Chapter 11

[Sidenote: 500]

Lykewayes the fourme of 5, for 500.

[Sidenote: 600]

The fourme of 6, for 600. And to be shorte: loke how you did expresse single vnities and tenthes in the lefte hande, so must you expresse vnities {and} tenthes of hundredes, in the ryghte hande.

[Sidenote: 900]

_S._ I vnderstande you thus: that yf I wold represent 900, I must so fourme the fyngers of my ryghte hande, as I shuld do in my left hand to expresse 9,

[Sidenote: 1000]

And as in my lefte hand I expressed 10, so in my ryght hande must I expresse 1000.

And so the fourme of euery tenthe in the lefte hande serueth to expresse lyke no{m}ber of thousa{n}des,

[Sidenote: 4000]

so y^e fourme of 40 standeth for 4000.

[Sidenote: 8000]

The fourme of 80 for 8000.

[Sidenote: 9000]

[*137a]

And the fourme of 90 (whiche is the greatest) for 9000, and aboue that I can not expresse any nomber. _M._ No not with one fynger: how be it, w{i}t{h} dyuers fyngers you maye expresse 9999, and all at one tyme, and that lac keth but 1 of 10000. So that vnder 10000 you may by your fyngers ex- presse any summe. And this shal suf- fyce for Numeration on the fyngers. And as for Addition, Subtraction, Multiplicatio{n}, and Diuision (which yet were neuer taught by any man as farre as I do knowe) I wyll enstruct you after the treatyse of fractions. And now for this tyme fare well, and loke that you cease not to practyse that you haue lear ned. _S._ Syr, with moste harty mynde I thanke you, bothe for your good learnyng, {and} also your good cou{ns}el, which (god wyllyng) I truste to folow.

Finis.

FOOTNOTES (Accomptynge by counters _and_ The arte of nombrynge by the hande):

[1: 1342 in original.] [2: 168 in original.] [3: Bracket ([) denotes new paragraph in original.]

APPENDIX I.

+A Treatise on the Numeration of Algorism.+

[_From a MS. of the 14th Century._]

To alle suche even nombrys the most have cifrys as to ten. twenty. thirtty. an hundred. an thousand and suche other. but ye schal vnderstonde that a cifre tokeneth nothinge but he maketh other the more significatyf that comith after hym. Also ye schal vnderstonde that in nombrys composyt and in alle other nombrys that ben of diverse figurys ye schal begynne in the ritht syde and to rekene backwarde and so he schal be wryte as thus--1000. the sifre in the ritht side was first wryte and yit he tokeneth nothinge to the secunde no the thridde but thei maken that figure of 1 the more signyficatyf that comith after hem by as moche as he born oute of his first place where he schuld yf he stode ther tokene but one. And there he stondith nowe in the ferye place he tokeneth a thousand as by this rewle. In the first place he tokeneth but hymself. In the secunde place he tokeneth ten times hymself. In the thridde place he tokeneth an hundred tymes himself. In the ferye he tokeneth a thousand tymes himself. In the fyftye place he tokeneth ten thousand tymes himself. In the sexte place he tokeneth an hundred thousand tymes hymself. In the seveth place he tokeneth ten hundred thousand tymes hymself, &c. And ye schal vnderstond that this worde nombre is partyd into thre partyes. Somme is callyd nombre of digitys for alle ben digitys that ben withine ten as ix, viii, vii, vi, v, iv, iii, ii, i. Articules ben alle thei that mow be devyded into nombrys of ten as xx, xxx, xl, and suche other. Composittys be alle nombrys that ben componyd of a digyt and of an articule as fourtene fyftene thrittene and suche other. Fourtene is componyd of four that is a digyt and of ten that is an articule. Fyftene is componyd of fyve that is a digyt and of ten that is an articule and so of others . . . . . . But as to this rewle. In the firste place he tokeneth but himself that is to say he tokeneth but that and no more. If that he stonde in the secunde place he tokeneth ten tymes himself as this figure 2 here 21. this is oon and twenty. This figure 2 stondith in the secunde place and therfor he tokeneth ten tymes himself and ten tymes 2 is twenty and so forye of every figure and he stonde after another toward the lest syde he schal tokene ten tymes as moche more as he schuld token and he stode in that place ther that the figure afore him stondeth: lo an example as thus 9634. This figure of foure that hath this schape 4 tokeneth but himself for he stondeth in the first place. The figure of thre that hath this schape 3 tokeneth ten tyme himself for he stondeth in the secunde place and that is thritti. The figure of sexe that hath this schape 6 tokeneth ten tyme more than he schuld and he stode in the place yer the figure of thre stondeth for ther he schuld tokene but sexty. And now he tokeneth ten tymes that is sexe hundrid. The figure of nyne that hath this schape 9 tokeneth ten tymes more than he schulde and he stode in the place ther the figure of 6 stondeth inne for thanne he schuld tokene but nyne hundryd. And in the place that he stondeth inne nowe he tokeneth nine thousand. Alle the hole nombre of these foure figurys. Nine thousand sexe hundrid and foure and thritti.

APPENDIX II.

Carmen de Algorismo.

[_From a B.M. MS., 8 C. iv., with additions from 12 E. 1 & Eg. 2622._]

Hec algorismus ars presens dicitur[{1}]; in qua Talibus Indorum[{2}] fruimur his quinque figuris. 0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. Prima significat unum: duo vero secunda: Tercia significat tria: sic procede sinistre 4 Donec ad extremam venies, qua cifra vocatur; [{3}][Que nil significat; dat significare sequenti.] Quelibet illarum si primo limite ponas, Simpliciter se significat: si vero secundo, 8 Se decies: sursum procedas multiplicando.[{4}] [Namque figura sequens quevis signat decies plus, Ipsa locata loco quam significet pereunte: 12 Nam precedentes plus ultima significabit.] [{5}]Post predicta scias quod tres breuiter numerorum Distincte species sunt; nam quidam digiti sunt; Articuli quidam; quidam quoque compositi sunt. 16 [Sunt digiti numeri qui citra denarium sunt; Articuli decupli degitorum; compositi sunt Illi qui constant ex articulis digitisque.] Ergo, proposito numero tibi scribere, primo 20 Respicias quis sit numerus; quia si digitus sit, [{5}][Una figura satis sibi; sed si compositus sit,] Primo scribe loco digitum post articulum fac Articulus si sit, cifram post articulum sit, 24 [Articulum vero reliquenti in scribe figure.] Quolibet in numero, si par sit prima figura, Par erit et totum, quicquid sibi continetur; Impar si fuerit, totum sibi fiet et impar. 28 Septem[{6}] sunt partes, non plures, istius artis; Addere, subtrahere, duplare, dimidiare; Sexta est diuidere, set quinta est multiplicare; Radicem extrahere pars septima dicitur esse. 32 Subtrahis aut addis a dextris vel mediabis; A leua dupla, diuide, multiplicaque; Extrahe radicem semper sub parte sinistra.

[Sidenote: Addition.]

Addere si numero numerum vis, ordine tali 36 Incipe; scribe duas primo series numerorum Prima sub prima recte ponendo figuram, Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures. Inde duas adde primas hac condicione; 40 Si digitus crescat ex addicione priorum, Primo scribe loco digitum, quicunque sit ille; Si sit compositus, in limite scribe sequenti Articulum, primo digitum; quia sic iubet ordo. 44 Articulus si sit, in primo limite cifram, Articulum vero reliquis inscribe figuris; Vel per se scribas si nulla figura sequatur. Si tibi cifra superueniens occurrerit, illam 48 Deme suppositam; post illic scribe figuram: Postea procedas reliquas addendo figuras.

[Sidenote: Subtraction.]

A numero numerum si sit tibi demere cura, Scribe figurarum series, vt in addicione; 52 Maiori numero numerum suppone minorem, Siue pari numero supponatur numerus par. Postea si possis a prima subtrahe primam, Scribens quod remanet, cifram si nil remanebit. 56 Set si non possis a prima demere primam; Procedens, vnum de limite deme sequenti; Et demptum pro denario reputabis ab illo, Subtrahe totaliter numerum quem proposuisti. 60 Quo facto, scribe supra quicquit remanebit, Facque novenarios de cifris, cum remanebis, Occurrant si forte cifre, dum demseris vnum; Postea procedas reliquas demendo figuras. 64

[Sidenote: Proof.]

[{7}][Si subtracio sit bene facta probare valebis, Quas subtraxisti primas addendo figuras. Nam, subtractio si bene sit, primas retinebis, Et subtractio facta tibi probat additionem.] 68

[Sidenote: Duplation.]

Si vis duplare numerum, sic incipe; solam Scribe figurarum seriem, quamcumque voles que Postea procedas primam duplando figuram; Inde quod excrescet, scribens, vbi iusserit ordo, 72 Juxta precepta que dantur in addicione. Nam si sit digitus, in primo limite scribe; Articulus si sit, in primo limite cifram, Articulum vero reliquis inscribe figuris; 76 Vel per se scribas, si nulla figura sequatur: Compositus si sit, in limite scribe sequenti Articulum primo, digitum; quia sic jubet ordo: Et sic de reliquis facias, si sint tibi plures. 80 [{8}][Si super extremam nota sit, monadem dat eidem, Quod tibi contingit, si primo dimidiabis.]

[Sidenote: Mediation.]

Incipe sic, si vis aliquem numerum mediare: Scribe figurarum seriem solam, velud ante; 84 Postea procedens medias, et prima figura Si par aut impar videas; quia si fuerit par, Dimidiabis eam, scribens quicquit remanebit; Impar si fuerit, vnum demas, mediare, 88 Nonne presumas, sed quod superest mediabis; Inde super tractum, fac demptum quod notat unum; Si monos, dele; sit ibi cifra post nota supra. Postea procedas hac condicione secunda:[{9}] 92 Impar[{10}] si fuerit hic vnum deme priori, Inscribens quinque, nam denos significabit Monos prædictam: si vero secunda dat vnam, Illa deleta, scribatur cifra; priori 96 Tradendo quinque pro denario mediato; Nec cifra scribatur, nisi inde figura sequatur: Postea procedas reliquas mediando figuras, Quin supra docui, si sint tibi mille figure. 100 [{11}][Si mediatio sit bene facta probare valebis, Duplando numerum quem primo dimidiasti.] Si super extremam nota sit monades dat eidem Quod contingat cum primo dimiabis Atque figura prior nuper fuerit mediando.]

[Sidenote: Multiplication.]

Si tu per numerum numerum vis multiplicare, Scribe duas, quascunque volis, series numerorum; 104 Ordo tamen seruetur vt vltima multiplicandi Ponatur super anteriorem multiplicantis; [{12}][A leua relique sint scripte multiplicantes.] In digitum cures digitum si ducere, major 108 Per quantes distat a denis respice, debes Namque suo decuplo tociens delere minorem; Sicque tibi numerus veniens exinde patebit. Postea procedas postremam multiplicando, 112 Juste multiplicans per cunctas inferiores, Condicione tamen tali; quod multiplicantis Scribas in capite, quicquid processerit inde; Set postquam fuerit hec multiplicata, figure 116 Anteriorentur seriei multiplicantis; Et sic multiplica, velut istam multiplicasti, Qui sequitur numerum scriptum quicunque figuris. Set cum multiplicas, primo sic est operandum, 120 Si dabit articulum tibi multiplicacio solum; Proposita cifra, summam transferre memento. Sin autem digitus excrescerit articulusque, Articulus supraposito digito salit ultra; 124 Si digitus tamen, ponas illum super ipsam, Subdita multiplicans hanc que super incidit illi Delet eam penitus, scribens quod provenit inde; Sed si multiplices illam posite super ipsam, 128 Adiungens numerum quem prebet ductus earum; Si supraimpositam cifra debet multiplicare, Prorsus eam delet, scribi que loco cifra debet, [{12}][Si cifra multiplicat aliam positam super ipsam, 132 Sitque locus supra vacuus super hanc cifra fiet;] Si supra fuerit cifra semper pretereunda est; Si dubites, an sit bene multiplicando secunda, Diuide totalem numerum per multiplicantem, 136 Et reddet numerus emergens inde priorem.

[Sidenote: Mental Multiplication.]

[{13}][Per numerum si vis numerum quoque multiplicare Tantum per normas subtiles absque figuris Has normas poteris per versus scire sequentes. 140 Si tu per digitum digitum quilibet multiplicabis Regula precedens dat qualiter est operandum Articulum si per reliquum vis multiplicare In proprium digitum debebit uterque resolvi 144 Articulus digitos post per se multiplicantes Ex digitis quociens teneret multiplicatum Articuli faciunt tot centum multiplicati. Articulum digito si multiplicamus oportet 148 Articulum digitum sumi quo multiplicare Debemus reliquum quod multiplicaris ab illis Per reliquo decuplum sic omne latere nequibit In numerum mixtum digitum si ducere cures 152 Articulus mixti sumatur deinde resolvas In digitum post hec fac ita de digitis nec Articulusque docet excrescens in detinendo In digitum mixti post ducas multiplicantem 156 De digitis ut norma docet sit juncta secundo Multiplica summam et postea summa patebit Junctus in articulum purum articulumque [{14}][Articulum purum comittes articulum que] 160 Mixti pro digitis post fiat et articulus vt Norma jubet retinendo quod egreditur ab illis Articuli digitum post in digitum mixti duc Regula de digitis ut percipit articulusque 164 Ex quibus excrescens summe tu junge priori Sic manifesta cito fiet tibi summa petita. Compositum numerum mixto sic multiplicabis Vndecies tredecem sic est ex hiis operandum 168 In reliquum primum demum duc post in eundem Unum post deinde duc in tercia deinde per unum Multiplices tercia demum tunc omnia multiplicata In summa duces quam que fuerit te dices 172 Hic ut hic mixtus intentus est operandum Multiplicandorum de normis sufficiunt hec.]

[Sidenote: Division.]

Si vis dividere numerum, sic incipe primo; Scribe duas, quascunque voles, series numerorum; 176 Majori numero numerum suppone minorem, [{15}][Nam docet ut major teneat bis terve minorem;] Et sub supprima supprimam pone figuram, Sic reliquis reliquas a dextra parte locabis; 180 Postea de prima primam sub parte sinistra Subtrahe, si possis, quociens potes adminus istud, Scribens quod remanet sub tali conditione; Ut totiens demas demendas a remanente, 184 Que serie recte ponentur in anteriori, Unica si, tantum sit ibi decet operari; Set si non possis a prima demere primam, Procedas, et eam numero suppone sequenti; 188 Hanc uno retrahendo gradu quo comites retrahantur, Et, quotiens poteris, ab eadem deme priorem, Ut totiens demas demendas a remanenti, Nec plus quam novies quicquam tibi demere debes, 192 Nascitur hinc numerus quociens supraque sequentem Hunc primo scribas, retrahas exinde figuras, Dum fuerit major supra positus inferiori, Et rursum fiat divisio more priori; 196 Et numerum quotiens supra scribas pereunti, Si fiat saliens retrahendo, cifra locetur, Et pereat numero quotiens, proponas eidem Cifram, ne numerum pereat vis, dum locus illic 200 Restat, et expletis divisio non valet ultra: Dum fuerit numerus numerorum inferiore seorsum Illum servabis; hinc multiplicando probabis,

[Sidenote: Proof.]

Si bene fecisti, divisor multiplicetur 204 Per numerum quotiens; cum multiplicaveris, adde Totali summæ, quod servatum fuit ante, Reddeturque tibi numerus quem proposuisti; Et si nil remanet, hunc multiplicando reddet, 208

[Sidenote: Square Numbers.]

Cum ducis numerum per se, qui provenit inde Sit tibi quadratus, ductus radix erit hujus, Nec numeros omnes quadratos dicere debes, Est autem omnis numerus radix alicujus. 212 Quando voles numeri radicem querere, scribi Debet; inde notes si sit locus ulterius impar, Estque figura loco talis scribenda sub illo, Que, per se dicta, numerum tibi destruat illum, 216 Vel quantum poterit ex inde delebis eandem; Vel retrahendo duples retrahens duplando sub ista Que primo sequitur, duplicatur per duplacationem, Post per se minuens pro posse quod est minuendum. 220 [{16}]Post his propones digitum, qui, more priori Per precedentes, post per se multiplicatus, Destruat in quantum poterit numerum remanentem, Et sic procedens retrahens duplando figuram, 224 Preponendo novam donec totum peragatur, Subdupla propriis servare docetque duplatis; Si det compositum numerum duplacio, debet Inscribi digitus a parte dextra parte propinqua, 228 Articulusque loco quo non duplicata resessit; Si dabit articulum, sit cifra loco pereunte Articulusque locum tenet unum, de duplicata resessit; Si donet digitum, sub prima pone sequente, 232 Si supraposita fuerit duplicata figura Major proponi debet tantummodo cifra, Has retrahens solito propones more figuram, Usque sub extrema ita fac retrahendo figuras, 236 Si totum deles numerum quem proposuisti, Quadratus fuerit, de dupla quod duplicasti, Sicque tibi radix illius certa patebit, Si de duplatis fit juncta supprima figura; 240 Radicem per se multiplices habeasque Primo propositum, bene te fecisse probasti; Non est quadratus, si quis restat, sed habentur Radix quadrati qui stat major sub eadem; 244 Vel quicquid remanet tabula servare memento; Hoc casu radix per se quoque multiplicetur, Vel sic quadratus sub primo major habetur, Hinc addas remanens, et prius debes haberi; 248 Si locus extremus fuerit par, scribe figuram Sub pereunte loco per quam debes operari, Que quantum poterit supprimas destruat ambas, Vel penitus legem teneas operando priorem, 252 Si suppositum digitus suo fine repertus, Omnino delet illic scribi cifra debet, A leva si qua sit ei sociata figura; Si cifre remanent in fine pares decet harum 256 Radices, numero mediam proponere partem, Tali quesita radix patet arte reperta. Per numerum recte si nosti multiplicare Ejus quadratum, numerus qui pervenit inde 260 Dicetur cubicus; primus radix erit ejus; Nec numeros omnes cubicatos dicere debes, Est autem omnis numerus radix alicujus;

[Sidenote: Cube Root.]

Si curas cubici radicem quærere, primo 264 Inscriptum numerum distinguere per loca debes; Que tibi mille notant a mille notante suprema Initiam, summa operandi parte sinistra, Illic sub scribas digitum, qui multiplicatus 268 In semet cubice suprapositum sibi perdat, Et si quid fuerit adjunctum parte sinistra Si non omnino, quantum poteris minuendo, Hinc triplans retrahe saltum, faciendo sub illa 272 Que manet a digito deleto terna, figuram Illi propones quo sub triplo asocietur, Ut cum subtriplo per eam tripla multiplicatur; Hinc per eam solam productum multiplicabis, 276 Postea totalem numerum, qui provenit inde A suprapositis respectu tolle triplate Addita supprimo cubice tunc multiplicetur, Respectu cujus, numerus qui progredietur 280 Ex cubito ductu, supra omnes adimetur; Tunc ipsam delens triples saltum faciendo, Semper sub ternas, retrahens alias triplicatas Ex hinc triplatis aliam propone figuram, 284 Que per triplatas ducatur more priori; Primo sub triplis sibi junctis, postea per se, In numerum ducta, productum de triplicatis: Utque prius dixi numerus qui provenit inde 288 A suprapositis has respiciendo trahatur, Huic cubice ductum sub primo multiplicabis, Respectumque sui, removebis de remanenti, Et sic procedas retrahendo triplando figuram. 292 Et proponendo nonam, donec totum peragatur, Subtripla sub propriis servare decet triplicatis; Si nil in fine remanet, numerus datus ante Est cubicus; cubicam radicem sub tripla prebent, 296 Cum digito juncto quem supprimo posuisti, Hec cubice ducta, numerum reddant tibi primum. Si quid erit remanens non est cubicus, sed habetur Major sub primo qui stat radix cubicam, 300 Servari debet quicquid radice remansit, Extracto numero, decet hec addi cubicato. Quo facto, numerus reddi debet tibi primus. Nam debes per se radicem multiplicare 304 Ex hinc in numerum duces, qui provenit inde Sub primo cubicus major sic invenietur; Illi jungatur remanens, et primus habetur, Si per triplatum numerum nequeas operari; 308 Cifram propones, nil vero per hanc operare Set retrahens illam cum saltu deinde triplata, Propones illi digitum sub lege priori, Cumque cifram retrahas saliendo, non triplicabis, 312 Namque nihil cifre triplacio dicitur esse; At tu cum cifram protraxeris aut triplicata, Hanc cum subtriplo semper servare memento: Si det compositum, digiti triplacio debet 316 Illius scribi, digitus saliendo sub ipsam; Digito deleto, que terna dicitur esse; Jungitur articulus cum triplata pereunte, Set facit hunc scribi per se triplacio prima, 320 Que si det digitum per se scribi facit illum; Consumpto numero, si sole fuit tibi cifre Triplato, propone cifram saltum faciendo, Cumque cifram retrahe triplam, scribendo figuram, 324 Preponas cifre, sic procedens operare, Si tres vel duo serie in sint, pone sub yma, A dextris digitum servando prius documentum. Si sit continua progressio terminus nuper 328 Per majus medium totalem multiplicato; Si par, per medium tunc multiplicato sequentem. Set si continua non sit progressio finis: Impar, tunc majus medium si multiplicabis, 332 Si par per medium sibi multiplicato propinquum. 333

FOOTNOTES (Appendix II, Carmen de Algorismo):

[1: “Hec præsens ars dicitur algorismus ab Algore rege ejus inventore, vel dicitur ab _algos_ quod est ars, et _rodos_ quod est numerus; quæ est ars numerorum vel numerandi, ad quam artem bene sciendum inveniebantur apud Indos bis quinque (id est decem) figuræ.” --_Comment. Thomæ de Novo-Mercatu._ MS. Bib. Reg. Mus. Brit. 12 E. 1.]