Chapter 5

Es sei jetzt [formula] eine neue eindeutige Function auf unserer Fläche, also jedenfalls eine algebraische Function von _z_. Dann kann man die Art dieser algebraischen Function, nachdem einmal die Gleichung [formula] unter der angegebenen Voraussetzung gebildet ist, mit zwei Worten kennzeichnen. Man zeigt nämlich, _dass _[formula]_ eine rationale Function von __w__ und __z__ ist, und dass auch umgekehrt jede rationale Function von __w__ und __z__ eine Function vom Charakter des _[formula]_ abgibt_. Das Letztere ist selbstverständlich. Denn eine rationale Function von _w_ und _z_ ist in unserer Fläche eindeutig; überdiess als analytische Function von _z_ eine complexe Function des Ortes in der Fläche. Aber auch das Erstere ist leicht zu beweisen(30). Man bezeichne die _m_ Werthe von _w_, die zu einem beliebigen Werthe von _z_ gehören, mit [formula], [formula], [formula] (allgemein [formula]), die entsprechenden Werthe von [formula] (die nicht nothwendig alle verschieden zu sein brauchen) mit [formula], [formula], [formula]. Dann ist die Summe:

[formula]

(wo [formula] eine beliebige, positive oder negative ganze Zahl bedeuten soll) als symmetrische Function der verschiedenen Werthe [formula] eine eindeutige Function von _z_, und also, als algebraische Function, eine _rationale_ Function von _z_. Aus _m_ beliebigen der so entstehenden Gleichungen kann man [formula], [formula], [formula] als linear vorkommende Unbekannte berechnen, und es zeigt dann eine leichte Discussion, dass in der That das einzelne [formula] eine rationale Function des zugehörigen [formula] und des _z_ geworden ist.--

Von diesem Satze ausgehend bestimmt man nun auch sofort den Charakter derjenigen Functionen von _z_, welche durch die von uns in Betracht gezogenen _mehrdeutigen_ Functionen des Ortes geliefert werden. Sei _W_ eine solche Function. Dann ist _W_ jedenfalls eine analytische Function von _z_; man kann also von einem _Differentialquotienten_ [formula] sprechen und diesen selbst wieder als complexe Function des Ortes auf unserer Fläche deuten. Derselbe ist nothwendig als Function des Ortes eindeutig. Denn die Vieldeutigkeit von _W_ bezieht sich ja nur auf constante Periodicitätsmoduln, welche, in beliebiger Vielfachheit genommen, dem Anfangswerthe additiv hinzutreten können. Daher ist [formula] nach dem eben Bewiesenen eine rationale Function von _w_ und _z_, _und es stellt sich also __W__ als Integral einer solchen Function dar:_

[formula]

Der umgekehrte Satz, dass jedes solche Integral eine complexe Function des Ortes in unserer Fläche abgibt, welche zu der von uns betrachteten Functionsclasse gehört, ist auf Grund bekannter Entwickelungen selbstverständlich. Diese Entwickelungen beziehen sich einmal auf das Unendlichwerden der Integrale, andererseits auf die Werthänderungen, welche die Integrale durch Wechsel des Integrationsweges erleiden. Ein näheres Eingehen hierauf scheint an dieser Stelle unnöthig.--

Wir sind, wie wir sehen, zu einem wohlumgränzten Resultate geführt worden. _Ist erst einmal die algebraische Gleichung bestimmt, welche die Abhängigkeit zwischen __z__ und dem in hohem Maasse willkürlichen w definirt, so sind die übrigen Functionen des Ortes der Art nach wohlbekannt; sie decken sich in ihrer Gesammtheit mit den rationalen Functionen von __w__ und __z__, und mit den Integralen solcher Functionen._

Es wird gut sein, dieses Resultat am Falle der wiederholt betrachteten Ringfläche [formula] zu erläutern. Als Functionen _z_ und _w_ werden wir dieselben zu Grunde legen, die im vorigen Paragraphen besprochen wurden, und von denen die erstere durch die Figuren (42), (43) erläutert wird. Die zwischen ihnen bestehende Gleichung lautet einfach, wie wir wissen:

[formula]

und es verwandeln sich also die Integrale [formula] in diejenigen, die man als _elliptische Integrale_ zu bezeichnen pflegt. Unter ihnen gibt es, nach §. 12, ein einziges "überall endliches" Integral. Aus der in Figur (38) gegebenen Abbildung folgt, dass dieses kein anderes ist, als das dort betrachtete [formula], das gewöhnlich sogenannte _Integral erster Gattung_. Die zugehörigen Niveaucurven und Strömungscurven sind dieselben, welche in Figur (21) und (22) dargestellt sind. Aber auch diejenigen Functionen, denen die Figuren (29) und (30), bez. (31) und (32) entsprechen, sind in der gewöhnlichen Analysis wohlbekannt. Wir haben das einemal eine Function mit zwei logarithmischen Unstetigkeitspuncten, das andere Mal eine solche mit nur einem algebraischen Unstetigkeitspuncte. Als Functionen von _z_ betrachtet geben dieselben solche elliptische Integrale ab, welche man als _Integrale dritter Gattung_ bez. _zweiter Gattung_ zu bezeichnen pflegt.

§. 17. Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.

Mit den Entwickelungen des vorigen Paragraphen ist der Zielpunct, den wir uns mit der allgemeinen Fragestellung des §. 7 gesteckt haben, thatsächlich erreicht. Wir haben auf beliebiger Fläche die allgemeinsten für uns in Betracht kommenden complexen Functionen des Ortes bestimmt und nun die analytischen Abhängigkeiten derselben von einander definirt, indem wir zusahen, wie alle von einer, übrigens beliebig gewählten, eindeutigen Function des Ortes im Sinne der gewöhnlichen Analysis abhängig sind. Es bleibt uns also, um unseren Gedankengang abzuschliessen, nur noch ein Umblick zu halten, was Alles durch unsere Betrachtungen gewonnen sein mag. Wir haben dann allerdings keineswegs den vollen Inhalt aber doch die Grundlage der Riemann’schen Theorie gewonnen, und es kann wegen weiterer Ausführungen auf Riemann’s Originalarbeit sowie die sonstigen Darstellungen der Theorie verwiesen werden.

Constatiren wir zunächst, _dass es in der That die Gesammtheit der algebraischen Functionen und ihrer Integrale ist, welche durch unsere Untersuchung umspannt wird_. Denn wenn eine beliebige algebraische Gleichung [formula] gegeben ist, so können wir in der gewöhnlichen Weise über der _z_-Ebene eine zugehörige mehrblättrige Riemann’sche Fläche construiren und nun auf dieser einförmige Strömungen und complexe Functionen des Ortes studieren (vergl. §. 15).

Wir fragen, ob das Studium dieser Functionen durch unsere Betrachtungen in der That gefördert sei. Erinnern wir uns zu dem Zwecke, dass es vor allen Dingen die _Vieldeutigkeit_ der Integrale war, welche so lange einen Fortschritt in ihrer Theorie verhindert hat. Dass Integrale durch das Auftreten logarithmischer Unstetigkeitspuncte vieldeutig werden, hatte schon _Cauchy_ erkannt. Aber erst durch die Riemann’sche Fläche ist die andere Art von Periodicität, welche in dem _Zusammenhange_ der Fläche ihren Grund hat und an den Querschnitten der Fläche gemessen wird, uns völlig deutlich geworden.--Ein anderer Punct ist dieser. Man hat sich von je bei der Untersuchung der Integrale der Umformung durch Substitution bedient, ohne sich indess über eine bloss empirische Verwerthung derselben beträchtlich zu erheben. Bei Riemann’s Theorie ist eine umfangreiche Classe von Substitutionen von selbst gegeben und in ihrer Wirkung zu beurtheilen. Die Variabelen _w_ und _z_ sind für uns nur irgend zwei, von einander unabhängige, eindeutige Functionen des Ortes; wir können statt ihrer ebensogut zwei andere, [formula] und [formula], zu Grunde legen, wobei sich [formula] und [formula] als übrigens beliebige rationale Functionen von _w_ und _z_ und ebensowohl letztere als rationale Functionen von [formula] und [formula] erweisen. Die Riemann’sche Fläche, auf der wir operiren, wird von dieser Umänderung durchaus nicht nothwendig betroffen. Unter der Menge der _zufälligen_ Eigenschaften unserer Functionen erkennen wir also _wesentliche_, welche bei eindeutiger Umformung ungeändert bleiben. Und vor Allem tritt uns in der Zahl _p_ von vorneherein ein solches invariantes Element entgegen.--Indem die Riemann’sche Theorie die beiden hiermit bezeichneten Schwierigkeiten, welche frühere Bearbeiter gehemmt hatten, bei Seite räumt, gelangt sie unmittelbar zu dem Satze, den wir in §. 10 aufstellten, und der die Willkürlichkeit der in Betracht zu ziehenden Functionen bestimmt. Ich meine den Satz, _dass man (unter den wiederholt angegebenen Beschränkungen) die Unendlichkeitspuncte der Function und die Periodicitätsmoduln ihres reellen Theiles an den Querschnitten als willkürliche und hinreichende Bestimmungsstücke derselben erachten darf._--

So etwa stellt sich die Bilanz, wenn man die functionentheoretischen Interessen, wie es unter Mathematikern zu geschehen pflegt, voranstellt. Aber vergessen wir nicht, dass die umgekehrte Auffassung im Grunde ebenso berechtigt ist. Das Studium einförmiger Strömungen auf gegebenen Flächen kann umsomehr als Selbstzweck betrachtet werden, als es bei zahlreichen _physikalischen_ Problemen unmittelbar zu Verwerthung gelangt. In der unendlichen Mannigfaltigkeit dieser Strömungen orientirt uns die Riemann’sche Theorie, indem sie auf den Zusammenhang hinweist, der zwischen diesen Strömungen und den algebraischen Functionen der Analysis statt hat.

Wir können endlich den _geometrischen_ Gesichtspunct hervorkehren, und die Riemann’sche Theorie als ein Mittel betrachten, um die Lehre von der conformen Abbildung geschlossener Flächen auf einander der analytischen Behandlung zugänglich zu machen. Eben diese Auffassung ist es, der ich im folgenden, dritten Abschnitte meiner Darstellung Ausdruck zu geben bemüht bin. Es wird nicht nöthig sein, schon an dieser Stelle ausführlicher hierauf einzugehen.

§. 18. Weiterbildung der Theorie.

In Riemann’s eigenem Gedankengange, wie ich ihn vorstehend zu schildern versuchte, veranschaulicht die Riemann’sche Fläche nicht nur die in Betracht kommenden Functionen, sondern sie _definirt_ dieselben. Es scheint möglich, diese beiden Dinge zu trennen: die Definition der Functionen von anderer Seite zu nehmen und die Fläche nur als Mittel der Veranschaulichung beizubehalten. Das ist es in der That, was von der Mehrzahl der Mathematiker um so lieber geschehen ist, als Riemann’s Definition der Function bei genauerer Untersuchung beträchtliche Schwierigkeiten mit sich bringt(31). Man beginnt also etwa mit der algebraischen Gleichung und der Begriffsbestimmung des Integrals, und construirt erst hinterher eine zugehörige Riemann’sche Fläche.

Dann aber ist von selbst eine grosse Verallgemeinerung der ursprünglichen Auffassung gegeben. Bislang galten uns zwei Flächen nur dann als gleichwerthig, wenn die eine aus der anderen durch eindeutige conforme Abbildung entstand. Jetzt ist kein Grund mehr, an der Conformität der Abbildung festzuhalten. _Jede Fläche, welche durch stetige Abbildung eindeutig__ in die gegebene verwandelt werden kann, überhaupt jedes geometrische Gebilde, dessen Elemente sich stetig eindeutig auf die ursprüngliche Fläche beziehen lassen, kann ebensowohl zur Versinnlichung der in Betracht zu ziehenden Functionen gebraucht werden._ Ich habe diesem Gedanken, wie ich bei gegenwärtiger Gelegenheit ausführen möchte, in früheren Arbeiten nach zwei Richtungen hin Ausdruck gegeben.

Einmal operirte ich mit dem Begriffe einer möglichst übersichtlichen, übrigens verschiedentlich modificirbaren _Normalfläche_ (vergl. §. 8), auf welcher ich den Verlauf der in Betracht kommenden Functionen durch verschiedene graphische Hülfsmittel zu illustriren bemüht war(32). Hierher gehören auch die _Polygonnetze_, deren ich mich wiederholt bediente(33), indem ich mir die Riemann’sche Fläche in geeigneter Weise zerschnitten und dann in die Ebene ausgebreitet dachte. Es bleibe dabei an dieser Stelle unerörtert, ob nicht den so entstehenden Figuren, die zunächst beliebig stetig verändert werden dürfen, im Interesse weitergehender functionentheoretischer Untersuchungen hinterher doch eine gesetzmässige Gestalt ertheilt werden soll, vermöge deren sich eine _Definition_ der durch die Figur zu veranschaulichenden Functionen ermöglicht.

Das andere Mal(34) stellte ich mir die Aufgabe, in möglichst anschaulicher Weise den Zusammenhang darzulegen zwischen der Auffassungsweise der Functionentheorie und derjenigen der gewöhnlichen analytischen Geometrie, welch’ letztere eine Gleichung zwischen zwei Variabelen als _Curve_ deutet. Indem ich von dem Satze ausging, dass jede imaginäre Gerade der Ebene und also auch jede imaginäre Tangente einer Curve einen und nur einen reellen Punct besitzt, erhielt ich eine Riemann’sche Fläche, die sich an den Verlauf der gegebenen Curve auf das Innigste anschmiegt. Ich habe diese Fläche, wie es mein ursprünglicher Zweck war, bisher nur zur Veranschaulichung gewisser einfacher Integrale gebraucht(35). Aber es findet eine ähnliche Bemerkung ihre Stelle, wie oben bei den Polygonnetzen. Insofern die Fläche gesetzmässig ist, muss auch sie zur _Definition_ der auf ihr existirenden Functionen dienen können. In der That kann man für diese Functionen eine partielle Differentialgleichung bilden, welche den Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die wir in §§. 1 und 5 betrachten, in etwa analog ist: nur dass der Differentialausdruck, an den diese Gleichung anknüpft, nicht unmittelbar als _Bogenelement_ einer Fläche zu deuten ist.--

Diese wenigen Bemerkungen müssen genügen, um auf Betrachtungen hinzuweisen, deren Verfolg mir interessant scheint.

ABSCHNITT III. - FOLGERUNGEN.

§. 19. Ueber die Moduln algebraischer Gleichungen.

Es gibt einen wichtigen Punct, in welchem die Riemann’sche Theorie der algebraischen Functionen nicht nur der Methode sondern auch dem Resultate nach über die sonst üblichen Darstellungen dieser Theorie hinausgreift. Sie besagt nämlich _dass zu jeder über der __z__-Ebene ausgebreiteten, graphisch gegebenen mehrblättrigen Fläche zugehörige algebraische Functionen construirt werden können_,--wobei man beachten mag, dass diese Functionen, sofern sie überhaupt existiren, in hohem Maasse willkürlich sind, da [formula] im Allgemeinen gerade so verzweigt ist, wie _w_.--Der genannte Satz ist um so merkwürdiger, als er eine Angabe über eine interessante Gleichung höheren Grades implicirt. Sind nämlich die Verzweigungspuncte einer _m_-blättrigen Fläche gegeben, so existiren noch eine endliche Zahl von wesentlich verschiedenen Möglichkeiten, dieselben in die _m_-Blätter einzuordnen: man wird diese Zahl durch Betrachtungen auffinden können, die der reinen Analysis situs angehören(36). Aber dieselbe Zahl hat unserem Satze zufolge ihre algebraische Bedeutung. Man bezeichne, wie es Riemann thut, alle solche algebraischen Functionen von _z_ als derselben Classe angehörig, die sich, unter Benutzung von _z_, rational durch einander ausdrücken lassen. _Dann ist unsere_(_37_)_ Zahl die Anzahl der verschiedenen__ Classen algebraischer Functionen, welche in Bezug auf __z__ die gegebenen Verzweigungswerthe besitzen._

Ich wünsche im gegenwärtigen und im folgenden Paragraphen verschiedene Folgerungen zu ziehen, die sich aus dem vorausgeschickten Satze gewinnen lassen, und zwar mag zunächst die Frage nach den _Moduln_ der algebraischen Functionen behandelt werden, d. h. die Frage nach denjenigen Constanten, welche bei eindeutiger Transformation der Gleichungen [formula] die Rolle der Invarianten spielen.

Sei zu diesem Zwecke [formula] eine zunächst unbekannte Zahl, welche angibt, wie vielfach unendlich oft eine Fläche sich eindeutig in sich transformiren, d. h. conform auf sich selber abbilden lässt. Sodann erinnere man sich an die Anzahl der Constanten in den eindeutigen Functionen auf gegebener Fläche (§. 13). Es gab im Allgemeinen [formula] eindeutige Functionen mit _m_ Unendlichkeitspuncten, und diese Zahl war jedenfalls genau richtig (wie ohne Beweis angegeben wurde), wenn [formula] war. Nun bildet jede dieser Functionen die gegebene Fläche auf eine _m_-blättrige Fläche über der Ebene eindeutig ab. _Daher ist die Gesammtheit der __m__-blättrigen Flächen, auf welche man eine gegebene Fläche conform eindeutig beziehen kann, und also auch der __m__-blättrigen Flächen, die man einer Gleichung _[formula]_ durch eindeutige Transformation zuordnen kann, _[formula]_ fach._ Denn jedesmal [formula] Abbildungen ergeben dieselbe _m_-blättrige Fläche, weil jede Fläche der Voraussetzung nach [formula] mal auf sich selber abgebildet werden kann.

Nun gibt es aber überhaupt [formula] _m_-blättrige Flächen, unter _w_ die Zahl der Verzweigungspuncte, d. h. [formula] verstanden. Denn durch die Verzweigungspuncte wird die Fläche, wie oben bemerkt, endlich-deutig bestimmt, und Verzweigungspunkte höherer Multiplicität entstehen durch Zusammenrücken einfacher Verzweigungspuncte, wie dieses betreffs der entsprechenden Kreuzungspuncte bereits in §. 1 erläutert wurde (vergl. Figur (2) und (3) daselbst). Zu jeder dieser Flächen gehören, wie wir wissen, algebraische Functionen. _Die Anzahl der Moduln ist daher _[formula]_._

Bemerken wir hierzu, dass die Gesammtheit der _m_-blättrigen Flächen mit _w_ Verzweigungspuncten ein _Continuum_ bildet(38), wie das Entsprechende betreffs der auf gegebener Fläche existirenden eindeutigen Functionen mit _m_ Unendlichkeitspuncten bereits in §. 13 hervorgehoben wurde. Wir schliessen dann, _dass die algebraischen Gleichungen eines gegebenen __p__ ebenfalls eine einzige zusammenhängende Mannigfaltigkeit constituiren_ (wobei wir alle Gleichungen, die aus einander durch eindeutige Transformation hervorgehen, als ein Individuum erachten). Hierdurch erst gewinnt die angegebene Zahl der Moduln ihre präcise Bedeutung: _sie ist die Zahl der Dimensionen dieser zusammenhängenden Mannigfaltigkeit_.

Es kommt jetzt noch darauf an, die Zahl [formula] zu bestimmen. Diess geschieht durch folgende Sätze:

1. _Jede Gleichung _[formula]_ kann _[formula]_ mal eindeutig in sich, selbst transformirt werden_. Denn auf der zugehörigen Riemann’schen Fläche existiren eindeutige Functionen mit nur je einem Unendlichkeitspunct in dreifach unendlicher Zahl (§. 13), von denen man, um eine eindeutige Transformation der Fläche in sich zu haben, nur irgend zwei entsprechend zu setzen hat.--Des Näheren stellt sich die Sache so. Heisst eine der genannten Functionen _z_, so sind alle anderen (nach §. 16) algebraische eindeutige, d. h. rationale Functionen von _z_, und, da das Verhältniss umkehrbar sein muss, _lineare_ Functionen von _z_. Umgekehrt ist auch jede lineare Function von _z_ eine eindeutige Function des Ortes in unserer Fläche, mit nur einem Unendlichkeitspuncte. Daher wird man die allgemeinste eindeutige Transformation der Gleichung in sich bekommen, wenn man jedem Puncte _z_ der Riemann’schen Fläche einen anderen durch die Formel zuordnet:

[formula]

unter [formula] beliebige Constante verstanden.

2) _Jede Gleichung _[formula]_ kann einfach unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden_. Zum Beweise betrachte man das zugehörige überall endliche Integral _W_ und insbesondere die Abbildung, welche von der zweckmässig zerschnittenen Riemann’schen Fläche in der Ebene _W_ entworfen wird. Wir haben dies in einem besonderen Falle bereits gethan (§. 15, Figur (38)); eine genaue Ausführung im allgemeinen Falle wird um so weniger nöthig sein, als es sich um Betrachtungen handelt, die in der Theorie der elliptischen Functionen ausführlich entwickelt zu werden pflegen. Das Resultat ist, dass zu jedem Werthe von _W_ _ein_ Punct und nur ein Punct der betreffenden Riemann’schen Fläche gehört, während sich die unendlich vielen Werthe von _W_, die demselben Punkte der Riemann’schen Fläche entsprechen, aus einem derselben in der Form zusammensetzen: [formula], unter [formula], [formula] beliebige ganze Zahlen, unter [formula], [formula] die beiden Perioden des Integrals verstanden. Bei eindeutiger Umformung wird jedem Puncte _W_ ein Punct [formula] in der Weise zugeordnet werden müssen, dass jeder Vermehrung von _W_ um Perioden eine solche von [formula] entspricht, und umgekehrt. Diess gelingt in der That, aber im Allgemeinen nur in der Weise, dass man

[formula]

setzt. Nur im besonderen Falle (wenn das Periodenverhältniss [formula] bestimmte zahlentheoretische Eigenschaften hat) kann [formula] auch gleich [formula], oder [formula] gesetzt werden (unter [formula] eine dritte Einheitswurzel verstanden)(39). Wie dem auch sei, wir haben in jedem Falle in den Transformationsformeln nur eine willkürliche Constante und also den wechselnden Werthen derselben entsprechend in der That einfach unendlich viele Transformationen, wie behauptet wurde.

3) _Gleichungen _[formula]_ können niemals unendlich oft eindeutig in sich transformirt werden._(_40_)

Ich verweise, was den analytischen Beweis dieser Behauptung angeht, auf die Darstellungen von _Schwarz_ (Borchardt’s Journal Bd. 87) und _Hettner_ (Göttinger Nachrichten, 1880, p. 386). Auf anschauungsmässigem Wege kann man sich die Richtigkeit der Behauptung folgendermassen verständlich machen. Sollte es unendlich viele eindeutige Transformationen der Gleichung in sich geben, so müsste es möglich sein, die zugehörige Riemann’sche Fläche derart continuirlich über sich hin zu _verschieben_, dass jede kleinste Figur mit sich selbst ähnlich bleibt. Die Curven, längs deren eine solche Verschiebung vor sich ginge, müssten die Fläche jedenfalls vollständig und zugleich einfach überdecken. Ein _Kreuzungspunct_ dürfte in diesem Curvensysteme offenbar nicht vorhanden sein. Man müsste einen solchen Punct nämlich, damit keine Vieldeutigkeit der Transformation eintritt, als festbleibenden Punct betrachten und also die Geschwindigkeit der Verschiebung in ihm gleich Null setzen. Dann aber würde eine kleine Figur, welche bei der Verschiebung auf den Kreuzungspunct zu rückt, im Sinne der Bewegung nothwendig zusammengedrückt, senkrecht dazu auseinandergezogen werden; sie könnte also nicht mit sich selbst ähnlich bleiben, wie es doch durch den Begriff der conformen Abbildung verlangt wird.--Andererseits müssen aber in jedem Curvensysteme, das eine Fläche [formula] vollständig und einfach überdeckt, nothwendig Kreuzungspuncte vorhanden sein. Diess ist derselbe Satz, den wir, in etwas weniger allgemeiner Form, in §. 11 aufgestellt haben.--Die ganze Verschiebung der Fläche in sich ist also unmöglich, was zu beweisen war.

Nach diesen Sätzen ist [formula] für [formula], gleich 1 für [formula], und gleich Null für alle grösseren _p_. _Die Zahl der Moduln ist also für _[formula]_ gleich Null, für _[formula]_ gleich Eins, für grössere __p__ gleich _[formula].