Part 8

Dès lors qu’il y a dans notre Univers, un nombre fini de forces et que les actions réciproques de ces forces constituent l’espace et nous donnent la sensation d’étendue, il s’ensuit que toute étendue concrète correspond à un nombre fini de forces; lorsque je considère une longueur représentée par l’arête d’un cube, je sais que cette arête n’est pas une droite, mais je la conçois telle parce que ma vision imparfaite ne me permet pas d’en saisir les sinuosités; la Physique moléculaire m’a appris que les atomes sont très écartés les uns des autres; les électrons eux-mêmes, qui les constituent en partie, tournent très loin de leur noyau central: il y a discontinuité. Cependant, entre les deux atomes qui fixent les extrémités de l’arête du cube, s’étend une matière composée, elle aussi, de forces distinctes, particules dernières ayant leur entité propre. Rien ne m’empêche de choisir celles qui sont alignées sur une même droite, quelle que soit la définition de la droite. Cette droite presque idéale, que j’imagine et que je conçois, existe donc bien spatialement et elle est jalonnée par des forces en nombre fini. Comme nous avons admis que ces dernières sont inétendues de leur nature, mais que par leur multiplicité elles forment l’étendue sensible, j’en conclus que toute étendue est discrète, c’est-à-dire multiple, mais par définition je la dis continue.

Ainsi, en dehors de moi, il n’y a que multiplicité, mais comme je ne puis compter les entités distinctes formant cette multiplicité, j’en arrive à imaginer le continu qui n’est qu’une illusion.

Une telle conclusion n’a rien d’extraordinaire, si l’on veut bien se rappeler que notre œil et notre oreille nous procurent des sensations de continu, alors que la cause objective n’est que vibration, donc un discontinu, le mot étant pris ici dans le sens de multiplicité.

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Ces prémisses vont nous conduire à d’intéressantes constatations. Elles nous permettent tout d’abord de résoudre les difficultés soulevées par les Éléates. Une ligne n’est pas formée de points. Le point n’est qu’une création idéale de notre esprit, comme la ligne, d’ailleurs, qui n’est en réalité qu’une succession de forces élémentaires échangeant des rapports suivant le schéma de la figure 7. Entre les extrémités d’une telle ligne, il y a donc un nombre défini de forces et le problème de la division indéfinie d’une droite ne se pose plus. La Géométrie analytique est donc aussi une création de notre esprit, qui ne répond pas à la réalité: pure abstraction analogue à nos concepts généraux. D’où vient donc que l’étude des fonctions continues, domaine de l’Analyse, paraît si bien encadrer cette réalité? Simplement parce que la multiplicité des forces élémentaires, des particules ultimes de la matière est telle qu’elle équivaut pratiquement pour nos sens grossiers à une véritable continuité.

Autre déduction capitale: Si, d’une part, la matière est une--et c’est la conclusion vers laquelle nous acheminent nos expériences--les forces élémentaires, les dernières particules matérielles sont identiques; mais si, d’autre part, l’étendue est fonction des rapports entre ces forces, il existe une unité d’étendue, donc une unité d’espace, donc un espace absolu.

Remarquons toutefois qu’ici le mot absolu ne veut pas signifier qu’il existe un espace en soi, mais qu’il doit y avoir _une unité absolue d’espace_. Lorsque les relativistes nous affirment que l’espace est relatif, il faut avec soin distinguer leur point de vue: celui-ci est vrai, si l’on entend dire que dans l’état actuel de nos connaissances, nous n’avons aucun moyen de mesurer l’espace d’une façon absolue; nos mesures d’espace sont relatives; mais leur prétention est injustifiable, s’ils veulent nous imposer cette relativité comme une chose nécessaire en soi. Nous venons de voir que tout nous porte à croire le contraire: l’unité absolue d’espace existe; elle est une conséquence obligée de toute notre Physique et le fait que nous ne la connaissons pas encore, que nous ne pouvons la mesurer à l’heure actuelle, n’infirme nullement son existence. Ce sera la tâche de nos successeurs de la fixer, et ils y parviendront.

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Autre question pour terminer ce chapitre.

On a beaucoup discuté en ces dernières années pour chercher s’il existait des axes privilégiés auxquels nous pourrions rapporter nos mouvements.

En d’autres termes, avons-nous un plan fixe de référence et un point origine à partir duquel nous compterons les distances? On peut trouver dans le système solaire un plan répondant à peu près aux conditions imposées et prendre pour origine le centre de gravité du système; mais c’est un pis aller; le Soleil nous emporte en effet dans une direction connue et toutes les étoiles ont des mouvements propres variés en intensité et en direction. Nous avions bien autrefois la ressource de dire qu’il existait tout au moins un plan invariable dans notre système, plan indiqué par Laplace et qui a reçu le non de _plan du maximum des aires_[50]. Mais si l’espace absolu n’existe pas, un tel plan perd sa raison d’être... à moins de le rapporter à un éther immobile qui, lui aussi, nous échappe; et la relativité apparaissait de nouveau pour nous sauver.

[50] Cf. TH. MOREUX: _Origine et Formation des Mondes_ pour ce qui concerne le plan du maximum des aires du système solaire.

Les réflexions qui vont suivre n’ont pas la prétention d’aider les physiciens et les astronomes à résoudre pratiquement le problème ardu ainsi posé; mais, du point de vue spéculatif, elles sont de nature, ce semble, à jeter quelque jour sur la question d’axes absolus de référence.

Nous venons de parler du plan du maximum des aires appliqué à notre Système; on tient compte pour le calculer des masses de chaque planète et de l’aire que décrit leur rayon vecteur dans un temps égal et l’on démontre que ce plan est invariable dans l’espace; or, ceci est exact pour tout système mécanique clos, c’est-à-dire pour tout système de corps célestes formant un ensemble et ne recevant aucun apport nouveau de l’extérieur. Nous pouvons donc appliquer le théorème à la Voie lactée dont nous faisons partie et, par extension, à tout l’Univers quel qu’il soit, puisque, nous l’avons démontré, l’univers est fini.

D’où il suit que le monde matériel dont nous faisons partie possède un plan du maximum des aires. Dire qu’il est invariable dans l’espace n’a plus de signification, puisqu’il fait partie lui-même de notre espace qu’il traverse de part en part; nous ne pourrons même pas imaginer, ni concevoir, que l’ensemble des corps formant l’Univers, ensemble pris en bloc, puisse se mouvoir ou tourner sur lui-même, ni changer de position, puisque ceci supposerait un espace autre que le sien et auquel nous le rapporterions; il reste néanmoins cette conclusion que tous les corps célestes opèrent leurs mouvements par rapport à ce plan, qui est invariable pour eux. Ainsi, nous aurions dans l’Univers, au moins un plan fixe pour étayer nos coordonnées; nous arriverions par là même à posséder un plan absolu d’espace et une unité absolue d’espace, comme nous l’avons démontré.

Ces vues, je le répète, sont, à l’heure actuelle, purement spéculatives. Il était opportun toutefois de les présenter ici, non seulement à titre de curiosité, mais parce qu’elles sont de nature à démontrer que rien ne paraît plus relatif que la théorie même de la relativité.

CHAPITRE VI

L’ESPACE A QUATRE DIMENSIONS ET LES GÉOMÉTRIES NON-EUCLIDIENNES

Pour expliquer la figure du Monde, les Einsteiniens ont essayé de reprendre à leur profit l’ancienne hypothèse d’un Hyperespace ou espace à plus de trois dimensions.

Il faut donc de toute nécessité, si l’on veut essayer de comprendre les relativistes, ou tout au moins suivre leurs raisonnements, posséder quelques notions sur un sujet paraissant de prime abord complètement étranger aux études abordées dans cet ouvrage.

Il ne saurait être question ici, je tiens à le déclarer, d’entrer dans des détails que mon lecteur trouvera beaucoup plus développés dans mon livre sur la Mort[51]; mais je donnerai l’essentiel, c’est-à-dire la partie nécessaire à la discussion philosophique du sujet.

[51] TH. MOREUX: _Que deviendrons-nous après la Mort_ (Ed. Scientifica, Paris 1913). Ce chapitre est en partie un résumé des notions développées dans cet ouvrage antérieur à celui-ci.

Plaçons une bille sur une table de billard; je vais maintenant vous prier, après l’avoir enlevée, de la remettre à la place exacte qu’elle occupait,--Rien de plus simple, direz-vous; il suffit de repérer sa position au moyen d’un point tracé à la craie.--Eh bien, un géomètre eût probablement opéré d’autre façon.

Supposons la bille en A; je puis constater que cette bille se trouve à 30 centimètres de la bande de gauche, largeur du billard et à 20 centimètres de la bande représentant la longueur (fig. 10).

Les nombres 30 et 20 sont les _coordonnées_ du point A par rapport aux bandes qui sont deux axes se coupant à angle droit; le point A est donc connu si je vous donne ses deux coordonnées.

Maintenant, imprimons un mouvement à la bille et soit la position B qu’elle prend, après avoir décrit la droite AB. Le point B aura deux nouvelles coordonnées; il sera à 60 centimètres de la bande de gauche et à 40 de la bande du haut, sur la figure 11. Pendant tout le temps qu’il a fallu à la bille pour passer de A en B, cette bille a donc eu à chaque instant 2 coordonnées, et c’est l’ensemble de ces nombres qui a formé ou plutôt déterminé la droite AB. On exprime ceci en disant que la position de la bille est toujours fonction de 2 variables, c’est-à-dire deux quantités qui varient.

On voit que le calcul de toutes les positions successives de la bille devient un problème d’algèbre; les coordonnées à trouver seront les deux inconnues x et y d’une équation.

Mais nous n’avons opéré ainsi que sur une surface plane; cela va bien pour fixer les positions d’un point sur un plan; le procédé est insuffisant pour repérer un objet placé dans une chambre par exemple.

Voici une lampe poste sur un guéridon; comment fixerons-nous sa position? Nous allons d’abord abaisser une verticale de la lampe au plancher, mesurer la hauteur de cette verticale, puis opérer sur le plancher comme nous l’avons fait pour la bille du billard.

Je constaterai ainsi que ma lampe se trouve (fig. 12) je suppose:

1º) à 1 mètre au dessus du plancher; 2º) à 3 mètres du mur Ouest; 3º) à 2 mètres du mur Nord.

Ainsi, dans l’espace, la position dépend non plus de 2, mais de 3 nombres, de 3 coordonnées, qui entreront dans les équations et correspondront à 3 inconnues: x, y et z.

On voit que pour toute position de la lampe par rapport aux murs et au plancher de ma chambre, j’aurai nécessairement 3 coordonnées qui varieront. Si ma lampe se meut suivant une trajectoire quelconque, la ligne tracée dans l’espace me sera donnée, on le conçoit, par l’étude de la variation d’une fonction à 3 variables.

Mais ici je ne fais qu’imiter le physicien: nous avons en effet toutes raisons de croire que la trajectoire d’un objet n’est pas continue--conclusion de notre dernier chapitre--; ses positions dans l’espace sont en nombre fini, et si le procédé analytique nous réussit, ce n’est que grâce à l’énorme multiplicité des positions que présentent des mobiles, ou si vous le préférez, ce que nous appelons leur trace dans l’espace.

Et voilà qui va nous permettre de résoudre un problème vieux comme la Philosophie. On s’est souvent demandé si la Géométrie était fille de l’expérience ou bien engendrée seulement par notre esprit. Les uns tiennent pour la première hypothèse, les autres pour la seconde; la théorie des _Quanta_ appliquée à l’étendue est de nature à lever tous les doutes.

Notre Géométrie est la science de l’espace; or l’espace n’est que la généralisation de l’étendue, donc l’abstraction du réel. En tant qu’il se sert des données sensibles sur lesquelles il applique sa faculté d’abstraction, notre esprit peut donc fabriquer l’espace et la Géométrie. Cette dernière science n’a donc rien de mystérieux, ni d’inné; elle n’est pas davantage issue d’une forme _a priori_ de notre sensibilité, comme le voulait Kant; elle est l’abstraction du _donné_ et le donné nous est imposé.

Et puisque l’étendue nous est livrée avec ses trois dimensions, je veux dire puisque trois coordonnées nous suffisent pour fixer la position d’un point dans ce que nous appelons l’étendue, il s’ensuit que l’espace, abstraction de l’étendue phénoménale et base de notre Géométrie, nous est imposé par la réalité.

H. Poincaré avait coutume de dire que notre Géométrie n’était peut-être pas plus exacte qu’une autre, mais que nous l’avions choisie pour une raison de commodité. Le mot prête à équivoque; une Table de Logarithmes peut n’être pas plus commode qu’une autre, sans que cela infirme son exactitude; ce que nous désirons savoir dans notre cas, c’est précisément quelle qualité objective d’exactitude comporte notre Géométrie.

Nous venons de montrer comment, en raison de la multiplicité des éléments de l’étendue phénoménale, le géomètre peut appliquer à ce discontinu physique, une géométrie du continu, c’est une première réponse.

Que si maintenant nous envisageons le problème de l’étendue en tenant compte, non seulement des forces élémentaires distinctes, mais aussi de leurs rapports réciproques, nous arriverons à une conclusion analogue, car ces rapports sont en nombre inconcevable.

Quant à la question de savoir si nous connaissons tous ces rapports et si parmi eux, quelques-uns moins importants peut-être, n’échappent pas à notre sensibilité, même aidée des plus forts instruments et des méthodes les plus délicates, elle nous échappe totalement.

Notre abstraction de l’espace correspond bien à notre perception de l’étendue prise en gros, et, du point de vue géométrique seul, nous n’apercevons jamais une non-concordance, mais il semble que le réel dépasse en certaines occasions, ce que nous y constatons d’une manière générale, notamment lorsque nous essayons de pénétrer dans le domaine de l’atome et dans celui plus mystérieux encore de la gravitation; mais n’anticipons pas et revenons à l’espace tel que nous l’employons pratiquement.

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Habitué à traiter la Géométrie comme une branche de l’Algèbre, le mathématicien n’avait aucune raison de s’arrêter à un espace à trois coordonnées et il s’est demandé où le conduirait le fait d’envisager un espace à quatre dimensions. L’effort à donner était d’ailleurs insignifiant, puisqu’il suffisait d’introduire dans ses coordonnées une quatrième variable. Le problème n’offre en lui-même rien de contradictoire. La Physique nous a appris depuis longtemps à étudier des phénomènes dépendant de quatre conditions et même davantage.

Le volume d’un gaz, par exemple, dépend non seulement de l’enceinte qui le renferme, mais encore de sa pression et de sa température, en tout cinq variables et l’on en pourrait imaginer d’autres.

Si donc, la position d’un point dans l’espace dépend de trois coordonnées, hypothèse que nous posons parce que nous y sommes contraints, il n’y a aucune impossibilité intrinsèque de supposer qu’une quatrième variable ne pourrait entrer en ligne de compte.

Notez qu’ici, il ne s’agit pas précisément du réel, mais du possible; nous pensons que le réel est tel parce que le Créateur en a ainsi fixé les lois, mais ces lois ne sont pas nécessaires et les actions réciproques des forces élémentaires pourraient avoir été réglées autrement; de façon par exemple à nous imposer cette quatrième variable.

Mais, direz-vous, quelle serait cette nouvelle coordonnée? Nous l’ignorons totalement et la question au point de vue mathématique est bien indifférente; l’important ici est que nos équations soient construites en toute logique et voilà comment le géomètre doit être amené peu à peu à édifier des espaces à plus de trois dimensions, c’est à dire des espaces où les figures sont encore définies à l’aide de formules analytiques impeccables.

Simple jeu d’esprit, penserez-vous! Peut-être; en tout cas, il est assez curieux de constater que ces symboles algébriques, nous ont conduits à des théorèmes ayant élucidé plus d’une partie restée obscure dans le domaine de la Géométrie à trois dimensions.

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Ces questions, hélas! sont loin de nous fixer sur la légitimité des théorèmes premiers ayant servi de base à notre science géométrique de l’espace. L’Analyse appliquée à la Géométrie est un merveilleux instrument, mais elle ressemble un peu à ces machines à calculer qui opèrent sur des unités quelconques, à la seule condition que ce soient des unités de même espèce; elle ne saurait, en présence du résultat, en donner une interprétation adéquate à la réalité.

Prenons, par exemple, notre Géométrie à trois dimensions: deux de ses coordonnées déterminent un plan; les trois réunies nous donnent un trièdre de référence, mais les trois faces de ce trièdre sont toujours des plans; en combinant savamment ces trois coordonnées, nous arrivons à construire toute la science de l’espace et nos théorèmes s’enchaînent avec toute la rigueur attachée à la méthode algébrique.

Avons-nous le droit de dire que cette construction n’est pas arbitraire? Oui, si le point de départ est exact; non, si la base n’en est pas assurée. Or toute la question revient à définir le plan; on le fait au moyen de la ligne droite, mais c’est reculer le problème: Qu’est-ce qu’une ligne droite?

Cherchez dans tous les Traités de Géométrie, je vous mets au défi de trouver autre chose qu’une énumération de quelques propriétés de la ligne droite dont l’essence même paraît nous échapper.

Vous y verrez, par exemple, des propositions de ce genre: «Par deux points de l’espace, on ne peut faire passer qu’une droite.» Oui, à condition que le plan soit possible; droite et plan apparaissent comme des notions dépendantes l’une de l’autre et se définissent l’une par l’autre. Cela ressemble fort à un cercle vicieux et c’est un bien mauvais début pour une science prétendue exacte.

Ainsi, toutes les Géométries à 3, à 4 et à 5 dimensions ont besoin de passer par l’étude préalable de l’espace à 2 dimensions qui, lui, nous offre le _plan_ comme base de nos constructions, et c’est là précisément que nous sommes arrêtés.

Cette notion de plan est cependant fort claire, penserez-vous; l’hypothèse suivante pourrait bien être de nature à vous faire changer d’avis.

Supposons des êtres tout en surface, ayant par conséquent longueur et largeur sans aucune épaisseur, ou du moins avec une épaisseur extrêmement petite de l’ordre d’un atome ou même d’un électron.

Plaçons ces êtres sur une surface courbe, par exemple, sur une sphère de rayon tellement grand que la courbure soit insensible.

L’hypothèse, n’a rien d’absurde en elle-même et si la Terre, quoique petite, était rigoureusement polie, nous pourrions nous en servir pour y déposer nos curieux sujets.

Ces êtres pratiquement dépourvus de hauteur, mais possédant deux dimensions, vont pouvoir, en évoluant à la surface de leur habitat, fonder une Géométrie tout-à-fait particulière.

Notez que pour eux, ils seront censés faire de la Géométrie plane, à deux dimensions, par conséquent.

Mais, suivant qu’ils travailleront dans leur cabinet ou qu’ils se livreront aux opérations sur le terrain, ils arriveront à des résultats différents.

Aussi inacceptable que soit cette conclusion, de prime abord, il va nous être facile de la prouver.

S’agit-il de tirer des droites sur un petit espace, nos habitants ne pourront jamais soupçonner la faible courbure du plan sur lequel ils évoluent. Nous-mêmes, sur notre sphère terrestre de grand rayon, nous ne possédons aucun moyen matériel assez délicat pour mettre en évidence la sphéricité réelle de la surface liquide d’un bassin.

Lorsque nous traçons des triangles sur une telle surface, en y décrivant des arcs de grands cercles qui se coupent, rien ne nous avertit que nous avons affaire à des triangles sphériques.

Nos êtres hypothétiques à deux dimensions sont donc en mesure de fonder une Géométrie plane analogue à celle d’Euclide.

Mais supposez-leur l’esprit des voyages, des explorations et des découvertes, et les voilà plongés dans les pires incertitudes.

S’il s’avise à l’un d’eux de s’en aller droit devant lui, en ne déviant ni à droite, ni à gauche, il finira par accomplir sans s’en douter, tout le tour de la sphère qu’il occupe et reviendra à son point de départ.

Si ce point a été repéré, il conclura non sans raison, que toute droite est une ligne finie, et pour lui, cette proposition prendra l’allure d’un axiome.

Imaginons maintenant que le grand cercle ainsi parcouru, soit l’équateur de la sphère; si, sur ce cercle, il leur vient l’idée d’élever de loin en loin des perpendiculaires analogues à nos méridiens, rien ne les avertira que ces perpendiculaires ne sont point rigoureusement parallèles.

Ils admettront donc leur parallélisme comme un fait à la fois logique et expérimental; mais qu’il prenne à quelques-uns d’entre eux, la fantaisie de se rendre compte de la propriété de ces pseudo-parallèles, en parcourant différents méridiens, le résultat obtenu renversera toutes leurs notions péniblement acquises.

En continuant leur route dans une direction invariable en apparence, ils arriveront en effet à se rencontrer forcément aux pôles; d’où ils concluront que, «par un point donné, on peut abaisser plusieurs perpendiculaires sur une même droite dans un plan unique», principe contraire à la Géométrie que nous professons.

Or, qui nous assure que nous ne sommes pas comparables, jusqu’à un certain point, à ces êtres hypothétiques nécessités par leur situation à construire une Géométrie différente de la nôtre?

Ce sont des considérations de ce genre qui ont guidé les mathématiciens dans la construction des Géométries dites non-euclidiennes.

Puisque, disait Lobatchewsky, toute notre géométrie repose sur un postulat, celui d’Euclide[52], postulat indémontrable, voyons ce qui arriverait en supposant que, par un point pris hors d’une droite, on puisse mener plusieurs parallèles à cette droite. Et le savant géomètre russe est arrivé à construire une géométrie différente de celle d’Euclide, évidemment, mais dont les propositions sont aussi fortement enchaînées; on y enseigne, en particulier, que la somme des angles d’un triangle est _plus petite_ que deux angles droits.

[52] Le _postulatum_ d’Euclide peut être formulé ainsi: «Par un point pris hors d’une droite, on ne peut mener _qu’une_ parallèle à cette droite.» On est bien arrivé à démontrer ce postulat, mais c’est toujours en introduisant à la base de la Géométrie un autre postulat, donc une autre proposition indémontrable; autant vaut donc garder celui d’Euclide.

Tout autre est le point de vue de Riemann qui part d’un pseudo-plan dont la courbure n’est pas nulle: dès lors, par un point, on ne peut faire passer aucune droite parallèle à une autre droite et on aboutit à une troisième Géométrie aussi logique que les deux précédentes et dans laquelle la somme des angles d’un triangle est _plus grande_ que deux droits. Et nous voilà revenus à la supposition de nos êtres infiniment plats se débattant sur une surface courbe. De là toute une série de Géométries liées à la valeur du rayon de courbure; et nous aboutissons finalement à des espaces sphériques, elliptiques, hyperboliques, etc... Envisagée sous ce point de vue nouveau, notre Géométrie d’Euclide ne serait qu’un cas particulier d’une Géométrie plus générale qu’on étudie aujourd’hui sous le nom de Métagéométrie.