Part 37

Der positive Wert bedeutet die nach ^aufwärts gerichtete^ Geschwindigkeit, mit welcher er den Punkt ~B~ erreicht; der negative bedeutet die ^abwärts gerichtete^ Geschwindigkeit, mit der er beim Herunterfallen wieder im Punkte ~B~ anlangt; ^beide Geschwindigkeiten sind gleich groß^ und zwar für jeden Wert von ~h~; #der Körper durchläuft jeden Punkt seiner Bahn zweimal, einmal beim Hinauf-, einmal beim Heruntergehen, beidesmal mit derselben Geschwindigkeit#. Die Werte von ~t~ und ~v~ werden imaginär, wenn ~2 g h > a²~, oder wenn

a² ~h > ---~, 2 g

also wenn ~B~ höher liegt als der höchste Punkt, den der Körper erreichen kann.

Aufgaben:

#187.# Wie hoch fliegt eine Kanonenkugel, welche mit 440 _m_ Anfangsgeschwindigkeit aufwärts geworfen wird, und mit welcher Geschwindigkeit müßte sie abgeschossen werden, um die Höhe des Montblanc (= 4810 _m_) oder die des Gaurisankar (= 8840 _m_) zu erreichen?

#188.# Ein Körper fällt frei herab. Am Schlusse der 3. Sekunde wird ihm ein anderer Körper nachgeworfen, welcher am Ende der 5. Sek. von ihm einen Abstand von 40 _m_ hat. Wann treffen die Körper zusammen?

#189.# Ein Körper wird mit 156,8 _m_ Anfangsgeschwindigkeit senkrecht auswärts geworfen. 18 Sek. später wird ihm ein zweiter mit 186,2 _m_ Anfangsgeschwindigkeit nachgeworfen. Wann und wo treffen sie sich? Wenn sie nach dem Zusammentreffen wie beim zentralen Stoße mit vertauschten Geschwindigkeiten voneinander zurückprallen, wann kommt dann jeder wieder auf den Boden? (~g~ = 9,8 _m_.)

#190.# Ein lotrecht in die Höhe geworfener Körper hat eine Höhe ~a~ = 80,35 _m_ mit einer Geschwindigkeit ~b~ = 1,68 _m_ erreicht. Mit welcher Geschwindigkeit ist er ausgegangen und welche Zeit hat er gebraucht, um bis zu jener Höhe zu gelangen (~g~ = 9,81 _m_)?

#191.# Ein Körper wird senkrecht in die Hohe geworfen mit 75 _m_ Anfangsgeschwindigkeit. Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ihm 4" später ein zweiter folgen, wenn er den ersten in dessen höchstem Punkte (in seinem eigenen h. P.) erreichen soll?

#192.# Wie hoch wird ein Körper gestiegen sein, der nach 12" (15", 40") wieder zur Erde kommt? Wie groß war seine Anfangsgeschwindigkeit?

266. Ausflußgeschwindigkeiten von Flüssigkeiten.

Beim Springbrunnen erlangt das ausfließende Wasser seine Geschwindigkeit dadurch, daß es von den benachbarten Wasserteilen gedrückt wird. Sobald es aber die Röhre verlassen hat, steht es nicht mehr unter diesem Drucke, sondern ist anzusehen als ein mit Geschwindigkeit begabter Körper, der vermöge dieser Geschwindigkeit eine gewisse Steighöhe erreicht, und diese Steighöhe ist nach dem Gesetz des Springbrunnens gleich der Höhe des Wassers im Gefäße.

Da aber die Geschwindigkeit, welche ein nach aufwärts geworfener Körper haben muß, um eine gewisse Steighöhe ~h~ zu erreichen, gleich ist der Geschwindigkeit, welche der Körper erlangen würde, wenn er frei über dieselbe Höhe ~h~ herunterfallen würde, so folgt: #die Ausflußgeschwindigkeit ist so groß, wie wenn das Wasser den vertikalen Abstand vom Niveau des Wassers im Gefäße bis zur Mündung frei durchfallen hätte# (Torricelli).

~v = √(2 g h)~.

[Abbildung: Fig. 353.]

Die Ausflußgeschwindigkeit ist proportional der Quadratwurzel aus der Höhe; eine Öffnung, welche 2 mal so tief unter dem Niveau liegt, liefert √2 mal so viel Wasser, und eine Öffnung, welche 2 mal so viel Wasser liefern soll, muß 4 mal so tief unter dem Niveau liegen.

Die Menge des in einer gewissen Zeit ausfließenden Wassers ist gleich dem Produkt aus Querschnitt mal Geschwindigkeit, also = ~q · v~, oder = ~q · √(2 g h)~ in jeder Sekunde.

In Wirklichkeit ist die Ausflußmenge stets geringer als eben berechnet. Dies rührt her von einer ^Zusammenziehung des ausfließenden Strahles^, welche beginnt, sobald das Wasser die Mündung verläßt, so daß nicht der Querschnitt der Mündung sondern der Querschnitt der dünnsten Stelle des ausfließenden Strahles als Ausflußöffnung anzusehen ist.

Ist die Ausflußöffnung in einer dünnen Wand ohne Ausflußrohr, so ist die wirkliche Ausflußmenge nur 0,6 der berechneten. Bei konischem Ansatzrohre, dessen Form dem sich zusammenziehenden Strahle entspricht, ist die Ausflußmenge so groß, wie berechnet, wenn man den vordersten engsten Querschnitt des Rohres als Ausflußöffnung betrachtet. Ein cylindrisches (kurzes) Ansatzrohr liefert mehr Wasser als die bloße Öffnung von gleichem Querschnitt, jedoch weniger als ein konisches Rohr von gleichem vorderen Querschnitt.

Wenn das Wasser aus einer Öffnung fließt, so ist es gleichgültig, ob der das Ausfließen bewirkende Druck herrührt von einer Wassersäule oder von einer anderen Kraft, etwa dem ^Drucke komprimierter Luft^, wie beim Heronsballe oder dem Windkessel einer Feuerspritze. Da ein Überdruck von 1 Atmosphäre gleich ist dem Druck einer Wassersäule von 10 _m_ Höhe (genauer 10,33 _m_ Höhe = 76 · 13,596 _cm_), so muß das Wasser so rasch ausfließen, daß es eine Steighöhe von 10,33 _m_ erreichen kann; seine Geschwindigkeit ist √(2~g~ · 10,33) = 14,23 _m_.

Bei einem Überdruck von ~p~ Atmosphären ist die Ausflußgeschwindigkeit = ~√(2 g · p · 10,33)~ _m_; #die Ausflußgeschwindigkeiten sind den Quadratwurzeln ans den Überdrücken proportional#.

Ist der Heronsball mit Spiritus (sp. G. = ~s~, etwa = 0,81) beschickt, so entspricht einem Überdrucke von einer Atmosphäre eine Höhe von

10,33 10,33 ----- _m_ = ----- = 12,7 _m_ s 0,81

Spiritus. Es muß also der ausfließende Spiritus eine Steighöhe von

10,33 ----- _m_ = 12,7 _m_ s

erreichen. (Vergl. § 30.) Entsprechend dieser Steighöhe ist die Ausflußgeschwindigkeit

( 10,33) ~v = √(2 g -----) _m_ = 15,8 _m_. ( s )

Dasselbe gilt von anderen Flüssigkeiten, wie Öl, Quecksilber u. s. w. mit anderen spezifischen Gewichten ~s′~, ~s′′~ u. s. w. #Bei demselben Überdrucke verhalten sich die Ausflußgeschwindigkeiten zweier Flüssigkeiten wie umgekehrt die Quadratwurzeln aus ihren spezifischen Gewichten.#

Aufgaben:

#193.# Wie tief muß eine Ausflußöffnung von 1,4 _qcm_ Querschnitt unter dem Wasserniveau liegen, wenn sie in der Minute 80 _l_ Wasser liefern soll? und welchen Querschnitt muß sie haben, um bei halber Tiefe die nämliche Wassermenge zu liefern?

#194.# Zwei große Wasserbehälter sind unten durch eine Röhre verbunden. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich in ihr das Wasser, wenn eine Niveaudifferenz von 38 _cm_ vorhanden ist?

#195.# Mit welcher Geschwindigkeit fließt Wasser aus einem Windkessel, wenn in diesem die Luft einen Überdruck von 26 _cm_ Quecksilberhöhe hat?

#195~a~.# Mit welcher Geschwindigkeit fließt Quecksilber bei einem Überdruck von 1 Atm.?

267. Ausflußgeschwindigkeit von Gasen.

Demselben Gesetze gehorchen auch die luftförmigen Körper. Es ist z. B. die gewöhnliche Luft 773 mal leichter (0,001293 mal schwerer) als Wasser, also ist ihre Ausflußgeschwindigkeit √773 = 27,81 mal größer als die des Wassers. Wasser hat aber bei einem Überdruck von 1 Atm. eine Ausflußgeschwindigkeit von √(2 ~g~ · 10,33) = 14,23 _m_; also hat Luft, wenn sie in einem Behälter unter einem konstanten Druck von 1 Atmosphäre steht, und von diesem aus in einen luftleeren (und beständig luftleer gehaltenen) Raum ausströmt, eine Ausflußgeschwindigkeit von

( 10,33 ) ~27,8 · 14,23 = 396 _m_ = √(2 g · --------)~. ( 0,001293)

Strömt Luft aus einem Behälter, in dem sie einen konstanten Druck von 5 Atmosphären hat, in die freie Luft aus, so ist ihre Geschwindigkeit

( 10,33 ) ~v = √(2 g · p · ------)~; ( s )

hierbei ist ~p~ = 4 Atmosphären Überdruck, ~s~ = 0,00129 · 5, weil das sp. G. dieser komprimierten Luft 5 mal so groß ist wie das der gewöhnlichen Luft (Mariottescher Satz).

Demnach

( 10,33 ) ~v = √(2 · 9,809 · 4 · -----------) = 354 _m_. ( 0,00129 · 5)

Läßt man diese Luft in einen luftleeren Raum ausströmen, so ist der Überdruck = 5 Atmosphären, also

( 10,33 ) ~v = √(2 · 9,809 · 5 · -----------)~ = ( 0,00129 · 5)

( 10,33 ) √(2 · 9,809 · -------) = 396 _m_. ( 0,00129)

Die Luft strömt bei jedem Drucke mit gleicher Geschwindigkeit (396 _m_) gegen den luftleeren Raum aus, liefert also in gleichen Zeiten gleiche Volumina. Da aber die Dichten und Gewichte derselben sich wie die Drücke verhalten, so folgt, daß hierbei die Luftmengen dem Gewichte nach sich wie die Druckkräfte verhalten.

Ferner folgt: die Ausflußgeschwindigkeiten zweier Gase verhalten sich umgekehrt wie die Quadratwurzeln aus ihren spezifischen Gewichten. Da das sp. G. des Wasserstoffes in bezug auf Luft = 0,06926 ist, so ist dessen Ausflußgeschwindigkeit √0,06926 = 0,263 mal kleiner, also 3,8 mal größer, als die der Luft.

Da Wasserstoff 16 mal leichter ist als Sauerstoff, so ist seine Ausflußgeschwindigkeit 4 mal größer als die des Sauerstoffes; es würden also gleichgroße Öffnungen 4 mal mehr Wasserstoff als Sauerstoff liefern. Zu Knallgas in richtiger Mischung muß aber Wasserstoff 2 mal mehr (dem Volumen nach) sein als Sauerstoff; deshalb muß die Öffnung der Röhre des Wasserstoffes 2 mal kleiner, ihr Durchmesser also √2 mal kleiner sein als beim Sauerstoff.

Aufgaben:

#196.# Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft von 2 Atm. Druck in Luft von 1 Atm. Druck?

#197.# Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft von 758,4 _mm_ Quecksilberdruck in Luft von 752,4 _mm_ Druck?

#198.# Mit welcher Geschwindigkeit strömt Luft aus einem Behälter, in welchem sie 8 _cm_ Wasserhöhe Überdruck hat, in die freie Luft aus, wenn der Barometerstand 760 _mm_ (742 _mm_, 718 _mm_) ist?

#199.# Mit welcher Geschwindigkeit strömt unter den Bedingungen von Aufgabe 198 Leuchtgas (sp. G. = 0,87), Kohlensäure (sp. G. = 2,4) aus?

268. Bewegung der schiefen Ebene.

Hat ein Körper auf der schiefen Ebene schon eine Anfangsgeschwindigkeit in der Richtung der schiefen Ebene = ~a~, so ist, wenn ~a~ nach abwärts gerichtet ist:

~v = a + g t sin α~; ~s = a t + ½ g t² · sin α~;

wenn ~a~ nach aufwärts gerichtet ist, so ist:

~v = a - g t sin α~; ~s = a t - ½(g t²) · sin α~.

Er steigt im letzteren Falle so lange, bis

a ~0 = a - g t sin α~, also ~t = -------~, g sin α

und durchläuft dabei den Weg

a² g sin α a² ~s = ------- - ------- · ---------~ g sin α 2 g² sin² α

a² ~s = ---------~. 2 g sin α

Aufgaben:

#200.# Wasser schießt unter einer Schleuse von 1,4 _m_ Stauhöhe heraus in eine Rinne von 12 _m_ Länge und 16° Neigung. Welche Endgeschwindigkeit erlangt es?

#201.# Wie hoch kommt ein Körper auf einer schiefen Ebene von 15° bei 8 _m_ Anfangsgeschwindigkeit?

#202.# Von einem Turme fällt ein Körper in 4" frei herab, während er auf der schiefen Ebene in 10" ohne Reibung vom Turme aus heruntergleiten würde. Wie hoch ist der Turm, wie lang die schiefe Ebene, wie groß ihre Neigung, und wie groß die Endgeschwindigkeit des Körpers?

#203.# Auf einer ~l~ = 1500 _m_ langen um ~α~ = 12° geneigten Ebene bewegen sich zwei Körper, der eine vom untern Ende nach aufwärts mit einer Anfangsgeschwindigkeit ~c~ = 60 _m_, der andere gleichzeitig ohne Anfangsgeschwindigkeit von oben nach abwärts. Wo und mit welchen Geschwindigkeiten treffen sie sich?

#204.# Zwei Körper werden auf zwei schiefen Ebenen von den Neigungen ~α₁~ und ~α₂~ mit derselben Anfangsgeschwindigkeit nach aufwärts geworfen. Wie verhalten sich die auf beiden zurückgelegten Wege bis dorthin, wo die Körper zur Ruhe kommen?

#205.# Ein Körper rollt über eine schiefe Ebene von 12 _m_ Höhe und 22½% Neigung, kommt dann auf eine horizontale Ebene, auf welcher er die horizontale Komponente seiner Geschwindigkeit beibehält; nach wie viel Sekunden erreicht er das Ende der 100 _m_ langen horizontalen Bahn?

269. Der schiefe Wurf.

Wirkt eine Kraft unter einem Winkel auf einen bewegten Körper, so setzt sich die durch die Kraft hervorgebrachte Beschleunigung mit der schon vorhandenen Geschwindigkeit zu einer resultierenden Geschwindigkeit zusammen, deren Richtung und Größe durch die Diagonale eines ^Geschwindigkeitsparallelogrammes^ gefunden wird, das ebenso konstruiert wird wie das Kräfteparallelogramm.

[Abbildung: Fig. 354.]

Umgekehrt kann eine Geschwindigkeit in zwei Geschwindigkeiten mittels des Parallelogramms zerlegt werden.

Soll ein Körper aus zweierlei Ursachen zweierlei Wege zu gleicher Zeit zurücklegen, so kann man aus den zwei Wegen ein ^Parallelogramm^ konstruieren (Fig. 354), und im Endpunkt der Diagonale befindet sich der Körper nach Ablauf der Zeit. Jedoch gibt die Diagonale nicht immer den Weg an, auf welchem sich der Körper wirklich bewegt, insbesondere dann nicht, wenn die Bewegungsursachen der Art nach verschieden sind. Hat z. B. der in ~A~ befindliche Körper eine Geschwindigkeit, vermöge deren er in ~t′′~ nach ~B~ kommen würde, und wirkt auf ihn zugleich die Schwerkraft, welche ihn in ~t′′~ von ~A~ nach ~C~ bringen würde, so befindet er sich nach ~t′′~ in ~D~, hat jedoch nicht den geraden Weg ~AD~ gemacht, sondern eine krummlinige Bahn beschrieben.

Wenn auf einen frei beweglichen Körper, der eine Geschwindigkeit hat, eine Kraft wirkt, welche hiermit einen Winkel bildet, so nennt man die entstehende Bewegung eine zusammengesetzte.

Der schiefe Wurf ist eine ^zusammengesetzte Bewegung^ und wurde zuerst von Galilei untersucht.

[Abbildung: Fig. 355.]

Wird ein Körper schräg nach aufwärts geworfen, so beschreibt er bekanntlich eine ^krummlinige^ Bahn. Die einzelnen Punkte der Bahn kann man dadurch bestimmen, daß man von jedem Punkte eine vertikale Linie bis zur Erde (bis zu der durch den Anfangspunkt gelegten Horizontalen) zieht, und sowohl die Länge dieser Senkrechten, als auch die Entfernung ihres Fußpunktes vom Anfangspunkte der Bewegung mißt.

Die Bewegung selbst und auch die Geschwindigkeit kann man zweckmäßig in zwei ^Komponenten^ zerlegen, nach horizontaler und vertikaler Richtung. Hat der Körper die Anfangsgeschwindigkeit ~a~, so bewegt er sich gerade so, wie wenn er in horizontaler Richtung eine Geschwindigkeit = ~a cos α~ und gleichzeitig in vertikaler Richtung eine solche = ~a sin α~ hätte.

Da in horizontaler Richtung die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft nicht beeinflußt wird, so ist ~#vₕ = a cos α#~. In vertikaler Richtung wird die Geschwindigkeit durch die Schwerkraft vermindert in jeder Sekunde um ~g~ wie beim senkrechten Wurf; also ist

~#vᵥ = a sin α - g t#~.

Mit der Zeit ~t~ ändert sich demnach auch die Richtung der Geschwindigkeit. Bezeichnet man sie mit ~β~, so ist

vᵥ a sin α - g t ~tg β = -- = -------------~. vₕ a cos α

Wird der Zähler = 0, so ist ~tg β~ = 0, also ~β~ = 0, d. h. ^der Körper läuft horizontal^ in ~H~. Dies ist der Fall, wenn ~a sin α - g t~ = 0, also nach

a sin α ~t = -------~ Sekunden. g

Wird ~t~ noch größer, so wird der Zähler und damit auch ~tg β~ negativ, also ~β~ ^negativ^; ^die Richtung der Bahn geht nach abwärts^. Man nennt den ersten Teil ~AH~ den ^aufsteigenden^ Ast der Bahn, den andern ~HW~ den ^absteigenden^.

Die krumme Linie, die der geworfene Körper beschreibt, ist eine ^Parabel^, ~AHW~, deren Achse vertikal steht (Galilei).

Die ^wirkliche Größe der Geschwindigkeit^, die er in einem bestimmten Punkte der Bahn, also nach bestimmter Zeit hat, setzt sich zusammen als Hypotenuse eines Dreieckes, dessen Katheten ~vᵥ~ und ~vₕ~ sind, also ist ~v = √(vᵥ² + vₕ²)~.

~v = √((a sin α - g t)² + (a² cos² α))~.

Auch dieser Wert wird anfangs kleiner, wenn ~t~ wächst, aber nur so lange bis ~a sin α - g t = 0~; also nach

a · sin α ~T = ---------~ Sekunden g

hat er die ^geringste Geschwindigkeit^ in ~H~. Von da an wird ~v~ wieder größer.

Wir betrachten die ^Wegstrecken^, die er in horizontaler (~sₕ~) und vertikaler (~sᵥ~) Richtung zurücklegt. In horizontaler Richtung hat er die unveränderliche Geschwindigkeit ~a · cos α~, legt also in ~t′′~ den Weg ~#Sₕ = a · cos α · t#~ zurück. (~AB~). In vertikaler Richtung hat er die Geschwindigkeit ~a sin α~, und legt deshalb den Weg ~a · sin α · t~ zurück nach aufwärts (~AC~); aber die Schwerkraft bewirkt zugleich einen Weg von ~½ g t²~ nach abwärts (~DE~); also ist der Weg in vertikaler Richtung gleich der Differenz beider Strecken ~DB - DE = EB~; also ~#Sᵥ = a · sin α · t - ½ g t²#~.

Wir berechnen, wo sich der Körper befindet, wenn er den höchsten Punkt erreicht hat, also nach

a sin α ~t = -------~ Sekunden; g

es ist dann

a sin α a² sin α · cos α ~sₕ = a cos α · ------- = ---------------- = AJ~. g g

a sin α g a² sin² α ~sᵥ = a sin α · ------- - -----------~ = g 2 g²

a² sin² α a² sin² α ~--------- - ---------~. g 2 g

a² sin² α ~#sᵥ = ---------- = Wₕ = JH#~. 2 g

^Die Wurfhöhe ist proportional dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit^.

Wir berechnen, in welcher horizontalen Entfernung ~AW~ der Körper den (horizontalen) Boden wieder erreicht. ^Er hat den Boden erreicht, wenn seine vertikale Entfernung = 0^ ist, also

g t² ~sᵥ = 0 = a sin α t - ----~, 2

also nach

2 a sin α ~t = --------- = 2 T~. g

Der zugehörige horizontale Weg berechnet sich aus

2 a sin α ~sₕ = a cos α t~ für ~t = ---------~, also g

2 a sin α a² ~sₕ = a cos α · ---------- = -- 2 sin α · cos α~. g g

a² sin 2 α ~#sᵥ = ----------- = Ww#~ (Wurfweite). g

Also ~AW = 2 · AJ~. Auch die ^Wurfweite ist proportional dem Quadrate der Anfangsgeschwindigkeit^. Setzt man die Zeit bis zur Erreichung der Wurfweite

2 a sin α ~= ---------~ g

in die Gleichung für die Geschwindigkeit, so findet man, daß der Körper die horizontale Ebene wieder unter demselben Winkel und mit derselben Geschwindigkeit trifft, mit der er sie verlassen hat.

Soll die Wurfweite

a² sin 2 α ~Ww = -------------~ g

^möglichst groß werden^, so muß ~sin 2 α~ möglichst groß werden; da aber ~sin 2 α~ höchstens = 1 sein kann und dies ist, wenn 2 ~α~ = 90° ist, so muß ~α~ = 45° sein. ^Ein unter dem Winkel von 45° geworfener Körper fliegt am weitesten^; dies gilt nur, wenn ein Luftwiderstand nicht vorhanden oder verhältnismäßig sehr klein ist. Bei Kanonenkugeln ist aber der Luftwiderstand beträchtlich groß; deshalb wird die größte Wurfweite bei zirka 30° erzielt.

Der Winkel, unter welchem der Körper mit der Geschwindigkeit ~a~ geworfen werden muß, um die Wurfweite ~w~ zu erreichen, berechnet sich aus

a² sin 2 α g · w ~w = ----------~ als ~sin 2 α = -----~. g a²

Da man den zugehörigen Winkel ~2 α~ ^spitz oder stumpf^ wählen kann (z. B. ~2 α~ = 70° oder 110°, beide sind um gleich viel von 90° verschieden), so erhält man auch 2 Winkel ~α~, (z. B. ~α~ = 35°, oder ~α~ = 55°, beide sind um gleich viel von 45° verschieden; Galilei). Man kann also eine Wurfweite auf zweierlei Arten erreichen, durch Flachschuß und Hochschuß.

Beim ^horizontalen Wurf^ mit der Anfangsgeschwindigkeit ~a~ hat man nach den bisherigen Bezeichnungen:

~vₕ = a~; ~vᵥ = g t~ (nach abwärts gerichtet)

~sₕ = a t~; ~sᵥ = ½ g t²~ (nach abwärts gerichtet).

Der Körper beschreibt den absteigenden Ast einer Parabel.

Wenn man, während das Schiff fährt, von der Spitze des Mastes einen Stein fallen läßt, so trifft er den Fuß des Mastes. Warum? Wie ist es im Eisenbahnwagen?

Das Infanteriegewehr ~M~ 96, Kaliber 7 _mm_, gibt eine Anfangsgeschwindigkeit von 728 _m_ und eine größte Schußweite von über 4000 _m_ bei 32° Erhöhung; bis 600 _m_ Schußweite ist der höchste Punkt der Bahn nicht über Mannshöhe.

Aufgaben:

#206.# In welcher Entfernung vom Fuße eines 120 _m_ hohen Turmes fällt ein Stein zu Boden, der mit 16 _m_ Geschwindigkeit horizontal geschleudert wird, und unter welchem Winkel fällt er auf?

#207.# Mit welcher Geschwindigkeit muß ein Körper horizontal geschleudert werden, damit er gerade den Fuß eines 216 _m_ hohen Berges von 39° Neigung trifft?

#208.# Mit einer Flinte, deren Kugel eine Anfangsgeschwindigkeit von 400 _m_ bekommt, schieße ich auf einen 500 _m_ entfernten, in gleicher Höhe befindlichen Punkt; um wie viel Grad muß ich die Flinte erheben (um wie viel Meter muß ich das Ziel höher annehmen) um das Ziel zu treffen?

#209.# Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit eines horizontal geworfenen Körpers, der sich auf die Länge von 160 _m_ um 12 _m_ senkt?

#210.# Welche Wurfweite und Wurfhöhe erreicht ein Körper, der mit 52 _m_ Anfangsgeschwindigkeit unter 33° geworfen wird, und welche Zeit braucht er dazu?

#211.# Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß ein Körper unter 28° geworfen werden, damit er eine Steighöhe von 68 _m_ erreicht, und welche Wurfweite erreicht er dann?

#212.# Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, damit er bei 144 _m_ Anfangsgeschwindigkeit eine Steighöhe von 250 _m_ erreiche, und welche Wurfweite erreicht er?

#213.# Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, um bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 280 _m_ eine Wurfweite von 2000 _m_ zu erreichen?

#214.# Unter welchem Winkel muß ein Geschoß von ~a~ _m_ (50, 77, 80 _m_) Anfangsgeschwindigkeit abgeschossen werden, um eine Scheibe zu treffen, die in ~c~ _m_ (120, 290, 400 _m_) horizontaler Entfernung ~h~ _m_ (15, 36, 45 _m_) vertikal über dem Boden steht?

#215.# Wo und unter welchem Winkel trifft eine unter 45° abgeschossene Kugel von 120 _m_ (250 _m_) Anfangsgeschwindigkeit ein Plateau von 150 _m_ (180 _m_) Höhe?

#216.# Ein Körper erreicht eine Wurfhöhe von 120 _m_ (32, 540 _m_) und eine Wurfweite von 400 _m_ (850, 65 _m_); mit welcher Geschwindigkeit und Elevation wurde er geworfen?

#217.# Unter welchem Winkel muß ein Körper geworfen werden, damit seine Wurfweite ebensogroß (3 mal, ²/₃ mal, 10 mal so groß) ist als seine Wurfhöhe?

#218.# Ein Körper rollt über ein Dach von ~l~ (8 _m_) Länge und ~α~° (36°) Neigung und durchfällt dann die Luft; in welcher horizontalen Entfernung vom Fuße des Hauses erreicht er den Boden, wenn die Höhe des Hauses bis zum Dache ~b~ (12 _m_) ist? Mit welcher horizontalen Geschwindigkeit muß derselbe Körper geschleudert werden, wenn er gerade an der Dachkante vorbeikommen soll, und wo erreicht er dann das Pflaster?

#219.# Eine Feuerspritze sendet einmal unter ~α~ = 30° (40°), ein andermal unter ~β~ = 52° (50°) ihren Strahl schräg nach oben. In welchem Verhältnis stehen die Sprunghöhen der Wasserstrahlen, in welchem die Sprungweiten?

#220.# Mit welcher Anfangsgeschwindigkeit muß eine Kugel abgeschossen werden, um bei einem gegebenen Elevationswinkel ~α~ = 5° ein Ziel zu treffen, dessen horizontale Entfernung ~a~ = 1632 _m_ beträgt, und welches um den Depressionswinkel ~β~ = 10° tiefer liegt als der Ausgangspunkt? Welches ist der höchste Punkt der Flugbahn?

#221.# Durch ein Geschoß von 600 _m_ Anfangsgeschwindigkeit und der Elevation ~α~ = 30° wurde eine 100 _m_ über dem Horizonte liegende Turmspitze getroffen. Wie weit ist der Turm horizontal vom Geschütz entfernt und mit welcher Geschwindigkeit wurde er getroffen?

270. Gleichförmig beschleunigte Bewegung.

^Wenn eine konstante Kraft auf einen frei beweglichen Körper wirkt, entsteht eine gleichförmig beschleunigte oder verzögerte Bewegung^; die Größe ~φ~ der Beschleunigung (beim freien Falle = ~g~ = 9,809 _m_) hat andere Werte, welche von der ^Größe der wirksamen Kraft^ und von der ^Größe der zu bewegenden Masse^ abhängen.

Man erhält die nämlichen Gleichungen ~v = φ t~; ~s = ½ φ t²~.