Part 33

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis coelestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiæ: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometæ, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetæ in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidiata lucis ad lucem inversè. Sic minima Capillitii Cometæ anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum à _Cl. Flamstedio_ observata & micrometro mensurata, æquabat 2'. 0". Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11" vel 12". Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometæ anni 1680, stellasque primæ vel secundæ magnitudinis æmulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum æquabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 21", adeoque lux globi & annuli conjunctim æquaret lucem globi, cujus diameter esset 30": erit distantiæ Cometæ ad distantiam Saturni ut 1 ad [sqrt]4 inversè, & 12" ad 30" directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5. Rursus Cometa anni 1665 mense _Aprili_, ut Author est _Hevelius_, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni præcedentis apparuerat & cum stellis primæ magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6', at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi æqualis judicabatur. Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8' vel 12', diameter verò Nuclei seu stellæ centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometæ omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto coelo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis illustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetæ, qui hic sunt, illustrantur à Stellis fixis.

Hæc disputavimus non considerando obscurationem Cometarum per fumum illum maximè copiosum & crassum, quo caput circundatur, quasi per nubem obtusè semper lucens. Nam quanto obscurius redditur corpus per hunc fumum, tanto propius ad Solem accedat necesse est, ut copia lucis à se reflexa Planetas æmuletur. Inde verisimile fit Cometas longe infra Sphæram Saturni descendere, uti ex Parallaxi probavimus. Idem verò quam maximè confirmatur ex Caudis. Hæ vel ex reflexione fumi sparsi per æthera, vel ex luce capitis oriuntur. Priore casu minuenda est distantia Cometarum, ne fumus à Capite semper ortus per spatia nimis ampla incredibili cum velocitate & expansione propagetur. In posteriore referenda est lux omnis tam caudæ quàm capillitii ad Nucleum capitis. Igitur si imaginemur lucem hanc omnem congregari & intra discum Nuclei coarctari, Nucleus ille jam certè, quoties caudam maximam & fulgentissimam emittit, Jovem ipsum splendore suo multum superabit. Minore igitur cum diametro apparente plus lucis emittens, multò magis illustrabitur à Sole, adeoque erit Soli multò propior. Quinetiam capita sub Sole delitescentia, & caudas cum maximas tum fulgentissimas instar trabium ignitarum nonnunquam emittentia, eodem argumento infra orbem Veneris collocari debent. Nam lux illa omnis si in stellam congregari supponatur, ipsam Venerem ne dicam Veneres plures conjunctas quandoque superaret.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante _Hevelio_,) ex quo conspici cæpit, remittebat semper de motu suo, adeoque præterierat Perigæum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem _Hevelio_, in fine Mensis _Julii_ ubi primum conspectus est, tardissimè movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad _Sept. 4._ quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quam _Hevelius_ reperit _Aug. 6._ esse tantum 6'. 5" inclusâ comâ, at _Sept. 2._ esse 9'. 7". Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idem _Hevelius_. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis _Decembris_, & iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Perigæis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere septimanas, ubi modò exierant de radiis Solaribus; & splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometæ prioris, juxta observationes _Cysati_, _Decem. 1._ majus videbatur stellis primæ magnitudinis, & _Decem. 16._ (jam in Perigæo existens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. _Jan. 7._ _Keplerus_ de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis _Decemb._ conspectum & à _Flamstedio_ observatum est caput Cometæ posterioris, in distantia novem graduum à Sole; id quod stellæ tertiæ magnitudinis vix concessum fuisset. _Decem. 15 & 17_ apparuit idem ut stella tertiæ magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum. _Decem. 26._ velocissimè motus, inque Perigæo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellæ tertiæ magnitudinis. _Jan. 3._ apparebat ut Stella quartæ, _Jan. 9._ ut Stella quintæ, _Jan. 13._ ob splendorem Lunæ crescentis disparuit. _Jan. 25._ vix æquabat Stellas magnitudinis septimæ. Si sumantur æqualia à Perigæo hinc inde tempora, capita quæ temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob æquales à Terra distantias, æqualiter lucere debuissent, in plaga Solis maximè splenduere, ex altera Perigæi parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometæ vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigæis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

_Corol. 1._ Splendent igitur Cometæ luce Solis à se reflexa.

_Corol. 2._ Ex dictis etiam intelligitur cur Cometæ tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent sæpius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terræ vicinioris qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret cæteros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphærio Solem versus, quàm in Hemisphærio opposito, præter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit. Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terræ quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometæ Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent.

_Corol. 3._ Hinc etiam manifestum est, quod coeli resistentia destituuntur. Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant. Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosphæris ingentibus cinguntur; & Atmosphæræ infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illæ visuntur. Sic Terra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetæ illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphæris & profundioribus & crassioribus abscondi debent.

Prop. XL. Theor. XXI.

_Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere._

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

_Corol. 1._ Hinc si Cometæ in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione sesquialtera transversorum axium. Ideoque Cometæ maxima ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Cometæ sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometæ erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4[sqrt]4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

_Corol. 2._ Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolæ absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

_Corol. 3._ Et propterea, per Corol. 7. Prop. XVI. Lib. I. velocitas Cometæ omnis erit semper ad velocitatem Planetæ cujusvis circa Solem in circulo revolventis, in dimidiata ratione duplicatæ distantiæ Cometæ à centro Solis ad distantiam Planetæ à centro Solis quamproximè. Ponamus radium orbis magni, seu Ellipseos in qua Terra revolvitur semidiametrum transversam, esse partium 100000000, & Terra motu suo diurno mediocri describet partes 1720212, & motu horario partes 71675½. Ideoque Cometa in eadem Telluris à Sole distantia mediocri, ea cum velocitate quæ sit ad velocitatem Telluris ut [sqrt]2 ad 1, describet motu suo diurno partes 2432747, & motu horario partes 101364½. In majoribus autem vel minoribus distantiis, motus tum diurnus tum horarius erit ad hunc motum diurnum & horarium in dimidiata ratione distantiarum respectivè, ideoque datur.

Lemma V.

_Invenire lineam curvam generis Parabolici, quæ per data quotcunque puncta transibit._

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

_Cas. 1._ Si punctorum H, I, K, L, M, N æqualia sunt intervalla HI, IK, KL, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK &c. differentias primas b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. secundas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias d, 2d, 3d, &c. id est, ita ut sit HA - BI = b, BI- CK = 2b, CK - DL = 3b, DL + EM = 4b, - EM + FN = 5b, &c. dein b - 2b = c &c. & sic pergatur ad differentiam ultimam, quæ hic est f. Deinde erecta quacunque perpendiculari RS, quæ fuerit ordinatim applicata ad curvam quæsitam: ut inveniatur hujus longitudo, pone intervalla HI, IK, KL, LM, &c. unitates esse, & dic AH = a, - HS = p, ½p in - IS = q, 1/3q in + SK = r, ¼r in + SL = s, 1/5s in + SM = t; pergendo videlicet ad usque penultimum perpendiculum ME, & præponendo signa negativa terminis HS, IS, &c. qui jacent ad partes puncti S versus A, & signa affirmativa terminis SK, SL, &c. qui jacent ad alteras partes puncti S. Et signis probe observatis erit RS = a + bp + cq + dr + es + ft &c.

_Cas. 2._ Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inæqualia sint intervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2b, 3b, 4b, 5b; secundas per intervalla bina divisas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias per intervalla terna divisas d, 2d, 3d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b = {AH - BI} ÷ HI, 2b = {BI - CK} ÷ IK, 3b = {CK - DL} ÷ KL &c. dein c = {b - 2b} ÷ HK, 2c = {2b - 3b} ÷ IL, 3c = {3b - 4b} ÷ KM &c. Postea d = {c - 2c} ÷ HL, 2d = {2c - 3c} ÷ IM &c. Inventis differentiis, dic AH = a, - HS = p, p in - IS = q, q in + SK = r, r in + SL = s, s in + SM = t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS = a + bp + cq + dr + es + ft, &c.

_Corol._ Hinc areæ curvarum omnium inveniri possunt quamproximè. Nam si curvæ cujusvis quadrandæ inveniantur puncta aliquot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proximè cum area curvæ illius quadrandæ. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

Lemma VI.

_Ex observatis aliquot locis Cometæ invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum._

Designent HI, IK, KL, LM tempora inter observationes, (_in Fig. præced._) HA, IB, KC, LD, ME, observatas quinque longitudines Cometæ, HS tempus datum inter observationem primam & longitudinem quæsitam. Et si per puncta A, B, C, D, E duci intelligatur curva regularis ABCDE; & per Lemma superius inveniatur ejus ordinatim applicata RS, erit RS longitudo quæsita.

Eadem methodo ex observatis quinque latitudinibus invenitur latitudo ad tempus datum.

Si longitudinum observatarum parvæ sint differentiæ, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiæ, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Lemma VII.

_Per datum punctum P ducere rectam lineam BC, cujus partes PB, PC, rectis duabus positione datis AB, AC abscissæ, datam habeant rationem ad invicem._

A puncto illo P ad rectarum alterutram AB ducatur recta quævis PD, & producatur eadem versus rectam alteram AC usque ad E, ut sit PE ad PD in data illa ratione. Ipsi AD parallela sit EC; & si agatur CPB, erit PC ad PB ut PE ad PD. _Q. E. F._

Lemma VIII.

_Sit ABC Parabola umbilicum habens S. Chordâ AC bisectâ in I abscindatur segmentum ABCI, cujus diameter sit I[mu] & vertex [mu]. In I[mu] productâ capiatur [mu]O æqualis dimidio ipsius I[mu]. Jungatur OS, & producatur ea ad [xi], ut sit S[xi] æqualis 2SO. Et si Cometa B moveatur in arcu CBA, & agatur [xi]B secans AC in E: dico quod punctum E abscindet de chorda AC segmentum AE tempori proportionale quamproximè._

Jungatur enim EO secans arcum Parabolicum ABC in Y, & erit area curvilinea AEY ad aream curvilineam ACY ut AE ad AC quamproximè. Ideoque cum triangulum ASE sit ad triangulum ASC in eadem ratione, erit area tota ASEY ad aream totam ASCY ut AE ad AC quamproximè. Cum autem [xi]O sit ad SO ut 3 ad 1 & EO ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipsi EB parallela quamproximè, & propterea triangulum SEB, triangulo YEB quamproximè æquale. Unde si ad aream ASEY addatur triangulum EYB, & de summa auferatur triangulum SEB, manebit area ASBY areæ ASEY æqualis quamproximè, atque adeo ad aream ASCY ut AE ad AC. Sed area ASBY est ad aream ASCY ut tempus descripti arcus AB ad tempus descripti arcus totius. Ideoque AE est ad AC in ratione temporum quamproximè. _Q. E. D._

Lemma IX.

_Rectæ I[mu] & [mu]M & longitudo AIC ÷ 4S[mu] æquantur inter se. Nam 4S[mu] est latus rectum Parabolæ pertinens ad verticem B._

Lemma X.

_Si producatur S[mu] ad N & P, ut [mu]N sit pars tertia ipsius [mu]I, & SP sit ad SN ut SN ad S[mu]. Cometa quo tempore describit arcum A[mu]C, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi SP æquali, describeret longitudinem æqualem chordæ AC._

Nam si velocitate quam habet in [mu], eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in [mu]; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, æqualis esset areæ Parabolicæ ASC[mu]. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente descripta & longitudine S[mu], esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASC[mu] ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut S[mu] ad SN. Cum autem velocitas Cometæ in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S[mu] in dimidiata ratione SP ad S[mu] inversè, id est in ratione S[mu] ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut S[mu] ad SN. Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se. _Q. E. D._

_Corol._ Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine S[mu] + 2/3I[mu], eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.

Lemma XI.

_Si Cometa motu omni privatus de altitudine SN seu S[mu] + 1/3I[mu] demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum AC, descensu suo describeret spatium longitudini I[mu] æquale._

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq. ÷ 4SP. Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad S[mu]: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq. ÷ 4S[mu], id est spatium longitudini I[mu] vel M[mu] æquale. _Q. E. D._

Prop. XLI. Prob. XX.

_Cometæ in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare._

Problema hocce longe difficillimum multimodè aggressus, composui Problemata quædam in Libro primo quæ ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulò simpliciorem excogitavi.

Seligantur tres observationes æqualibus temporum intervallis ab invicem quamproximè distantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa temporum ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non præsto sint, inveniendus est novus Cometæ locus per Lemma sextum.

Designent S Solem, T, t, [tau] tria loca Terræ in orbe magno, TA, tB, [tau]C observatas tres longitudines Cometæ, V tempus inter observationem primam & secundam, W tempus inter secundam ac tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole distantia, describere posset, & tV perpendiculum in chordam T[tau]. In longitudine media tB sumatur utcunque punctum B, & inde versus Solem S ducatur linea BE, quæ sit ad Sagittam tV, ut contentum sub SB & St quadrato ad cubum hypotenusæ trianguli rectanguli, cujus latera sunt SB & tangens latitudinis Cometæ in observatione secunda ad radium tB. Et per punctum E agatur recta AEC, cujus partes AE, EC ad rectas TA & [tau]C terminatæ, sint ad invicem ut tempora V & W: Tum per puncta A, B, C, duc circumferentiam circuli, eamque biseca in i, ut & chordam AC in I. Age occultam Si secantem AC in [lambda], & comple parallelogrammum iI[lambda][mu]. Cape I[sigma] æqualem 3I[lambda], & per Solem S age occultam [sigma][xi] æqualem 3S[sigma] + 3i[lambda]. Et deletis jam literis A, E, C, I, à puncto B versus punctum [xi] duc occultam novam BE, quæ sit ad priorem BE in duplicata ratione distantiæ BS ad quantitatem S[mu] + 1/3i[lambda]. Et per punctum E iterum duc rectam AEC eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes AE & EC sint ad invicem ut tempora inter observationes, V & W.

Ad AC bisectam in I erigantur perpendicula AM, CN, IO, quarum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios TA & [tau][alpha]. Jungatur MN secans IO in O. Constituatur rectangulum iI[lambda][mu] ut prius. In IA producta capiatur ID æqualis S[mu] + 2/3i[lambda], & agatur occulta OD. Deinde in MN versus N capiatur MP, quæ sit ad longitudinem supra inventam X in dimidiata ratione mediocris distantiæ Telluris à Sole (seu semidiametri orbis magni) ad distantiam OD. Et in AC capiatur CG ipsi NP æqualis, ita ut puncta G & P ad easdem partes rectæ NC jaceant.

Eadem methodo qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b & [beta] puncta nova e, a, c, g, & [epsilon], [alpha], [kappa], [gamma]. Deinde si per G, g, [gamma] ducatur circumferentia circuli Gg[gamma] secans rectam [tau]C in Z: erit Z locus Cometæ in plano Eclipticæ. Et si in AC, ac, [alpha][kappa] capiantur AF, af, [alpha][phi] ipsis CG, cg, [kappa][gamma] respectivè æquales, & per puncta F, f, [phi] ducatur circumferentia circuli Ff[phi] secans rectam AT in X; erit punctum X alius Cometæ locus in plano Eclipticæ. Ad puncta X & Z erigantur tangentes latitudinum Cometæ ad radios TX & [tau]Z; & habebuntur loca duo Cometæ in orbe proprio. Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca illa duo describatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ. _Q. E. I._

Constructionis hujus demonstratio ex Lemmatibus consequitur: quippe cum recta AC secetur in E in ratione temporum, per Lemma VIII: & BE per Lem. XI. sit pars rectæ BS in plano Eclipticæ arcui ABC & chordæ AEG interjecta; & MP (per Lem. VIII.) longitudo sit chordæ arcus, quem Cometa in orbe proprio inter observationem primam ac tertiam describere debet, ideoque ipsi MN æqualis fuerit, si modò B sit verus Cometæ locus in plano Eclipticæ.

Cæterum puncta B, b, [beta] non quælibet, sed vero proxima eligere convenit. Si angulus AQt in quo vestigium orbis in plano Eclipticæ descriptum secabit rectam tB præterpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occulta AC, quæ sit ad 4/3Tt in dimidiata ratione St ad SQ. Et agendo rectam SEB cujus pars EB æquetur longitudini Vt, determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet. Tum rectâ AC deletâ & secundum præcedentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitudine MP; in tB capiatur punctum b, ea lege, ut si TA, TC se mutuò secuerint in Y, sit distantia Yb ad distantiam YB in ratione composita ex ratione MN ad MP & ratione dimidiata SB ad Sb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium [beta]; si modò operationem tertiò repetere lubet. Sed hac methodo operationes duæ ut plurimum suffecerint. Nam si distantia Bb perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta F, f & G, g, actæ rectæ Ff & Gg, secabunt TA & [tau]C in punctis quæsitis X & Z.

_Exemplum._

Proponatur Cometa anni 1680. Hujus motum à _Flamstedio_ observatum Tabula sequens exhibet.