Part 4

Wenn wir so, neben und unabhängig von der reinen Mathematik, Geometrie als etwas Selbständiges hinstellen, so ist das an und für sich gewiss nichts Neues. Es ist aber wünschenswerth, diesen Gesichtspunct ausdrücklich einmal wieder hervorzuheben, da die neuere Forschung ihn fast ganz übergeht. Hiermit hängt zusammen, dass umgekehrt die neuere Forschung selten dazu verwendet wurde, wenn es galt, gestaltliche Verhältnisse räumlicher Erzeugnisse zu beherrschen, und doch scheint sie gerade in dieser Richtung sehr fruchtbar.

IV. Ueber Mannigfaltigkeiten von beliebig vielen Dimensionen. -------------------------------------------------------------

Dass der Raum, als Ort für Puncte aufgefasst, nur drei Dimensionen hat, braucht vom mathematischen Standpuncte aus nicht discutirt zu werden; ebenso wenig kann man aber vom mathematischen Standpuncte aus Jemanden hindern, zu behaupten, der Raum habe eigentlich vier, oder unbegränzt viele Dimensionen, wir seien aber nur im Stande, drei wahrzunehmen. Die Theorie der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie sie je länger je mehr in den Vordergrund neuerer mathematischer Forschung tritt, ist, ihrem Wesen nach, von einer solchen Behauptung vollkommen unabhängig. Es hat sich in ihr aber eine Redeweise eingebürgert, die allerdings dieser Vorstellung entflossen ist. Man spricht, statt von den Individuen einer Mannigfaltigkeit, von den Puncten eines höheren Raumes etc. An und für sich hat diese Redeweise manches Gute, insofern sie durch Erinnern an die geometrischen Anschauungen das Verständniss erleichtert. Sie hat aber die nachtheilige Folge gehabt, dass in ausgedehnten Kreisen die Untersuchungen über Mannigfaltigkeiten mit beliebig vielen Dimensionen als solidarisch erachtet werden mit der erwähnten Vorstellung von der Beschaffenheit des Raumes. Nichts ist grundloser als diese Auffassung. Die betr. mathematischen Untersuchungen würden allerdings sofort geometrische Verwendung finden, wenn die Vorstellung richtig wäre, — aber ihr Werth und ihre Absicht ruht, gänzlich unabhängig von dieser Vorstellung, in ihrem eigenen mathematischen Inhalte.

Etwas ganz anders ist es, wenn Plücker gelehrt hat, den wirklichen Raum als eine Mannigfaltigkeit von beliebig vielen Dimensionen aufzufassen, indem man als Element des Raumes ein von beliebig vielen Parametern abhängendes Gebilde (Curve, Fläche etc.) einführt (vergl. §.5 des Textes).

Die Vorstellungsweise, welche das Element der beliebig ausgedehnten Mannigfaltigkeit als ein Analogon zum Puncte des Raumes betrachtet, ist wohl zuerst von Grassmann in seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) entwickelt worden. Bei ihm ist der Gedanke völlig frei von der erwähnten Vorstellung von der Natur des Raumes; letztere geht auf gelegentliche Bemerkungen von Gauss zurück und wurde durch Riemanns Untersuchungen über mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten, in welche sie mit eingeflochten ist, in weiteren Kreisen bekannt.

Beide Auffassungsweisen — die Grassmannsche wie die Plückersche — haben ihre eigentümlichen Vorzüge; man verwendet sie beide, zwischen ihnen abwechselnd, mit Vortheil.

V. Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. ----------------------------------------------------

Die im Texte gemeinte projectivische Maßgeometrie coincidirt, wie neuere Untersuchungen gelehrt haben, dem Wesen nach mit der Maßgeometrie, welche unter Nicht-Annahme des Parallelen-Axioms entworfen werden kann und die zur Zeit unter dem Namen der Nicht-Euklidischen Geometrie vielfach besprochen und disputirt wird. Wenn wir im Texte diesen Namen überhaupt nicht berührt haben, so geschah es aus einem Grunde, der mit den in der vorstehenden Note gegebenen Auseinandersetzungen verwandt ist. Man verknüpft mit dem Namen Nicht-Euklidische Geometrie eine Menge unmathematischer Vorstellungen, die auf der einen Seite mit eben so viel Eifer gepflegt als auf der anderen perhorrescirt werden, mit denen aber unsere rein mathematischen Betrachtungen gar Nichts zu schaffen haben. Der Wunsch, in dieser Richtung etwas zur Klärung der Begriffe beizutragen, mag die folgenden Auseinandersetzungen motiviren.

Die gemeinten Untersuchungen über Parallelentheorie haben mit ihren Weiterbildungen mathematisch nach zwei Seiten einen bestimmten Werth.

Sie zeigen einmal — und dieses ihr Geschäft kann man als ein einmaliges, abgeschlossenes betrachten —, dass das Parallelenaxiom keine mathematische Folge der gewöhnlich vorangestellten Axiome ist, sondern dass ein wesentlich neues Anschauungselement, welches in den vorhergehenden Untersuchungen nicht berührt wurde, in ihm zum Ausdruck gelangt. Aehnliche Untersuchungen könnte man und sollte man mit Bezug auf jedes Axiom nicht nur der Geometrie durchführen; man würde dadurch an Einsicht in die gegenseitige Stellung der Axiome gewinnen.

Dann aber haben uns diese Untersuchungen mit einem werthvollen mathematischen Begriffe beschenkt: dem Begriffe einer Mannigfaltigkeit von constanter Krümmung. Er hängt, wie bereits bemerkt und wie in §.10 des Textes noch weiter ausgeführt ist, mit der unabhängig von aller Parallelentheorie erwachsenen projectivischen Maßbestimmung auf das Innigste zusammen. Wenn das Studium dieser Maßbestimmung an und für sich hohes mathematisches Interesse bietet und zahlreiche Anwendungen gestattet, so kommt hinzu, dass sie die in der Geometrie gegebene Maßbestimmung als speciellen Fall (Gränz-fall) umfasst und uns lehrt, dieselbe von einem erhöhten Standpuncte aufzufassen.

Völlig unabhängig von den entwickelten Gesichtspunkten steht die Frage, welche Gründe das Parallelen-Axiom stützen, ob wir dasselbe als absolut gegeben — wie die Einen wollen — oder als durch Erfahrung nur approximativ erwiesen — wie die Anderen sagen — betrachten wollen. Sollten Gründe sein, das letztere anzunehmen, so geben uns die fragl. mathematischen Untersuchungen an die Hand, wie man dann eine exactere Geometrie zu construiren habe. Aber die Fragestellung ist offenbar eine philosophische, welche die allgemeinsten Grundlagen unserer Erkenntniss betrifft. Den Mathematiker als solchen interessirt die Fragestellung nicht, und er wünscht, dass seine Untersuchungen nicht als abhängig betrachtet werden von der Antwort, die man von der einen oder der anderen Seite auf die Frage geben mag.

VI. Liniengeometrie als Untersuchung einer Mannigfaltigkeit von constantem Krümmungsmaße. -----------------------------------------------------------------------------------------

Wenn wir Liniengeometrie mit der projectivischen Maßbestimmung in einer fünffach ausgedehnten Mannigfaltigkeit in Verbindung setzen, müssen wir beachten, dass wir in den geraden Linien nur die (im Sinne der Maßbestimmung) unendlich fernen Elemente der Mannigfaltigkeit vor uns haben. Es wird daher nöthig, zu überlegen, welchen Werth eine projectivische Maßbestimmung für ihre unendlich fernen Elemente hat, und das mag hier etwas auseinandergesetzt werden, um Schwierigkeiten, die sich sonst der Auffassung der Liniengeometrie als einer Maßgeometrie entgegen stellen, zu entfernen. Wir knüpfen diese Auseinandersetzungen an das anschauliche Beispiel, welches die auf eine Fläche zweiten Grades gegründete projectivische Maßbestimmung ergibt.

Zwei beliebig angenommene Puncte des Raumes haben in Bezug auf die Fläche eine absolute Invariante: ihr Doppelverhältniss zu den beiden Durchschnittspuncten ihrer Verbindungsgeraden mit der Fläche. Rücken aber die beiden Puncte auf die Fläche, so wird dies Doppelverhältniss unabhängig von der Lage der Puncte gleich Null, ausser in dem Falle, dass die beiden Puncte auf eine Erzeugende zu liegen kommen, wo es unbestimmt wird. Dies ist die einzige Particularisation, die in ihrer Beziehung eintreten kann, wenn sie nicht zusammenfallen, und wir haben also den Satz:

Die projectivische Maßbestimmung, welche man im Raume auf eine Fläche zweiten Grades gründen kann, ergibt für die Geometrie auf der Fläche noch keine Maßbestimmung.

Hiermit hängt zusammen, dass man durch lineare Transformationen der Fläche in sich selbst drei beliebige Puncte derselben mit drei anderen zusammenfallen lassen kann[^34].

Will man auf der Fläche selbst eine Maßbestimmung haben, so muss man die Gruppe der Transformationen beschränken, und dies erreicht man, indem man einen beliebigen Raumpunct (oder seine Polarebene) festhält. Der Raumpunct sei zunächst nicht auf der Fläche gelegen. So projicire man die Fläche von dem Puncte auf eine Ebene, wobei ein Kegelschnitt als Uebergangscurve auftritt. Auf diesen Kegelschnitt gründe man in der Ebene eine projectivische Maßbestimmung, die man dann rückwärts auf die Fläche überträgt[^35]. Dies ist eine eigentliche Maßbestimmung von constanter Krümmung und man hat also den Satz:

Auf der Fläche erhält man eine solche Maßbestimmung, sowie man einen ausserhalb der Fläche gelegenen Punct festhält.

Entsprechend findet man[^36]:

Eine Maßbestimmung von verschwindender Krümmung erhält man auf der Fläche, wenn man für den festen Punct einen Punct der Fläche selbst wählt.

Für alle diese Maßbestimmungen auf der Fläche sind die Erzeugenden der Fläche Linien von verschwindender Länge. Der Ausdruck für das Bogenelement auf der Fläche ist also für die verschiedenen Bestimmungen nur um einen Factor verschieden. Ein absolutes Bogenelement auf der Fläche gibt es nicht. Wohl aber kann man von dem Winkel sprechen, den Fortschreitungsrichtungen auf der Fläche mit einander bilden. —

Alle diese Sätze und Betrachtungen können nun ohne Weiteres für Liniengeometrie benutzt werden. Für den Linienraum selbst existirt zunächst keine eigentliche Maßbestimmung. Eine solche erwächst erst, wenn wir einen linearen Complex fest halten, und zwar erhält sie constante oder verschwindende Krümmung, je nachdem der Complex ein allgemeiner oder ein specieller (eine Gerade) ist. An die Auszeichnung eines Complexes ist namentlich auch die Geltung eines absoluten Bogenelements geknüpft. Unabhängig davon sind die Fortschreitungsrichtungen zu benachbarten Geraden, welche die gegebene schneiden, von der Länge Null, und auch kann man von einem Winkel reden, den zwei beliebige Fortschreitungsrichtungen mit einander bilden[^37].

VII. Zur Interpretation der binären Formen. -------------------------------------------

Es mag hier der übersichtlichen Gestalt gedacht werden, welche, unter Zugrundelegung der Interpretation von x+iy auf der Kugelfläche, dem Formensysteme der cubischen und der biquadratischen binären Form ertheilt werden kann.

Eine cubische binäre Form f hat eine cubische Covariante Q, eine quadratische Δ, und eine Invariante R[^38]. Aus f und Q setzt sich eine ganze Reihe von Covarianten sechsten Grades Q^2 + λ ⋅ Rf^2 zusammen, unter denen auch Δ^3 enthalten ist. Man kann zeigen[^39], dass jede Covariante der cubischen Form in solche Gruppen von sechs Puncten zerfallen muss. Insofern λ complexe Werthe annehmen kann, gibt es zweifach unendlich viele derselben.

Das ganze so umgrenzte Formensystem kann auf der Kugel nun folgendermaßen repräsentirt werden. Durch geeignete lineare Transformation der Kugel in sich selbst bringe man die drei Puncte, welche f repräsentiren, in drei äquidistante Puncte eines grössten Kreises. Derselbe mag als Aequator bezeichnet sein; auf ihm haben die drei Puncte f die geographische Länge 0°, 120°, 240°. So wird Q durch die Puncte des Aequators mit der Länge 60°, 180°, 300°, Δ durch die beiden Pole vorgestellt. Jede Form Q^2+λ Rf^2 ist durch 6 Puncte repräsentirt, deren geographische Breite und Länge, unter α und β beliebige Zahlen verstanden, in dem folgenden Schema enthalten ist:

(α, β), (α, 120+β), (α, 240+β) , (-α, -β), (-α, 120-β), (-α, 240-β)

Verfolgt man diese Punctsysteme auf der Kugel, so ist es interessant, zu sehen, wie f und Q doppelt, Δ dreifach zählend aus denselben entsteht.

Eine biquadratische Form f hat eine ebensolche Covariante H, eine Covariante sechsten Grades T, zwei Invarianten i und j. Besonders zu bemerken ist die Schaar biquadratischer Formen iH+λ jf, die alle zu dem nämlichen T gehören, und unter denen die drei quadratischen Factoren, in welche man T zerlegen kann, doppelt zählend enthalten sind. —

Man lege jetzt durch den Mittelpunct der Kugel drei zu einander rechtwinklige Axen OX, OY, OZ. Ihre 6 Durchstosspuncte mit der Kugel bilden die Form T. Die 4 Puncte eines Quadrupels iH+λ jf sind, unter x, y, z Coordinaten eines beliebigen Kugelpunctes verstanden, durch das Schema

x, y, z, x, -y, -z, -x, y, -z, -x, -y, z

vorgestellt. Die vier Puncte bilden jedesmal die Ecken eines symmetrischen Tetraeders, dessen gegenüberstehende Seiten von den Axen des Coordinatensystems halbirt werden, wodurch die Rolle, welche T in der Theorie der biquadratischen Gleichungen als Resolvente von iH+λ jf spielt, gekennzeichnet ist.

Erlangen im October 1872.

* * * * *

[1] C. Jordan, “Mémoire sur les groupes de mouvements.” In: Annali di Matematica pura et applicata 1896, 2, 167-215 − http://dx.doi.org/10.1007/BF02419610.

[2] K. G. C. v. Staudt, Geometrie Der Lage, Fr. Korn, Nürnberg, 1847.

[3] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Erstes Heft, Fr. Korn, Nürnberg, 1856.

[4] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Zweites Heft, Fr. Korn, Nürnberg, 1857.

[5] K. G. C. v. Staudt, Beiträge Zur Geometrie Der Lage. Drittes Heft, Fr. Korn, Nürnberg, 1860.

[6] F. Klein, “Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie” In: Mathematische Annalen 1872, 5, 257-277 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01444841.

[7] O. Hesse, “Ein Uebertragungsprinzip” In: Crelle’s Journal für die reine und angewandte Mathematik 1866, 66, 15-22 − http://gdz.sub.uni-goettingen.de/ru/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0066&DMDID=dmdlog6.

[8] F. Klein, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. Zweiter Aufsatz.” In: Mathematische Annalen 1873, 6, 112-145 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443189.

[9] P. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen Über Zahlentheorie, Vieweg, Braunschweig, 1863.

[10] S. Lie, “Ueber Complexe, insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differential-Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1872, 5, 145-208 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01446331.

[11] S. Lie, “Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beleibig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1871, 7, 191-209 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1871.

[12] H. Grassmann, Die Ausdehnungslehre, Enslin, Berlin, 1862.

[13] S. Lie, “Zur Theorie partieller Differentialgleichungen erster Ordnung; insbesondere über eine Classification derselben.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 8, 473-490 − http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN252457072_1872.

[14] A. Clebsch, “Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie.” In: Mathematische Annalen 1872, 5, 427-434 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01442803.

[15] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen Geometrie.” In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1872, 22, 429-448 − http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN252457072_1872.

[16] A. Clebsch, “Ueber ein neues Grundgebilde der analysischen Geometrie der Ebene.” In: Mathematische Annalen 1872, 6, 203-215 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443192.

[17] H. Grassmann, Die Lineale Ausdehnungslehre / Ein Neuer Zweig Der Mathematik / Dargestellt Und Durch Anwendungen Auf Die Übrigen Zweige Der Mathematik, Wie Auch Auf Die Statik, Mechanik, Die Lehre Vom Magnetismus Und Die Krystallonomie Erläutert, O. Wigand, Leipzig, 1844.

[18] F. und L. S. Klein, “Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen.” In: Mathematische Annalen 1871, 3, 50-84 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01443297.

[19] J. A. Serret, Cours D’algèbre Supérieure, Gauthier-villard, Paris, 1866.

[20] C. Jordan, Traité Des Substitutions Et Des Équations Algébriques, Gauthier-villard, Paris, 1870.

[21] A. Clebsch, Theorie Der Binären Algebraischen Formen, Teubner, Leipzig, 1872.

[22] F. Klein, “Ueber eine geometrische Repräsentation der Resolventen algebraischer Gleichungen.” In: Mathematische Annalen 1871, 4, 346-358 − http://dx.doi.org/10.1007/BF01442600.

[^1]: Vergl. Note I. des Anhangs.

[^2]: Vergl. Note II

[^3]: Vergl. Note III

[^4]: Vergl. Note IV

[^5]: Diese knappe Form ist ein Mangel der im Folgenden gegebenen Darstellung, der das Verständniss, wie ich fürchte, wesentlich erschweren wird. Aber dem hätte wohl nur durch eine sehr viel weitere Auseinandersetzung abgeholfen werden können, in der die Einzel-Theorien, die hier nur berührt werden, ausführlich entwickelt worden wären.

[^6]: Wir denken von den Transformationen immer die Gesammtheit der räumlichen Gebilde gleichzeitig betroffen und reden desshalb schlechthin von Transformationen des Raumes. Die Transformationen können, wie z. B. die dualistischen, statt der Puncte andere Elemente einführen; es wird dies im Texte nicht unterschieden.

[^7]: Begriffsbildung wie Bezeichnung sind herübergenommen von der Substitutionstheorie, in der nur an Stelle der Transformationen eines continuirlichen Gebietes die Vertauschungen einer endlichen Zahl discreter Grössen auftreten.

[^8]: Camille Jordan hat alle Gruppen aufgestellt, die überhaupt in der Gruppe der Bewegungen enthalten sind: Sur les groupes de mouvements. Annali di Matematica. t. II[1]

[^9]: Die Transformationen einer Gruppe brauchen übrigens durchaus nicht, wie das bei den im Texte zu nennenden Gruppen allerdings immer der Fall sein wird, in stetiger Aufeinanderfolge vorhanden zu sein. Eine Gruppe bildet z. B. auch die endliche Reihe von Bewegungen, die einen regelmässigen Körper mit sich selbst zur Deckung bringen, oder die unendliche, aber discrete Reihe, welche eine Sinuslinie sich selber superponiren.

[^10]: Unter dem Sinne verstehe ich hier die Eigenschaft der Anordnung, welche den Unterschied von der symmetrischen Figur (dem Spiegelbilde) begründet. Ihrem Sinne nach unterschieden sind also z. B. eine rechts- und eine linksgewundene Schraubenlinie.

[^11]: Dass diese Transformationen eine Gruppe bilden, ist begrifflich nothwendig.

[^12]: Man erzeugt ein solches Gebilde beispielsweise, indem man auf ein beliebiges Anfangselement, das durch keine Transformation der gegebenen Gruppe in sich selbst überzuführen ist, die Transformationen der Hauptgruppe anwendet.

[^13]: Diese Anschauungsweise ist als eine der schönsten Leistungen von Chasles zu betrachten; durch sie erst gewinnt die Eintheilung in Eigenschaften der Lage und Eigenschaften des Maßes, wie man sie gern an die Spitze der projectivischen Geometrie stellt, einen präcisen Inhalt.

[^14]: Den erweiterten Kreis, der auch imaginäre Umformungen umspannt, hat v. Staudt erst in den „Beiträgen zur Geometrie der Lage"[3–5] zu Grunde gelegt.

[^15]: Wenn man will, ist hier das Princip unter etwas erweiterter Form angewendet.

[^16]: Statt des Kegelschnittes in der Ebene kann man mit gleichem Erfolge eine Raumcurve dritter Ordnung einführen, überhaupt bei n Dimensionen etwas Entsprechendes aufstellen

[^17]: Bez. anderer Beispiele, sowie namentlich der Erweiterungen auf mehr Dimensionen, deren die angeführten fähig sind, verweise ich auf bez. Auseinandersetzungen in einem Aufsatze von mir[6] sowie auf die sogleich noch zu nennenden Lieschen Arbeiten.

[^18]: Vergl. Note III.

[^19]: Vergl. Note V

[^20]: Vergl. Note VI.

[^21]: Ich wähle den Namen nach dem Vorgange von Dedekind, der in der Zahlentheorie ein Zahlengebiet als Körper bezeichnet, wenn es aus gegebenen Elementen durch gegebene Operationen entstanden ist (Zweite Auflage von Dirichlets Vorlesungen [9].)

[^22]: Geometrie der reciproken Radien auf der Geraden ist mit der projectivischen Untersuchung der Geraden gleichbedeutend, da die bez. Umformungen die nämlichen sind. Man kann daher auch in der Geometrie der reciproken Radien von einem Doppelverhältnisse von vier Puncten einer Geraden und weiterhin eines Kreises reden.

[^23]: Vergleiche die bereits genannte Arbeit: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Annalen Bd. V [6].

[^24]: Vergl. Note VII.

[^25]: Partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Annalen V.[10]

[^26]: Diese Transformationen werden gelegentlich in Grassmanns Ausdehnungslehre betrachtet (in der Auflage von 1862, [12] p. 278).

[^27]: Projicirt man die Mannigfaltigkeit stereographisch, so erhält man den bekannten Satz: In mehrfach ausgedehnten Gebieten (schon im Raume) gibt es ausser den Transformationen, die sich in der Gruppe der reciproken Radien befinden, keine conformen Puncttransformationen. In der Ebene gibt es dagegen beliebig viele andere. Vergl. auch die citirten Arbeiten von Lie ([10,11]).

[^28]: Vergl. bes. die bereits citirte Arbeit[10]: Ueber partielle Differentialgleichungen und Complexe. Math. Ann. V. Die im Texte gegebenen Ausführungen betr. partielle Differentialgleichungen habe ich wesentlich mündlichen Mittheilungen von Lie entnommen; vergl. dessen Note[13]: Zur Theorie partieller Differentialgleichungen. Göttinger Nachrichten. Oct. 1872.

[^29]: Ich verdanke diese Definitionen einer Bemerkung von Lie.

[^30]: Gött. Abhandlungen. 1872. (Bd. 17): Ueber eine Fundamentalaufgabe der Invariantentheorie[14], sowie namentlich Gött. Nachrichten 1872. Nr. 22: Ueber ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der Ebene[15,16].

[^31]: Ich erinnere hier daran, dass Grassmann bereits in der Einleitung zur ersten Auflage seiner Ausdehnungslehre (1844, [17]) die Combinatorik und die Ausdehnungslehre parallelisirt.

[^32]: Vergleiche den gemeinsamen Aufsatz: Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen, Math. Annalen Bd. IV. [18].

[^33]: Ich muss mir versagen, im Texte auf die Fruchtbarkeit hinzuweisen, welche die Betrachtung unendlich kleiner Transformationen in der Theorie der Differentialgleichungen hat. In §.7. der citirten Arbeit haben Lie und ich gezeigt: Gewöhnliche Differentialgleichungen, welche gleiche unendlich kleine Transformationen zugeben, bieten gleiche Integrationsschwierigkeiten. Wie die Betrachtungen für partielle Differentialgleichungen zu verwerthen seien, hat Lie an verschiedenen Orten, so bes. in dem früher genannten Aufsatze (Math. Ann. V., [10]) an verschiedenen Beispielen auseinandergesetzt (vergl. namentlich auch Mittheilungen der Academie zu Christiania. Mai 1872.)

[^34]: Diese Verhältnisse ändern sich bei der gew. Maßgeometrie; zwei unendlich ferne Puncte haben für sie freilich eine absolute Invariante. Der Widerspruch, den man in der Abzählung der linearen Transformationen der unendlich fernen Fläche in sich selbst hiermit finden könnte, erledigt sich dadurch, dass die unter ihnen befindlichen Translationen und Aehnlichkeitstransformationen das Unendlich-Ferne überhaupt nicht ändern.

[^35]: Vergl. §.7 des Textes.

[^36]: Vergl. §.4 des Textes.

[^37]: Vergl. den Aufsatz: Ueber Liniengeometrie und metrische Geometrie. Math. Ann. Bd. V. p. 271.[6]

[^38]: Vergl. hiezu die betr. Abschnitte von Clebsch: Theorie der binären Formen[21]

[^39]: Durch Betrachtung der linearen Transformationen von f in sich selbst, vergl. Math. Ann, IV. p. 352 [22]

Anmerkungen zur Transkription -----------------------------