueber die moderne Geometrie spreche, kurz angebe, auf welche Weise die Geometrie zu dem Standpunkte gelangt ist, von welchem ab ich vorhabe, ihre Entwickelung eingehender zu verfolgen.

Den ersten Ursprung der geometrischen Untersuchungen festzustellen, ist ein fast unausfuehrbares Unternehmen. Die taeglichen Erfahrungen jedes denkenden Menschen fuehren auf eine so natuerliche Weise zur Vorstellung der einfacheren geometrischen Formen und zur Erforschung ihrer gegenseitigen Beziehungen, dass man vergebens versuchen wuerde, den Namen desjenigen zu nennen, der zuerst Geometrie betrieben hat, und anzugeben, zu welcher Zeit sie entstanden ist. Daher sind die Kenntnisse, welche man ueber die ersten Spuren dieser Disziplin hat, sehr unbestimmt; wer sich {4} vornimmt, sie festzustellen, den umhuellt, wenn nicht voellige Finsternis, so doch nur ein wenig Daemmerlicht, welches ihm nur gestattet, die Umrisse bedeutenderer Bruchstuecke, welche sich den Unbilden der Zeit entzogen haben, zu erkennen. So kann ein solcher feststellen, dass die aeltesten geometrischen Studien von den Aegyptern gemacht sind, und kann die Erzaehlung Herodots wiederholen, nach welcher diesem Volke ein sehr wirksamer Antrieb, sich mit Geometrie zu befassen, durch die periodischen Ueberschwemmungen des Nils gegeben wurde, welche, indem sie die Grenzen zwischen den kleinen Besitzungen, in die Aegypten unter seine Einwohner verteilt war, verwischten, sie noetigten, dieselben jedes Jahr wieder herzustellen.[4] Die Haltbarkeit dieser Hypothese, um die Thatsache zu erklaeren, dass in Aegypten die Wissenschaft, von der wir handeln, eifrig betrieben sei, wird durch die praktische Natur der Gegenstaende bewiesen, welche dort eingehender behandelt wurden: specielle Konstruktionen, Messungen von Laengen, Flaecheninhalten, Volumen u. s. f.[5]

Indem die Kenntnisse der Aegypter nach Griechenland uebergingen, erhielten sie durch Thales (640-540)[6] und die Anhaenger der ionischen Schule, welche er gruendete, eine wissenschaftlichere Gestalt. Thales ist in der That der erste, der sich damit beschaeftigt hat, die von den Aegyptern entdeckten Saetze und einige andere streng zu beweisen. Jedoch erhob sich die Geometrie unter seinen Haenden noch nicht zur wahren Wissenschaft; diese Wuerde erlangte sie erst {5} durch die Untersuchungen des Pythagoras (nach einigen 569-470, 580-500 nach anderen) und seiner Schueler. Ungluecklicher Weise aber bestand eine der Regeln, welche die Pythagoraeer strenge beobachten mussten, darin, dass sie die Lehren, welche der Meister vortrug, geheim halten mussten; daher kam es, dass der geometrische Teil derselben allen, die nicht dieser Schule angehoerten, unbekannt blieb. Aber nachdem das Haupt gestorben war, da suchten seine Anhaenger, als sie bei den inneren Kaempfen, welche die Republiken Grossgriechenlands zerrissen, besiegt worden waren, Zuflucht in Athen und offenbarten dort, von der Not getrieben, die Geheimnisse, welche sie bis dahin so strenge verwahrt hatten. Und der wohlthaetige Einfluss einer groesseren Verbreitung dessen, was die Pythagoraeer von der Mathematik wussten, ist durch die wichtigen Forschungen offenbar geworden, welche in der Folgezeit die griechischen Gelehrten in der Periode, welche zwischen Pythagoras und Plato (429-348) liegt, gemacht haben. Sie koennen in drei Kategorien geteilt werden, benannt nach den beruehmten Problemen: der Dreiteilung des Winkels, der Verdoppelung des Wuerfels, der Quadratur des Kreises, und fuehrten zur Vervollkommnung des mehr elementaren Teiles der ebenen Geometrie.

Plato verdanken wir den ersten Anstoss zum methodischen Studium der Stereometrie, und das ist nicht das Einzige, wofuer der goettliche Philosoph auf den Dank der Geometer Anspruch erheben koennte; denn ihm ist auch die analytische Methode zuzuschreiben, deren Macht allen bekannt ist, und seiner Schule (Akademie) die Lehre von den Kegelschnitten und, was nicht weniger wichtig ist, die von den geometrischen Oertern.

Aus diesen gedraengten Angaben[7] wird man leicht entnehmen koennen, dass die Bemuehungen der angefuehrten Geometer zu einer Fuelle von Eigenschaften der Figuren und zu Methoden, sie zu erklaeren, gefuehrt und die Elemente fuer eine methodische Behandlung der Geometrie vorbereitet hatten. {6} Daher dauerte es nicht lange, dass vollstaendige Zusammenstellungen dessen, was entdeckt war, erschienen. Von vielen kennen wir nur die Existenz; nur eine einzige ist uns vollstaendig erhalten worden, _die Elemente_ des Euklides, und das glaenzende Licht, welches von ihnen ausgeht, fuehrt uns zu der Vermutung, dass alle die anderen Zusammenstellungen durch die Vergleichung mit ihnen verdunkelt sind.

Mit diesem Buche, welches nach zweitausend Jahren noch als einzig angesehen wird, "von dem man fuer die Entwickelung der Jugend diejenigen Resultate erhoffen kann, mit Ruecksicht auf die bei allen zivilisierten Nationen der Unterricht in der Geometrie eine solch bedeutende Stellung in der Erziehung der Jugend inne hat",[8] nimmt die wahre Wissenschaft der Geometrie ihren Anfang. Es ist das granitene Piedestal, auf welchem der grossartige Bau der griechischen Mathematik sich erhebt, auf dessen Gipfel sich die anderen Werke Euklids und die unsterblichen Arbeiten von Archimedes (287-212), Eratosthenes (276-194) und Apollonius (ca. 200 v. Ch.) befinden.[9]

Diese beruehmten Gelehrten bezeichnen den Hoehepunkt der griechischen Wissenschaft; nach ihnen beginnt die Periode des Verfalles, ja sogar, trotz einiger wichtiger Untersuchungen eines Hipparch (161-126) und eines Ptolomaeus (125 bis ungefaehr 200), trotz der Arbeit eines genialen Kommentators, wie Pappus war (derselbe lebte gegen Ende des {7} dritten Jahrhunderts unserer Zeitrechnung), kommen wir nach und nach zu einer Periode voelliger Unthaetigkeit auf dem Gebiete der Geometrie.

Die Roemer, die Eroberer und Gesetzgeber der Welt, scheinen jedes Untersuchungsgeistes zu entbehren, und wenn die Geometrie in der Epoche, in welcher sie herrschten, nicht ganz verfiel, so geschah das dank ihren Agrimensoren, welche jedoch bei ihren Operationen nur eine Genauigkeit zu erreichen suchten, die fuer die Beduerfnisse des taeglichen Lebens ausreicht.[10]

{8}

Auch das Mittelalter kann keine Veranlassung geben zu einer laengeren Eroerterung. Die dichte Finsternis, welche in dieser Zeit die ganze Menschheit bedeckte, gestattete nicht das Auftreten eines Gelehrten, dem man irgend einen bemerkenswerten Fortschritt in der Geometrie verdankt. Man kann nur erwaehnen, dass die vielfachen in dieser Zeit errichteten heiligen Bauwerke, die nach dem Ausspruche eines grossen Dichters so zahlreich und kuehn waren, weil sie die einzigen der menschlichen Intelligenz damals erlaubten Aeusserungen darstellen, Kunde davon geben, dass derjenige Teil unserer Wissenschaft, der jedem Baumeister unentbehrlich ist, auch in dieser Zeit im allgemeinen bekannt war.

Diese fuer unsere Wissenschaft so traurige Zeit kann man als beendet ansehen mit Leonardo Fibonacci (etwa 1180-1250); erst als von diesem ausgezeichneten Gelehrten die Algebra nach Europa uebergefuehrt worden war, und seine hervorragenden Arbeiten ihren Einfluss ausuebten, da hatte diese Periode der wissenschaftlichen Unthaetigkeit ein Ende, und es beginnt eine neue Zeit, deren wir Italiener uns mit Stolz erinnern muessen, da in ihr unser Vaterland das Scepter der Mathematik inne hatte. Jedoch gravitierte diese Periode, wenn sie auch von grosser Bedeutung fuer die analytischen Untersuchungen ist, nicht in merklicher Weise nach den geometrischen. Cardano (1501-1576), Scipio Ferro (?-1525), Tartaglia (1500-1559), Ludovico Ferrari (1522-1565) und andere weniger bedeutende, die dieser Periode angehoeren, haben den Ruhm, in unserem Lande die Entwickelung eines der wichtigeren Teile der Analysis, naemlich der Theorie der Gleichungen, bewirkt zu haben, sowie auch die Vervollkommnung einiger der schwierigsten Teile derselben gefoerdert zu haben, dank den oeffentlichen wissenschaftlichen Herausforderungen, welche eine charakteristische Eigentuemlichkeit dieser Zeit waren. Hingegen ueberlieferten {9} sie die Geometrie ihren Nachkommen fast in demselben Zustande, in welchem sie dieselbe von den Griechen und den Arabern erhalten hatten.[11]

Nach dem Tode dieser tapferen Kaempen ging der Primat in der Mathematik ueber die Alpen und wurde von Frankreich infolge der Verdienste eines Vieta (1540-1603) und eines Fermat (1590-1663) uebernommen. Durch sie bereicherte sich die Geometrie mit Loesungen, die man vorher vergebens gesucht hatte. Auch wurden einige Werke des Apollonius, deren Verlust man beklagt hatte, wieder hergestellt.

Nicht viel spaeter vermehrten Pascal (1623-1662) und Desargues (1593-1662) das Erbteil der Geometrie mit originellen Gesichtspunkten, mit neuen Methoden und neuen Saetzen[12]. Aber die von ihnen ausgesprochenen Ideen blieben {10} viele Jahre hindurch unfruchtbar, weil sie von dem analytischen Geiste, dessen ueberwiegender Einfluss sich schon geltend gemacht hatte, unterdrueckt wurden.

Gleichwohl war im 17. Jahrhundert das Vorwiegen der Analysis noch nicht ein solches, dass es die Geometer die Probleme, deren Loesung man seit langer Zeit und so lebhaft gewuenscht hatte, vergessen liess. Zwischen den Bestrebungen dieser Zeit und den Wuenschen der Gelehrten erhob sich in der Folge ein Wettkampf eigener Art, und aus dem Zusammenstosse verschiedenartiger Ansichten und Bestrebungen entsprang ein Funke, der faehig war, eine Flamme zu erregen, welche die kommenden Generationen erleuchten sollte;[13] es entstand die analytische Geometrie (1637).

Wenn man auch schon in einigen Methoden der griechischen Geometer, in einigen praktischen Regeln der Maler, der aegyptischen Astronomen und der roemischen Agrimensoren Spuren von dem finden kann, was wir heute rechtwinkliges Cartesisches Koordinatensystem nennen; wenn auch schon die Araber und die italienischen Algebraiker aus der Renaissancezeit geometrische Betrachtungen auf die Loesung der Gleichungen angewandt hatten,[14] wenn auch schon Vieta die Abscissen gebraucht hatte, um vermittelst Zahlen die Punkte einer Geraden zu bestimmen, wenn schliesslich Nicolaus Oresme (ca. 1320-1382) und Fermat mehr oder weniger bewusst sich der Koordinaten bedient haben; so scheint doch ganz unbestreitbar Descartes (1596-1650) der erste zu sein, welcher in ihrer ganzen Ausdehnung die volle Einsicht von der Moeglichkeit, mit den algebraischen Rechnungszeichen die nach irgend einem Gesetze aufgebauten Formen des Raumes darzustellen, gehabt und der den ganzen Vorteil, den die Analysis und die Geometrie aus ihrer {11} unerwarteten Vereinigung ziehen koennen, erkannt hat. Mit Recht wird daher Cartesius' Namen immer mit der Entdeckung der analytischen Geometrie verbunden bleiben.[15]

Die Leichtigkeit, mit welcher dieses neue Werkzeug Fragen zu loesen gestattete, welche die Alten fuer unangreifbar hielten, liess die Zeitgenossen und unmittelbaren Nachfolger Descartes' die von Euklides, Archimedes und Apollonius eroeffneten Wege ganz vergessen, so dass wir eine Zeitlang niemanden finden, der, um zu irgend einer wichtigen Wahrheit zu gelangen, sie eingeschlagen haette.

Die kurz nach Descartes gleichzeitig von Leibniz (1646-1716) und Newton (1642-1727) neu erfundenen Rechnungsarten betonten gerade diese Richtung, da sie bewirkten, dass man sich um diejenigen Probleme nicht bekuemmerte, deren Loesung nicht geeignet war, die Allmacht der Methoden, welche die Welt diesen unsterblichen Geistern verdankt, hervortreten zu lassen, derartig, dass man sagen kann, dass mit Ausnahme der _Philosophiae naturalis principia mathematica_ (1686) von Newton und einiger Seiten von Huygens (1629-1695),[16] von La Hire (1640-1718),[17] von Halley (1656-1742),[18] Maclaurin (1698-1746),[19] Simpson (1687-1768),[20] von Stewart {12} (1717-1785)[21] keine mathematische Produktion jener Zeit dem angehoert, was wir heute synthetische Geometrie zu nennen pflegen.[22]

Das hindert aber nicht, dass man diese Periode ohne Bedenken zu den erfreulichsten fuer die Geometrie rechnen muss. In der That ist der groessere Teil der Probleme, welche von den Erfindern der Infinitesimalrechnung und ihren unmittelbaren Schuelern aufgestellt oder geloest worden, unter die wichtigsten der ganzen Geometrie zu rechnen, da sie die interessantesten und verstecktesten geometrischen und mechanischen Eigenschaften der Kurven und Oberflaechen beruehren. Wir sehen daher, dass nicht allein die Zahl der Kurven, welche einer naeheren Betrachtung wert sind, sich ausserordentlich vermehrt,[23] sondern auch -- was viel wichtiger ist --, dass die Betrachtung von Singularitaeten einer Kurve und anderer neuer mit dieser verbundener Elemente eingefuebrt wird, und dass infolge dessen Untersuchungsgebiete sich eroeffnen, deren Existenz man vorher gar nicht geahnt hatte.

Die Leichtigkeit, welche die Cartesische Methode in der Aufloesung einer so grossen Anzahl von planimetrischen Aufgaben mit sich brachte, trieb natuerlich die Geometer an, {13} eine aehnliche fuer das Studium der Raumkurven und der Oberflaechen zu schaffen. Daher entstand eine Verallgemeinerung dieser Methode, welche Descartes schon angedeutet hatte, und die Schooten (16..-1661)[24] in weiterer Ausfuehrung veroeffentlichte. Diese Andeutungen liessen bei Parent (1666-1716) den Gedanken entstehen, eine Oberflaeche durch eine Gleichung zwischen den drei Koordinaten eines ihrer Punkte darzustellen,[25] und bereiteten deshalb die analytische Geometrie dreier Koordinaten vor, welche im Jahre 1731 einen wesentlichen Teil der Mathematik zu bilden begann infolge einer klassischen Abhandlung von Clairaut (1715-1765),[26] in welcher er im Alter von nur 16 Jahren mit einer seltenen Eleganz viele von den auf die Kurven doppelter Kruemmung bezueglichen Problemen loeste, welche ihre entsprechenden in der Ebene finden. Bald nach Clairaut schuf Euler (1707-1783) die analytische Theorie der Kruemmung der Oberflaechen (1760)[27] und wandte die analytische Methode an, um eine Klassifikation der Oberflaechen zweiten Grades zu erhalten, gegruendet auf analoge Kriterien, wie diejenigen, welche den Alten dazu gedient hatten, die Kurven zweiter Ordnung in Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln zu unterscheiden. Endlich gehoert der zweiten Haelfte des vergangenen Jahrhunderts das riesige Werk von Monge (1746-1818) an. Dieser verschaffte der analytischen Geometrie zweier Koordinaten das Aussehen, welches sie heute besitzt, indem er den methodischen Gebrauch der Gleichung einer Geraden einfuehrte. Er stellte den wichtigen Begriff von Flaechenfamilien auf und, indem er einige derselben behandelte (Regelflaechen, abwickelbare, Roehrenflaechen, "Surfaces moulures"), entdeckte er einen versteckten innigen Zusammenhang zwischen der Theorie der Oberflaechen und der Integration der partiellen Differentialgleichungen, {14} was Licht in diese, wie in jene Lehre brachte und den Geometern neue Gesichtspunkte enthuellte.[28]

Die geistige Bewegung, welche mit der Renaissancezeit begonnen und Italien an ihrer Spitze hatte, pflanzte sich, wie wir schon gesehen haben, zuerst unter Frankreichs Leitung fort, dann unter der von England und Deutschland. Aber gegen Ende des 18. Jahrhunderts, als Euler aufgehoert hatte "zu rechnen und zu leben",[29] stellte sich Frankreich wieder an die Spitze der mathematischen Welt. Nicht allein mit Clairaut, d'Alembert (1716-1783), Lagrange (1736-1813), Laplace (1749-1827), Legendre (1752-1833), Poisson (1781-1840) und anderen gab es den Anstoss zum Studium der reinen und angewandten Analysis, sondern es kehrten auch mit Monge, Carnot (1753-1823) und Poncelet (1788-1867) die Gelehrten zum Studium der geometrischen Formen zurueck, in der Weise, wie es die Alten verstanden.

Monge schuf, indem er zu einem wissenschaftlichen Ganzen die wenigen Regeln vereinigte, welche die Baumeister und Maler sich geschaffen hatten, um die Beduerfnisse der Kunst zu befriedigen, und gluecklich die Luecken ausfuellte, die sich zwischen ihnen noch bemerkbar machten, einen neuen Zweig der Geometrie, die darstellende Geometrie. Mit seinem klassischen Buche, welches er dieser Disziplin widmete,[30] und noch viel mehr mit seinen unvergleichlichen Vorlesungen, die er an der polytechnischen Schule hielt, brachte er das Studium der Geometrie, welches sich auf die direkte Anschauung der Figur stuetzt, zu Ehren[31] und, indem {15} er die Vorstellung der geometrischen Figuren von drei Dimensionen erleichterte, machte er jene systematische Anwendung von stereometrischen Betrachtungen auf das Studium der ebenen Figuren moeglich, welche Pappus schon erkannt hatte.[32]