Chapter 2

Andererseits musste das öftere Betrachten der regelmässigen Figuren einen geometrisch disponirten Geist von selbst zum Aufsuchen unbekannter Eigenschaften derselben reizen, und vielleicht ist der Thaletische Satz von der Halbirung des Kreises durch einen Durchmesser nichts als eine aus der Betrachtung jener aegyptischen Zeichnungen gewonnene Abstraction, und huldigen wir in dieser Beziehung der Ansicht, dass *Thales* beim Ausspruche des erwähnten, für uns freilich höchst einfach klingenden Satzes, wahrscheinlich sagen wollte, nur der Kreis habe die ausgezeichnete Eigenschaft, von allen durch einen Punkt, den Mittelpunkt, gehenden Geraden in lauter untereinander gleiche Hälften getheilt zu werden.

Von besonderer Wichtigkeit scheint uns jedoch der früher citirte selbstgefällige Ausspruch des *Demokritos* zu sein, da er uns vor einer ungerechtfertigten Unterschätzung aegyptischer Constructionsgewandtheit bewahren kann. Bedenklich in *Demokritos*’ Angabe könnte allenfalls jenes Selbstlob erscheinen, das er sich spendet; wenn es nun wohl auch schon im Alterthume Männer geben mochte, die ihre Berühmtheit vorzugsweise und oft nur der Hochschätzung verdankten, die sie sich selbst und ihren Werken gezollt, Männer, welche in der Verbreitung des eigenen Lobes so emsig, so unermüdlich waren, dass sich um sie als die davon Ueberzeugtesten noch ein Kreis von Gläubigen bildete, welche den, oft nur auf schwankenden Füssen einhergehenden Ruhm ihrer Profeten weiter führten, so ist doch die Bedeudung des Geometers *Demokritos* durch so viele, und verschiedenen Quellen entspringende Aussprüche beglaubigt, dass es gewiss Niemandem einfallen wird, seine Autorität als die eines gründlichen Kenners der Geometrie seiner Zeit in Zweifel zu ziehen. Wohl sind uns von den geometrischen Werken des *Demokritos*, und kaum von allen nur die ganz allgemein klingenden Titel erhalten.

Während uns *Cicero*(26) diesen Philosophen als einen gelehrten, in der Geometrie vollkommen bewanderten Mann anpreist, theilt uns *Diogenes Laertius*(27) mit, dass *Demokritos* »über Geometrie«, »über Zahlen«, »über den Unterschied des Gnomon oder über die Berührung des Kreises und der Kugel«, sowie zwei Bücher »über irrationale Linien und die dichten Dinge« geschrieben habe, Schriften, deren Titel theilweise uns über ihren Inhalt ganz im Unklaren lassen. Legen wir den angeführten Zeugnissen Glauben bei, und es ist kein Grund vorhanden dies nicht zu thuh, so müssen wir von *Demokritos* als von einem »in der Geometrie vollkommenen Manne« voraussetzen, dass er mit den Errungenschaften des *Pythagoras*, welcher ein Jahrhundert vor *Demokritos* Aegypten besucht hatte, vollkommen vertraut war. Gewiss war ihm somit bekannt: die Methode der »Anlegung der Flächen«, welche wieder die Vertrautheit mit den Hauptsätzen aus der Theorie der Parallelen und der Winkel, so wie die Kenntniss der Abhängigkeit der Flächeninhalte von den ihnen zukommenden Ausmaassen voraussetzt. Nicht minder bekannt mussten ihm die, dem *Pythagoras* zugeschriebenen Constructionen der fünf regelmässigen, sogenannten kosmischen Körper sein, woraus sich weiter schliessen lässt, dass auch einerseits die Eigenschaften der Kugel, welcher doch jene Körper eingeschrieben wurden, und anderseits die Entstehungen der regelmässigen, jene Körper begrenzenden Vielecke, vor Allem die des Fünfeckes dem *Demokritos* nicht ungeläufig sein konnten. Die Construction des Letzteren erheischt wiederum die Kenntniss der Lehre vom goldenen Schnitt, und diese den Satz vom Quadrate der Hypothenuse(28). Hat nun *Demokritos* auch selbst nichts Neues hinzugefügt, so musste er doch Jenes kennen; wenn er nun anderseits sagt: »im Construiren hätte ihn Niemand, selbst nicht die Harpedonapten der Aegypter übertroffen«, so dürfen wir hieraus mit Sicherheit schliessen, dass die geometrischen Kenntnisse der aegyptischen Priester bedeutend genug gewesen sein mussten, weil sich *Demokritos* sonst kaum gerade über diese Geometer gesetzt hätte.

Doch verlassen wir für jetzt die Nachrichten des griechischen Alterthums, welche in der Beurtheilung aegyptischer Geometrie nur Conjecturen zulassen, und blicken wir nach directen Denkmalen aegyptischen Ursprungs, aus denen vielleicht Schlüsse gezogen werden könnten auf Wesen und Umfang aegyptischer Geometrie.

Das Britische Museum bewahrt eine Papyrusrolle, welche aus dem Nachlasse des Engländers *A. Henry Rhind* stammt, die derselbe nebst anderen werthvollen Rollen in Aegypten käufllich an sich gebracht haben dürfte. Der erwähnte Papyrus, ein altes Denkmal ägyptischer Mathematik, ist, wie es scheint, nicht mit vollster Berechtigung als ein »mathematisches Handbuch« der alten Aegypter bezeichnet worden(29). Der fragliche Papyrus nennt sich selbst eine Nachahmung älterer mathematischer Schriften, denn es heisst in der Einleitung: »Verfasst wurde diese Schrift im Jahre dreiunddreissig im vierten Monat der Wasserzeit unter König Ra-a-us, Leben gebend nach dem Muster alter Schriften in den Zeiten des Königs ...ât vom Schreiber Aahmes verfasst die Schrift.«

Nachdem zuerst Dr. *Birch*(30) auf diesen mathematischen Papyrus durch einen kurzen vorläufigen Bericht aufmerksam gemacht hatte, wurde der Gegenstand von dem ausgezeichneten Heidelberger Aegyptologen Dr. *Eisenlohr* einer eingehenden, höchst schwierigen und zeitraubenden Untersuchung unterzogen, deren Resultate, was die Uebersetzung betrifft, unseren gegenwärtigen Betrachtungen zu Grunde liegen. Bezüglich des Alters des Papyrus hat man jenes der vorhandenen Abschrift von dem Alter des unbekannten Originals zu unterscheiden. Nach der von *Eisenlohr* gegebenen Vervollständigung der in der erwähnten Einleitung auf das Wort König folgenden Lücke, würde der Herrscher, unter dessen Regierung das Original entstanden ist, der König *Ra-en-mat* sein, dessen Regierungszeit *Lepsius*(31) auf 2221--2179 v. Chr. G. legt. Da ferner der Name *Ra-a-us* in den bis dahin vorhandenen Königslisten nicht vorkommt, sah man sich, um die Zeit der Entstehung der Abschrift wenigstens annähernd angeben zu können, darauf angewiesen, aus der bekannten Sitte der Aegypter die Eigennamen der eben herrschenden oder der unmittelbar vorhergegangenen Regenten zu gebrauchen, Schlüsse zu ziehen. Und da liess der Name *Aahmes* des Schreibers, sowie auch die (althieratische) Schrift des Papyrus vermuthen, dass derselbe um 1700 v. Chr. G. entstanden sein dürfte. Die Vermuthung in Bezug auf das Zeitalter der Abschrift hat sich nun neueren Forschungen zu Folge vollkommen bestätigt. Denn *Ra-a-us* wurde als der Hyksoskönig *Apophis* erkannt, und *Aahmes* dürfte seinen Namen von dem, kurze Zeit dem Apophis vorhergegangenen Könige *Amasis* entlehnt haben.

Es erscheint so vollkommen sichergestellt, dass unser Papyrus aus dem achtzehnten Jahrhundert v. Chr. G. stammt. Die Eingangsworte des Papyrus, welche lauten: »Vorschrift zu gelangen zur Kenntniss aller dunklen Dinge, aller Geheimnisse, welche enthalten sind in den Gegenständen«, sowie die Anordnung des Stoffes in Arithmetik, Planimetrie und Stereometrie, an welche sich ein, verschiedene Beispiele enthaltender Theil anschliesst, konnten im ersten Augenblicke den Gedanken aufkommen lassen, dass wir es vielleicht mit einem Lehrbuche der Mathematik zu thun haben. Der Umstand jedoch, dass der Papyrus nur die Zusammenstellung, allerdings eine in gewissem Grade systematische Zusammenstellung von Aufgaben nebst ihren Lösungen und den zugehörigen Proben ist, ohne dass Definitionen oder Lehrsätze und Beweise vorkommen würden, liess den Papyrus wiederum als eine Aufgabensammlung, als ein Anleitungsbuch für Praktiker erscheinen. Man ist noch weiter gegangen, und stellte die Ansicht auf, der Autor habe bei Abfassung dieser Schrift vorzüglich an Landleute, welchen die Theorie unzugänglich war, gedacht. Daraufhin weise nicht nur die Formulirung des grössten Theiles der Aufgaben, welche Verhältnisse und Bedürfnisse der Landwirthschaft berücksichtigen, sondern auch der Schlusssatz des Papyrus, welcher sagt: »Fange das Ungeziefer und die Mäuse, (vertilge) das verschiedenartige Unkraut, bitte Gott *Ra* um Wärme, Wind und hohes Wasser«.

Dass wir es nicht mit einem Handbuche, welches dem damaligen Standpunkte der mathematischen Wissenschaften in Aegypten entsprechen müsste, zu thun haben, ergibt sich nicht nur aus dem schon hervorgehobenen Mangel an Definitionen, Lehrsätzen und Beweisen, ja es fehlt selbst jede Erklärung, sondern auch aus dem Umstände, dass neben der richtigen Lösung einzelner Aufgaben die unrichtigen oder unvollendeten Lösungen derselben oder ähnlicher Aufgaben, sowie manche Wiederholungen vorkommen. Nur nebenbei verweisen wir darauf, dass in einem Handbuche unzweifelhaft wenigstens Anklänge an die erste der Wissenschaften des Alterthums, an die Astronomie, zu finden sein müssten. Doch ist von diesem Theile der Mathematik im Papyrus nicht die geringste Spur zu finden. Aufklärungen über den wahren Charakter des Originals unseres Papyrus, und eine viele Wahrscheinlichkeit besitzende Vermuthung über die Entstehung der uns beschäftigenden Abschrift, verdanken wir dem Scharfsinne des französischen Aegyptologen Eugène *Revillout*.(32)

Bei richtiger Erwägung des Umstandes, dass oft auf ein fehlerlos gelöstes Beispiel, falsche Lösungen ähnlicher Beispiele folgen, welchen sich dann gewöhnlich eine Reihe von Uebungsrechnungen anschliesst, Rechnungen die einem Schulpensum in hohem Grade ähnlich sehen, bei Betrachtung der Thatsache ferner, wie ein und dasselbe Zahlenbeispiel oft einigemal und zwar so behandelt wird, dass der Reihe nach die vorkommenden Zahlenwerthe als die berechneten Resultate erscheinen, drängt sich uns mit *Eugène Revillout* die Ueberzeugung auf, dass wir es mit dem Uebungs- oder Aufgabenhefte eines Zöglings jener Unterrichtshäuser (a·sbo) zu thun haben, wie deren in so manchem Papyrus Erwähnung geschieht, und in denen die Schüler, welche später Landwirthe, Verwalter, Feldmesser oder Constructeure werden wollten, mit den für ihre künftige Laufbahn notwendigen Rechnungsoperationen vertraut gemacht wurden. Da dieses Schulheft selbstverständlich nicht für die Oeffentlichkeit bestimmt sein konnte, so trägt es auch thatsächlich keinen Autornamen und keine Jahresangabe; denn, was die in der Einleitung bezüglich der Zeitperiode, in welcher das Original entstanden sein sollte, gemachte Erwähnung betrifft, so ist mehr als wahrscheinlich, dass dieselbe von dem Abschreiber *Aahmes* herrührt, welcher das Original einige Jahrhunderte nach seiner Entstehung auffand, und dasselbe, der Mathematik gewiss ganz unkundig, sammt allen Fehlern abschrieb, zu diesen noch neue hinzufügend. Nachdem *Aahmes* aus der Aehnlichkeit der Schriftart des mathematischen Heftes mit der Schrift anderer ihm bekannten Papyri auf das Alter des ersteren einen im Ganzen und Grossen nicht unrichtigen Schluss gezogen haben mochte, so können wir das Ende, vielleicht auch die Mitte des dritten Jahrtausends v. Chr. G. als jene Zeit betrachten, in welcher das Original der Abschrift entstanden sein dürfte. Ob *Aahmes* die Abschrift mit der viel versprechenden Einleitung und der zugleich praktischen und gottesfürchtigen Schlussregel in der Absicht versehen hatte, um sie an irgend einen einfachen aegyptischen Landmann um gutes Geld anzubringen, lassen wir dahingestellt, und wiederholen nur unsere Uebereinstimmung mit der Ansicht, dass das Original des Papyrus neben den von einem Lehrer der Mathematik herrührenden Musterbeispielen, die sehr oft verunglückten Uebungen eines Schülers enthält, eines Schülers überdies, der nicht zu den hervorragenden seiner Glasse gehört haben mochte. Und wie kostbar ist dennoch dieses altägyptische Schulheft! Wenn wir in aller Eile eine Skizze seines Inhaltes vorführen sollen, so müssen wir zunächst die sich auf acht Columnen der oben erwähnten Einleitung anschliessende Theilung der Zahl 2 durch die Zahlen von 3 bis 99 erwähnen; jeder auftretende Bruch erscheint in zwei bis vier sogenannte Stammbrüche, Brüche mit dem Zähler Eins, zerlegt, und sind die Nenner der letzteren meist gerade Zahlen mit einer grösseren Divisorenanzahl. Im Anschluss an diese Tabelle finden wir sechs Beispiele, in denen in Form von Brodvertheilungen die Division der Zahlen l, 3, 6, 7, 8 und 9 durch die Zahl 10 gelehrt wird, und es folgt hierauf in 17 Beispielen die sogenannte Sequem- oder Ergänzungsrechnung, in welcher es sich darum handelt, Zahlenwerthe zu finden, die mit gegebenen Werthen durch Addition oder Multiplication verbunden, andere gegebene Zahlenwerthe liefern. Die nächsten 15 Beispiele gehören der sogenannten *Haurechnung* an, und finden wir in diesem Abschnitte die Lösungen linearer Gleichungen mit einer Unbekannten. Zwei weitere, der sogenannten *Tunnu-* oder Unterschiedsrechnung angehörige Beispiele belehren uns darüber, dass den alten Aegyptern der Begriff arithmetischer Reihen nicht fremd war. Es folgen nun sieben Beispiele über Volumetrie, ebensoviele über Geometrie und fünf Beispiele über Berechnungen von Pyramiden, also 19 Aufgaben über die wir später noch einige Worte sagen müssen.

Hieran schliessen sich endlich dreiundzwanzig verschiedenen Materien entlehnte, Fragen des bürgerlichen Lebens betreffende Beispiele, wie die Berechnung des Werthes von Schmuckgegenständen, abermals Vertheilungen von Broden oder von Getreide, Bestimmung des auf einen Tag entfallenden Theiles eines Jahresertrages, Berechnungen von Arbeitslöhnen, Nahrungsmitteln sowie des Futters für Geflügelhöfe. Einer besonderen Ankündigung werth erscheinen uns in dieser letzten Abtheilung zwei Beispiele; das eine derselben(33) lässt keinen Zweifel darüber aufkommen, dass den alten Aegyptern die Theorie der arithmetischen Progressionen vollkommen geläufig war, während wir in dem zweiten(34) unter der Aufschrift »eine Leiter« die geometrische Progression von 7 hoch 1 bis 7 hoch 5 nebst deren Summe vorfinden, wobei die einzelnen Potenzen eigene Namen: an, Katze, Maus, Gerste, Maass zu führen scheinen.

Nicht unbemerkt lassen wir endlich die in den Haurechnungen auftretende Benützung mathematischer Zeichen; so nach links oder rechts ausschreitender Beine für Addition und Subtraction, drei horizontale Pfeile für Differenz, sowie endlich ein besonderes, dem unseren nicht unähnliches Gleichheitszeichen.

Aus dem geometrischen Theile heben wir zunächst, der Anordnung des Papyrus nicht folgend, die Flächenberechnungen von Feldern hervor. Die vorkommenden Beispiele beziehen sich auf quadratische, rechteckige, kreisrunde und trapezförmige Felder, deren Flächeninhalte aus ihren Längenmaassen bestimmt werden. Nachdem in den Aufgaben über die Berechnung des Fassungsvermögens von Fruchtspeichern mit quadratischer Grundfläche diese letztere gefunden wird durch Multiplication der Maasszahl der Seite mit sich selbst, kann es gar keinem Zweifel unterliegen, dass auch die Fläche des Rechteckes durch Multiplication der Maasszahlen zweier zusammenstossender Seiten erhalten wurde, da die Erkenntniss der Richtigkeit der einen Bestimmungsart, jene der Richtigkeit der anderen involvirt.

Schon die Betrachtung solcher Proportionalmaassstäbe, wie wir sie im Grabe *Belzoni* bemerken konnten, hätte die alten Aegypter, die mit Gleichungen und arithmetischen Reihen umzugehen wussten, auf die Bestimmung der Fläche eines Rechteckes aus seinen beiden Seitenlängen mit Nothwendigkeit führen müssen, und werden wir uns durch den Umstand, dass im Papyrus der diesbezüglichen Aufgabe eine zu ihr nicht gehörige Lösung beigefügt ist, durchaus nicht beirren lassen.

Von hohem Interesse ist die, an mehreren Stellen des Papyrus vorkommende Methode der Flächenberechnung eines Kreises, welche zeigt, dass die alten Aegypter mit ziemlicher Annäherung den Kreis zu quadriren wussten, in der That zu quadriren, weil sie aus dem Durchmesser eine Länge ableiten, welche als Seite ein Quadrat liefert, dessen Fläche jener des Kreises gleichgesetzt wurde. Da sie acht Neuntel des Durchmessers zur Seite jenes Quadrates machten, so entspricht dies einem Werthe der Ludolphischen Zahl, welcher dem richtigen Werthe gegenüber um nicht ganz zwei Hundertstel (um 0,018901) zu hoch gegriffen erscheint; für das dritte Jahrtausend v. Chr. G. und im Vergleiche zu dem Werth pi = 3 der Babylonier, und noch mehr im Vergleiche zu dem Werthe pi = 4 späterer römischer Geometer, jedenfalls eine nicht zu unterschätzende Annäherung an den richtigen Werth.

Eine Aufgabe behandelt die Flächenbestimmung des Dreieckes, wobei das Resultat als das Product zweier Seitenlängen gefunden wird. Die hier beigefügte Figur(35), welche in Wirklichkeit ein ungleichseitiges langgestrecktes Dreieck darstellt, kann ebensowohl als die verfehlte Zeichnung eines rechtwinkligen wie auch eines gleichschenkligen Dreieckes betrachtet werden.

Letztere Annahme ist von *Eisenlohr* gemacht und von *Cantor*(36) acceptirt worden. Darnach würde sich die Methode der Dreiecksberechnung der alten Aegypter nur als eine Näherungsmethode darstellen, und ist auch von beiden genannten Gelehrten der begangene, in diesem Falle in der That nicht bedeutende Fehler ermittelt worden.

Wir sind dagegen mit Revillout anderer Meinung.

Mit Rücksicht auf den von uns klar erkannten Charakter des Originales des Papyrus als eines sehr ungenauen Collegienheftes, dessen Rechnungen ebensosehr wie die vorkommenden Zeichnungen von der Mittelmässigkeit seines Zusammenstellers beredtes Zeugniss ablegen, zweifeln wir keinen Augenblick, dass die fragliche Figur ein rechtwinkliges Dreieck vorzustellen hatte. Die mangelhafte Schülerzeichnung ist durch den Copisten *Aahmes* nur noch schlechter geworden. Dass ein rechtwinkliges Dreieck gemeint sein soll, erkennt man übrigens auch aus dem Umstande, dass in der Figur die Maasszahlen der multiplicirten Seiten bei den Schenkeln des, vom rechten Winkel nur wenig differirenden Winkels angesetzt sind, wo doch, wenn es sich hätte um ein gleichschenkliges Dreieck handeln sollen die Maasszahl der Schenkel in der Figur gewiss bei beiden Schenkeln zu finden wäre. Dieselben Gründe bestimmen uns zu der Annahme, dass die im Papyrus befindliche Flächenberechnung eines Trapezes eine vollkommen richtige ist, indem es sich auch hier nur um ein Trapez handeln kann, dessen zwei parallelen Seiten auf einer der nicht parallelen Seiten senkrecht stehen. Und warum sollten denn die alten Aegypter nicht die richtige Art der Flächenberechnung auch beliebiger Dreiecke gekannt haben?

Konnte man einmal die Fläche eines Rechteckes genau bestimmen, so musste sich durch einfache Anschauung eines, durch eine Diagonale zerlegten Rechteckes, von selbst die Regel zur Flächenbestimmung des rechtwinkligen Dreieckes ergeben; und wurde nun ein beliebiges schiefwinkliges Dreieck durch ein Höhenperpendikel in zwei rechtwinklige zerlegt, so war nichts leichter als die allgemeine Regel zur Bestimmung der Dreieckfläche aus Basis und Höhe (tepro und merit) zu entwickeln. Dass die Gewinnung des Höhenperpendikels sowohl bei Constructionen als auch auf dem Felde den alten Aegyptern nicht unmöglich war, folgt zunächst aus der grossen Bedeutung der Winkelmaasses (hapt) für alle Operationen der praktischen Geometer Aegyptens. Nicht nur, dass wir in vielen aegyptischen Documenten das Winkelmaass erwähnt finden, sieht man auch Könige abgebildet, das Winkelmaass in der Hand, welches von ihnen vielleicht in derselben Weise durch symbolische Benützung geehrt wurde, wie der Kaiser von China alljährlich einmal den Pflug zu führen pflegt. Ein solches Winkelmaass sieht man übrigens auch auf einem Wandgemälde abgebildet, das eine Schreinerwerkstätte darstellt,(37) und es unterliegt keinem Zweifel, dass dasselbe ebensowohl zur Anlegung rechter Winkel als zum Fällen von Senkrechten benützt worden ist. Aber auch auf freiem Felde musste den Aegyptern die Construction rechter Winkel geläufig sein; sowohl die Pyramiden als auch die aegyptischen Tempel sind vollkommen orientirt, und wurde, wie uns alte Inschriften(38) belehren, die Orientirung in festlicher Weise vom Könige unter Beihilfe der Bibliotheksgöttin *Safech* vollzogen, mit den Worten: »Ich habe gefasst den Holzpflock und den Stiel des Schlägels, ich halte den Strick gemeinschaftlich mit der Göttin *Safech*. Mein Blick folgt dem Gange der Gestirne. Wenn mein Auge an dem Sternbilde des grossen Bären angekommen ist, und erfüllt ist der mir bestimmte Zeitabschnitt der Zahl der Uhr, so stelle ich auf die Eckpunkte Deines Gotteshauses.«

In welchem Maasse bei diesen Operationen die von *Demokritos* so hochgestellten *Harpedonapten* oder Seilspanner betheiligt waren, hat *Cantor*(39) in höchst scharfsinniger Weise zu beleuchten versucht, und es erscheint auch uns wahrscheinlich, dass sich die alten Aegypter beim Construiren rechter Winkel sowie beim Fällen von Senkrechten auf dem Felde, der Thatsache bedienten, dass der eine Winkel in einem, die Seitenlängen drei, vier und fünf besitzenden Dreiecke, ein rechter Winkel sein müsse. Musste ja doch dieser Satz seit unvordenklichen Zeiten auch den Chinesen bekannt sein, da wir ihn in der bei ihnen so berühmten Schrift _Tschiu-pi_ finden, welche mehrere Jahrhunderte v. Chr. G. entstanden, auf den Kaiser *Tschiu-Kung* also in das Jahr 1100 v. Chr. G. etwa zurückgeführt wird.(40) Uebrigens konnten directe Messungsversuche an diagonalen Linien in den Proportionalmaassstäben sowohl zu dem erwähnten als auch noch zu anderen rechtwinkligen Dreiecken mit rationalen Seitenlängen geführt haben, und scheint uns die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass der berühmte und berüchtigte Satz des *Pythagoras* über die Quadrate der Katheten und der Hypothenuse einer eingehenden Untersuchung solcher Proportionalmaassstäbe entsprungen ist.

Wenn wir nun einerseits behaupten, dass die alten Aegypter nicht nur die Fläche des Kreises, des Quadrates, des Rechteckes, des rechtwinkligen sowie des schiefen Dreieckes, und unter Zuhilfenahme der Zerlegungen auch die Flächen beliebiger Polygone theoretisch genau zu bestimmen im Stande waren, mit Ausnahme der auch für uns eine solche bildenden Kreisfläche, so muss doch anderseits zugestanden werden, dass man sich bei praktischen Anwendungen mit Näherungen begnügte, welche im Laufe der Zeiten so ausarteten, dass der Gebrauch falscher Regeln ein allgemeiner wurde.

Am linken Nilufer in der Mitte zwischen *Theben* und *Assuan* liegt *Edfu*, das alte *Appollinopolis Magna* mit einem stattlichen Tempelbau aus den Zeiten der Ptolomäer. Der Tempel, hauptsächlich dem Gotte *Horus* geweiht, ist mit einer freistehenden Umfassungsmauer umgeben,(41) deren Ostseite zwischen dem Brunnenthore und dem östlichen Pylonflügel eine Inschrift trägt, welche uns auf acht Feldern und in hundertvierundsechzig Columnen(42) eine Schenkungsurkunde des Königs *Ptolomäus XI. Alexander I.* (mit dem Beinamen *Philometor*) bekannt gibt. Das Geschenk, welches hier *Horus* und den übrigen Göttern von *Edfu* verliehen wird, besteht aus einer Anzahl von meist viereckigen Aeckern, deren vier Seitenlängen nebst Flächeninhalten angegeben erscheinen.

Da jeder der vorkommenden Flächeninhalte identisch ist mit dem Producte der arithmetischen Mittel der beiden Gegenseitenpaare, so wurde nach *Lepsius* die Vermuthung aufgestellt, die alten Aegypter hätten, um Vierecke bei der Flächenbestimmung annähernd wie Rechtecke behandeln zu können, den Unterschied der Gegenseiten dadurch auszugleichen gesucht, dass sie die arithmetischen Mittel derselben in Rechnung zogen.