Part 38

Bei Betrachtung des Falles über die schiefe Ebene haben wir gefunden, daß die ^Beschleunigung direkt proportional der Kraft^ ist, und bei der Atwoodschen Fallmaschine, daß sie ^umgekehrt proportional der Masse ist^. Beim freien Falle wirkt nun die Kraft von 1 _kg_ auf die Masse von 1 _kg_ und bewirkt eine Beschleunigung = ~g~; wirkt aber die Kraft von ~P~ _kg_, so ist die Beschleunigung ~P~ mal größer, also = ~P · g~; wirkt sie aber nicht bloß auf die Masse von 1 _kg_, sondern auf die Masse von ~Q~ _kg_, so ist die Beschleunigung ~Q~ mal kleiner, also

P · g ~#φ = -----#~. Q

Das _kg_ (resp. _g_) ist wohl die Masseneinheit für das bürgerliche Leben und auch für die Physik, sofern man die Masse nur als etwas ruhendes, stoffliches betrachtet. Betrachtet man aber die Masse unter dem Einfluß einer Kraft, welche ihr eine Bewegung erteilt, als etwas träges, zu beschleunigendes, so benützt man folgende Massendefinition: ^Masseneinheit ist diejenige Masse, welche durch die Krafteinheit^ (1 _kg_) ^in der Zeiteinheit (1 Sekunde) eine Geschwindigkeitseinheit^ (1 _m_ pro 1") erhält. Da nun die Masse eines Kilogramms von der Krafteinheit (1 _kg_) in 1" eine Geschwindigkeit von ~g~ = 9,809 _m_ erhält (freier Fall) so muß diejenige Masse, welche bloß 1 _m_ Geschwindigkeit erhält, ~g~ mal so groß sein wie die Masse eines Kilogramms. Die Masse von ~g~ _kg_ repräsentiert eine Masseneinheit; ^man findet daher die Masse eines Körpers ausgedrückt in Masseneinheiten, wenn man sein Gewicht, ausgedrückt in^ _kg_, ^durch^ ~g~ ^dividiert^. Wiegt ein Körper ~Q~ _kg_, so ist die Anzahl seiner Masseneinheiten

Q ~M = -~. g

Die Masseneinheit bekommt durch die Krafteinheit die Beschleunigungseinheit, also bekommen ~M~ Masseneinheiten durch ~K~ _kg_ Kraft eine Beschleunigung

K Kraft ~φ = - _m_; Beschleunigung = -----. M Masse

Man bekommt eine gute Vorstellung von dieser Masseneinheit, wenn man eine Masse von 10 _kg_ (ca.) auf eine schiefe Ebene von der Neigung 1 : 10 legt; auf sie wirkt beschleunigend nur eine Kraft von 1 _kg_ und erteilt ihr eine Beschleunigung von 1 _m_.

Hat der Körper schon die Geschwindigkeit ~a~, wenn die Kraft zu wirken anfängt, so erhält man analog die Gleichungen

~#v = a + φ t#~; ~#s = a t + ½ φ t²#~.

Für die ^gleichförmig verzögerte Bewegung^ hat man:

P Kraft ~φ = -~ = -----; M Masse

~#v = a - φ t#~; ~#s = a t - ½ φ t²#~.

Der Körper bewegt sich, bis

a ~t = -~, φ

und legt den Weg ~S~ zurück:

a² ~#S = ---#~. 2 φ

Aufgaben:

#222.# Bei der Atwood’schen Fallmaschine sind die Gewichte 36 _g_ und 39 _g_. Wie groß ist die Beschleunigung und wie lange dauert die Bewegung bei 1,80 _m_ Fallhöhe?

#223.# Welche Geschwindigkeit bekommt eine frei bewegliche Masse von 320 _kg_, wenn auf sie 40" lang eine konstante Kraft von 6 _kg_ wirkt? Wie weit läuft sie dabei, und wie weit läuft sie dann noch, wenn sich ihr dann ein Widerstand in den Weg stellt, zu dessen Überwindung sie eine Kraft von 10 _kg_ anwenden muß?

#224.# Auf eine frei bewegliche Masse von 280 _kg_ Gewicht und 2 _m_ Geschwindigkeit wirkt in der Richtung ihrer Geschwindigkeit eine Kraft von 8 _kg_ beschleunigend. Wie lange braucht sie um einen Weg von 1000 _m_ zurückzulegen, und welche Endgeschwindigkeit hat sie dann?

#225.# Ein mit einer Geschwindigkeit von 9 _m_ laufender Eisenbahnzug läuft ungebremst noch 1200 _m_, gebremst noch 150 _m_ weit; wie lange braucht er in jedem Falle dazu, und wie groß ist die Verzögerung?

#226.# Eine Flintenkugel von 450 _m_ Geschwindigkeit und 25 _g_ Gewicht dringt in Holz 33 _cm_ tief ein; welchen Widerstand leistet dabei das Holz?

#227.# Ein Körper läuft über eine schiefe Ebene von 17° Neigung und 88 _m_ Länge. Welche Geschwindigkeit hat er am Ende, wenn die Reibung 7% vom Drucke beträgt? Mit welcher Geschwindigkeit muß er von unten aus nach aufwärts bewegt werden, wenn er bis oben kommen soll?

#228.# Ein Körper wird über eine schiefe Ebene von 12° Neigung aufwärts geworfen mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 15 _m_; die Reibung beträgt 4% vom Druck. Wie hoch kommt er und mit welcher Geschwindigkeit kommt er wieder unten an?

#229.# Ein Körper legt mit der Anfangsgeschwindigkeit ~c~ = 40 _m_ auf einer schiefen Ebene, deren Neigung ~α~ = 10° ist, bis zum Stillstand 38 _m_ zurück. Wie groß ist der Reibungskoeffizient?

#230.# Ein Eisenbahnzug von ~P~ = 15 000 _kg_ soll auf wagrechter Strecke von der Haltestelle aus in ~t~ = 40" in die Geschwindigkeit ~c~ = 8 _m_ versetzt werden; der Reibungskoeffizient ist ~ε~ = ½00. Welchen Weg legt der Zug in den 40" zurück? Wie groß ist die Kraft der Maschine und die in den 40" zu leistende Gesamtarbeit? Wieviel Pferdekräfte sind dazu erforderlich?

#231.# Ein Körper hat 9 _m_ Anfangsgeschwindigkeit und erleidet eine gleichförmige Verzögerung von 0,2 _m_. Wie lange braucht er, bis die Geschwindigkeit sich auf 3 _m_ reduziert hat? Welchen Weg hat er dabei zurückgelegt und welche Arbeit geleistet, wenn er 80 _kg_ wiegt?

271. Zentrifugalbewegung.

Ein Körper habe eine Geschwindigkeit und werde zugleich von einer Kraft angezogen, die stets von einem Punkte (Zentrum) ausgeht, welcher nicht in der Richtung der Geschwindigkeit liegt.

[Abbildung: Fig. 356.]

Es sei ~AB~ der Weg, welchen der Körper vermöge seiner Geschwindigkeit in einem kleinen Zeitteilchen durchlaufen würde, und ~AD~ der Weg, welchen er infolge der von ~C~ aus wirkenden Kraft (Zentripetalkraft) in demselben Zeitteilchen zurücklegen würde, so durchläuft er die Diagonale ~AA′~ des Parallelogramms ~ABA′D~. Nach dem Trägheitsgesetz sucht er seinen jetzigen Bewegungszustand beizubehalten und würde im nächsten Zeitteilchen den Weg ~A′B′~ (= ~AA′~) zurücklegen; zugleich wirkt aber die Zentralkraft und würde den Körper von ~A′~ nach ~D′~ bringen; der Körper bewegt sich wieder längs der Diagonale ~A′A′′~ und kommt nach ~A′′~. Im nächsten Zeitteilchen würde er ebenso von ~A′′~ nach ~B′′~ kommen; aber wegen der Zentralkraft kommt er nach ~A′′′~ und so geht es fort. Der Körper legt also den Weg ~AA′A′′A′′′~, etc. zurück. Wenn wir die Zeitteilchen, während welcher wir die Bewegung immer als gleichmäßige betrachten, sehr klein (unendlich klein) denken, so beschreibt der Körper nicht eine gebrochene Linie, sondern eine krumme Linie um das Zentrum; er macht eine ^Zentralbewegung^.

272. Kreisbewegung.

Wir können nur diejenige Art von Zentralbewegung elementar behandeln, bei welcher der Körper ^um das Kraftzentrum einen Kreis^ (von Radius ~r~) ^mit gleichförmiger Geschwindigkeit^ (~v~) ^durchläuft^; denn dabei können wir ableiten, wie groß die ^Zentralkraft^ ~F~ und die von ihr in der Richtung auf das Zentrum hin hervorgebrachte Beschleunigung ~f~, ^Zentralbeschleunigung^, sein muß, damit der Körper auf der Kreisbahn bleibe.

[Abbildung: Fig. 357.]

In irgend einem Punkte ~A~ ist die Richtung der Geschwindigkeit gleich der Richtung der ^Tangente^; der Körper würde also in einer Zeit ~t~ den Weg ~AB = v t~ durchlaufen. In derselben Zeit würde er infolge der Zentralkraft, welche ihm eine Beschleunigung ~f~ erteilt, einen Weg ~AD = ½ f t²~ durchlaufen. Soll nun der Körper durch das Zusammenwirken beider Ursachen auf dem Kreise bleiben, so muß die Diagonale beider Bewegungselemente, nämlich ~AA′~ selbst wieder zu einem Punkte des Kreises führen. ~A~ liegt aber auf dem Kreis, wenn ~AA′² = 2 r · AD~. Da nun ~AA′~ für kleine Bewegungen (kleinste Werte von ~t~) mit ~AB = v t~ vertauscht werden kann, und ~AD = ½ f t²~ ist, so erhält man die Gleichung

~v² t² = 2 r · ½ f t²~, oder

v² ~#f = --#~. r

D. h. wenn die Zentralbeschleunigung gerade diesen Wert hat, so ist ~A′~ wieder auf dem Kreis; hat ~f~ einen größeren oder kleineren Wert, so liegt ~A′~ innerhalb oder außerhalb des Kreises. Behält ~f~ den angegebenen Wert, so liegt auch jeder folgende Punkt der Bahn auf dem Kreis, ~A~ beschreibt die Kreisbahn mit gleichförmiger Geschwindigkeit.

Soll also ein Körper einen Kreis vom Radius ~r~ mit gleichförmiger Geschwindigkeit ~v~ durchlaufen, so ist notwendig und hinreichend, daß auf ihn eine vom Zentrum ausgehende oder auf das Zentrum hin gerichtete Kraft wirke, welche ihm eine Beschleunigung erteilt, deren Größe

v² ~f = --~. r

^Die Zentralbeschleunigung ist bei gleichen Radien den Quadraten der Geschwindigkeit direkt, und bei gleicher Geschwindigkeit den Radien umgekehrt^ proportional.

Hat der Körper die Masse ~M~, so muß die ^Zentralkraft^ ~F~, damit sie der Masse ~M~ die Beschleunigung ~f~ erteilen kann, die Größe ~F = M f~ haben; also ist

M v² ~#F = ----~#. r

Die einfachste Art dieser Bewegung erhält man, wenn der Körper ~A~ mit dem Punkte ~M~ durch einen Faden verbunden ist, und man ihm eine zur Richtung des Fadens senkrechte Geschwindigkeit ~v~ erteilt. Er läuft dann, wenn kein Bewegungshindernis (Reibung, Schwere u. s. w.) vorhanden ist, mit stets gleichbleibender Geschwindigkeit in Kreisform um ~M~. Der Faden übt hiebei an dem Körper einen Zug in der Richtung ~AM~, ^Zentripetalkraft^. Umgekehrt hat der Körper bei dieser Bewegung (Zwangsbewegung) das Bestreben, stets in der Richtung der Tangente der Bahn weiterzulaufen und dadurch sich vom Zentrum zu entfernen; er äußert dies Bestreben dadurch, daß er seinerseits am Faden in der Richtung des Fadens zieht (Reaktion); diese Kraft heißt ^Mittelpunktsfliehkraft^ oder ^Zentrifugalkraft^. Sie ist der Zentripetalkraft gleich.

Wenn sich die Masse 1 (eine Masseneinheit) auf dem Kreise vom Radius 1 _m_ mit der gleichförmigen Geschwindigkeit von 1 _m_ in 1" bewegen soll, so muß auf sie eine Zentralkraft von 1 _kg_ wirken, welche ihr eine Beschleunigung von 1 _m_ erteilt.

273. Zentrifugalmaschine.

Die Zentrifugalmaschine hat folgende Einrichtung. Auf einem Brette sind zwei Achsen drehbar und senkrecht befestigt. Die eine Achse trägt ein Rad von großem, die andere eine Welle von kleinem Durchmesser. Über Rad und Welle läuft ein Riemen. Dreht man das Rad mittels einer Kurbel, so macht die Welle so vielmal mehr Umdrehungen, als ihr Durchmesser kleiner ist, und kann leicht in rasche Rotation versetzt werden. Befestigt man nun auf der Achse der Welle verschiedene Apparate, so unterliegen dieselben der beim Drehen zum Vorschein kommenden Zentrifugalkraft.

^Die Zentralbewegung bringt die Zentrifugalkraft hervor^, d. h. sie bringt in dem Körper das Bestreben hervor, sich in der Richtung des Radius vom Mittelpunkt zu entfernen.

[Abbildung: Fig. 358.]

Befestigt man das Brettchen ~BB′~ in ~A~ auf der Maschine, so sieht man, daß die Kugel ~C~, die auf der Stange ~MM′~ aufgesteckt ist, beim Umdrehen der Maschine bald nach ~M′~ hinausrückt, wenn nämlich die Zentrifugalkraft etwas größer als die Reibung geworden ist. Bemerke, daß, obwohl die Zentrifugalkraft in der Richtung ~CM~ wirkt, ~C~ sich nicht in der Richtung ~CM~ bewegt, sondern in der Richtung der Tangente des Kreises, und da diese Bewegung zugleich mit der Umdrehung geschieht, so sieht es so aus, als wenn der Körper sich von ~C~ nach ~M~ bewegt hätte.

Hierauf beruht die Honig- und Sirupschleuder, die Zentrifugaltrockenmaschine und die gewöhnliche Schleuder.

Wenn der Eisenbahnzug im raschen Fahren eine starke Kurve beschreibt, so werden wir durch die Zentrifugalkraft nach der äußeren Seite der Krümmung hingedrückt und schwanken nach dieser Seite.

^Die Zentrifugalkraft ist der Masse proportional^ (~F = M · f~). Auf die Messingstange des vorher beschriebenen Apparates werden zwei Messingkugeln von verschiedenem Gewicht gesteckt, durch einen Faden verbunden und so gestellt, daß beide in gleicher Entfernung vom Mittelpunkte sich befinden, dann haben beide die gleiche Beschleunigung (~f = v² : r~), bloß die Masse ~m~ ist verschieden. Beim Umdrehen geht die größere Kugel nach auswärts und nimmt die kleinere nach ihrer Seite hin mit.

Bringt man auf die Zentrifugalmaschine ein Gefäß mit etwas Wasser, so setzt sich bei jedem Wasserteilchen die Zentrifugalkraft mit der Schwerkraft zu einer Resultierenden zusammen, welche schräg nach außen gerichtet ist; deshalb bleibt die Oberfläche des Wassers nicht horizontal, sondern sie krümmt sich so, daß in jedem Punkte diese Resultierende senkrecht zur Wasseroberfläche steht; je weiter die Fläche vom Zentrum entfernt ist, desto steiler wird sie. Da bei raschem Drehen diese Resultierende nahezu horizontal wird, so sammelt sich das Wasser in fast vertikaler Schichte an der Wand des Gefäßes. Wie in einem Gefäß mit zwei Flüssigkeiten die schwerere sich unten sammelt, weil 1 _ccm_ mehr Masse enthält und deshalb mehr Gewicht hat, so sammelt sich beim Drehen die schwerere Flüssigkeit nach außen, um so mehr als 1 _ccm_ von ihr mehr Masse enthält und deshalb mehr Zentrifugalkraft bekommt.

Hierauf beruht das Entrahmen der Milch in der ^Milchzentrifuge^. Der Rahm sammelt sich innen, da er leichter ist als die Milch.

274. Abhängigkeit der Zentrifugalkraft von Masse und Umlaufszeit.

Wird bei der Drehung der ganze Kreis ~2 R π~ in der Zeit ~T"~ durchlaufen mit der Geschwindigkeit ~v~, so ist ~v T = 2 R π~, also

2 R π ~v = -----~; T

setzt man dies in den Ausdruck für ~F~ ein, so wird

4 π² R M 4 π² R ~#F = --------#~, und ~#f = ------#~. T² T²

^Bei gleicher Umlaufszeit ist die Zentrifugalkraft dem Radius proportional, und bei gleichem Radius dem Quadrat der Umlaufszeit umgekehrt proportional^. Ist die Masse eines Körpers bekannt, so kann man die Zentripetalkraft angeben, die notwendig ist, damit er um einen Mittelpunkt in gegebenem Abstand in gegebener Zeit rotiert.

Wenn bei gleichen Umlaufszeiten zwei verschiedene Massen ~m₁~ und ~m₂~ sich in solchen Entfernungen vom Mittelpunkte befinden, daß diese Abstände ~R₁~ und ~R₂~ sich verhalten wie umgekehrt die Massen, also daß ~R₁ : R₂ = m₂ : m₁~, oder daß ~m₁ R₁ = m₂ R₂~, so sind die Zentrifugalkräfte gleich. Bringt man beim früheren Versuch die zwei durch eine Schnur verbundenen Kugeln so an, daß bei gespannter Schnur sich die Gewichte verhalten wie umgekehrt ihre Abstände vom Drehungsmittelpunkt, so daß also der Drehpunkt der Schwerpunkt beider Massen ist, so bleiben bei jeder Rotationsgeschwindigkeit beide Kugeln in Ruhe, weil sie gleiche Zentrifugalkräfte bekommen.

Befindet sich ein Körper (etwa von der Masseneinheit) auf der Erdoberfläche, so bekommt er eine Beschleunigung = ~g~ = 9,809 _m_. Befindet er sich aber in einer Entfernung gleich der des Mondes, und läuft er in dieser Entfernung um die Erde kreisförmig, wie es ja der Mond nahezu wirklich tut, so braucht er dazu die Zeit von 27 Tg. 7 Std. 43' 11" (siderischer Monat). Die Zentralbeschleunigung, die hiezu erforderlich ist, berechnet sich aus

4 π² · R ~f = ---------~, T²

wobei ~T~ = 2 360 501" und ~R~ = 382 000 000 _m_ setzen. Es ist dann

4 · 3,14² · 382 000 000 ~f~ = ----------------------- = 0,00274 _m_. 2 360 500²

Vergleicht man diese Zentralbeschleunigung mit der Beschleunigung ~g~, welche der Körper auf der Erdoberfläche bekommt, also mit ~g~ = 9,809 _m_, so findet man, daß sie nahezu 3600 = (60²)mal so klein ist, und da die Entfernung des Mondes von der Erde 60 mal so groß ist, wie der Erdradius, so schließt man: Die Kraft, die den Mond zwingt, kreisförmig um die Erde zu laufen in der Zeit von 27 Tg. 4 Std. u. s. w. ist dieselbe Kraft, welche den Körper auf der Erdoberfläche zum Fallen bringt, nur nimmt diese Kraft ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt. Durch solche Betrachtungen kam Newton zur Entdeckung des nach ihm benannten ^Newtonschen Gravitationsgesetzes^ (1666), welches heißt: ^Die Anziehungskraft, Attraktion, der Erde^ wirkt nicht bloß auf der Erdoberfläche, sondern auch in beliebiger Entfernung, und die Kraft ^nimmt ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt^.

Indem dann Newton das Gesetz auch auf die Bewegung anderer Himmelskörper anwandte, auf die Bewegung der Planeten um die Sonne, der Monde um die Planeten, erkannte er, daß es ganz allgemein gültig sei, und daß ^die Anziehung auch dem Produkt der beiden sich anziehenden Massen proportional ist^. Also: #Die gegenseitige Anziehung zweier Himmelskörper ist proportional dem Produkte beider Massen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihres Abstandes.#

Aufgaben:

#232.# Ein Körper von 50 _kg_ Gewicht bewegt sich mit der Geschwindigkeit von 6 _m_ im Kreise von 10 _m_ Radius. Welche Zentrifugalkraft bringt er hervor und wie groß ist die Zentralbeschleunigung?

#233.# Welche Zentrifugalkraft bringt die Masse von 7,2 _kg_ hervor, wenn sie den Kreis von 10 _m_ Radius in 8 Sekunden durchläuft?

#234.# Wie schnell muß ein Körper sich auf einem vertikalen Kreise mit dem Radius ~r~ = 0,8, 1,4 _m_ bewegen, wenn die Schwerkraft durch die Zentrifugalkraft aufgehoben werden soll?

#235.# Mit welcher Umlaufszeit muß sich die Masse von 12 _kg_ im Kreise von 6 _m_ Radius bewegen, um 2 _kg_ Kraft hervorzubringen?

#236.# Wie groß ist die Zentrifugalbeschleunigung am Rande eines rotierenden Zubers von 110 _cm_ Durchmesser bei 340 Touren in der Minute (Sirupschleuder)?

#237.# Wie groß ist die Zentrifugalkraft und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Waggon von 250 Zentner Gewicht, wenn er auf einer Kurve von 170 _m_ Radius mit 7 _m_ Geschwindigkeit sich bewegt; um welchen Winkel wird dadurch die Schwerkraft abgelenkt; mit welcher Geschwindigkeit dürfte der Zug sich bewegen, wenn die Zentrifugalkraft höchstens 2% vom Gewicht betragen sollte?

#238.# Wie rasch müßte die Erde sich drehen, damit am Äquator die Schwerkraft durch die Zentrifugalbeschleunigung der Erde gerade aufgehoben wird?

#239.# Auf eine frei bewegliche Masse von 300 _kg_ Gewicht und 4 _m_ Geschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft angebracht werden, so daß die Masse sich im Kreis von 40 _m_ Radius bewegt. Wie groß muß diese Kraft sein, und wie lange dauert ein Umlauf?

#240.# Auf eine frei bewegliche Masse von 60 _kg_ und 1,5 _m_ Geschwindigkeit wirkt senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft von 2 _kg_. Welchen Krümmungsradius hat ihre Kreisbahn und wie groß ist die Umlaufszeit?

#241.# Auf eine frei bewegliche Masse von 70 _kg_ Gewicht und 3 _m_ Geschwindigkeit soll senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit eine Kraft wirken, so daß die Masse eine Umlaufszeit von 12" bekommt. Wie groß ist die Kraft und der Radius der Krümmung?

275. Planetenbewegung.

Aus dem Gesetz der allgemeinen Massenanziehung oder der ^Universalgravitation^ lassen sich die Bewegungen der Himmelskörper erklären und berechnen; aus ihm folgen auch die Keplerschen Gesetze.

[Abbildung: Fig. 359.]

Es sei ~S~ die Sonne, in ~A~ der Planet, und ~AB~ dessen Geschwindigkeit. Ist die Anziehung der Sonne kleiner, als sie sein müßte, um eine kreisförmige Bahn zu veranlassen, so kommt der Planet nach ~A′~ außerhalb des Kreises. ~A′~ findet man, indem man aus der Eigenbewegung ~AB~ und aus dem Weg ~AC~, den er infolge der Anziehung der Sonne machen würde, das Wegparallelogramm konstruiert.

~AA′~ stellt zugleich die Geschwindigkeit des Planeten während dieser Zeit annähernd dar. Im nächsten Zeitteil würde der Planet demnach den Weg ~A′B′ = AA′~ zurücklegen; zugleich würde ihn die Sonne nach ~AC′~ bewegen, er kommt deshalb nach ~A′′~. Fährt man so fort, indem man für jeden folgenden Zeitteil die Bahn des Planeten bestimmt, so bekommt man annähernd die Bahn des Planeten.

Eine mathematische Ableitung der Bahn wie etwa beim schiefen Wurf kann auf elementarem Wege nicht gegeben werden.

Die Form der Bahn ist eine ^Ellipse^. Die Sonne steht in dem einen ^Brennpunkt^. (1. Kepler’sches Gesetz.) Die Anziehung ist am ^stärksten^, wenn der Planet sich am nächsten an der Sonne befindet, im ^Perihelium^ ~A~, jedoch ist sie dort kleiner, als sie sein müßte, um eine Kreisbewegung um ~S~ zu veranlassen, da die Geschwindigkeit des Planeten in ~A~ verhältnismäßig groß ist; der Planet entfernt sich demnach von der Sonne. Die Anziehung ist am ^schwächsten^, wenn sich der Planet im ^Aphelium^ befindet. Doch ist die Anziehung dort größer, als sie sein müßte, um eine Kreisbewegung um ~S~ zu veranlassen, da die Geschwindigkeit des Planeten in ~X~ verhältnismäßig klein ist; der Planet nähert sich demnach jetzt der Sonne.

Die Geschwindigkeit ist in ~A~ am größten und nimmt immer mehr ab, je mehr sich der Planet von der Sonne entfernt; sie ist im Aphelium am kleinsten und wächst dann wieder mit der Annäherung an die Sonne. Die Geschwindigkeiten richten sich dabei nach dem 2. Kepler’schen Gesetz. Der Radiusvektor ~SA~ bestreicht in gleichen Zeiten gleiche Sektoren. Es ist also etwa der Sektor ~SAA′~ an Fläche gleich dem Sektor ~SA′A′′~ u. s. w. gleich dem Sektor ~SDD′~.

Die Planetenbahnen sind tatsächlich alle sehr schwach gedrückte Ellipsen von geringer Exzentrizität, nahezu kreisförmig.

Betrachten wir die Planetenbahnen als kreisförmig, so berechnet sich die Umlaufszeit eines Planeten aus

4 π² R (4 π² R) ~f = ------~ als ~T = √(------)~. T² ( f )

Die Umlaufszeit ~T′~ eines anderen Planeten, der in der Entfernung ~R′~ die Zentralbeschleunigung ~f′~ bekommt, ist ebenso:

(4 π² R′) ~T′ = √(-------)~. ( f′ )

Durch Division beider Gleichungen hat man:

T² Rf′ ~-- = ---~. T′² R′f

Nach dem Newton’schen Attraktionsgesetz ist aber ~f : f′ = R′² : R²~, oder

f′ R² T² R³ ~-- = ---~; dies eingesetzt gibt: ~--- = ---~; f R′² T′² R′³

das ist das dritte Kepler’sche Gesetz, demzufolge die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten sich verhalten wie die dritten Potenzen ihrer mittleren Abstände von der Sonne. Man bemerke, daß die Umlaufszeiten der Planeten nicht abhängig sind von ihrer Masse.

276. Pendel.

Hängt man einen schweren Körper an einem Faden auf, so bleibt er in Ruhe, wenn der Faden vertikal ist. Wird der Körper etwas seitwärts gerückt um den Winkel ~α~ (Elongation), so zerlegt sich die auf den Körper wirkende Schwerkraft in die zwei Komponenten ~P = Q sin α~, und ~S = Q cos α~. Die zweite, ~S~, spannt den Faden und bringt keine Bewegung hervor, da sie durch den Gegenzug des Fadens aufgehoben wird; die erste, ~P~, wirkt in der Richtung, in der sich der Körper bewegen kann; sie erteilt also dem Körper eine Geschwindigkeit, und er bewegt sich gegen die Mitte zu. Da hiebei der Winkel ~α~ immer kleiner wird, so wird die Komponente ~P~, welche die Bewegung hervorbringt, immer kleiner und ist = 0 geworden, wenn der Punkt in der Mitte ~D~ angekommen ist. Die Bewegung des Punktes ist also keine gleichförmig beschleunigte Bewegung, da die Kraft beständig ihre Größe und Richtung ändert, und kann mit den Hilfsmitteln der Elementarmathematik allein nicht abgeleitet werden. In ~D~ angekommen hat der Körper seine größte Geschwindigkeit und bewegt sich deshalb über ~D~ hinaus nach der anderen Seite. Durch die nun eintretende Zerlegung der Schwerkraft kommt aber eine Komponente ~P′~ zum Vorschein, welche der Bewegung entgegenwirkt; deshalb wird die Bewegung nun ebenso verzögert, wie sie vorher beschleunigt wurde. Der Körper erreicht eine Entfernung, Elongation, welche so groß ist, als die Elongation auf der anderen Seite war. Die Bewegung von ~E~ nach ~E′~ nennt man eine ^Schwingung^. Dieser folgt eine eben solche Schwingung von ~E′~ nach ~E~ und so fort.

Einen solchen schwingenden Körper nennt man ein Pendel und zwar ein ^mathematisches Pendel^, wenn der schwere Körper bloß ein Punkt und der Faden gewichtlos ist. (Bleikugel an einem möglichst dünnen Faden.)

Man fand folgende Gesetze (Galilei): ^Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Elongation^, so lange letztere selbst nur ziemlich klein ist. ^Die Schwingungsdauer ist proportional der Quadratwurzel aus der Pendellänge^; ~t₁ : t₂ = √l₁ : √l₂~. Ein 2 mal (4 mal) längeres Pendel braucht also zu einer Schwingung √2, (2) mal mehr Zeit.