Chapter 4

construiren, von denen jede einzelne nur in einem der Puncte [formula], und zwar in der für diesen Punct vorgeschriebenen Weise, unendlich werden soll und überdies in [formula] einen logarithmischen Unstetigkeitspunct besitzen mag, dessen Residuum dem, zu dem betreffenden [formula] gehörigen, logarithmischen Residuum entgegengesetzt gleich kommt. Die Summe

[formula]

wird dann in [formula] stetig; denn die Summe aller zu den Unstetigkeitspuncten [formula] gehörigen Residua ist, wie wir wissen, gleich Null. Ueberdiess wird sie in den [formula] und nur in den [formula], dabei in der vorgeschriebenen Weise unendlich. Sie unterscheidet sich also von der gesuchten Function nur um eine überall endliche Function. _Die gesuchte Function ist also in der Gestalt darstellbar:_

[formula]

womit wir auch das allgemeine hier in Betracht kommende Theorem gefunden haben.

Dasselbe entspricht offenbar der Zerlegung, welche wir in §. 4 für die auf der Kugel existirenden complexen Functionen betrachteten, und die wir damals, wie man es gewöhnlich thut, der Lehre von der _Partialbruchzerlegung rationaler Functionen_ entnahmen.

§. 13. Ueber die Vieldeutigkeit unserer Functionen. Besondere Betrachtung eindeutiger Functionen.

Die Functionen [formula], welche wir auf unseren Flächen studieren, sind im Allgemeinen unendlich vieldeutig: denn einmal bringt jeder logarithmische Unendlichkeitspunct einen Periodicitätsmodul mit sich, andererseits haben wir die Periodicitätsmoduln an den [formula] Querschnitten [formula], deren reelle Theile wir willkürlich annehmen konnten. Ich sage nun, _dass mit diesen Angaben die Vieldeutigkeit von _[formula]_ in der That erschöpft ist_. Zum Beweise müssen wir auf den Begriff der Aequivalenz zweier Curven auf gegebener Fläche zurückgreifen, den wir in §. 9 zunächst zu anderem Zwecke einführten. Da die Differentialquotienten von _u_ und _v_ (oder, was dasselbe ist, die Componenten der zugehörigen Strömung) auf unserer Fläche durchweg eindeutig sind, so liefern zwei aequivalente geschlossene Curven, welche durch keinen logarithmischen Unstetigkeitspunkt getrennt sind, bei Durchlaufung denselben Zuwachs von _u_, wie von _v_. Nun fanden wir aber, dass jede geschlossene Curve mit einer ganzzahligen Combination der Querschnitte [formula] aequivalent ist. Wir bemerkten ferner (§. 10), dass die Durchlaufung von [formula] denjenigen Periodicitätsmodul liefert, welcher der Ueberschreitung von [formula] entspricht, und umgekehrt. Hieraus aber folgt das ausgesprochene Theorem in bekannter Weise.

Es wird uns nun insbesondere interessiren, _eindeutige_ Functionen des Ortes zu betrachten. Dem Gesagten zufolge werden wir alle solche Functionen erhalten, wenn wir als Unstetigkeiten nur rein _algebraische_ Unendlichkeitspuncte zulassen und dann dafür sorgen, dass die [formula] Periodicitätsmoduln an den Querschnitten [formula] sämmtlich verschwinden. Dabei wird es der leichteren Ausdrucksweise wegen gestattet sein, nur _einfache_ algebraische Unstetigkeitspuncte in Betracht zu ziehen. Denn wir wissen ja aus §. 3, dass der [formula]-fache algebraische Unstetigkeitspunct durch Zusammenrücken von [formula] einfachen entstehen kann, wobei übrigens, wie man nicht vergessen darf, Kreuzungspuncte in der Gesammtmultiplicität [formula] absorbirt werden. Seien also _m_ Puncte als einfache algebraische Unendlichkeitspuncte der gesuchten Function gegeben. So wollen wir zuerst irgend _m_ Functionen des Ortes bilden: [formula] von denen jede nur an einer der gegebenen Stellen einfach algebraisch unendlich werden soll aber übrigens beliebig vieldeutig sein mag. Aus diesen _Z_ setzt sich die allgemeinste complexe Function des Ortes, welche an den gegebenen Stellen einfache algebraische Unstetigkeiten besitzt, dem vorigen Paragraphen zufolge in der Gestalt zusammen:

[formula]

unter [formula] beliebige constante Coëfficienten verstanden. Um eine eindeutige Function zu haben, setzen wir die Periodicitätsmoduln, welche dieser Ausdruck an den [formula] Querschnitten besitzt, gleich Null. Aber diese Periodicitätsmoduln setzen sich vermöge der [formula] aus den Periodicitätsmoduln der [formula] linear zusammen. _Wir finden also _[formula]_ lineare homogene Gleichungen für die _[formula]_ Constanten __a__ und __c__._ Wir wollen annehmen, dass diese Gleichungen linear unabhängig sind(21). Dann kommt der wichtige Satz:

_Unter der genannten Voraussetzung giebt es bei __m__ beliebig vorgeschriebenen einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten nur dann eindeutige Functionen des Ortes, wenn _[formula]_ ist, und zwar enthalten diese Functionen _[formula]_ linear vorkommende willkürliche Constante._

Man denke sich jetzt die _m_ Unendlichkeitspuncte als beweglich. So treten _m_ neue Willkürlichkeiten in die Betrachtung ein. Ueberdies ist klar, dass man beliebige _m_ Puncte auf der Fläche durch continuirliche Verschiebung in beliebige m andere verwandeln kann. Wir können also sagen, indem wir uns übrigens immer der Voraussetzung erinnern, die wir gemacht haben:

_Die Gesammtheit der eindeutigen Functionen mit __m__ einfachen algebraischen Unstetigkeitspuncten, die auf gegebener Fläche existiren, bildet ein Continuum von _[formula]_ Abmessungen._

Nun wir die Existenz und die Mannigfaltigkeit der eindeutigen Functionen haben kennen lernen, wollen wir auf möglichst anschauungsmässigem Wege noch eine andere wichtige Eigenschaft derselben entwickeln. Die Zahl _m_ der Unendlichkeitspuncte unserer Function hat nämlich für letztere eine noch viel weiter gehende Bedeutung. Ich sage, _dass unsere Function _[formula]_ jeden beliebig vorgegebenen Werth _[formula]_ genau an __m__ Stellen annimmt._

Zum Beweise betrachte man den Verlauf der Curven [formula] auf unserer Fläche. Nach §. 2 ist klar, dass jede dieser Curven einen Ast durch jeden der _m_ Unendlichkeitspuncte hindurchschickt. Andererseits folgt aus Betrachtungen, wie wir sie in §. 10 entwickelten, dass jeder Curvenast mindestens einen Unendlichkeitspunct enthalten muss. Hiernach ist für sehr grosse [formula] die Richtigkeit unserer Behauptung unmittelbar klar. Denn die betreffenden Curven [formula] gehen dann in der Nähe des einzelnen Unendlichkeitspunctes nach §. 2 in kleine durch den Unendlichkeitspunct hindurchlaufende Kreise über, welche nothwendig neben dem (hier nicht weiter in Betracht kommenden) Unstetigkeitspuncte noch je _einen_ Schnittpunct gemein haben:

Fig. 33.

Hieraus aber folgt die Sache allgemein. _Denn die Curven _[formula]_, _[formula]_ können bei continuirlicher Aenderung von _[formula]_, _[formula]_ niemals einen Schnittpunct verlieren._ Es könnte diess nämlich nach dem Gesagten nur so geschehen, dass mehrere Schnittpuncte zusammenrückten, um dann in geringerer Zahl wieder aus einander zu treten. Nun bilden die Curven [formula] ein Orthogonalsystem. Ein Zusammenrücken reeller Schnittpuncte ist also nur in den Kreuzungspuncten möglich (in denen es auch wirklich geschieht). Die Kreuzungspuncte aber sind nur in endlicher Zahl vorhanden, und also nicht im Stande, die Fläche in verschiedene Gebiete zu zerlegen. Die Eventualität des Zusammenrückens ist also überhaupt nicht in Betracht zu ziehen, und somit unsere Behauptung bewiesen.

Es ist übrigens für das Folgende nützlich, sich die Vertheilung der Werthe von [formula] in der Nähe eines Kreuzungspunctes deutlich zu machen. Hierzu genügt eine aufmerksame Beobachtung der oben gegebenen Figur 1. Man erkennt zumal, dass von den _m_ beweglichen Schnittpuncten der Curven [formula], [formula] bei Annäherung an den [formula]-fachen Kreuzungspunct [formula] zusammenrücken.--

Analoge Betrachtungen, wie wir sie hiermit für eindeutige Functionen erledigt haben, finden natürlich auch bei vieldeutigen Functionen ihre Stelle. Ich gehe auf sie nur desshalb nicht ein, weil es die im Folgenden festgehaltene Umgränzung des Stoffes nicht nöthig macht. Auch kommt nur in den allereinfachsten Fällen ein übersichtliches Resultat. Sei in dieser Beziehung daran flüchtig erinnert, dass eine complexe Function mit mehr als zwei incommensurabeln Periodicitätsmoduln an jeder Stelle jedem beliebigen Werthe unendlich nahe gebracht werden kann.

§. 14. Die gewöhnlichen Riemann’schen Flächen über der x + iy-Ebene.

Statt die Vertheilung der Functionswerthe [formula] auf der ursprünglichen Fläche zu betrachten, kann man ein sozusagen umgekehrtes Verfahren einschlagen. Man deute nämlich die Functionswerthe--welche dementsprechend jetzt [formula] genannt werden sollen--in gewöhnlicher Weise in der Ebene (oder auch auf der Kugel(22) und studiere die _conforme Abbildung_, welche demzufolge (nach §. 5) von unserer ursprünglichen Fläche entworfen wird. Wir beschränken uns dabei wieder, der Einfachheit halber, auf den Fall der eindeutigen Functionen, trotzdem es besonderes Interesse hat, gerade auch die Abbildung durch mehrdeutige Fuuctionen in Betracht zu ziehen(23).

Eine kurze Ueberlegung zeigt, _dass wir so gerade zu der mehrblättrigen, mit Verzweigungsverzweigungspuncten versehenen, über der _[formula]_-Ebene ausgebreiteten Fläche geführt werden, welche man gewöhnlich als Riemann’sche Fläche schlechthin bezeichnet._

In der That, sei _m_ die Zahl der (einfachen) Unendlichkeitspuncte, welche [formula] auf der ursprünglichen Fläche besitzt. Es nimmt dann [formula], wie wir sahen, _jeden_ Werth auf der gegebenen Fläche _m_-mal an. _Daher überdeckt die conforme Abbildung unserer Fläche auf die _[formula]_-Ebene die letztere im Allgemeinen mit __m__ Blättern._ Eine Ausnahmestellung nehmen nur diejenigen Werthe von [formula] ein, für welche einige der _m_ auf der ursprünglichen Fläche zugehörigen Stellen zusammenfallen, denen also _Kreuzungspuncte_ entsprechen. Man ziehe zum Verständnisse noch einmal die Figur (1) heran. Es folgt aus derselben, dass man die Umgebung eines [formula]-fachen Krenzungspunctes derart in [formula] Sectoren zerlegen kann, dass [formula] innerhalb jedes Sectors denselben Werthvorrath durchläuft. _Daher werden oberhalb der betreffenden Stelle der _[formula]_ Ebene _[formula]_ Blätter der conformen Abbildung derart zusammenhängen, dass eine Umlaufung der Stelle von einem Blatte in ein zweites, von diesem in ein drittes führt etc., und dass eine _[formula]_-malige Umlaufung derselben nöthig wird, um zum Anfangspuncte zurückzugelangen._ Diess ist aber genau, was man gewöhnlich als einen [formula]-fachen _Verzweigungspunct_ bezeichnet(24). Dabei ist die Abbildung in diesem Puncte selbst natürlich keine conforme mehr; man beweist leicht, dass der Winkel, den irgend zwei auf der ursprünglichen Fläche verlaufende sich im Kreuzungspuncte schneidende Curven mit einander bilden, auf der über der [formula]-Ebene ausgebreiteten Riemann’schen Fläche genau mit [formula] multiplicirt erscheint.--

_Aber zugleich erkennen wir die Bedeutung, welche diese mehrblättrige Fläche für unsere Zwecke beanspruchen kann._ Alle Flächen, welche durch conforme Abbildung eindeutig aus einander hervorgehen, sind für uns gleichbedeutend (§. 8). Wir können also die _m_-blättrige Fläche über der Ebene ebensogut zu Grunde legen, wie die bisher benutzte Fläche, die wir uns ohne jedes singuläre Vorkommniss frei im Raume gelegen vorstellten. Dabei kommt die Schwierigkeit, die man in dem Auftreten der Verzweigungspuncte erblicken könnte, von vorneherein in Wegfall: denn wir werden nur solche Strömungen auf der mehrblättrigen Fläche in Betracht ziehen, welche sich in der Umgebung der Verzweigungspuncte derart verhalten, dass sie rückwärts auf die im Raume gelegene ursprüngliche Fläche übertragen dort keine anderen singulären Vorkommnisse darbieten, als die ohnehin gestatteten. Hierzu ist nicht einmal nöthig, dass man eine entsprechende im Raume gelegene Fläche kennt; handelt es sich doch nur um Verhältnisse in der nächsten Umgebung der Verzweigungspuncte, d. h. um differentielle Relationen, denen unsere Strömungen genügen müssen(25). Es hat hiernach auch keinen Zweck mehr, wenn wir von beliebig gekrümmten Flächen sprechen, uns diese ohne singuläre Puncte zu denken: _sie mögen selbst mit mehreren Blättern überdeckt sein, die unter sich durch Verzweigungspuncte, beziehungsweise Verzweigungsschnitte zusammenhängen._ Aber welche unter den unbegränzt vielen, sonach gleichberechtigten Flächen wir auch der Betrachtung zu Grunde legen wollen: wir müssen zwischen wesentlichen Eigenschaften unterscheiden, welche allen gleichberechtigten Flächen gemeinsam sind, und _unwesentlichen_ Eigenschaften, die der particulären Fläche anhaften. Zu ersteren gehört die Zahl _p_, es gehören dahin die "Moduln", von denen in §. 18 ausführlicher die Rede sein soll; zu letzteren bei mehrblättrigen Flächen die Art und Lage der Verzweigungspuncte. Wenn wir uns eine _ideale_ Fläche denken, die nur jene wesentlichen Eigenschaften besitzen soll, so entsprechen auf ihr den Verzweigungspuncten der mehrblättrigen Fläche gewöhnliche Puncte, die, allgemein zu reden, vor den übrigen Puncten Nichts voraus haben, und die erst dadurch beachtenswerth werden, dass bei der conformen Abbildung, die von der idealen Fläche zur particulären hinüberführt, in ihnen Kreuzungspuncte entstehen.

Das Resultat ist also dieses, _dass wir betreffs der Flächen, auf denen wir operiren dürfen, eine grössere Beweglichkeit gewonnen haben, und dass wir zugleich die Zufälligkeiten erkennen, welche die Betrachtung jeder einzelnen besonderen Fläche mit sich bringt._ Insbesondere werden wir im Folgenden, so oft es nützlich scheint, mehrblättrige Flächen über der [formula]-Ebene in Betracht ziehen; ihre Verwendung soll aber in keiner Weise die Allgemeinheit der Auffassung beeinträchtigen(26).

§. 15. Der Ring p = 1 und die zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspuncten über der Ebene. (27)

Ich habe mich im vorigen Paragraphen ziemlich kurz fassen können, da ich die gewöhnliche Riemann’sche Fläche über der Ebene mit ihren Verzweigungspuncten als bekannt ansah. Immerhin wird es nützlich sein, wenn ich das Gesagte an einem Beispiele erläutere. Wir wollen einen Ring [formula] betrachten. Auf ihm existiren nach §. 13 [formula] eindeutige Functionen mit nur zwei Unendlichkeitspuncten. Eine jede derselben besitzt nach der allgemeinen Formel des §. 11 vier Kreuzungspuncte. Der Ring ist also auf mannigfache Weise auf eine zweiblättrige ebene Fläche mit vier Verzweigungspuncten abzubilden. Ich will den besonderen Fall, in welchem ich diese Abbildung nunmehr betrachten werde, auf explicite Formeln stützen, damit auch denjenigen Lesern, die in rein anschauungsmässigen Operationen minder geübt sind, die Sache zugänglich sei. Allerdings greife ich damit in etwas den Entwickelungen vor, welche erst der folgende Paragraph zu bringen bestimmt ist.

Fig. 34.

Wir wollen die Ringfläche als gewöhnlichen Torus voraussetzen, der durch Rotation eines Kreises um eine denselben nicht schneidende Axe seiner Ebene entsteht. Sei [formula] der Radius dieses Kreises, _R_ der Abstand seines Mittelpunctes von der Axe, [formula] ein Polarwinkel.

Wir führen die Rotationsaxe als _Z_-Axe, den Punct _O_ der Figur als Anfangspunct eines rechtwinkligen Coordinatensystems ein und unterscheiden die durch [formula] hindurchlaufenden Ebenen nach dem Winkel [formula], den sie mit der positiven _X_-Axe bilden. Dann hat man für einen beliebigen Punct der Ringfläche:

[formula]

Daher wird das Bogenelement:

[formula]

oder:

[formula]

wo

[formula]

gesetzt sein soll.

Nach Formel (3) haben wir eine conforme Abbildung der Ringfläche auf die [formula]-Ebene. Die ganze Ringfläche wird offenbar einmal überstrichen, wenn [formula] und [formula] (in den Formeln (1)) jedes von [formula] bis [formula] läuft. _Die conforme Abbildung der Ringfläche überdeckt daher ein Rechteck der Ebene, wie es durch folgende Figur vorgestellt wird:_

Fig. 35.

Ich habe dabei in der Figur der Kürze halber statt [formula] einfach _p_ geschrieben.--Wollen wir uns die Beziehung zwischen Rechteck und Ringfläche recht anschaulich vorstellen, so denke man sich ersteres aus dehnsamem Materiale verfertigt und nun die gegenüberstehenden Kanten des Rechtecks ohne Torsion zusammengebogen. Oder auch, man denke sich den Ring von analoger Beschaffenheit, zerschneide ihn längs einer Breitencurve und einer Meridiancurve und breite ihn dann in die [formula]-Ebene aus. Ich setze statt weiterer Erläuterung eine Figur her, welche die Verticalprojection der Ringfläche von der positiven _Z_-Axe aus auf die [formula]-Ebene vorstellt und bei der die Beziehung zur [formula]-Ebene markirt ist:

Fig. 36.

Natürlich erblickt man nur die Oberseite der Ringfläche, die auf der Rückseite abgebildeten Quadranten 3 und 4 werden beziehungsweise von 2 und 1 verdeckt.

Sei nun andererseits bei reellem [formula] [formula] über der Ebene eine zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspuncten [formula], [formula] gegeben:

Fig. 37.

wobei ich mir (wie es in der Figur angedeutet ist) die beiden Halbblätter, welche die positive Halbebene überlagern, schraffirt denken will. Dabei sollen die Verzweigungsschnitte mit den geradlinigen Strecken zwischen [formula] und [formula] einerseits, und [formula] und [formula] andererseits zusammenfallen.

Diese zweiblättrige Fläche repräsentirt, wie man weiss, die Verzweigung von [formula], und zwar können wir, in Anbetracht der Wahl der Verzweigungsschnitte, die Zuordnung so treffen, dass auf dem oberen Blatte _w_ durchweg einen positiven reellen Theil besitzt. Wir betrachten nun das Integral

[formula]

Dasselbe liefert uns in bekannter Weise die Abbildung unserer zweiblättrigen Fläche ebenfalls auf ein Rechteck, dessen nähere Beziehung zur zweiblättrigen Fläche durch folgende Figur gegeben ist, auf welcher man die Schraffirungen und sonstigen Unterscheidungen der Figur (37) wiederfindet:

Fig. 38.

Dem oberen Blatte von Figur (37) entspricht die linke Seite dieser Figur. Man beachte vor Allem, wie sich die Abbildung für die Umgebung der Verzweigungspuncte der zweiblättrigen Fläche gestaltet. Vielleicht ist es am einfachsten, die Sache sich so vorzustellen, dass man von (37) zunächst durch stereographische Projection zu einer zweimal überdeckten Kugelfläche übergeht, welche auf einem Meridian vier Verzweigungspuncte trägt,--dass man die so erhaltene Fläche durch einen längs des Meridians verlaufenden Schnitt in vier Halbkugeln zerlegt, deren einzelne man durch geeignete Dehnung und Deformirung in der Nähe der vier Verzweigungspuncte in ein ebenes Rechteck verwandelt,--dass man endlich die so entstehenden vier Rechtecke entsprechend den Beziehungen zwischen den vier Halbkugeln nach Art von Figur (38) neben einander legt. Man sieht auf diese Art auch deutlich, dass in Figur (38) immer _zwei_ (zusammengehörige) Randpuncte denselben Punct der ursprünglichen Fläche bezeichnen.

Um nun zwischen dem Ringe und der zweiblättrigen Fläche die gewünschte Beziehung zu erzielen, haben wir nur dafür zu sorgen, dass das Rechteck der Figur (38) durch passende Wahl des Moduls [formula] mit dem Rechtecke der Figur (35) _ähnlich_ wird. Eine proportionale Vergrösserung des einen Rechtecks (welches auch eine conforme Umgestaltung ist) bringt dasselbe sodann mit dem anderen Rechteck zur Deckung und vermittelt so eine eindeutig-conforme Abbildung der zweiblättrigen Fläche auf die Ringfläche (oder der letzteren auf die erstere). Es wird wiederum genügen, das Sachverhältniss durch eine Figur zu kennzeichnen, dieselbe entspricht genau der eben gegebenen Figur (36):

Fig. 39.

Die Schraffirung soll sich dabei nur auf die Vorderseite der Ringfläche beziehen; auf der Rückseite ist die untere Hälfte der Figur schraffirt zu denken, die obere frei zu lassen.--

Die conforme Abbildung, welche wir wünschten, ist hiermit thatsächlich geleistet. Wir wollen jetzt rückwärts die Strömung auf der Ringfläche bestimmen, durch deren Vermittelung im Sinne des §. 14 die Abbildung zu Stande kommt. Dieselbe wird an den mit [formula], [formula] bezeichneten Stellen Kreuzungspuncte besitzen müssen, an den beiden Stellen [formula] algebraische Unendlichkeitspuncte von einfacher Multiplicität. Man findet die betreffenden Curven, die Niveaucurven sowohl wie die Strömungscurven, am besten, wenn man sich des Rechtecks als Zwischenfigur bedient. Offenbar übertragen sich die Curven [formula] Const., [formula] Const. der _z_-Ebene (Figur 37) auf das Rechteck der Figur (38), wie die Figuren (40), (41) angeben. Ich habe dabei allein den Curven [formula] Const. Pfeilspitzen zugesetzt, um sie im Gegensatze zu den anderen als Strömungscurven zu charakterisiren.

Fig. 40.

Fig. 41.

Man hat nun einfach diese Zeichnungen in derselben Weise zusammenzubiegen, wie es bei Figur (35) geschildert wurde, um die Ringfläche und auf ihr die gewünschten Curvensysteme zu erhalten. Das Resultat ist das folgende:

Fig. 42.

Fig. 43.

Dabei erscheinen in Figur (42) die vier Kreuzungspuncte der Strömung vermöge der gewählten Projectionsart als Berührungspuncte der Niveaucurven mit der scheinbaren Contour der Ringfläche.

§. 16. Functionen von [formula], welche den untersuchten Strömungen entsprechen.

Sei [formula], wie in §. 14, eine eindeutige complexe Function des Ortes auf unserer Fläche mit _m_ algebraischen, einfachen Unendlichkeitspuncten. Wir verwandeln unsere Fläche nach Anleitung jenes Paragraphen in eine _m_-blättrige Fläche über der [formula]-Ebene(28) und legen uns nun die Frage vor, _in welche Functionen des Argumentes _[formula]_ die bisher untersuchten complexen Functionen des Ortes übergehen mögen._ Man erinnere sich dabei der Entwickelungen des §. 6.

Seizunächst _w_ eine complexe Function des Ortes, welche auf unserer Fläche, ebenso wie [formula], _eindeutig_ ist. Vermöge der Festsetzungen, die hinsichtlich der Unendlichkeitspuncte unserer Functionen und insbesondere der eindeutigen Functionen getroffen worden sind, ergibt sich sofort, dass _w_ als Function von [formula] nirgendwo einen _wesentlich_ singulären Punct hat. Ueberdiess ist _w_ auf der _m_-blättrigen über der _z_-Ebene ausgebreiteten Fläche, so gut wie auf der ursprünglichen Fläche, eindeutig. Daher folgt auf Grund bekannter Sätze: _dass __w__ eine algebraische Function von __z__ ist_.

Dabei ist die Möglichkeit an sich nicht auszuschliessen, dass die _m_ Werthe von _w_, welche demselben _z_ entsprechen, zu je [formula] übereinstimmen mögen (wobei [formula] natürlich ein Theiler von _m_ sein muss). Aber jedenfalls können wir solche eindeutige Functionen _w_ auswählen, bei denen dieses nicht der Fall ist. Wir bestimmten oben (§. 13) die eindeutigen Functionen, indem wir ihre Unendlichkeitspuncte willkürlich annahmen. Wir haben es daher in der Hand, das erwähnte Vorkommniss jedenfalls zu vermeiden: wir brauchen nur die Unendlichkeitspuncte von _w_ so anzunehmen, dass nicht jedesmal [formula] von ihnen dasselbe _z_ aufweisen. Dann kommt:

_Die irreducibele Gleichung, welche zwischen __w__ und __z__ besteht:_

[formula]

_hat in __w__ die _[formula]_ Ordnung._

Ebensogut wird sie in _z_ natürlich die [formula] Ordnung besitzen, wenn _n_ die Gesammtmultiplicität der Unendlichkeitspuncte ist, die _w_ aufweist.

Aber die Beziehung dieser Gleichung [formula] zu unserer Fläche ist noch eine innigere, als die blosse Uebereinstimmung der Ordnung mit der Blätterzahl aussagt. Zu jedem Puncte der Fläche gehört nur _ein_ Werthepaar _w_, _z_, das der Gleichung genügt, und umgekehrt gehört zu jedem solchen Werthepaare im Allgemeinen(29) nur ein Punct der Fläche. _Gleichung und Fläche sind sozusagen eindeutig auf einander bezogen._