Part 5

Analog suche ich in der klassischen Mechanik (bzw. in der speziellen Relativitätstheorie) vergeblich nach einem realen Etwas, auf das ich das verschiedene Verhalten der Körper gegenüber den Bezugssystemen _K_ und _K′_ zurückführen könnte[12]. Diesen Mangel fühlte schon +Newton+ und suchte ihn vergeblich zu entkräften. Am klarsten hat ihn aber E. +Mach+ erkannt und seinetwegen gefordert, daß die Mechanik auf eine neue Grundlage gestellt werden müsse. Dieser Einwand läßt sich nur durch eine Physik vermeiden, welche dem allgemeinen Relativitätsprinzip entspricht. Denn die Gleichungen einer solchen Theorie gelten für jeden Bezugskörper, in was für einem Bewegungszustande derselbe auch sein mag.

§ 22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip.

Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, so wie er sich im +Galilei+schen Gebiete relativ zu einem +Galilei+schen Bezugskörper _K_ abspielt. Dann kann man durch rein theoretische Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, wie sich dieser bekannte Naturvorgang von einem relativ zu _K_ beschleunigten Bezugskörper _K′_ aus ausnimmt. Da aber relativ zu diesem neuen Bezugskörper _K′_ ein Gravitationsfeld existiert, so erfährt man bei der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den studierten Vorgang beeinflußt.

So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber _K_ eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem +Galilei+schen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper _K′_ (Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige Bewegung ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem Einfluß des relativ zu _K′_ herrschenden Gravitationsfeldes auf den bewegten Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die Bewegung der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung nichts prinzipiell Neues liefert.

Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt. Gegenüber dem +Galilei+schen Bezugskörper _K_ pflanzt sich dieser in gerader Linie mit der Geschwindigkeit _c_ fort. In bezug auf den beschleunigten Kasten (Bezugskörper _K′_) ist, wie leicht abzuleiten ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine Gerade mehr. Hieraus ist zu schließen, +daß sich Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern im allgemeinen krummlinig fortpflanzen+. Dies Ergebnis ist in zweifacher Hinsicht von großer Wichtigkeit.

Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden. Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne, welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen dürfen.

Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann.

Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben, die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik für die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen wir, daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie streng realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen Massen relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. Ist deshalb die Elektrostatik durch +Maxwell+s Feldgleichungen der Elektrodynamik über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die Elektrostatik ist als Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die Gesetze der letzteren führen direkt auf die ersteren in dem Falle, daß die Felder zeitlich unveränderlich sind. Es ist das schönste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt.

Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.

Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete, in denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches Gebiet auf einen beliebig bewegten Bezugskörper _K′_, so ist in bezug auf _K′_ ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld vorhanden[13]. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon ab, wie wir die Bewegung von _K′_ wählen. Das allgemeine Gesetz des Gravitationsfeldes muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie für alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun auch keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen! Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.

§ 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden Bezugskörper.

Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen; ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.

Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen aus. Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu einem Bezugskörper _K_ von passend gewähltem Bewegungszustande kein Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet ist dann _K_ ein +Galilei+scher Bezugskörper, und es gelten relativ zu _K_ die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. Dasselbe Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper _K′_ bezogen, welcher relativ zu _K_ gleichförmig rotiert. Um die Vorstellung zu fixieren, denken wir uns _K′_ in Gestalt einer ebenen Kreisscheibe, welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene gleichmäßig rotiere. Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe _K′_ sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung nach außen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper _K_ ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der Scheibe sitzende Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ Bezugskörper auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ zur Scheibe ruhende Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines Gravitationsfeldes auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung dieses Schwerefeldes eine solche, wie sie nach +Newton+s Theorie der Gravitation nicht möglich wäre[14]. Aber da der Beobachter an die allgemeine Relativität glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit Recht, daß ein allgemeines Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, welches nicht nur die Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm wahrgenommene Kraftfeld richtig erklärt.

Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in bezug auf die Kreisscheibe _K′_ zu erhalten. Was wird er dabei für Erfahrungen machen?

Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt des nicht rotierenden +Galilei+schen Bezugskörpers _K_. Von diesem aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit, während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu _K_ in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die letztere Uhr von _K_ aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr in der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann auf der Kreisscheibe konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte der Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich, wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.

Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der Beobachter seinen Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom +Galilei+schen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so erfährt er, von _K_ aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., sondern eine größere Zahl, während sich auf einer relativ zu _K_ ruhenden Scheibe bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben müßte. Damit ist bereits bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen Geometrie auf der rotierenden Scheibe und damit überhaupt in einem Gravitationsfelde nicht genau gelten können, wenigstens wenn man dem Stäbchen überall und in jeder Orientierung die Länge 1 zuschreibt. Auch der Begriff der geraden Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir sind deshalb nicht in der Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten _x_, _y_, _z_ nach der in der speziellen Relativität benutzten Methode exakt zu definieren. Solange jedoch Koordinaten und Zeiten der Ereignisse nicht definiert sind, haben auch Naturgesetze, in welchen diese vorkommen, keine exakte Bedeutung.

Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.

§ 24. Euklidisches und Nicht-Euklidisches Kontinuum.

Die Oberfläche eines Marmortisches liegt vor mir. Ich kann von irgendeinem Punkte derselben aus zu irgendeinem anderen gelangen, indem ich eine (große) Anzahl von Malen immer zu einem „benachbarten“ Punkte übergehe, oder — anders gesagt — indem ich von Punkt zu Punkt gehe, ohne „Sprünge“ zu machen. Was hier unter „benachbart“ und unter „Sprüngen“ zu verstehen ist, empfindet der Leser gewiß mit genügender Schärfe (wenn er nicht gar zu anspruchsvoll ist). Dies drücken wir aus, indem wir sagen, die Oberfläche sei ein Kontinuum.

Wir denken uns nun eine große Zahl gegen die Abmessungen der Tischplatte kleiner Stäbchen hergestellt, die alle gleich lang seien. Darunter ist verstanden, daß die Enden je zweier davon zur Deckung gebracht werden können. Wir legen nun vier dieser Stäbchen auf der Tischplatte so aufeinander, daß ihre Enden ein Viereck bilden, dessen Diagonalen gleich lang seien (Quadrat). Zur Erzielung der Diagonalengleichheit bedienen wir uns eines Probierstäbchens. An dies Quadrat legen wir gleiche Quadrate an, welche mit ihm ein Stäbchen gemein haben, an diese letzteren Quadrate ebenfalls usw. Schließlich ist die ganze Tischplatte mit Quadraten belegt, derart, daß jede Quadratseite zu zwei Quadraten und jede Quadratecke zu vier Quadraten gehört.

Daß man dies Geschäft ausführen kann, ohne in die größten Schwierigkeiten zu geraten, ist ein wahres Wunder! Man braucht nur an folgendes zu denken. Stoßen an einer Ecke bereits drei Quadrate zusammen, so sind auch von dem vierten bereits zwei Seiten gelegt. Wie die beiden anderen Seiten desselben gelegt werden müssen, ist dadurch schon vollkommen bestimmt. Jetzt kann ich das Viereck aber nicht mehr zurechtrücken, damit seine Diagonalen gleich werden. Sind sie es von selbst schon, so ist dies eine besondere Gunst der Tischplatte und der Stäbchen, über die ich mich nur dankbar wundern kann! Analoger Wunder müssen wir viele erleben, wenn die Konstruktion gelingen soll.

Ist wirklich alles glatt vonstatten gegangen, so sage ich, daß die Punkte der Tischplatte ein Euklidisches Kontinuum mit Bezug auf das benutzte Stäbchen als Strecke bilden. Hebe ich eine Quadratecke als „Anfangspunkt“ hervor, so kann ich jede andere Quadratecke mit Bezug auf den Anfangspunkt durch zwei Zahlen charakterisieren. Ich brauche nur anzugeben, wie viele Stäbchen ich nach „rechts“ und wie viele darauf nach „oben“ ich vom Anfangspunkte zurücklegen muß, um zu der ins Auge gefaßten Quadratecke zu gelangen. Diese zwei Zahlen sind dann die „Kartesischen Koordinaten“ der letzteren mit Bezug auf das durch die gelegten Stäbchen bestimmte „Kartesische Koordinatensystem“.

Daß es auch Fälle geben muß, in denen das Experiment mißlingt, erkennen wir an folgender Modifikation des Gedankenexperiments. Die Stäbchen sollen sich nach Maßgabe der Temperatur „ausdehnen“. Die Tischplatte werde in der Mitte erwärmt, am Rande aber nicht, wobei zwei unserer Stäbchen immer noch an jeder Stelle des Tisches zur Deckung gebracht werden können. Aber unsere Quadratkonstruktion muß dabei notwendig in Unordnung kommen, weil sich die Stäbchen der inneren Partie der Tischplatte ausdehnen, die der äußeren Partie aber nicht.

Mit Bezug auf unsere Stäbchen — als Einheitsstrecken definiert — ist die Tischplatte nun kein Euklidisches Kontinuum mehr, und wir sind auch nicht mehr in der Lage, unmittelbar mit ihrer Hilfe Kartesische Koordinaten zu definieren, da die obige Konstruktion sich nicht mehr durchführen läßt. Da es aber andere Dinge gibt, welche durch die Temperatur des Tisches nicht in analoger Weise wie die Stäbchen (oder überhaupt nicht) beeinflußt werden, gelingt es, in einer natürlichen Weise die Auffassung aufrecht zu erhalten, daß die Tischplatte ein „Euklidisches Kontinuum“ sei; es gelingt in befriedigender Weise durch eine subtilere Festsetzung über das Messen bzw. Vergleichen von Strecken.

Würden aber Stäbchen jeder Art, d. h. jeden Materials, sich in +gleicher+ Weise temperaturempfindlich verhalten auf der verschieden temperierten Tischplatte, und hätten wir kein anderes Mittel, die Wirkung der Temperatur wahrzunehmen, als das geometrische Verhalten der Stäbchen bei Experimenten analog dem oben beschriebenen, so könnte es wohl zweckmäßig sein, zwei Punkten des Tisches die Entfernung 1 zuzuschreiben, wenn sich die Enden eines unserer Stäbchen mit ihnen zur Deckung bringen lassen; denn wie sollte man ohne die krasseste Willkür die Strecke anders definieren? Dann aber muß die Kartesische Koordinatenmethode verlassen und durch eine andere ersetzt werden, welche die Gültigkeit der Euklidischen Geometrie für starre Körper nicht voraussetzt[15]. Der Leser bemerkt, daß die hier geschilderte Situation derjenigen entspricht, welche das allgemeine Relativitätspostulat mit sich gebracht hat (§ 23).

§ 25. Gaußsche Koordinaten.

Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach +Gauß+ folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte ein System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die wir als _u_-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl bezeichnen. In der Zeichnung sind die Kurven _u_ = 1, _u_ = 2 und _u_ = 3 gezeichnet. Zwischen den Kurven _u_ = 1 und _u_ = 2 sind aber noch unendlich viele eingezeichnet zu denken, welche allen reellen Zahlen entsprechen, die zwischen 1 und 2 liegen. Es liegt dann ein System von _u_-Kurven vor, welche unendlich dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine _u_-Kurve soll eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der Tischplatte eine und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der Oberfläche der Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter _u_-Wert. Ebenso sei auf die Fläche ein System von _v_ Kurven gezeichnet, die denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es gehört dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein _u_-Wert und ein _v_-Wert, welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte nennen (+Gauß+sche Koordinaten). Der Punkt _P_ der Figur hat beispielsweise die +Gauß+schen Koordinaten _u_ = 3; _v_ = 1. Zwei benachbarten Punkten _P_ und _P′_ auf der Fläche entsprechen dann die Koordinaten

_P: u; v_ _P′: u + du, v + dv_,

wobei _du_ und _dv_ sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit einem Stäbchen gemessene Abstand von _P_ und _P′_ sei die ebenfalls sehr kleine Zahl _ds_. Dann ist nach +Gauß+:

_ds²_ = _g₁₁ du²_ + _2g₁₂ du dv_ + _g₂₂ dv²_,

wobei _g₁₁_, _g₁₂_, _g₂₂_ Größen sind, die in ganz bestimmter Weise von _u_ und _v_ abhängen. Die Größen _g₁₁_, _g₁₂_ und _g₂₂_ bestimmen das Verhalten der Stäbchen relativ zu den _u_-Kurven und _v_-Kurven, also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die _u_-Kurven und _v_-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu versehen, daß einfach

ds² = du² + dv²

wird. Dann sind die _u_-Kurven und _v_-Kurven gerade Linien im Sinne der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht stehen. Dann sind die +Gauß+schen Koordinaten einfach Kartesische. Man sieht, daß die +Gauß+schen Koordinaten weiter nichts sind als eine Zuordnung je zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, derart, daß räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene Zahlenwerte zugeordnet sind.

Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei Dimensionen. Aber die +Gauß+sche Methode läßt sich auch auf ein Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt z. B. ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen _x₁_, _x₂_, _x₃_, _x₄_ zugeordnet, welche „Koordinaten“ genannt werden. Benachbarten Punkten entsprechen benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun benachbarten Punkten _P_ und _P′_ ein durch Messungen ermittelbarer, physikalisch wohldefinierter Abstand _ds_ zugeordnet, so gilt eine Formel:

_ds²_ = _g₁₁ dx₁²_ + _2 g₁₂ dx₁ dx₂_ ... + _g₄₄ dx₄²_ ,

wobei die Größen g₁₁ usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist, ist es möglich, die Koordinaten _x₁_···_x₄_ den Punkten des Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach

_ds²_ = _dx₁²_ + _dx₂²_ + _dx₃²_ + _dx₄²_

wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen, welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.

Die angegebene +Gauß+sche Darstellung für _ds²_ ist übrigens nicht immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete des betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische Verhalten der Stäbchen also +beinahe+ ein solches, wie es gemäß den Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über einen beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.

Zusammenfassend können wir also sagen: +Gauß+ hat eine Methode zur mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (+Gauß+sche Koordinaten) zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (+Gauß+sche Koordinaten) zugeordnet werden. Das +Gauß+sche Koordinatensystem ist eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen Koordinatensystems. Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten Kontinuums mit Bezug auf das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto größerer Annäherung Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des Kontinuums ist.

§ 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie als Euklidisches Kontinuum.