Part 4

Alle diese Aussprüche geben uns die Erklärung für die unermüdliche Methode und Arbeit des Leonardo auf wissenschaftlichem Gebiete, auf dem Gesammtgebiet der Naturwissenschaften.

Wir übergehen hier die trefflichen Sentenzen, die Leonardo als Philosoph vorbringt über die menschlichen Leidenschaften, über den Glauben und die Religion, über den Tod, über Selbstbeherrschung u. s. w. In allen weht ein tief gefühlvoller Geist, eine Einfachheit und Klarheit der Anschauung, eine Ergebenheit in das Geschick, wie es auch zugetheilt sei. Wir übergehen ferner seine ~poetischen~ Ergüsse, seine Sprach- und grammatikalischen Studien, seine Schriften über die Malerei, und wenden uns der näheren Betrachtung der Leistungen zu, die gleichsam Ausflüsse oder Resultate obiger philosophischer Methoden sind.

V.

Die ~mathematischen~ Kenntnisse Leonardo’s sind von seinen Zeitgenossen und Späteren hoch angeschlagen worden. Wenn Leonardo selbst auch vielleicht keine neuen mathematischen Gesetze gefunden hat, so ist vor allen Dingen das anzuerkennen, daß er bei den Konstruktionen von Maschinen, dem Suchen nach Mechanismen u. s. w. stets die Mathematik anwendete und sie, wie er sagt, als den wahren Schlüssel zur Forschung benutzt. Libri schreibt ihm die Erfindung des + und - Zeichens zu. In der That bedient er sich dieser Zeichen durchweg, -- allein es steht damit nicht fest, daß dieselben nicht arabischen Ursprungs gewesen seien. Jedenfalls ist Leonardo einer der ersten in Italien, welcher dieser Zeichen sich bediente. Er beschäftigte sich in den Manuskripten sehr viel mit der Geometrie, selbst auf Blättern, die eine mathematische Arbeit nicht für nöthig erkennen lassen, erscheinen in den Ecken oder auch mitten darauf mathematische Figuren. Die Quadratur des Kreises sucht er, -- aber vergebens, und spricht sich über die Unmöglichkeit, sie zu finden, endlich aus, da man nicht im Stande sei, auch nur ein Stück davon ~absolut genau~ zu berechnen. -- Leonardo konstruirte einen Proportionalzirkel mit beweglichem Zentrum, welcher auch für irrationelle Proportionen gebraucht werden kann. In gleicher Weise konnte er hiermit ein Oval für eine gegebene Proportion zeichnen, wenn ein Kreis gegeben. Libri fügt hinzu, daß gleiche Proportionszirkel später von Tartaglia, Benedetti und Ferrari erfunden seien. Lomazzo erzählt, daß Leonardo’s Ovalrad, ein wunderbares Werk, von einem Schüler des Melzi zu Denis gebracht sei, welcher letztere dasselbe mit vielem Geschick gebrauche. Libri berichtet ferner, daß Leonardo die Oberflächenebenen als die Grenzen der Körper angesehen, die Linien aber als Grenzen der Ebenen, und daß er die doppelten Kurvenlinien der einfachen Kurven bestimmt habe. Endlich ermittelte Leonardo den Schwerpunkt der Pyramide (was früher dem Commandin oder Maurolycus zugeschrieben wurde), und zwar so, daß er ihn auf den Viertelpunkt der Graden verlegt, welche die Spitze der Pyramide mit dem Schwerpunkt der Grundfläche verbindet. Leonardo gibt dazu eine Figur und eine Note, welche zeigt, daß er die Pyramiden in Ebenen parallel zur Basis zerlegte, wie wir es heute thun.

Bedeutendes Gewicht legt Leonardo auf die ~Perspektive~. Er nennt sie den ~Zaum~ und das ~Steuerruder~ der Malerei, und theilt sie in drei Theile: 1) Verkürzung oder Verkleinerung nach Linien und Winkeln, welche die Größe der Körper in verschiedenen Entfernungen mit dem Gesichtspunkt bilden, der im Umfange des Bildes und in gleicher Höhe mit dem Beschauer liegen muß. -- 2) Da zwischen das Auge des Beschauers und das Bild eine größere Menge Luft tritt, die den Körpern ihre Farbe auch mittheilt, so müssen die Farben geschwächt werden. -- 3) Die Umrisse müssen geschwächt werden und gegen die Luft auslaufen. Leonardo ermahnt, bei Gebäuden die Geometrie zu gebrauchen, um richtige Verhältnisse in das Gemälde zu bringen und die Wirklichkeit und Wahrheit im Gemälde zu vergrößern. Welchen Antheil Leonardo an dem liber de divina proportione des Pacioli gehabt, ist bereits erwähnt. Ebenso wird derselbe angenommen bei Pacioli’s liber de viribus quantitatis. Die Manuskripte enthalten viele Zeichnungen und Beispiele für seine Gesetze der Perspektive. Libri erwähnt noch eines vorhandenen Blattes mit der Aufschrift libro d’equazione, welches sich allerdings im Codex Atlanticus befindet; allein weiteres ist nicht zu entdecken.

VI.

Wir finden, daß Leonardo für die ~Mechanik~ sehr viel geleistet hat, und daß er selbst die höchste Lust an dieser Wissenschaft empfunden haben muß, als er die Mechanik das Paradies der mathematischen Wissenschaft nannte. Er besaß allerdings im hohen Grade die Eigenschaften und Kenntnisse, welche dem wahren Mechaniker eigen sein müssen, nämlich ausgedehnte mathematische Kenntnisse, Liebe und Verständniß für die Natur und Naturerscheinungen und eine scharfe Beobachtungsgabe, neben rastlosem Denkervermögen, das nicht ruhete, bevor nicht das Beobachtete durchforscht war und klar vor ihm lag. Ferner prüfte er an heterogenen Fällen das gefundene Gesetz und legte sich selbst Fälle und Fragen vor, für eine Beweisführung des als zutreffend Erkannten. In dieser tiefrichtigen Weise stellt er seine Kalkulationen an, und ermittelt Kraft, Bewegung, Fall, Gewicht, Schwerkraft, Wellenbewegung u. s. f. In dieser Betrachtungsweise und zumal in seiner freien, von keiner hergebrachten Methode gefesselten Beobachtung, in seinen eigenen Versuchen und Erfahrungen liegen die Erklärungen für die überaus abweichende Stellung, die Leonardo’s Mechanik einnimmt gegenüber der Mechanik seiner Zeit. Um dies in das richtige Licht zu stellen, müssen wir auf die Geschichte der induktiven Wissenschaften, speziell die Geschichte der Mechanik zurückgehen und den (bisher als geltend angenommenen) Standpunkt seiner Zeitgenossen kennzeichnen.

Wir haben oben bereits gesagt, daß Archimedes die Hebelgesetze feststellte und in klarer Weise begründete; gleichzeitig mußten wir bekennen, daß nach Archimedes’ Tode diese Anschauungen schnell verschwanden, und in der That finden wir sie Jahrtausende hindurch verdrängt durch die aristotelischen Lehren. Diese waren geltend. Wie hatte sie Aristoteles erklärt?

Archimedes spricht deutlich aus, daß zwei Gewichte im Gleichgewicht am Hebel sind, wenn sie sich verkehrt verhalten, wie ihre Entfernungen von dem Unterstützungspunkte. Der Beweis dieses Satzes ist von Archimedes mit Bezug auf den Schwerpunkt der Körper gegeben. Aber hiervon ward keinerlei Gebrauch gemacht, sondern Aristoteles erklärte rund weg, bei der Frage: Wie können kleine Kräfte große Lasten durch Hülfe eines Hebels in Bewegung setzen, da doch hier nebst der Last auch noch der Hebel selbst bewegt werden muß? -- Dies geschieht deshalb, weil ein größerer Halbmesser sich stärker bewegt als ein kleinerer! -- Wie kann ein kleiner Keil große Klötze zersprengen? -- Weil der Keil aus zwei entgegengesetzten Hebeln besteht. Bei diesen Antworten ist die Beobachtung und eine Prüfung der Fälle absolut vernachlässigt. Da die aristotelische Methode herrschend blieb, so vermochten die späteren Mechaniker, selbst die, welche sich auf Archimedes’ Gesetz stützten, nicht dieses Gesetz anzuwenden. Sie versuchten dies freilich oft genug, z. B. für die Schraube, den Keil, die schiefe Ebene, aber ohne Erfolg, was um so mehr wunderbar erscheint, als die schiefe Ebene, durch welche die Wirkung der Kraft, die man an den Körper wenden will, vermehrt wird, unter die einfachen Maschinen aufgenommen wurde. Allein das Verhältniß der Vermehrung der Kraft konnte keiner auffinden. Pappus (400 n. Chr.) stellte das Problem auf, bei gegebener Kraft, die eine Last auf horizontaler Ebene bewege, die Vermehrung dieser Kraft zu finden, die für den Fall nöthig, um dieselbe Last auf einer gegebenen schiefen Ebene zu bewegen, -- ohne über Messung der Kraft, über die Art der Bewegung u. s. w. irgend etwas zu bemerken. Er löste die Aufgabe oder glaubte sie zu lösen dadurch, daß er, unter Annahme der Kugelgestalt für die Last, die Wirkung der Berührung der Kugel mit der schiefen Ebene vergleicht mit der Wirkung, wenn diese Kugel von einem horizontalen Hebel getragen werde, dessen Hypomochlion jener Berührungspunkt ist, wo die Kraft auf die Oberfläche der Kugel wirkt.

Aber diese Unfähigkeit der Benutzung und Begründung der Hebelgesetze dehnt sich weit über Leonardo’s Zeit hinaus, denn auch Cardanus, Jordanus u. A. können noch nicht mit dem Beweise der schiefen Ebene fertig werden, obschon sie klarer sind und der Wahrheit sich nähern. Aehnlich wie die Hebelgesetze schwebten die Begriffe im Zweifel über die ~Bewegung~. Ueber diese wichtige Lehre ist Aristoteles so verwirrt wie kaum über etwas anderes. Er gebraucht dabei jenen „berüchtigten“ Ausdruck Entelecheia, der schon nach einigen Jahrhunderten gar nicht mehr verstanden wurde und zu enormen Mißverständnissen führte. Hermolaus Barbarus erzählt uns gar, er sei von der Schwierigkeit, dieses Wort gehörig zu übersetzen, so sehr gepeinigt worden, daß er einst bei Nachtzeit den bösen Geist zu Hülfe rief. Allein der alte Spötter sagte ihm nur ein Wort, das noch dunkler war als jenes, und endlich begnügte er sich selbst mit dem selbstgefundenen Perfectihabilia[9]. Also Aristoteles sagt: „Die Bewegung ist die Entelechie eines lebenden Körpers in Beziehung auf seine Beweglichkeit.“ Alle Schriftsteller bis zu Galilei hin leben noch in des Aristoteles Problemen. Mit dem Ende des fünfzehnten Jahrhunderts tritt freilich eine etwas bestimmtere Ansicht ein bei einigen. Gerade die Bewegung bildete den Hauptvorwurf der in mechanischen Dingen arbeitenden Gelehrten. 1494 erschien Massimus de Motu locali, ferner Spanelli Tornus, Fassembruno, alle zu Venedig, ferner folgten später Diodochus, Bassianus Landus, Teisner (motus continuus, Lasnes, Jean Lorges, Cardanus, Borrius, Berri, Varro, Bonamici, Stecker, Findlinger, van der Hoop, Parcachi, Leiva, Moretti u. A.).

In einzelnen dieser Schriften ist recht nachweisbar, wie natürliche Beobachtung mit der aristotelischen Methode im Streite lag, und oft ist nur die letztere der Grund, daß nicht das Richtige klar dargelegt wird. Hierfür bildet Jordanus Nemorarius in seinem Werk de Ponderositate einen merkwürdigen Beleg.

Aehnlich ging es mit dem Begriff der ~Schwere~. Aristoteles sagt: „In der Physik nennen wir die Körper schwer oder leicht nach der Gewalt ihrer Bewegung!“ worauf er gleich zufügt, daß diese Erklärung für die wirkliche Operation der Körper nicht angemessen sei, außer daß man das Wort Gewalt für beide Bedeutungen annehmen wolle. Sein schlimmster Satz war jedoch der: daß derjenige Körper der schwerere ist, der bei gleichem Inhalt schneller abwärts geht. Thomas von Aquino spricht sich ganz aristotelisch aus. Nachdem er, wie zufällig, bemerkt, daß die Vermehrung der Quantität nicht die Ursache der Schwere sei, behauptet er, daß jeder Körper, je gewichtiger er sei, sich auch desto mehr mit eigener Kraft bewege. -- Dennoch sind die Ansichten hierfür klarer, und besonders wurde der Begriff des Schwerpunktes wenigstens im 15. Jahrhundert schon festgehalten. Ubaldi bemerkt in der Vorrede seines Mechanicorum liber (1577), Archimedes habe mit Recht vom Schwerpunkte der Ebene geschrieben, obgleich die Ebene nicht schwer sei. Solche Ebenen seien anzusehen als Grundflächen eines Prismas.

Mit der ~dynamischen~ Wissenschaft stand es, wie wir bereits oben berührt, ähnlich. Aristoteles lehrt bereits den Unterschied der natürlichen und der ~gewaltsamen~ Bewegung. Aber lange blieb das Wesen derselben unklar. Man bemühte sich zu zeigen, wie die gewaltsame Bewegung sich zu der Kraft verhielte, die sie erzeuge. Das unglückliche Beispiel des Aristoteles, um die Ursache der Bewegung eines Steines zu zeigen, der von der Hand geworfen sich fortzubewegen fortfahre, -- wurde am schnellsten von allen Lehren des Stagiriten beseitigt. Man stellte jedoch ohne Klarheit dem Begriff Bewegung auch die Kraft bei und sprach so von positiver Bewegung. Bei dem Beispiel der abgeschossenen Kanonenkugel trat die Wandlung der Ansichten am meisten hervor. Man nahm allgemein an, und Tartaglia (Nova Scienza 1551) glaubte noch, daß die Kugel, nach Verlust ihrer positiven Bewegung, sofort senkrecht herunterfalle. Santbach stellte sich das Herabfallen der Kugel nach Erreichung des Endes der positiven Bewegung in Absätzen (treppenförmig) vor. Rivius (1548) nahm an, daß der Herabfall im Kreisbogen geschehe, wie später noch Leonardo da Vinci und Galilei. Benedetti hatte zuerst eine Ansicht über die Ursache der Wurfbewegung überhaupt, indem er darlegt, daß der Stein oder die Kugel durch die Luft gehindert werde (nicht getrieben, wie Aristoteles behauptete), und daß die Bewegung des Steines überhaupt von einer gewissen Impression, von der Impetuosität komme, die der Stein von der ersten bewegenden Kraft, von der Hand erhalte! Benedetti’s liber speculationum erschien 1585. --

Es war unsere Absicht, im Vorstehenden in etwa zu zeigen, wie unvollkommen man die technischen Probleme in der ganzen Periode von Archimedes bis zum 16. Jahrhundert behandelte. Erst mit der Lehre des Holländers Stevinus in Brügge (Prinzipien der Statik und Hydrostatik 1586) und mit einzelnen Lehren des Varro, Cardanus, Benedetti, Ubaldi trat ein Verlassen der Irrlehren und der falschen Methode des Aristoteles ein. So lautet wenigstens die bisherige Annahme der Geschichte der mechanischen Wissenschaften.

Nachdem Libri, Venturi und Neuere die Manuskripte des Leonardo durchforscht haben, steht außer Zweifel, daß Leonardo bereits am Ende des 15. Jahrhunderts viele dieser mechanischen Gesetze klar und deutlich aufgefaßt hatte. Viele derselben hat er handschriftlich hinterlassen, und sie geben dem Leonardo, will man ihn persönlich als den Urheber derselben ansehen, mindestens eine ~gleiche Bedeutung~ für die Mechanik, wie man Stevinus sie beilegt, zudem die ~Priorität~.

Leonardo bringt uns zunächst über den Hebel folgende Betrachtung, bei welcher das Verhältniß der Kräfte in dem Falle, wo eine Schnur in schiefer Richtung auf einen mit einem Gewichte belasteten Hebel wirkt, richtig dargestellt worden.

„Es sei (Fig. 1.) der Hebel _AT_, sein Drehpunkt in _A_, das, Gewicht _O_ in _T_ aufgehängt, und die Kraft _N_, welche dem Gewicht _O_ die Waage hält. Man ziehe _AB_ senkrecht nach _BO_ und _AC_ senkrecht auf _CN_. Ich nenne _AT_ den ~reellen~ Hebel; _AB_, _AC_ ~potentielle~ Hebel; und man hat die Proportion _N_ : _O_ = _AB_ : _AC_. Sei nun _M_ das Gewicht, gehalten durch das Seil _AM_, dessen Ende fixirt ist in _A_ (Fig. 2.); sei ferner das Gewicht und das Seil in _AM_ zurückgehalten außerhalb der perpendikulären Stellung _AB_ mittelst der Kraft _F_, deren Richtung _MF_ mit _AM_ einen rechten Winkel bildet, -- so wird die Kraft _F_ sich zum Gewicht _M_ verhalten wie _AC_ : _AM_.

Ist die Korde _FM_ (Fig. 3) durch zwei gleiche Kräfte an _F_ und _M_ gespannt, und befestigt man in der Mitte der Korde in _N_ ein kleines Gewicht _C_, so wird dieses den Punkt _N_ bis _A_ herabziehen, während die Gewichte an _FM_ heraufsteigen. Mit dem Radius _MN_ beschreibe man einen Kreis. Derselbe schneidet _AM_ in _B_, und es wird nun die Bewegung des Gewichtes _S_ an _M_ gleich _AB_ sein. Der Punkt _N_ steigt herab, bis die Proportion eintritt _C_ : _S_ = _BA_ : _NA_, d. h. die respektiven Bewegungen beider Gewichte _C_ und _S_ verhalten sich umgekehrt wie die Gewichte selbst. -- Daraus folgt, daß, wenn die Korde in _F_ und _M_ festgestellt ist, das Gewicht _C_ dieselbe um so mehr belastet, je weniger sie sich biegen kann.“ Diese Gesetze der Statik, die, wie man sieht, dem Leonardo vollkommen klar waren, erhalten in seinen Manuskripten zahlreiche Erweiterungen, die, wenn auch mit keinem speziellen Beweis versehen, zeigen, daß Leonardo das Gebiet durchaus beherrschte und von den einzelnen Gesetzen Anwendung zu machen wußte. Das was seine Zeitgenossen noch mangelhaft zu präzisiren verstanden, und was noch Benedetti zaghaft ~Impetuosität~ nannte, finden wir bei Leonardo ganz klar betrachtet. Er hatte sich den Begriff „Kraft“ gegenüber den „Bewegungen“ der Körper fest formulirt, ganz und gar abweichend von den herrschenden Lehren des Aristoteles. In gleicher Weise sehen wir auch, daß Leonardo die ihm vollkommen geläufigen Hebelgesetze zur Erklärung der Rolle, der schiefen Ebene, des Keils anwendet. Die Erklärung für den ~Herabgang der Körper auf der schiefen Ebene~, welche, wie wir gesehen haben, weder seinen Vorgängern noch Zeitgenossen gelungen und erst durch Stevinus mittelst der Hebelgesetze geführt wurde, ist von Leonardo in zweifacher Weise so gut gegeben als von dem Holländer. Eine direkte Erklärung (die bisher auch Libri und Venturi entgangen war) enthält der Ambrosianische Codex Atlanticus. Wir finden darin hinter einander die folgenden Figuren, mit kleinen Berechnungen daneben, welche nur Zahlen enthalten und füglich hier überflüssig sind. In der Figur 4 zeigt er den Körper auf horizontaler Ebene und die Schwerpunktslinie als Normale zur Ebene. In der Figur 5 gibt er an, wie die Schwerpunktslinie nicht mehr normal zur Ebene steht und der Körper durch eine Kraft herabgetrieben wird. In der Figur 6 gibt er eine Andeutung, in welchem Verhältniß die Kraft, welche den Körper herabtreibt, zu der Kraft, welche ihn zurückhalten will, steht, indem er von den Mittelpunkten der Radien, die den horizontalen Durchmesser bilden, Senkrechte zur Grundebene zieht und die Relation in der Differenz der Höhen beider Perpendikel mit dem Neigungswinkel der schiefen Ebene in Betracht zieht. Es fehlen uns hierzu, wie bemerkt, die Worte des Leonardo, allein die vielfachen Variationen in der Darstellung des letzten Falles lassen wohl darauf schließen, daß Leonardo diese Beziehungen vollkommen verstand. Er geht dann weiter in der Betrachtung der schiefen Ebene und gibt uns in der Figur 7 und 8 Beweis davon, daß er die schiefe Ebene mit dem Hebel vergleicht und damit zu erklären versucht. Stevinus erläuterte die Grundeigenschaft der schiefen Ebene so, daß er eine Kette mit 14 gleich großen Kugeln in gleichen Zwischenräumen belastet sich dachte, welche über einen dachartigen dreiseitigen Balken mit horizontaler Basis hänge. Die zwei dachförmigen Seiten, die sich in den Längen wie 2 : 1 verhielten, trugen die eine 4, die andere 2 Kugeln. Stevinus zeigte, daß die Kette in dieser Lage in Ruhe verharren müsse, weil nämlich jede Bewegung derselben auf dieselbe Lage wieder zurück führen müsse; daß der andere mit den übrigen 8 Kugeln beladene Theil der Kette immerhin ganz weggenommen werden könnte, ohne das Gleichgewicht zu stören, und daß daher 4 Kugeln auf der längeren Fläche jene zwei auf der kürzeren ebenfalls im Gleichgewicht erhalten; d. h. daß die Gewichte sich wie die Längen dieser Flächen verhalten (Whewell II. p. 17). Dies zeigt nun Leonardo (also volle 80 Jahre früher) durch die einfache Zeichnung, so daß man wohl keinen besseren Beweis zu führen braucht.[10]

In Fig. 8a bemüht sich Leonardo, für zwei gleiche Gewichte die Gleichgewichtslage zu ermitteln, wenn _A_ seine Lage nicht ändern soll, also an einem Tau senkrecht von der Rolle _B_ herabhängt, _C_ aber durch verschiedene schiefe Ebenen 1, 2, 3, 4 unterstützt wird. --

Aber auch die andere Weise der Beweisführung des Leonardo genügt vollkommen, wie er oben durch die schiefe Zugrichtung am Hebel geführt worden ist.

Leonardo schwang sich in seiner Anschauung sogar bis zur Bestimmung der ~Zeit~ des Herabganges empor und fand die Zeit des freien Falls des Körpers von demselben Anfangspunkte im Verhältniß der Länge und Höhe der schiefen Ebene. Venturi gibt uns hierüber nach den Manuskripten in Paris (N. A. B.) folgende Darstellung und nähere Begründung.

„Der Herabgang des Körpers _A_ (Fig. 9) auf der Linie _AC_ hat im Vergleich zu dem Fall _AB_ eine um so größere Zeit nöthig, als _AC_ länger ist als _AB_.“ Ferner sagt er: „Ein Körper _A_ wird, nachdem er über _CE_ herabgegangen ist, bis nach _B_ hinaufsteigen mit derselben Schnelligkeit, wie ein gleicher Körper, der von _A_ nach _B_ auf der geraden Linie _AB_ läuft.“ Im Codex B findet sich die Stelle: „Der schwere Körper _A_ (Fig. 10) steigt schneller auf dem Kreisbogen _ACE_ herab, als auf der Linie _AE_.“ Venturi weist in seiner Erklärung hierzu darauf hin, daß Vinci und später Galilei gefunden haben und festhielten, daß der Kreisbogen für den Fall der Körper der Weg des Minimums der Zeitdauer sei, während später gezeigt ward, daß dies die Cycloide sei. Allein ~Venturi~ meint, daß sich auch für den Kreisbogen dies Zeitminimum annehmen lasse, mit Hülfe der synthetischen Methode bestimmbar, nach folgendem Theorem:

Der Kreisbogen, welcher 60° nicht überschreitet, bewirkt im Vergleich zu allen anderen Kurven, welche man innerhalb zwischen den Endpunkten des Bogens ziehen kann, den schnellsten Herabgang desselben Körpers. Der Kreisbogen von 90° bewirkt im Vergleich zu allen anderen Kurven, welche man außerhalb zwischen den Endpunkten des Bogens ziehen kann, den schnellsten Herabgang desselben Körpers. Seien _C_ (Fig. 11) der Mittelpunkt des Kreises, _CF_ die Senkrechte zum Horizont _EMF_ ein Bogen, welcher 60° nicht überschreitet, _EqF_ eine andere beliebige Kurve innerhalb des Bogens _EMF_. Man ziehe _Cm_ und schlage mit _CQ_ den Bogen _Qq_, ferner _AE_, _BQ_, _Dm_ parallel zum Horizont; man nehme aus _AB_, _AD_ das arithmetische Mittel _AX_ und das geometrische Mittel _AZ_, so hat statt _AZ_ < _AX_, und es wird sich verhalten die Schnelligkeit bei _M_ zu der bei _A_ = _AD_ : _AZ_. Nimmt man an, daß _CD_ > 2 _AD_, so wird auch _CD_ : _BD_ > _AD_ : _XD_ und _CD_ : _CB_ < _AD_ : _AX_ und < _AD_ : _AZ_, oder _CD_ : _CB_ = _CM_ : _CQ_ = _Mm_ : _Qq_, somit _Mm_ : _AD_ < _Qq_ : _AZ_ < _QI_ : _AZ_. Diese Verhältnisse geben die Zeit durch _Mm_ an und die Zeit durch _QI_. Wenn nun die Zeiten beider Herabsteigungen in demselben Moment beginnen in _E_, so wird die Zeit des totalen Herabgehens auf _EMF_ kürzer sein als die des totalen Herabsteigens auf _EQF_.

Für den zweiten Fall sei _AMB_ (Fig. 12) der Kreisbogen von 90° und _AQB_ für eine der möglichen Kurven außerhalb des Bogens, so hat man

_Qq_ : _Mm_ = _CQ_ : _CM_ = _DQ_ : _EM_ > √(_DQ_) : √(_EM_)

Also _Qq_ : √(_DQ_) > _Mm_ : √(_EM_). Folglich ist die Zeit durch _Qq_ ausgedrückt länger als die Zeit durch _Mm_ ausgedrückt und folglich auch die durch die ganze Kurve resp. Bogen ausgedrückte Zeit. --

Venturi will hiermit darthun, daß die Anschauungen des Leonardo sich noch jetzt vertheidigen lassen. In der That aber ist der Scharfsinn des Leonardo auch hierbei wieder zu bewundern, da ihm sicherlich die Ideen vorschwebten und nicht unklar waren, denen später Galilei Ausdruck gegeben hat.