Chapter 7

3) _Die verschiedenen hier in Betracht kommenden Fälle, welche eine Gesammtfläche _[formula]_ ergeben, betrachten wir gemeinsam._ Es gehören dahin zunächst die _zweifach berandeten, zweifach zusammenhängenden_ Flächen, also Flächen, die wir uns im einfachsten Falle als geschlossene _Bänder_ vorstellen dürfen. Es gehören dahin ferner _die bekannten Doppelflächen mit nur einer Randcurve_, die man erhält, wenn man die beiden schmalen Seiten eines rechteckigen Papierstreifens zusammenbiegt, nachdem man den Streifen um 180 Grad tordirt hat. Es gehören endlich dahin _gewisse unberandete Doppelflächen_. Man kann sich von denselben ein Bild machen, indem man etwa ein Stück eines Kautschukschlauches umstülpt und nun so sich selbst durchdringen lässt, dass bei Zusammenbiegung der Enden die Aussenseite mit der Innenseite zusammenkommt. Bezüglich aller dieser Flächen besagen die früheren Sätze, dass die Abbildbarkeit der einzelnen Fläche auf eine zweite derselben Art das Bestehen _einer_ aber nur einer Gleichung zwischen den reellen Constanten der Flächen voraussetzt, dass aber die Abbildung, wenn überhaupt, in unendlich vielen Weisen geschehen kann, indem man ein doppeltes Vorzeichen und eine reelle Constante zu beliebiger Verfügung hat.

4) _Wir nehmen nunmehr den allgemeinen Fall einer zweiseitigen Fläche._ Die Fläche soll [formula] Randkurven besitzen und überdiess [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen, wobei entweder [formula] sein muss oder [formula]. Dann wird die aus Vorder- und Rückseite gebildete Gesammtfläche [formula] nicht zerstückende Rückkehrschnitte zulassen. Denn man kann erstens die [formula] nach Voraussetzung auf der einfachen Flächenseite möglichen Rückkehrschnitte jetzt doppelt benutzen (sowohl auf der Vorderseite, als der Rückseite), man kann ferner noch längs [formula] der vorhandenen Randcurven Schnitte anbringen, ohne dass die Gesammtfläche aufhörte, ein einziges zusammenhängendes Flächenstück zu bilden. Wir werden also in den Sätzen des vorigen Paragraphen [formula] setzen und haben:

_Zwei Flächen der betrachteten Art lassen sich, wenn überhaupt, nur auf eine endliche Anzahl von Weisen auf einander abbilden. Die Abbildbarkeit hängt von _[formula]_ Gleichungen zwischen den reellen Constanten der Flächen ab._

5) _Wir haben endlich den allgemeinen Fall der Doppelfläche_ mit [formula] Randcurven und _P_ auf der doppelt gedachten Fläche neben den Randcurven möglichen Rückkehrschnitten. Indem wir die drei unter 2) und 3) betrachteten Möglichkeiten ([formula], [formula] oder _1_, und [formula], [formula]) bei Seite lassen, erhalten wir denselben Satz, wie unter 4), nur dass überall statt [formula] die Summe [formula] zu schreiben ist, wo _P_ nach Belieben eine gerade oder ungerade Zahl sein kann. _Insbesondere beträgt die Zahl der reellen Constanten einer Doppelfläche, die bei beliebiger conformer Abbildung ungeändert bleiben, _[formula]_._--

Unter die hiermit gewonnenen Resultate subsumiren sich die allgemeinen Theoreme und Entwickelungen, welche Herr _Schottky_ in seiner wiederholt citirten Abhandlung gegeben hat, als specielle Fälle.

§. 24. Schlussbemerkung.

Die Entwickelungen des nunmehr zu Ende geführten letzten Abschnitt’s dieser Schrift sollten, wie wiederholt gesagt, den Andeutungen entsprechen, mit denen Riemann seine Dissertation abschloss. Allerdings haben wir uns auf _eindeutige_ Beziehung zweier Flächen durch conforme Abbildung beschränkt. Riemann hat, wie er ausspricht, ebensowohl an mehrdeutige Beziehung gedacht. Man würde sich dementsprechend jede der beiden in Vergleich kommenden Flächen mit mehreren Blättern überdeckt vorstellen müssen und erst die so entstehenden mehrblättrigen Flächen conform eindeutig zu beziehen haben. Die Verzweigungspuncte, welche diese mehrblättrigen Flächen besitzen mögen, würden ebensoviele neue, zur Disposition stehende complexe Constante abgeben.--Hierzu ist zu bemerken, dass wir wenigstens _einen_ Fall einer solchen Beziehung bereits ausführlich in Betracht gezogen haben. Indem wir eine beliebige Fläche mehrblättrig über die Ebene ausbreiteten (§. 15), haben wir zwischen Fläche und Ebene eine Beziehung hergestellt, die von der einen Seite mehrdeutig ist. Es ist dann weiter hervorzuheben, dass eben dieser specielle Fall auch zwei beliebige Flächen mehrdeutig auf einander beziehen lässt. Denn sind erst die beiden Flächen auf die Ebene abgebildet, so sind sie, durch Vermittelung der Ebene, auch auf einander bezogen.--Mit diesen Bemerkungen ist die Frage nach der mehrdeutigen Abbildung natürlich keineswegs erschöpft. Aber es ist doch eine Grundlage zu ihrer Behandlung gewonnen, indem gezeigt ist, wie sie sich in die übrigen functionentheoretischen Speculationen Riemann’s, von denen wir hier Rechenschaft zu geben hatten, einfügt.

FOOTNOTES

1 Sei insbesondere auf die Darstellung verwiesen, welche Maxwell in seinem Treatise on Electricity and Magnetisme (Cambridge 1873) gegeben hat. Dieselbe entspricht, was anschauungsmässige Behandlung angeht, genau den Gesichtspuncten, die auch ich im Texte verfolge.

2 Man vergl. den grundlegenden Aufsatz von Kirchhoff im 64. Bande von Poggendorff’s Annalen: Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene (1845).

3 Die Behauptungen des Textes hängen, wie man weiss, auf das Engste mit der Theorie der sogenannten Doppelbelegungen zusammen, wegen deren man Helmholtz in Poggendorffs Annalen Bd. 89, p. 224 ff. (Ueber einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern, 1853) sowie C. Neumann in dessen Buche: Untersuchungen über das Logarithmische und Newton’sche Potential (Leipzig, Teubner, 1877) vergleichen mag.

4 Nach dem Vorgänge von C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, Leipzig, 1865.--Die Einführung der Kugelfläche läuft sozusagen der Ersetzung von _z_ durch das Verhältniss [formula] _zweier_ Variabler parallel, wodurch, wie man weiss, die Behandlung unendlich grosser Werthe von _z_ auch _formal_ unter die der endlichen Werthe subsumirt wird.

5 Unter [formula], [formula], [formula] rechtwinklige Coordinaten verstanden, sei die Gleichung der Kugel [formula]. Projectionspunct sei [formula], [formula], [formula], Projectionsebene ([formula]-Ebene) die gegenüberliegende Tangentialebene (die [formula]-Ebene). Dann folgt:

[formula]

Bezeichnet man mit [formula] das Bogenelement der Ebene, mit [formula] das entsprechende Bogenelement der Kugel, so kommt:

[formula]

eine Formel, welche für das Folgende insofern besonders wichtig ist, als sie die Abbildung als eine _conforme_ charakterisirt.

6 Man vergleiche hierzu und zu den folgenden Entwickelungen: Beltrami, Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque; Annali di Matematica, ser. 2, t. I, p. 329 ff.--Die besondere Bemerkung, dass Oberflächenpotentiale bei conformer Abbildung ebensolche bleiben, findet sich in den in der Vorrede citirten Schriften von C. Neumann, Kirchhoff und Töpler, dann auch z. B. bei Haton de la Goupillière: Méthodes de transformation en Géométrie et en Physique Mathématique, Journal de l’Ecole Polytechnique, t. XXV, 1867 (p. 169 ff.).

7 Es ist übrigens nicht schwer, sich auch ohne alle Formel von der Richtigkeit jener Behauptung Rechenschaft zu geben; man sehe die wiederholt citirten Arbeiten von C. Neumann und Töpler.

8 Ein besonders übersichtliches Beispiel von doch nicht zu elementarem Charakter gibt die _Ikosaedergleichwng_ (siehe Mathematische Annalen, Bd. XII, p. 502 ff.). Dieselbe lautet, wie man weiss:

[formula]

ist also (für _z_) eine Gleichung vom sechszigsten Grade. Die Unendlichkeitspunkte von _w_ fallen zu je 5 in 12 Punkte zusammen, welche die Ecken eines Ikosaeders sind, das der Kugel, auf welcher wir _z_ deuten, einbeschrieben ist. Den 20 Seitenflächen dieses Ikosaeders entsprechend zerlegt sich die Kugel in 20 gleichseitige sphärische Dreiecke. Die Mittelpunkte dieser Dreiecke sind durch [formula] gegeben und stellen ebensoviele Kreuzungspuncte von der Multiplicität Zwei für die Function _w_ dar. Hiernach kennt man (unter Einrechnung der Unendlichkeitspuncte) von den [formula] Kreuzungspuncten bereits [formula]. Die 30 noch fehlenden werden durch die Halbirungspuncte der 30 Kanten, die jenen 20 sphärischen Dreiecken angehören, geliefert.

Fig. 13.

Die beistehende Figur repräsentirt in schematischer Weise eines jener 20 Dreiecke und auf ihm den Verlauf der Strömungscurven; auf den 19 übrigen Dreiecken ist die Sache genau ebenso.

9 Die in diesem Paragraphen gegebene Darstellung weicht von der durch Riemann selbst gegebenen zumal dadurch ab, dass Flächen mit Randcurven vorab überhaupt nicht in Betracht gezogen werden und also statt der Querschnitte, die von einem Randpuncte zu einem zweiten laufen, sogenannte _Rückkehrschnitte_ zur Verwendung gelangen (vgl. C. Neumann, Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’schen Integrale, p. 291 ff.).

10 Es ist immer nur an Umformung durch _stetige_ Functionen gedacht. Ueberdies sollen bei den willkürlichen Flächen des Textes bis auf Weiteres gewisse besondere Vorkommnisse ausgeschlossen sein. Es ist am Besten, sich dieselben ohne alle singuläre Puncte zu denken; erst später kommen Verzweigungspuncte und damit Selbstdurchsetzungen der Fläche in Betracht (§. 13). Die Flächen dürfen jedenfalls keine _Doppelflächen_ sein, bei denen man von einer Flächenseite durch continuirliches Fortschreiten auf der Fläche zur anderen Flächenseite gelangen kann; man vergleiche indess §. 23. Ueberdiess wird vorausgesetzt--wie man es immer thut, wenn man sich eine geschlossene Fläche als _fertig_ gegeben denkt--dass die Fläche durch eine _endliche_ Zahl von Schnitten in einfach zusammenhängende Theile zerlegt werden kann.

11 Damit soll keineswegs gesagt sein, dass diese Art geometrischer Evidenz nicht noch der näheren Untersuchung bedürftig sei. Man vergleiche die Erläuterungen von G. Cantor in Borchardt’s Journal, Bd. 84, p. 242 ff. Es bleiben inzwischen diese Untersuchungen von den Darlegungen des Textes ausgeschlossen, da es für letztere Princip ist, auf anschauungsmässige Verhältnisse als letzte Begründung zu recurriren.

12 Man sehe C. Jordan: Sur la déformation des surfaces in Liouville’s Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866). Einige Puncte, die mir besonderer Aufklärung zu bedürfen schienen, sind in den mathematischen Annalen, Bd. VII, p. 529, und Bd. IX, p. 476, besprochen.

13 Die Definition dieser Unendlichkeitspuncte bezog sich zunächst nur auf die Ebene, bez. die Kugel. Aber es ist wohl klar, wie dieselbe auf beliebige krumme Flächen zu übertragen ist: die Verallgemeinerung ist so zu treffen, dass wir auf die alten Unendlichkeitspuncte zurückkommen, wenn wir die Fläche und die stationären Strömungen auf ihr durch conforme Abbildung auf die Ebene übertragen.--In dieser Beschränkung hinsichtlich der Art der Unendlichkeitspuncte liegt auch, wie ich hier nicht ausführen kann, dass nur eine _endliche_ Zahl von Unendlichkeitspuncten bei unseren Strömungen möglich ist. Desgleichen folgt aus unseren Prämissen, wie beiläufig hervorgehoben sei, dass von Kreuzungspuncten bei unseren Strömungen jedenfalls auch nur eine endliche Zahl auftritt.

14 Ueber die Periodicität des imaginären Theil’s der Function soll hiermit keinerlei Verfügung getroffen sein. In der That ist _v_ bei gegebenem _u_ durch die Differentialgleichungen (1) der pag. 1 bis auf eine additive Constante vollständig bestimmt und es unterliegen also die Periodicitätsmoduln, welche _v_ an den Querschnitten [formula], [formula] besitzen mag, keinerlei willkürlicher Festsetzung.

15 Einen anderen Beweis siehe bei C. Jordan: Des contours tracés sur les surfaces, in Liouville’s Journal, ser. 2, Bd. 11 (1866).

16 Wegen dieses Satzes siehe Beltrami, 1. c. p. 354.

17 Ich will übrigens daran erinnern, dass man auch den Green’schen Satz anschauungsmässig begründen kann. Vgl. Tait, On Green’s and allied other theorems, Edinburgh Transactions, 1869--70, p. 69 ff.

18 Eine solche Orientirung ist vermuthlich auch für den praktischen Physiker von hohem Werthe.

19 Derartige Zeichnungen gab ich bereits in dem Aufsatze: _Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades_, Mathematische Annalen, Bd. X. Allerdings haben die Riemann’schen Flächen daselbst eine etwas andere Bedeutung, so dass bei ihnen nur in übertragenem Sinne von einer Flüssigkeitsbewegung die Rede sein kann; vergl. die Erläuterungen, welche darüber in §. 17 des Nachfolgenden gegeben werden.

20 Zu einem solchen Beweise scheint vor allen Dingen nothwendig, sich über die verschiedenen Möglichkeiten klar zu werden, die betreffs der Ueberführung einer gegebenen Fläche in die Normalfläche des §. 8 vorliegen.

21 Sind sie es nicht, so ist die nächste Folge, dass die Zahl der in _m_ Puncten unendlich werdenden eindeutigen Functionen _grösser_ wird als die im Texte angegebene. Man kennt die Untersuchungen, welche zumal Roch über diese Möglichkeit angestellt hat (Borchardt’s Journal Bd. 64; vergl. auch, was die algebraische Formulirung betrifft: _Brill_ und _Nöther_, über die algebraischen Functionen und ihre Verwendung in der Geometrie, Mathematische Annalen, Bd. 7). Ich kann diesen Untersuchungen im Texte nicht folgen, obgleich sie sich mit Leichtigkeit an die Darstellung des _Abel_’schen Theorems anschliessen lassen, wie sie Riemann in Nr. 14 der Abel’schen Functionen giebt,--und will nur, mit Rücksicht auf spätere Entwickelungen des Textes (cf. §. 19), darauf hinweisen, _dass eine lineare Abhängigkeit zwischen den _[formula]_ Gleichungen jedenfalls nicht eintritt, wenn __m__ die Gränse _[formula]_ überschreitet._

22 Ich spreche im Folgenden durchweg von der Ebene, statt von der Kugel, um mich möglichst an die gewöhnliche Auffassungsweise anzuschliessen.

23 Man vergleiche hierzu, was Riemann in Nr. 12 seiner Abel’schen Functionen über die Abbildung durch überall endliche Functionen sagt.

24 Wir haben oben (§. 11) ohne ausgeführten Beweis angegeben, dass die Zahl der Kreuzungspuncte von [formula] beträgt. Wie man jetzt sieht, ist diese Behauptung eine einfache Umsetzung der bekannten Relation, welche die Zahl der Verzweigungspuncte (oder vielmehr die Gesammtmultiplicität derselben) mit der Blätterzahl _m_ und dem _p_ einer mehrblättrigen Fläche verknüpft [unter _p_ die Maximahlzahl der Rückkehrschnitte verstanden, die man auf dieser mehrblättrigen Fläche ziehen kann, ohne sie zu zerstücken].

25 Wegen der expliciten Formulirung dieser Relationen vergleiche man die gewöhnlichen Lehrbücher, sodann insbesondere die Schrift von C. Neumann: Das Dirichlet’sche Princip in seiner Anwendung auf die Riemann’schen Flächen, Leipzig 1865.

26 Es entsteht hier die interessante Frage, ob es immer möglich ist, mehrblättrige Flächen mit beliebigen Verzweigungspuncten conform in solche zu verwandeln, die durchaus keine singuläre Stelle besitzen Diese Frage greift über die im Texte zu behandelnden Gegenstände hinaus, aber ich habe sie immerhin anführen wollen. Gelingt es im einzelnen Falle nicht, so haben die vorgängigen Betrachtungen des Textes doch noch die Bedeutung, dass sie am einfachsten Beispiele die allgemeinen Ideen haben entstehen lassen und dadurch die Behandlung auch der complicirteren Vorkommnisse ermöglicht haben.

27 Vergl. Kirchhoff; Monatsberichte der Berliner Akademie von 1875, l. c. (wo übrigens explicite nur die Beziehung zwischen Ringfläche und ebenem Rechtecke besprochen wird).

28 Diese geometrische Umsetzung ist natürlich keineswegs nothwendig; wir erreichen durch dieselbe nur den Anschluss an die gewöhnlich eingehaltene Darstellungsweise.

29 Im Besonderen kann diess anders sein. Wenn man _w_ und _z_ als Parallel-Coordinaten, die zwischen ihnen bestehende Gleichung durch eine Curve deutet, so sind es, wie man weiss, die _Doppelpuncte_ dieser Curve, welche jenen besonderen Vorkommnissen entsprechen.

30 Vergl. die eingehende Beweisführung bei Prym, Borchardt’s Journal, Bd. 83, p. 251 ff.: Beweis eines Riemann’schen Satzes.

31 Vergl. die betreffenden Bemerkungen der Vorrede.

32 Vergl. meine Arbeiten über elliptische Modulfunctionen in den Bänden 14, 15, 17 der mathematischen Annalen.

33 Man sehe insbesondere die dem 14. Annalenbande beigegebene Tafel ("Zur Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen’’) sowie die später noch zu nennende Arbeit von Dyck im 17. Bande daselbst.

34 "Ueber eine neue Art von Riemann’schen Flächen’’, mathematische Annalen Bd. 7 und 10.

35 Siehe: Harnack (Ueber die Verwerthung der elliptischen Functionen für die Geometrie der Curven dritten Grades) im 9. Bande der mathematischen Annalen, siehe ferner meinen schon oben genannten Aufsatz: "Ueber den Verlauf der Abel’schen Integrale bei den Curven vierten Grades’’ im 10. Bande daselbst.

36 Solche Bestimmungen machte z. B. Hr. Kasten in seiner Inauguraldissertation: Zur Theorie der dreiblättrigen Riemann’schen Fläche. Bremen 1876.

37 Wenn es hier wieder gestattet ist auf eigene Arbeiten zu verweisen, so geschehe diess zunächst mit Bezug auf eine Stelle im 12. Bande der mathematischen Annalen (p. 173), wo der Schluss begründet wird, dass gewisse rationale Functionen durch die Zahl ihrer Verzweigungen völlig bestimmt sind, sodann in Bezug auf Bd. 15, p. 533 ebenda, wo eine ausführliche Betrachtung lehrt, dass es zehn rationale Functionen elften Grades gibt, die gewisse Verzweigungsstellen besitzen.

38 Es folgt diese z. B. aus den Sätzen von Lüroth und Clebsch, die man in den Bänden 4 und 6 der mathematischen Annalen abgeleitet findet.

39 Ich führe dieses Resultat, welches aus der Theorie der elliptischen Functionen wohlbekannt ist, im Texte ohne Beweis an.

40 Es ist bei diesem Satze an eine _continuirliche_ Schaar von Transformationen, also an Transformationen mit willkürlich veränderlichen Parametern gedacht. Ob eine Fläche [formula] unter Umständen nicht durch unendlich viele _discrete_ Transformationen in sich übergehen kann, bleibt im Texte unerörtert; doch scheint diess bei endlichem _p_ in der That auch unmöglich.

41 Vergl. die Darstellung im 14. Bande der mathematischen Annalen, p. 112 ff.

42 Die im Texte aufzustellenden Sätze finden sich explicite grösstentheils in der Literatur nicht vor. Wegen der Flächen [formula] vergleiche man den bereits citirten Aufsatz von Schwarz (Berliner Monatsberichte 1870). Man sehe ferner eine Arbeit von Schottky: _Ueber die conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Flächen_}, die als Berliner Inaugural-Dissertation 1875 erschien und später (1877) in umgearbeiteter Form in Borchardts Journal Bd. 83 abgedruckt wurde. Es handelt sich in derselben um solche _p_-fach zusammenhängende ebene Bereiche, welche von [formula] Randcurven begränzt werden.

43 Solchen Flächen entsprechen algebraische Gleichungen mit einer Gruppe eindeutiger Transformationen in sich. Die Bemerkungen des Textes zielen also auf solche Untersuchungen ab, wie sie in neuerer Zeit von Hrn. Dyck verfolgt worden sind (cf. die bereits citirte Arbeit im 17. Bande der Mathematischen Annalen: Aufstellung und Untersuchung von Gruppe und Irrationalität regulärer Riemann’scher Flächen).

44 Es gibt natürlich wieder Flächen, welche neben einer Anzahl von Transformationen erster Art eine gleiche Anzahl von Transformationen zweiter Art zulassen; dieselben entsprechen den _regulär-symmetrischen_ Flächen der Dyck’schen Arbeit.

45 Vergl. Harnack: Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, in Bd. 10 der Mathematischen Annalen, p. 189 ff.; vergleiche ferner p. 415, 416 daselbst, wo ich die Eintheilung jener Curven in zweierlei Arten gegeben habe. Vielleicht ist es zweckmässig, bei diesen Untersuchungen die Lehre von den symmetrischen Flächen und die Riemann’sche Theorie, so wie beide hier im Texte dargestellt werden, geradezu als Ausgangspunct zu wählen.

46 Siehe zumal: Cayley, on the correspondence between homographies and rotations, Mathematische Annalen, Bd. 15, p. 238-240.

47 Ich verdanke diese Auffassung einer gelegentlichen Unterredung mit Hrn. Schwarz (Ostern 1881). Man vergl. p. 320 ff. der bereits genannten Arbeit von Schottky im 83. Bande von Borchardt’s Journal, sowie die Originaluntersuchungen von Schwarz über die Abbildung geschlossener Polyederflächen auf die Kugel (Berliner Monatsberichte 1865 p. 150 ff., Borchardt’s Journal Bd. 70, p. 121--136, Bd. 75, p. 330.)

48 Ich drücke mich im Texte der Kürze halber so aus, als wenn die ursprüngliche Fläche eine zweiseitige Fläche gewesen wäre, während doch nicht ausgeschlossen sein soll, dass sie eine Doppelfläche ist.