Part 5

Il faut la reprendre. M. Poisson disait que les parties des mathématiques devaient être enseignées par la méthode infinitésimale. Quelques personnes se souviennent encore qu’un jour, présidant un concours d’agrégation, M. Poisson, oubliant un instant le candidat qu’il avait à juger, prit la parole et développa ceci: «qu’il y a en géométrie quatre méthodes: méthode de superposition, méthode de réduction à l’absurde, méthode des limites, méthode infinitésimale. La superposition, disait-il, n’est applicable qu’en très peu de cas; la réduction à l’absurde suppose la vérité connue, et prouve alors qu’il ne peut en être autrement, mais sans montrer pourquoi. La méthode des limites, isolée de l’idée des infiniment petits[18], cette méthode plus généralement applicable que les deux autres, suppose aussi la vérité connue, et n’est, par conséquent, pas davantage une méthode d’investigation: ce sont trois méthodes de démonstration, applicables chacune, dans certains cas, aux vérités déjà connues. Au contraire, la méthode des _infiniment petits_ se trouve être à la fois une méthode générale et toujours applicable, et de démonstration et d’investigation.»--Il est vrai, pendant que M. Poisson parlait ainsi, à côté de lui, un autre mathématicien illustre croyait l’arrêter tout court en lui disant: Qu’est-ce que les infiniment petits? Je ne sais ce qu’a répondu M. Poisson. Mais, quant à la méthode, qu’importe la réponse? Il suffit qu’avec notre notion, telle quelle, des infiniment petits, qui sont ce que Dieu sait, aussi bien que le point, la ligne, la surface, le solide et le reste, il suffit dis-je, que l’introduction de cette notion soit la voie, sans comparaison la plus facile et la plus courte, pour trouver et montrer la vérité mathématique.

[18] Je dis «isolée de l’idée des infiniment petits», car on est pleinement dans le vrai lorsque, avec M. Duhamel, on regarde «la notion des infiniment petits, et la conception fondamentale des limites comme intimement unies l’une à l’autre, et comme étant les deux idées générales les plus fécondes des sciences mathématiques.» (Préface des _Éléments de calcul infinitésimal_.)

C’est donc celle-là que nous prendrons.

Sans m’arrêter aux objections de ceux qui disent qu’on ne sait ce que c’est, qu’elle n’est point rigoureuse, je l’emploie parce qu’elle mène au but. D’ailleurs, nous avons répondu, ce semble, à ces difficultés dans le quatrième livre de notre Logique, et surtout dans notre introduction à la Logique.

Il y a, dans cette défiance de la _rationalité_ des infiniment petits, ce que disait déjà Fontenelle, lorsque les esprits chagrins de l’Académie des sciences voulaient étouffer dans son germe la découverte de Leibniz, il y a _une sainte horreur de l’infini_; il y a ce rationalisme pédant qui se donne bien du mal pour démontrer rigoureusement le _postulatum_ d’Euclide, qui n’en a pas besoin; il y a ce pédantisme qui se flatte, comme nous le disait un spirituel mathématicien, de trouver des difficultés là où personne n’en avait vu; il y a ce que pensait Bordaz-Desmoulin, lequel a dit fort à propos: «L’infini qui ne fait qu’apparaître dans la science l’éblouit;» il y a cette disposition qui poussa Lagrange à écrire sa _Théorie des fonctions analytiques, dégagée de toute considération d’infiniment petits_, etc.; Il y a enfin cet étrange aveuglement des esprits d’une certaine nature, qui ne veulent point d’idées plus grandes que nous, et ignorent que, comme le dit Bossuet, «nous n’égalons jamais nos idées, tant Dieu a pris soin d’y marquer son infinité.»

Nous citions un autre mathématicien compétent, M. Coriolis, lequel, peu de temps avant sa mort, nous avouait qu’il eût aimé à consacrer le reste de ses forces à la réforme, dans ce sens, de l’enseignement mathématique. Tout ramener à la méthode infinitésimale était, me disait-il, l’idée de toute sa vie, comme professeur et comme directeur des études. A ses yeux, l’enseignement des mathématiques, aujourd’hui en France, était le plus lourd, le plus pédant, le plus fatigant pour les élèves et pour les maîtres qu’il fût possible de voir, et présentait le plus étrange exemple de routine qu’ait offert aucun enseignement dans aucun temps. «Quand on parle comme on le fait souvent, disait-il, de la routine des séminaires dans l’enseignement théologique, on est loin de se douter que l’enseignement mathématique est victime d’une routine incomparablement plus lourde et plus barbare.»

D’après ces autorités, ces raisons, et bien d’autres, je ne pense pas qu’il soit téméraire d’affirmer qu’une seule année d’études par la méthode infinitésimale, convenablement appliquée et présentée, donnerait, non pas plus d’acquis ni de détail, mais plus de résultats utiles, plus d’intuition géométrique, et surtout plus de développement des facultés mathématiques, que le séjour même de l’École polytechnique, qui est de deux ans, et qui suppose d’ordinaire trois années d’études préalables.

Par cette voie, qui est vraiment, comme le disait M. Poisson, la seule voie d’invention, ne voit-on pas qu’en peu de temps on apprendrait à l’élève géomètre à faire de petites découvertes, et à voir par lui-même, au lieu d’apprendre par cœur, sans voir? Il développerait ses facultés, en acquérant la science, et accélérerait sa vitesse par chaque effort.

Je conclus, sur ce point, en répétant mon assertion: la méthode infinitésimale appliquée partout en mathématiques, c’est la lumière introduite dans la masse, c’est la vitesse substituée à la lenteur. Aussi je ne doute pas un seul instant que la solution du problème de l’enseignement ne réside surtout en ce point. On peut doubler, plus que doubler, la vitesse, la clarté, la fécondité de l’enseignement mathématique par l’introduction décidée de la méthode infinitésimale. On peut alors superposer les deux éducations nécessaires de l’esprit, faire pénétrer la science dans les lettres, trop vides et trop banales sans ce vigoureux aliment, et par contre, donner à la science la chaleur lumineuse, le feu, qui seul en transfigure la masse, et la change en diamant. Le premier qui, en France, instituera sur une base durable, par la voie que nous indiquons, cette pénétration mutuelle des lettres et des sciences dans la première éducation, celui-là doublera les lumières de la génération suivante, et deviendra peut-être le Richelieu d’un grand siècle.

IV

Reste donc un point dont personne ne s’occupe.

Nous étudions aujourd’hui les mathématiques soit pour passer un examen, soit pour apprendre aux autres à le passer, mais non pas pour savoir, pour posséder la science. Quand donc nous savons démontrer un théorème, c’est tout. Mais que fait-on de ce théorème démontré? Que fait notre esprit de cette vérité dévoilée? Quand est-ce qu’il la médite, la contemple en elle-même, et s’en nourrit? Quel est le sens de cette géométrie et de ces formes? Ces formes sont des caractères que nous avons appris à distinguer, à désigner, à reproduire, à comparer. Mais que veulent dire ces caractères? S’il est vrai que les caractères mathématiques sont des vérités absolues, éternelles, elles sont en Dieu, elles sont la loi de toute chose. Nous commençons à le comprendre pour la nature inanimée: mais que sont-elles dans l’ordre vivant? Que sont-elles dans l’âme? Que sont-elles en Dieu? Et quelle est la philosophie de ces formes? Questions étranges pour les mathématiciens purs, aussi bien que pour les philosophes purs, mais questions que l’on posera, et que peut-être on résoudra un jour, quand les mathématiques se répandront dans l’ensemble de la science comparée.

Du reste, si vous avez lu et compris le quatrième livre de notre Logique, intitulé l’_induction ou procédé infinitésimal_, vous y avez vu un exemple de la comparaison de la philosophie et des mathématiques: exemple qui me paraît jeter une vive lumière sur le point capital de la Logique, lequel, étant demeuré obscur jusqu’à présent, quoique vaguement entrevu de tout temps, était une vraie pierre d’achoppement pour la philosophie.

V

Nul n’est juge dans sa propre cause. J’ose pourtant exhorter nos jeunes lecteurs à travailler, avec plus d’attention qu’on ne l’a su faire jusqu’ici, ce chapitre de la Logique, tel que je l’ai écrit. Il y a bientôt huit ans que j’ai publié la théorie du _Procédé de transcendance_. Depuis, cette théorie a été publiée en Allemagne par un auteur qui, de son côté, arrivait au même résultat. Nulle objection sérieuse ne nous a été faite, et j’ai d’ailleurs démontré ma pensée une dernière fois dans une introduction[19] qui me semble ne pouvoir plus être attaquée, du moins dans sa thèse principale. Voici cette thèse: _La raison a deux procédés, déduction, induction, procédé de CONTINUITÉ et procédé de TRANSCENDANCE. Ces deux procédés nécessaires, de déduction et de transcendance, sont les deux procédés logiques fondamentaux de la géométrie, comme de toute autre science. En géométrie, comme partout, le procédé de transcendance ou l’induction est le procédé d’invention par excellence._

[19] Logique: introduction. Cette introduction ne se trouve pas dans la première édition, mais dans les suivantes.

Or, si j’ai raison, il s’ensuit que le chapitre principal de la Logique, _la logique d’invention_, disait Leibniz, ce chapitre, oublié par la philosophie contemporaine, est remis en lumière. Il s’ensuit encore selon moi, que le secret, la formule générale de ces jugements prompts, rapides et sûrs que pose le sens commun, formule que cherchait ou regrettait Jouffroy[20] et qu’il croyait possible de _déterminer_, se trouve maintenant en effet déterminée. Les obstacles logiques, élevés contre l’instinct des âmes et le mouvement spontané des esprits, sont scientifiquement renversés.

[20] _Nouveaux Mélanges_, p. 94.

Cela mérite d’être vérifié.

Pascal a dit: «Le cœur a ses raisons que la raison ne connaît pas.» Eh bien! je suis très fier d’avoir écrit des volumes de logique qui démontrent, entre autres choses, que les raisons du cœur sont bonnes.

Mais quittons brusquement ce sujet, pour qu’il ne nous mène pas trop loin.

Passons à la principale application des mathématiques, l’astronomie.

CHAPITRE IX

ASTRONOMIE

L’ignorance du public au sujet de l’astronomie est véritablement étrange.

J’ai connu des hommes très instruits qui m’ont longtemps soutenu, très vivement, en me qualifiant d’_empiriste_, que le vieux système astronomique, plus philosophique, disait-on, que le nouveau, était le vrai; que le soleil tourne autour de la terre, non la terre autour du soleil.

Ainsi cette science simple, facile, régulière, lumineuse, majestueuse et religieuse, cette science pleine, dans ses détails, du plus puissant intérêt, cette science, modèle des sciences, et chef-d’œuvre de l’esprit humain, non seulement n’est pas encore devenue populaire, mais même est absolument inconnue de la plupart de ceux qui ont reçu une éducation libérale complète.

Il est vrai que cela tient en grande partie à la manière dont on l’enseigne.

D’abord, la science est encombrée d’instruments, hérissée d’algèbre, défigurée par un bon nombre de mots effrayants, enveloppée de cercles dont l’imagination ne peut sortir, masquée surtout par les incroyables figures d’animaux, de dieux et de serpents que vous savez. Rien n’effraye plus les esprits que ces figures. De sorte qu’il faut braver les tentations de découragement, et briser une épaisse écorce pour parvenir jusqu’au noyau, au résultat utile, au fait. De plus, on expose d’ordinaire l’astronomie d’une étrange façon. On commence par décrire longuement et minutieusement à l’élève des apparences dont on lui apprendra ensuite la fausseté. Pourquoi ne pas dire tout de suite et franchement ce qui en est?

Je me souviens d’un fort habile homme qui, sur la lecture du premier volume d’un de nos plus savants traités d’astronomie, voyant l’auteur parler toujours des mouvements du soleil, des cercles qu’il parcourt, des révolutions diurnes, de ses mouvements annuels, progrès, stations et rétrogradations, croyait, d’après cet exposé, que l’Académie des sciences était revenue au système de Ptolémée.

Je ne pense pas qu’il faille procéder ainsi quand on n’a pas de temps à perdre.

Commencez, comme pour toute autre science, par une seule leçon sur l’ensemble; puis une leçon sur le système solaire, une autre sur le système stellaire, une troisième sur les Nébuleuses. Reprenez le système solaire en dix ou douze leçons, le système stellaire en trois ou quatre, les Nébuleuses plus brièvement encore. Dans ces leçons, ne parlez pas des apparences qui fourvoient l’imagination, ne dites que ce qui est, donnez les résultats, les résultats certains; mettez à part ce qui est contestable au sujet des étoiles et au sujet surtout des Nébuleuses. Parlez très peu d’abord des instruments et des méthodes, qui sont l’échafaudage du monument; montrez le monument lui-même, il le mérite. Puis recommencez encore plus amplement, et tout en multipliant les détails précis, serrez de près l’unité de la science; montrez la cause unique de toutes les formes et de tous les mouvements, l’attraction et sa loi. Voyez sortir de là, par voie de conséquence, la courbe du second degré, le cercle et sa famille, pour régner seuls sur tous les astres; et ne rejetez pas trop vite ce que disait Kepler, compétent en ces choses, puisque c’est lui qui les a découvertes, que le cercle est un symbole de l’âme et de la Trinité de Dieu, de sorte que l’âme et Dieu seraient partout retracés dans le ciel et en seraient la loi. Placez ici la mécanique céleste, et l’application surprenante de précision et de délicatesse du calcul infinitésimal à l’analyse de toutes ces formes et de tous ces mouvements. Faites connaître cette puissance du calcul qui pèse sur les astres, et qui annonce leurs mouvements plusieurs années d’avance, non pas à la minute, ni à la seconde, mais par dixième de seconde; qui sur l’imperceptible frémissement d’un astre, affirme, comme l’a fait M. Leverrier, qu’il y a un astre invisible, à un milliard de lieues, qui inquiète celui que l’on voit; puis enfin, calculant le sens et l’amplitude du frémissement, dénonce le lieu et l’heure où l’on apercevra l’astre inconnu.

Pendant ces leçons développées, la description des instruments, des méthodes et des procédés et l’histoire de la science se placent çà et là comme digression, avec un très grand intérêt: surtout l’admirable histoire de Kepler, qui est la Genèse de l’astronomie.

Mais quand vous connaîtrez tout le matériel de la science, les faits et leurs lois, que votre imagination se représentera, jusqu’à un certain point, l’ensemble des formes et des mouvements,--je parle ici du système solaire, qui est la partie achevée de la science:--quand vous saurez les distances des planètes au soleil, leur grandeur relative, leur densité, le temps des rotations et des révolutions; quand vous verrez toute cette flotte de mondes voguer de concert et avancer dans le même sens; et notre terre aussi flottant comme un navire autour de cette île de lumière qui est notre soleil: quand vous verrez les décroissances étranges de lumière, de chaleur et de mouvement pour les mondes éloignés du centre; puis l’incroyable excentricité et l’espèce de folie des comètes, qui semblent se débattre sous la loi dont elles sont d’ailleurs dominées tout autant que les mondes habitables; et puis leur étonnante mobilité de formes, leurs combustions furieuses, tantôt dans la chaleur et tantôt dans le froid; quand vous verrez toute cette géométrie en action, toute cette physique vivante, tout ce merveilleux mécanisme de la nature, toujours entretenu par la présence de Dieu, et manifestement réglé par sa sagesse, sous des lois qui sont son image; quand vous verrez la vie et la mort dans le ciel: un monde brisé dont les débris roulent près de nous, le ciel emportant avec lui ses cadavres dans son voyage du temps comme la terre emporte les siens; quand vous verrez des étoiles disparaître, pendant que d’autres naissent, croissent et grandissent; quand vous apercevrez ces Nébuleuses,--que ce soient des groupes de soleils ou bien des groupes d’atomes, que les unes soient soleils, d’autres atomes, poussière d’atomes ou poussière de soleils, qu’importe?--quand vous verrez les groupes de même race, mais de différents âges, parvenus sous nos yeux à différents degrés de formation, et laissant voir la marche du développement, comme nous voyons dans une forêt de chênes, le développement de l’arbre dans tous ses âges; puis, quand vous verrez sur tous les mondes ces alternances de nuit et de jour, ces vicissitudes de saisons, en harmonie avec la vie de la nature, je dirai même avec la vie de nos pensées et de nos âmes: vicissitudes, alternatives, partout inévitables, excepté dans ce monde central où règne un plein été, un plein midi; alors, s’il n’entre dans votre astronomie ni poésie, ni philosophie, ni religion, ni morale, ni espérances, ni conjectures de la vie éternelle et de l’état stable du monde futur; si vous ne comprenez rien à ce mot sublime de Ritter: «La terre, dans ses révolutions perpétuelles, cherche peut-être le lieu de son éternel repos;» si vous ne comprenez ces mots de saint Thomas d’Aquin: «Rien ne se meut pour se mouvoir, mais bien pour arriver: tous ces mouvements cesseront;»--si vous ne comprenez ces mots de Herder: «La dispersion des mondes ne subsistera pas: Dieu les ramènera à l’unité, et réunira dans un même jardin les plus belles fleurs de tous les mondes;»--si vous ne croyez pas à cette prophétie de saint Pierre: «Il y aura de nouveaux cieux et une nouvelle terre;» et à cet oracle du Christ: «Il n’y aura plus qu’une bergerie,»--si, en face de ces caractères si grandioses, et de ces traits fondamentaux de l’œuvre visible de Dieu, vous regardez sans voir et sans comprendre, sans soupçonner la possibilité du sens: alors, oh! alors, je vous plains!

CHAPITRE X

PHYSIQUE

Qu’est-ce que la physique? Nous appelons _physique_ la science de la nature inorganique, et _physiologie_ la science de la nature organisée. Ces mots s’entendent suffisamment.

Dans la nature inorganique, nous distinguons deux choses: la matière et la force. Sans discuter si ce qu’on nomme matière n’est pas aussi purement un effet de la force (ce que nous ne pensons pas, du moins dans le sens ordinaire des dynamistes), continuons à poser, avec le peuple, la distinction de matière et de force.

Qu’est-ce que la matière? La physique n’en dit rien. C’est une question fondamentale de la métaphysique, qu’il est certes permis au physicien de méditer et de poursuivre: mais, de fait, dans l’état actuel de la science, la physique ne parle que peu ou point de la matière, et ne traite que des forces.

La physique, c’est donc la théorie des forces de la nature inorganique.

N’y a-t-il qu’une seule force? Y en a-t-il trois? Y en a-t-il quatre? Le fait est que la science tend à les ramener toutes à une seule, l’électricité, qui produit trois effets ou forces dérivées, l’attraction, la lumière, la chaleur.

Ceci renferme donc toute la physique.

Qu’il y ait une première leçon d’ensemble sur ce sujet, c’est-à-dire sur l’électricité, en notant, toutefois, que la physique traite aussi du son, qui n’est qu’une imitation et une image grossie de la lumière, et rentre sous la même théorie.

Viendront ensuite trois leçons sur l’attraction, sur la lumière, sur la chaleur, considérées dans leurs effets généraux, et comme produits de l’électricité.--Puis une leçon spéciale sur l’acoustique.

Ensuite il faudra reprendre en détail les grands chapitres de la physique, en développant, dans chacun de ces chapitres, la théorie des ondes, qui est le fond et l’unité de la science.

C’est par ce point que la physique touche à la géométrie, et que l’on entre en physique et géométrie comparées. La théorie des ondes développe et embrasse toute la physique. Et qu’est-ce que les ondes? Des sphères se développant avec une vitesse calculable, se succédant à intervalles comptés. Ce sont des mouvements, des formes, des nombres. Là encore les mathématiques, la géométrie sont partout. La Bible l’avait bien dit: «Tout est compté, pesé et mesuré.» _Omnia in numero, pondere et mensura._ Descartes avait raison de dire: «Tout se fait par formes et mouvements;» il avait raison d’affirmer qu’on poursuivrait dans le détail des phénomènes les lois précises de ces formes et de ces mouvements, espérance que Pascal lui-même n’osait concevoir, et qui est aujourd’hui accomplie, en grande partie du moins.

Du reste, la science avance chaque jour dans cette voie. Tout se calcule, tout est compté, pesé et mesuré. On finira probablement par soumettre à l’analyse mathématique les phénomènes chimiques eux-mêmes. N’avons-nous pas déjà les étonnants travaux d’un illustre mathématicien[21] sur les atomes, non seulement atomes des corps, mais atomes de la lumière: travaux où le génie atteint par le calcul les formes de l’atome, et leurs variations, et leur polarité, d’où résultent le jeu variable des forces dans la matière et les variations de chaleur, de couleur, de répulsion et d’attraction? Là se trouve probablement la prochaine grande découverte à faire dans les sciences: il nous faut les Kepler et les Newton de l’infiniment petit. On attend les législateurs de l’atome, comme on a les législateurs des astres.

[21] M. Cauchy.

Rien ne me semblerait plus utile, en physique, que de méditer ces questions, dût-on se borner à les poser.

Quoi qu’il en soit, une fois rattachées à la géométrie et au calcul, la physique et la chimie se rattacheront plus haut encore.

Je ne crains nullement d’affirmer, conformément à ma thèse générale sur la science comparée, qu’il faut remonter, par la physique et la chimie, à travers les mathématiques, jusqu’à la philosophie, et jusqu’à la théologie: la philosophie et la théologie, du reste, étant certainement comparables et mutuellement pénétrables.

Si nous croyons, comme l’affirme un esprit distingué qui entre dans cette voie[22], que «toute science qui s’isole se condamne à la stérilité;» que «cette philosophie qui continue à la fois les grandes traditions... de Descartes, de Leibniz, est _capable de passer la frontière_, et d’entrer sur le terrain de la physique;» nous croyons de même que la physique aussi est aujourd’hui capable de monter plus haut, et que cette tentative de physique et de philosophie comparée est, comme le dit encore le même auteur, «une tentative qui, un jour ou l’autre, doit réussir[23].»

[22] M. Henri Martin, _Philosophie spiritualiste de la nature_.

[23] _Philosophie spiritualiste de la nature_. Préface, p. XXII.

Il faut en venir à comprendre ce qu’il y a sous cette théorie nouvelle des ondes, sous ces formes sphéroïdales qui sont partout, sous cette loi générale de la raison inverse du carré des distances, ce qu’il y a enfin dans toute force. Il faut savoir s’il est vrai et visible en physique, comme cela est visible en psychologie, que Dieu opère en tout ce qui opère; que l’attraction, la lumière, la chaleur sont des effets de la présence de Dieu, produits par lui comme cause première, et radicalement impossibles sans son action perpétuelle. Il faut voir si cette vérité théologique n’est pas impliquée dans cette étrange propriété du mouvement et de la propagation des forces, _leur persistance indéfinie, sans fatigue ni altération_, de sorte que le rayonnement d’une force quelconque se conserve toujours tout entier à quelque distance du centre que l’onde soit parvenue. Il faut savoir si on ne peut pas dire que Dieu, par là, a pris soin de marquer son infinité dans la force, comme il a pris soin, dit Bossuet, de marquer son infinité dans nos idées; si dès lors on ne peut pas apercevoir le côté de la force qui est de Dieu, comme on aperçoit, en psychologie, le côté de la raison et des idées qui est donné de Dieu; comme en effet on doit finir par distinguer, dans tout ce qui est créé, le fini, qui est le créé lui-même et l’indispensable présence de l’incommunicable infini, qui porte et soutient le fini.