Part 10

Ma l’età moderna assiste, come dicevamo, al trionfo della _geometria analitica_, il più squisito strumento della matematica moderna. La legittimità della applicazione dell’algebra alla geometria e, reciprocamente, della geometria all’algebra, che ne costituisce l’essenza, è così spiegata dal filosofo e matematico francese _Cartesio_. Le figure geometriche risultano di _grandezze_ e di _forme_. Le prime si risolvono in numeri; ma questo è possibile anche delle seconde. La forma di ogni figura, infatti, risulta dalla posizione dei punti di cui si compone, e questa può essere determinata con delle grandezze. La posizione, infatti, di un punto nello spazio a tre dimensioni dipende da tre quantità, p. es., dalle distanze di questo punto da tre piani fissi formanti un angolo triedro: queste tre quantità sono le tre _coordinate_ del punto. Ecco, dunque, la _forma_, attraverso la posizione, ricondotta alla grandezza; ed eccoci autorizzati a portare l’algebra, ossia il calcolo in tutti i campi della geometria. Ma l’algebra (continuava Descartes) tratta dei rapporti e delle proporzioni in generale. Or bene, è d’uopo rendere evidenti i suoi processi più complicati, far apparire le sue conclusioni in forma concreta. E il mezzo migliore, per raggiungere tale scopo, è usare quei segni, che più vivamente colpiscono la nostra immaginazione, ossia le figure geometriche. Perciò appunto è lecito e utile giungere persino alla _risoluzione grafica delle equazioni_.

Se il Descartes è, sopratutto, il filosofo della _geometria analitica_, il massimo studioso ne fu il suo contemporaneo, _Pietro Fermat_ (1602-65). Ma il primo manuale di geometria algebrica spetta ad un italiano; fu scritto da _Marino Ghetaldi_ nel 1630.

Con la geometria analitica, la geometria acquistava una elasticità nuova. La geometria classica abbisognava di un procedimento speciale per ogni singolo problema. La geometria analitica, invece, si fonda su poche regole, e con esse può dimostrare se una proposizione sia vera o falsa.

Come dicevamo, in contrapposto alla geometria, che, entrando nell’analitica, abbandonava l’antico suo campo di scienza delle forme dello spazio, la pratica della descrizione degli oggetti si sistematizza, diviene ora scienza soggetta a leggi sue speciali.

I fondatori della _geometria descrittiva_ o _proiettiva_ furono il _Desargues_ (1593-1662), il _Pascal_ (1623-62), uno dei più grandi genii matematici, il _Monge_ (1746-1818). La sua prima cattedra venne istituita dalla Rivoluzione francese alla _École normale_, nel 1794, e tenuta dal Monge stesso. Più tardi, sotto l’Impero napoleonico, questi insegnò geometria descrittiva alla _Scuola Politecnica_ di Parigi, e le sue lezioni andarono a formare il classico testo, che ha per titolo _Géométrie descriptive_ (1800).

Passando dalla geometria all’algebra pura, la risoluzione delle equazioni di 4º grado è, nei secc. XVII-XVIII, raggiunta con metodi, diversi da quelli del secolo precedente (cfr. § 20), da parecchi matematici a un tempo: da _Descartes_ e _Tschirnhausen_ (sec. XVIII), dall’_Euler_ e dal _Lagrange_ (sec. XVIII).

Furono appunto questi tre ultimi a tentare disperatamente, con i mezzi algebrici, la soluzione di equazioni di grado superiore al quarto; ma senza riuscirvi. Il _Leibniz_ (1646-1716) e il _Gauss_ per primi giudicheranno impossibile condurre a termine questa impresa per le vie dell’algebra, e l’_Abel_, in sui primi del sec. XIX, darà, di tale assunto, una dimostrazione apodittica.

Il sec. XVII segna altresì, avvertimmo, gli albori o, (come altri vuole) la rinascita dell’_analisi infinitesimale_. È l’_analisi infinitesimale_ il capitolo più delicato e più squisito della scienza dei numeri. Si serve di parecchi processi (_calcolo integrale, differenziale, calcolo delle variazioni_ ecc.), e si dice _infinitesimale_, perchè, penetrando a fondo nell’essenza stessa della grandezza, la decompone per meglio studiarla in parti infinitamente piccole.

Fu il francese _Bachet de Méziriac_ (1587-1638) a darne per primo una trattazione moderna, e tosto i grandi matematici dei sec. XVII e XVIII, più volte nominati (_Newton, Leibniz, Fermat, Euler, Lagrange_) e, oltre a questi, il francese _Rolle_ si posero sulle sue orme, o ne ripeterono con altri metodi i felici tentativi.

Finalmente, le prime _tavole logaritmiche_ risalgono ai primi del sec. XVII, per merito del _Neper_, del _Bürgi_, del _Jost_, del _Briggs_.

Tale il quadro superbo delle matematiche, nei secoli XVII-XVIII. Il secolo XIX ne continuerà l’opera, approfondirà i resultati, perfezionerà i metodi, troverà, per i vari problemi, nuove soluzioni, sopra tutto assoggetterà parecchie scienze, in primo la fisica, com’era avvenuto in Grecia, nell’età di Euclide e di Archimede, alle matematiche; separerà la professione del cultore della scienza pura da quella dell’ingegnere, che avrà ad applicarla, ma esso non darà più vita ad alcun nuovo ramo delle matematiche.

28. =Astronomia: Keplero; Galilei; Newton; Laplace; Herschel.= — La dottrina copernicana fu ben lungi dal conquistare di colpo il consenso degli scienziati e, tanto meno, dall’opinione pubblica. Se il citato _Raethicus_ e qualche altro l’accettarono con entusiasmo, e si dedicarono a dimostrarne più esattamente alcuni punti particolari, lo stesso non può dirsi della maggior parte dei dotti. Taluno dei maggiori si studiò di disegnare un sistema intermedio. Fu questo il tentativo del danese _Ticone Brahe_ (1546-1601), uno dei più grandi e più esatti osservatori e calcolatori fra gl’immediati successori di Copernico. Egli suppose che i cinque pianeti (Mercurio, Venere, Marte, Giove, Saturno) girassero intorno al sole, mentre il sole girerebbe annualmente intorno alla Terra, e l’intera sfera celeste compirebbe anch’essa una rotazione diurna intorno al nostro pianeta.

_A_). _Keplero._ — Ma negli ultimi suoi anni si incontrò con lui _Giovanni Keplero_ (1571-1630); questi, anzi, fu, suo assistente, al castello di Benateck (in Boemia), ove il Brahe aveva installato un osservatorio, e i resultati delle osservazioni, che furono quivi condotte, giovarono molto a fare del Keplero uno dei più validi sostenitori del copernicanesimo.

Keplero cominciò dallo studiare il pianeta Marte. Cotale studio gli ispirò le due prime così dette leggi di Keplero: 1. _Marte descrive un’ellisse_ (e non già una circonferenza)[73] _e il sole ne occupa uno dei fuochi_; 2. _La linea retta che unisce Marte al sole descrive aree eguali in tempi eguali_.

Questi due leggi, che il Keplero aveva riscontrate per Marte, le concepiva (ed a ragione) comuni a tutti i pianeti, convinto, com’era, della piena uniformità delle leggi della natura. Tale concetto egli svolse nella sua _Armonia del mondo_ (1619). Tuttavia, questa, ch’è considerata la sua opera massima, è troppo ingombra, conformemente alla mentalità del suo autore, di speculazioni, or mistiche or fantasiose. Una, però, delle affermazioni notevoli, in essa contenute, è la così detta «_terza legge di Keplero_», relativa al rapporto fra le grandezze delle orbite dei pianeti e i loro tempi di rivoluzione: «_Il quadrato del tempo di rivoluzione di ciascun pianeta è proporzionale al cubo della sua distanza media dal sole_».

Ma il libro, nel quale il Keplero si rivela interamente copernicano, è un testo scolastico di astronomia, pubblicato tra il 1618 e il 1621 e intitolato appunto _Epitome dell’Astronomia di Copernico_.

Un’altra sua opera meno popolare, ma più sostanziosa, sono le sue _Tavole Ridolfine_ (1627) (dal nome dell’imperatore, di cui era matematico ufficiale): una nuova serie di tavole astronomiche, assai più perfette di tutte quelle precedenti (§ 17 _B_), e capaci di permettere di determinare la posizione di un corpo celeste qualsiasi, in qualunque tempo, così come la predizione di svariati fenomeni astronomici.

Tuttavia il Keplero fu un divinatore della scienza più che uno scienziato nel senso preciso della parola. I suoi volumi sono per la massima parte ingombri di inutili speculazioni, di pregiudizi astrologici, di profezie vane, e recano un carattere perfettamente opposto a quelli del suo grande contemporaneo: _Galileo Galilei_.

_B_). _Galilei._ — La biografia del Galilei è popolarissima. Egli nacque a Pisa nel 1564, e, sebbene i suoi genitori desiderassero farne un commerciante, egli preferì dedicarsi a qualche carriera più elevata e studiò medicina nella università di Pisa. Pur troppo, non le discipline mediche lo attiravano, ma le matematiche e le scienze sperimentali. Per le ristrettezze economiche della sua famiglia, non potè compiere i suoi studii a Pisa, e dovette studiare privatamente. Nel 1589 ottenne a Pisa la cattedra di matematica e astronomia. Qui cominciò i suoi primi esperimenti di meccanica. Ma la poca ortodossia, lo scarso rispetto alle opinioni convenzionali che egli manifestò nel trattato, in cui ne rese conto, contribuirono a fargli lasciare la cattedra e a indurlo a trasferirsi con lo stesso ufficio a Padova (1592). Il nuovo soggiorno fu per lui più propizio; e gli anni del suo insegnamento colà furono quelli della conquista della notorietà e della gloria.

Il Galilei lasciò Padova solo dopo diciotto anni, desiderando scaricarsi del peso dell’insegnamento e tutto dedicarsi alle sue ricerche, e tornò in Toscana, primo matematico e filosofo del Granduca.

Per sua disgrazia, la sua intensa operosità scientifica cadeva in un periodo della vita italiana — il periodo della Controriforma — nel quale tutto il mondo cattolico, per meglio difendersi dagli assalti della rivoluzione protestante, si sforzava di ricondurre la società verso il pensiero e la disciplina medievale. Bastò perciò che, nel bel mezzo di una discussione, che lo riguardava incidentalmente, egli si dichiarasse consenziente col pensiero copernicano, perchè venisse denunciato alla Inquisizione come professante opinioni contrarie alle sacre scritture. Così, ora soltanto, nel 1615, il copernicanesimo veniva ufficialmente condannato, e il Galilei era «ammonito», oltrechè _invitato_ ad «abbandonare» quelle _eretiche_ opinioni.

Il Galilei, com’era giocoforza, parve sottomettersi. Ma egli riaccese la spinosa questione, diciassette anni più tardi, col suo dialogo classico (dal punto di vista scientifico e da quello letterario) _Sui due massimi sistemi del mondo, Tolomaico e Copernicano_ (1632). In questo scritto, non ostante la finissima ironia della conversazione, era manifesto come l’autore intendesse assegnare la palma della vittoria polemica al sostenitore della teoria copernicana.

Questa volta egli fu invitato a dichiarare umilmente di essersi ingannato, di «abiurare, maledire e detestare» i suoi «errori», e venne condannato al confine presso Roma, e poi ad Arcetri. Nel 1638 era colpito da cecità, e quattro anni dopo, nel 1642, il Veggente, scopritore di nuovi mondi moriva nel più gelido buio.

La gloria del Galilei, come astronomo, è in gran parte una diretta conseguenza del suo grande valore di fisico, anzi, in generale di scienziato. La costruzione, di cui egli fu capace, di un sistema di lenti, convesse e concave — il _telescopio_ — con cui osservare i corpi celesti, riducendone la distanza di ben 30 volte, e quindi aumentandone di altrettante la grandezza, gli permise di dominare il cielo assai più e meglio dei predecessori.

Ma anche altri, quasi nello stesso tempo, adoperavano il telescopio, e rimasero assai addietro di lui. Un’altra fonte del suo successo fu perciò il rigore delle sue osservazioni, dei suoi ragionamenti, dei suoi esperimenti, ossia delle riprove a cui egli assoggettava ogni sua induzione e deduzione, e che gli giovò infinitamente nel campo della fisica, là dove in modo speciale l’esperimento è possibile. Per questo appunto, come avvertiamo, assai più che in virtù di speculazioni teoriche, il Galilei è ritenuto fondatore del metodo sperimentale.

Le sue prime scoperte astronomiche, consegnate nel _Messaggero celeste_ (_Sidereus nuntius_ del 1610), riguardano principalmente due argomenti: il nostro satellite, e i satelliti di Giove.

Il Galilei smentì per primo la comune opinione astronomica che la luna, come gli altri corpi celesti, fosse liscia e rigorosamente sferica, e vi scoperse le montagne, di talune delle quali calcolò esattamente l’altezza; vi notò la mancanza di nubi e (ciò che più importava nei riguardi del sistema copernicano) la sostanziale analogia tra la luna e la Terra; _il che voleva dire fra i fenomeni terrestri e quelli celesti_.

In modo analogo, il Galilei scoperse per primo i satelliti di Giove, rilevando, contro i Tolomaici, come non solo la Terra, ma anche altri corpi celesti siano _centro di movimenti_, e come, anche visibilmente, taluni corpi celesti girino intorno ad altri corpi, che apparentemente si muovono. Questo, appunto, gli astronomi copernicani sostenevano avvenire della Terra rispetto al Sole, mentre gli astronomi tolomaici ne escludevano la possibilità. Ora il fatto, visibile a chiunque, che la cosa accadeva per Giove e per i suoi satelliti, in condizioni identiche a quelle della Terra rispetto al Sole, era un gravissimo argomento contro la loro dottrina.

Più tardi, insegnante a Padova, il Galilei scoperse la singolare struttura di _Saturno_, pianeta composto di tre parti. A Firenze osservò che _Venere_ ha delle fasi somiglianti a quelle lunari. Finalmente osservò le _macchie solari_, e le dimostrò come inerenti a quest’astro, mentre chi prima le aveva notate le aveva ritenute effetto del passaggio di altri pianeti, dinanzi al sole. Questa scoperta veniva a concludere con la dimostrazione di un movimento rotatorio del Sole intorno a un suo asse della durata di circa un mese.

Le ultime scoperte astronomiche del Galilei, condotte a termine prima che il suo autore piombasse nella completa cecità, sono un ritorno ai suoi primi studî, e riguardano la luna. Egli osservò come l’opinione comune, che la luna ci volga sempre una stessa faccia, non sia esattissima, e che noi possiamo vedere di tanto in tanto, a seconda del luogo da cui guardiamo, differenti porzioni della luna. A mutare la nostra posizione di osservatori lunari ci conduce poi, ogni giorno, senza nostra volontà, il movimento giornaliero della Terra. Così il Galilei scopriva quelle che oggi si dicono le _librazioni della luna_.

_C_). _Newton._ — _Isacco Newton_ (1642-1727) nacque nello stesso anno in cui moriva il Galilei, e la sua grande opera è una prosecuzione geniale di quella di Keplero e del Galilei stesso. Ma per tal via egli giungerà alla concezione più profonda e più vasta della scienza astronomica moderna: la _gravitazione universale_.

Il Newton pose a se stesso il problema: — _Per quale causa avviene che i corpi celesti si muovano nello spazio?_ — Era la domanda legittima, che s’imponeva agli scienziati dopo il tramonto del sistema tolomaico. Il matematico e filosofo francese, Cartesio, vi aveva risposto con una sua _teoria dei vortici_. Tutto lo spazio sarebbe pieno di un fluido — l’etere — le cui parti agiscono sull’altra, e producono moti circolari. Così l’etere è percorso e agitato da un gran numero di vortici, e un vortice immenso ha per centro il sole e trascina nel suo giro la Terra e i pianeti.

Era una teoria che il suo autore nè dimostrò, nè mise d’accordo con le leggi di Keplero, nè sperimentò, e che nemmeno portò alla scoperta di nuove verità. Il Newton, invece, muove dalle leggi di Galilei sulla caduta dei gravi. Il Galilei aveva insegnato, in fisica (cfr. § 29), che un corpo, abbandonato a se stesso, e non influenzato da altro corpo, si muove sempre con la stessa velocità e nella stessa direzione. Avea insegnato che il moto circolare cambia continuamente direzione sotto l’influsso di una causa esterna. Quale causa, dunque, influiva sui pianeti perchè essi, anzichè procedere sempre nella stessa direzione, sono tratti a muoversi in senso circolare intorno a un centro, ch’è all’incirca il sole? Newton suppose appunto che tale influenza (_accelerazione_) fosse dovuta al sole. Ma secondo quali proporzioni questa influenza è diversa a differenti distanze? Facendo uso della _terza legge di Keplero_ (cfr. § 28 _A_), egli potè formulare l’altra legge, secondo cui l’attrazione fra il sole e i componenti il sistema solare varierebbe inversamente al quadrato della distanza, ossia, come si espresse, che _l’accelerazione (che il sole esercita sopra i pianeti) è proporzionale ai quadrati inversi della loro distanza dal sole stesso_. Il che vuol dire che, a distanza doppia, tale accelerazione si riduce a 1/4; a distanza tripla, è 1/9, a distanza decupla, è 1/100, ecc. ecc. Questa legge, osservò Newton, regola anche i rapporti tra la Terra e qualunque corpo cadente sopra di essa, ossia che l’_accelerazione prodotta dalla Terra sopra un corpo qualunque è inversamente proporzionale al quadrato della distanza del corpo dal centro della Terra_. E siccome, in ogni corpo, è da considerare altresì la quantità di materia — la _massa_ — che lo compone, egli formulò nella sua opera somma — i _Principii matematici di filosofia naturale_ (1687) — la sua legge così: — _La Terra attrae un corpo qualunque con una forza inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della Terra, e direttamente proporzionale alla massa del corpo medesimo._

A questo concetto egli ne aggiunse più tardi un altro: la sua «_terza legge sul moto_»; _ad ogni azione si contrappone sempre una eguale reazione_. Esemplificando, se un sasso posa sopra la nostra mano, la forza con cui esso preme sopra la mano è uguale a quella esercitata dalla mano per sostenerlo. E, analogamente, se la Terra attira in giù una pietra con una certa forza, la pietra attrae con forza eguale la Terra. Se in questo secondo caso l’influenza (_accelerazione_) che subisce la Terra risulta infinitamente minore di quella subita dal sasso, ciò non vuol dire che quell’influenza non esista, ma che la massa della Terra è infinitamente maggiore, sì da rendere l’influenza del sasso pressochè nulla. In termini generali, dunque, la legge della _gravitazione_ poteva così formularsi: _Ogni particella della materia attira ogni altra particella con una forza proporzionale alla massa di ognuna di esse, e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza_.

Or bene, questa legge che regola la caduta dei corpi sulla Terra, e insieme l’attrazione solare sulla medesima, deve potersi applicare ai rapporti fra tutti i corpi celesti. Ognuno dei pianeti deve esercitare la sua potenza di attrazione sul sole e su tutti gli altri pianeti, e secondo le leggi sopra esposte. Ma, siccome i pianeti sono, come massa, infinitamente minori del sole (tal quale il sassolino rispetto alla Terra), così ne segue che il moto di ciascuno è pochissimo influenzato dagli altri, e quasi completamente dominato e diretto dal sole. Tuttavia l’influenza degli altri pianeti non è affatto insensibile, e produce a lunghi intervalli di tempo perturbazioni constatabili; così come perturbazioni sensibili esercita l’attrazione solare sul moto della luna intorno alla Terra e sui moti dei satelliti di Giove e di Saturno, intorno ai loro pianeti, che Newton ebbe a constatare per primo. In tal modo, il grande astronomo inglese, _partendo da un’ipotesi ammessa provvisoriamente, constatava una serie di fatti, spiegabili solo, e nel modo più felice, con la sua stessa ipotesi_.

Ma la più singolare conseguenza della sua teorica era questa: che, se i pianeti attraggono il sole, anche il sole deve avere un certo moto, in forza dell’attrazione che su di essi esercita la massa dei suoi pianeti, sia pure che, data la relativa piccolezza dei corpi che lo attraggono, il suo movimento debba di necessità svolgersi in piccolo spazio. Tale conseguenza, che fu dapprima supposta solo in linea teorica, corrisponde a un fatto reale. _Il sole, invero, si muove, con tutto il suo sistema planetario intorno a un centro di gravità; ma questo punto è così poco distante dal centro del sole, che tale distanza non può essere mai molto maggiore del diametro solare._

Sorprendente conseguenza, quest’ultima, che, uscita dalla dottrina del massimo tra gli astronomi copernicani, vendicava d’un colpo il tolomaismo dagli attacchi degli avversari! Se la Terra, infatti, non era più il centro del mondo, non lo era neanche il sole, e l’uno, come l’altra, non potevano aspirare alla regale corona della immobilità!

La gravitazione del Newton dava ragione (e il suo primo autore ne ebbe consapevolezza) anche di altri fenomeni astronomici: _a_) la forma non perfettamente sferica della Terra, conseguenza della mutua gravitazione delle diverse particelle terrestri sotto l’azione del moto di rotazione; _b_) la _precessione degli equinozi_, che gli antichi avevano osservata, e che veniva spiegata quale effetto di un lentissimo mutamento di direzione dell’asse terrestre. Or bene, questo fenomeno era a sua volta conseguenza della non perfetta sfericità della Terra, che fa in modo che la Terra non ruoti esattamente intorno al suo centro, come avverrebbe se fosse una sfera perfetta, e perciò subisca una progressiva deviazione del suo asse; _c_) le maree, dovute all’attrazione, lunare e solare; _d_) i moti delle comete, la cui orbita (dimostrò il Newton) è in molti casi o una parabola o una ellisse allungata, soggetta all’azione e all’influenza solare.

Tali, la grandiosa concezione newtoniana e le sue principali applicazioni. Egli aveva trovato la legge più generale a cui soggiaccia il moto dell’universo. Più in là non si è potuti andare; e la domanda residuale delle sue conclusioni — _perchè_ i corpi si attraggano nel modo che Newton indica — rimane ancor oggi senza risposta, anche se il sec. XIX, il secolo dell’elettricità, abbia tentato subordinarla alle superiori leggi che regolano le correnti elettriche. Le leggi newtoniane segnano così ancora il confine ultimo — _l’ultima Thule_ — della nostra scienza astronomica.

_D_). _Laplace._ — Da Newton a Laplace, per circa un mezzo secolo, l’astronomia non vanta alcun grande pensatore. Avviene anzi il fenomeno singolare che gli astronomi si distribuiscano in due schiere: gli osservatori e i matematici, quali più precisamente Newton era stato.

Tra i primi, i due più famosi sono _Edmondo Halley_ (1658-1742), il cui nome è legato ai suoi studii sulle comete, alle quali applicò, sviluppandoli, i principii del Newton, e _Giacomo Bradley_ (1692-1762), uno dei più grandi e precisi osservatori del cielo, famoso per le due scoperte dell’_aberrazione della luce_ e della _nutazione dell’asse terrestre_.[74]

Gli astronomi matematici newtoniani (o, come anche si dissero, _gravitazionali_), fioriscono a preferenza in Francia. Fra essi, com’è naturale, troviamo nomi di sommi matematici _Euler, Lagrange_ e il filosofo francese _D’Alembert_, uno dei direttori della famosa _Enciclopedia_ del secolo XVIII, che tanto impulso doveva esercitare sulle idee della Rivoluzione. Ma il più grande di loro è _Pietro Simone Laplace_ (1749-1827).

Il Laplace fu autore di parecchie scoperte astronomiche, che espose nella sua opera maggiore: la _Meccanica celeste_, ma delle quali, benchè importantissime, poichè hanno un valore particolare, non è qui il luogo di discorrere. Il suo nome, invece, è legato alla popolarissima _ipotesi nebulare_, destinata a spiegare l’origine e la formazione del sistema solare, ch’egli sviluppò nel suo _Sistema del mondo_, e a cui giunse contemporaneamente — ma indipendentemente — il sommo filosofo tedesco _Emanuele Kant_.