Chapter 3

Bei sehr vielen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde vorkommenden Vierecke ist der Unterschied je zweier Gegenseiten entweder Null oder verhältnissmässig so klein, dass man den betreffenden Vierecken eine vom Rechtecke wenig verschiedene Gestalt beilegen kann, und die erhaltenen Resultate somit eine ziemliche Annäherung an den richtigen Flächenwerth darstellen dürften, nach dem man mit Rücksicht auf die bei *Sesostris* bemerkte Eintheilung des Landes in Rechtecke voraussetzen darf, gerade diese oder eine ihr zunächst kommende Form der Felder sei die auch damals schon beliebte gewesen.

Doch kommen auch Vierecke vor, wo der Längenunterschied der Gegenseiten ein bemerkenswerther ist; ja es werden auch Dreiecke als Vierecke mit einer verschwindenden Seite behandelt, so dass der begangene Fehler in manchen Fällen ein nicht unbedeutender ist.

Nur nebenbei bemerken wir, dass man dieselbe unrichtige Flächenformel für das Viereck erhält, wenn man dasselbe zunächst durch eine Diagonale in zwei Dreiecke zerlegt, auf jedes dieser Dreiecke die unrichtige Flächenformel, die den Inhalt als das halbe Product der beiden Seiten liefert, anwendet, die beiden so erhaltenen Dreiecksflächen addirt und dann aus dieser Summe und jener, welche man bei dem ähnlichen Vorgange durch Zerlegung mittelst der zweiten Diagonale erhält, das arithmetische Mittel construirt.

Nimmt man mit *Eisenlohr* und *Cantor* an, dass die Aegypter die Dreiecksfläche wirklich dem halben Producte zweier Seiten gleichsetzten, so steht man vor der Frage, warum nicht in derselben Art die Flächen der in der *Edfu*er Schenkungsurkunde auftretenden Dreiecke bestimmt erscheinen?

Uebrigens wolle man sich darüber nicht wundern, dass es überhaupt möglich war, die Flächenberechnungen im praktischen Leben nach einer so falschen Methode durchzuführen. Wissen wir doch, dass im Alterthume, zur Zeit *Platon*s, einer der gebildetsten Männer, einer der hervorragendsten Geschichtschreiber, dass *Thukydides*(43) in seiner Unkenntniss der Beziehung zwischen Flächeninhalt und Umfang, die Fläche einer Insel nach der zu ihrer Umschiffung nothwendigen Zeit zu bestimmen suchte; in der Geometrie *Gerbert*’s,(44) des nachmaligen Papstes *Silvester II.* finden wir, 1000 Jahre nach Chr. G., die Fläche eines gleichschenkligen Dreieckes durch Multiplication des Schenkels mit der halben Basis berechnet, wo doch schon *Hero von ** Alexandrien*(45) 1100 Jahre früher die richtige Formel für diese Berechnung kennt.

Wir berühren diese Thatsachen, und könnten noch eine ganze Reihe ähnlicher Beispiele anführen, nur um zu zeigen, wie übereilt es wäre, aus den oft nur schwache Annäherungen liefernden Berechnungen der *Edfu*er Schenkungsurkunde schliessen zu wollen, die richtigen Methoden seien den in die Wissenschaften eingeweihten aegyptischen Priestern nicht bekannt gewesen.

Doch zurück zum Papyrus *Rhind*.

Wir übergehen die Inhaltsbestimmungen von Fruchthäusern, bei denen der Inhalt durch Multiplication einer Fläche mit einer Länge bestimmt wird, weil wir es für müssig halten, Erörterungen darüber anzustellen, welche Flächen und Längen hiebei gemeint sind, so lange uns über die Form jener Fruchthäuser oder Speicher nichts bekannt ist.

Dagegen erwecken die im Papyrus vorkommenden Pyramiden-Berechnungen das höchste Interesse, besonders nach den glänzenden Untersuchungen, welchen *Revillout* diesen Gegenstand unterzogen hat, und deren Resultate wir, entgegen der von *Eisenlohr* ausgesprochenen und auch von *Lepsius*(46) acceptirten Ansicht als solche betrachten, welche in einfacher und natürlicher Weise die sogenannte *Seket*-Rechnung der alten Aegypter beleuchten.

Es wird in diesen Rechnungen die Böschung der Seitenflächen einer quadratischen Pyramide dadurch fixirt, dass jener Theil der Länge eines der beiden gleichlangen Schenkel des Winkelmaasses berechnet wird, der sich zur Länge des anderen Schenkels so verhält, wie die halbe Länge der Basisseite der quadratischen Pyramide zur Höhe derselben.

Zu dem Behufe war der eine der beiden Schenkel des Winkelmaasses in eine gewisse Anzahl gleich grosser Theile getheilt, während der andere Schenkel, der Pyramidenhöhe entsprechend, und als Einheit betrachtet, ungetheilt blieb.

Um nun den sogenannten *Seket* zu bestimmen, wurde die halbe Länge der Basisseite durch die Pyramidenhöhe dividirt und mit dem erhaltenen Quotienten die Anzahl der Theile des horizontalen, getheilten Schenkels des Winkelmaasses multiplicirt.

Es war somit der Seket (welcher in derselben Art für einen geraden Kreiskegel aus dem Durchmesser der Basis und der Höhe bestimmt erscheint) als Verhältniss aufgefasst, die goniometrische Cotangente des Neigungswinkels der Seitenfläche der Pyramide, respective der Kegelkante zur Basis.

Wenn wir selbstverständlich weit davon entfernt sind, hierin vielleicht Anfänge der Trigonometrie sehen zu wollen, so erkennen wir doch anderseits, dass den alten Aegyptern auch die Lehre proportionaler Linien, wenigstens in ihren Anwendungen, bekannt gewesen sein musste, und erscheint uns auch der am Eingange erwähnte Ausspruch über die dem Milesier *Thales* zugeschriebene Höhenmessung der Pyramiden als ein ganz glaubwürdiger, wenn wir sehen, wie im Papyrus von den drei Werthen: Basis, Höhe, Seket, jeder aus den beiden anderen berechnet erscheint.

Fassen wir nun die Ergebnisse unserer Betrachtungen zusammen, so müssen wir aus der quellenmässig erwiesenen grossen Bewunderung, welche die ausgesprochen geometrisch hochentwickelten Griechen den aegyptischen Geometern rückhaltlos zollten, wir müssen aus der unanfechtbaren Thatsache, dass griechische Geometer den Grund zu ihren Kenntnissen und Entdeckungen in Aegypten suchten und fanden, wir müssen im Hinblicke auf das, aus der nun vollends entzifferten[42] *Edfu*er Schenkungsurkunde sich mit Sicherheit ergebende ausgebreitete und fest organisirte Katasterwesen der alten Aegypter, welches zugleich mit den zahlreichen, dem öffentlichen Leben dienenden Land- und Wasserbauten auf eine verhältnissmässig bedeutend entwickelte Vermessungskunde hinweist, wir müssen endlich aus dem von uns besprochenen Papyrus, der sich als eine ungenaue Abschrift eines mangelhaften, aus dem dritten Jahrtausend vor Chr. G. stammenden, mathematischen Collegien- oder Aufgabenheftes erweist, und aus dessen Vorhandensein sich fast mit Gewissheit auf damals existirende, neben den Regeln auch ihre Ableitungen enthaltende Lehrbücher schliessen lässt, wir können und müssen aus allen diesen Umständen den allgemeinen Schluss ziehen, dass bereits drei Jahrtausende vor unserer Zeitrechnung sowohl die arithmetischen, als auch die geometrischen Kenntnisse der Aegypter, einen für dieses Zeitalter bedeutenden Grad der Entwicklung besassen.

Insbesondere können wir in jenen fernen Zeiten eine staunenswerth weitgehende Annäherung bei der Berechnung der Kreisfläche beobachten, wir finden mit vollständiger Sicherheit richtige Flächenbestimmungen des Quadrates, Rechteckes und des rechtwinkligen Dreieckes; höchst wahrscheinlich auch richtige Bestimmungen der Flächen schiefwinkliger Dreiecke und Vierecke, welche im praktischen Leben durch leichter zu handhabende Annäherungsformeln ersetzt wurden; wir sehen Bestimmungen des Rauminhaltes durch ihre Dimensionen gegebener Körper und erkennen die Anfänge der Aehnlichkeitslehre.

Was das geometrische Zeichnen betrifft, so kennen wir schon die Construction der früher beobachteten regelmässigen Figuren und dürfen weiter vermuthen, dass die Anlegung rechter Winkel und das Fällen von Senkrechten sowohl mittelst des Winkelmaasses als auch mittelst rationaler rechtwinkliger Dreiecke bekannt, und die Zerlegung gegebener Flächen behufs ihrer Inhaltbestimmung in allgemeiner Verwendung war.

Gewiss werden auch theoretische Resultate bekannt gewesen sein; so die Hälftung des Kreises durch seinen Durchmesser, die sich aus der besprochenen Seketrechnung von selbst ergebende Winkelgleichheit an der Basis gleichschenkliger Dreiecke und gleichseitiger quadratischer Pyramiden, und wohl noch manches Andere.

Möge es gelingen, durch Auffindung neuer, sowie durch Entzifferung der, noch ihrer Erklärung harrenden Denkmale und Schriften, von welchen letzteren, Dank der hohen Munificenz des Erlauchten Curators unserer Akademie, auch Wien eine imposante Zahl aufweisen kann, möge es so gelingen noch weitere Anhaltspunkte für die Kenntniss der mathematischen Thätigkeit des uns bekannten ältesten Culturvolkes, der Aegypter zu gewinnen!

Diesen unseren Wunsch theilen gewiss Alle, denen die Erforschung der Culturgeschichte des menschlichen Geschlechtes nicht ohne Wichtigkeit erscheint!

1 HERODOT, _Reisebericht_, II, 109.

2 ISOKRATES, _Busiris_, c. 9.

_ 3 Platonis__ Phaedrus_, ed. Ast. I. p. 246.

4 ARISTOTELES, _Metaph. I_, 1.

5 DIODOR, I, 69.

6 Herodot l. c.

_ 7 Heronis Alexandr.__ geom. et stereom. reliquiae_, ed. Hultsch. p. 138.

8 DIODOR, I, 81.

9 STRABON, ed. Meinike, lib. XVII, C. 787, p. 1098.

_ 10 Eudemi Rhodii__ Peripatetici fragmenta quae supersunt_. ed. L. Spengel. Berlin 1870.

_ 11 Procl.__ comment._ ed. Rasil. p. 19; _Barocius_ p. 37.

12 ISOKRATES, _Busiris_, cap. 11.

13 STRABON, XIV, 1. 16.

14 PORPHYRIUS, _De vita Pythagorae_ cap. 7; DIOGENES LAERTIUS, VIII, 3.

15 DIODOR, I, c. 96.

16 PROKLOS, ed. Friedlein, 250, 299, 352, 157.

17 DIOGENES LAERTIUS, I, 27. PLINIUS, _Hist. nat._ XXXVI, 12, 17.

18 PLUTARCH, ed. Didot. Vol. 2, III, p. 174.

19 DIOGENES LAERTIUS I, 24--25.

20 MONTUCLA, _Hist. d. math._ 2. édit. t. I, p. 49.

21 BRETSCHNEIDER, _Die Geometrie und die Geometer vor Euklides_, p. 11. Dem Werke Bretschneiders, sowie jenem CANTOR’s: _Vorlesungen über Geschichte der Mathematik_, sind die grundlegenden Gedanken entnommen.

22 CLEMENS ALEXANDRINUS, _Stromata_, ed. Potter, I, 357.

23 THEON SMYRNAIOS, _lib. de astron._ ed. Martin, p. 272.

24 PRISSE D’AVENNES, _Hist. de l’art Egypt. d’après les monuments._

25 WILKINSON, _Manners and customs of the ancient Egyptians_, III, p. 313.

26 CICERO, _De finibus bonorum ed malorum_ I, 6, 20.

27 DIOGENES LAERTIUS IX, 47.

28 CANTOR, _Vorlesungen über Geschichte der Mathematik_, I, p. 144--159 (Leipzig 1880).

29 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Leipzig 1877.

30 BIRCH, in Lepsius’ _Zeitschrift für ägypt. Sprache und Alterthum_, 1868, p. 108.

31 LEPSIUS, _ägypt. Zeitschrift_, 1871, p. 63.

32 REVILLOUT, EUGÈNE, _Revue Egyptologique_, 1881, Nr. II et III, p. 304.

33 EISENLOHR, _Ein math. Handbuch der alten Aegypter_. Nr. 64.

34 ibid. Nr. 79.

35 ibid. p. 125.

36 CANTOR, _Vorlesungen aus der Geschichte der Mathematik_, I, p. 49.

37 WILKINSON, _Manners and customs u. s. w._ III., p. 144.

38 BRUGSCH, _Ueber Bau und Maasse des Tempels von __Edfu_ (_Zeitschrift für ägypt. Sprache u. Alterth._ Bd. VIII.)

39 CANTOR, _Vorlesungen u. s. w._ I, p. 55.

40 ÉD. BIOT, _Journal Asiatique_, Paris 1841, I. Sem. p. 593.

41 LEPSIUS, _Ueber eine hieroglyphische Inschrift am Tempel von __Edfu_. _Abhandlung d. Acad. d. Wiss. in Berlin_, 1855, p. 69.

42 BRUGSCH, _Thesaurus III_, Leipzig 1884.

43 THUKYDIDES, ed. Rothe, VI. 1.

44 ed. Olleris, Cap. LXX. p. 460.

_ 45 Heronis Alexandrini__ geometricorum et stereometricorum reliquiae_ (ed. Hultsch, Berlin 1864).

46 LEPSIUS, _Ueber die 6palmige grosse Elle von 7 kleinen Palmen Länge in dem »math. Handbuche« von Eisenlohr_. (_Zeitschrift f. äg. Sp._ 1884. 1. Heft.)