Part 36

Meist bringt man nicht die Kraft ~P~ am Ende des Spindelradius ~r~ an, sondern verlängert diesen Radius stabförmig bis zur Länge ~R~ (^Schlüssel^), und bringt am Ende des Schlüssels die Kraft ~p~ an; man sieht, daß ~P~ und ~p~ wie Kräfte an einem Hebel wirken, also:

~p : P = r : R~;

dies verbunden mit

~P : Q = h : 2 r π~

gibt:

~p : Q = h : 2 R π~

also: #Kraft zu Last wie Ganghöhe zum Umfange des vom Schraubenschlüsselende beschriebenen Kreises.#

Der Kraftgewinn kann leicht bedeutend groß gemacht werden, denn die Ganghöhe ist stets klein (z. B. 1 _cm_); den Schlüssel kann man lang wählen (z. B. 50 _cm_), dann ist der Umfang = ~2 R π~ = 2 · 50 · 3,14 = 314 _cm_, also der Kraftgewinn = 314. Hiervon geht stets ein beträchtlicher Teil durch die Reibung verloren.

^Goldene Regel^: Dreht man die Spindel einmal herum, so ist der Weg der Kraft gleich dem Umfang des Schraubenschlüsselkreises (314 _cm_), der Weg der Last ist eine Ganghöhe (1 _cm_) d. h. die Last ist nur um eine Ganghöhe (1 _cm_) gehoben; sovielmal also die Kraft kleiner ist als die Last (314 mal), ebensovielmal ist ihr Weg größer als der Weg der Last (314 mal). Demnach ist auch bei der Schraube die Arbeit der Kraft = der Arbeit der Last (Gesetz der Maschinen).

260. Anwendung der Schrauben.

Die Schraube wird angewandt zum ^Heben schwerer Lasten^, besonders wenn dieselben nicht hoch gehoben werden müssen, z. B. zum Aufziehen von Schleusen. Die Schleuse ist an einer vertikalen Schraubenspindel befestigt (Fig. 346), welche durch ein Loch eines oben angebrachten Querbalkens geht; auf die Spindel ist die Mutter gesteckt und bis zum Querbalken heruntergedreht. Dreht man die Mutter mittels eines Schlüssels noch weiter, so geht die Spindel und somit die Schleuse nach aufwärts. (Heben der Schienenträger an den Zufahrtstellen der Schiffbrücken.)

[Abbildung: Fig. 346.]

[Abbildung: Fig. 347.]

[Abbildung: Fig. 348.]

Die ^Schraubenpresse^ (Fig. 347). Mit einer starken Unterlage ist ein starker Eisenbügel verbunden, welcher oben die Schraubenmutter enthält; durch diese geht die Spindel, welche oben getrieben wird durch einen Schlüssel und unten auf eine Platte drückt; zwischen diese und die Unterlage wird der zu pressende Körper gelegt; der Widerstand, den dieser dem Zusammenpressen entgegensetzt, ist gleichsam die in der Richtung der Spindel wirkende Last, die überwunden wird. Hat die Maschine etwa 2 _cm_ Ganghöhe und 60 _cm_ Schlüssellänge, also einen Kraftgewinn =

2 · 60 · 3,14 ------------- = 188,4 2

und drückt man mit der Kraft von 20 _kg_, so gibt das einen Spindeldruck von 188,4 · 20 _kg_ = 3768 _kg_ = 75 Ztr.; der Körper wird von der Spindel gepreßt, wie wenn auf ihm 75 Ztr. lägen. Stempel-, Buchbinder-, Kelterpresse, ^Schraubenzwinge^, Schraubstock, ^Klemmschrauben^. Sehr mannigfach ist die Anwendung von Schrauben zum ^Befestigen von Gegenständen^ aneinander. Sollen etwa zwei Metallplatten aufeinander befestigt werden, so werden beide durchbohrt und durch dieses Loch wird ein ^Schraubenbolzen^ gesteckt, ein runder Eisenstab, der an einem Ende einen hervorragenden Kopf hat und am anderen Ende mit Schraubengewinde versehen ist. Auf dies Gewinde wird eine Mutter eingedreht, bis sie die Platte berührt, und mittels eines Schlüssels fest angezogen. Dadurch werden beide Platten sehr stark aneinander gedrückt.

[Abbildung: Fig. 349.]

[Abbildung: Fig. 350.]

Auch um Metall auf Holz, oder Holz auf Holz zu befestigen, bedient man sich der Schraube; es wird das Metall durchbohrt, so daß die Spindel gut durchgeht, und ins Holz wird ein Loch gebohrt. Die Holzschraube (Fig. 349) bohrt sich dann mit ihren scharfen Gängen selbst die Mutter ins Holz und dient zum Befestigen von Gegenständen auf Holz.

Das ^Schraubenmikrometer^ dient dazu, um die Dicke von dünnen Gegenständen z. B. Blechen, Drähten, dünnen Achsen und Zapfen u. s. w. zu messen, ^Kalibermaß^. Ein Eisenbügel hat an einem Arme eine Schraubenmutter, durch welche eine Schraubenspindel, die ^Mikrometerschraube^, geht, beide müssen sehr exakt gearbeitet sein. Dem Schraubenspindelende gegenüber ist am anderen Arm des Bügels ein Vorsprung (Daumen) angebracht. Auf der Schraubenspindel ist oben ein ^Kreis^ oder eine Trommel angebracht, die in etwa 100 gleiche Teile geteilt ist; neben ihr steht ein am Bügel befestigter ^Zeiger^, so daß man am Zeiger sehen kann, wie viele ganze Schraubenumgänge, und an der Stellung der Kreisteilung gegen den Zeiger, wie viel Hundertel des folgenden Umgangs die Spindel gemacht hat; aus der Ganghöhe der Spindel, z. B. 1 _mm_, kann man mit großer Genauigkeit die Dicke des Bleches erfahren.

Stellschrauben dienen vielfach dazu, um einen Punkt, das Ende der Spindel, genau an eine gewünschte Stelle zu bringen.

^Schiffsschraube^. Die Spindel oder Welle ragt hinten aus dem Schiffe horizontal heraus und wird durch die Dampfmaschine in rasche Umdrehung versetzt. Auf der Welle sind 3 oder 4 Flügel angebracht, welche wie Schraubenflächen gestaltet sind, aber nur je einen Teil eines ganzen Umlaufes, etwa nur ¼ oder ¹/₆ darstellen. Das umliegende Wasser bildet gleichsam die Schraubenmutter, und da die Schraubenflügel bei der Umdrehung einen Druck auf das Wasser ausüben, so übt das Wasser einen Gegendruck aus auf die Schraubenflügel, und durch diesen wird das Schiff bewegt.

^Die Schraube ohne Ende^. Die Last greift am Umfang einer Welle an etwa mittels eines Seiles; das zugehörige Rad ist gezahnt und greift mit seinen Zähnen zwischen die Gänge einer in Zapfen liegenden Schraubenspindel ein, welche durch eine Kurbel gedreht werden kann. Sie ist ein hübsches Beispiel einer zusammengesetzten Maschine, denn sie besteht aus einem Wellrad und einer Schraube; die Kraft ~y~, die am Umfang des Rades erforderlich ist, wirkt als Last an der Spindel der Schraube.

Es ist also

1) ~Q : y = R : r~,

2) ~y : P = 2 K π : h~

(~K~ = Kurbel, ~h~ = Ganghöhe), hieraus

Q R · 2 K π R 2 K π ~- = --------- = - · -----~; P r · h r h

das heißt:

^auch der Kraftgewinn dieser zusammengesetzten Maschine ist gleich dem Produkt der Kraftgewinne der einzelnen einfachen Maschinen^.

Aufgaben:

#176.# Welchen Druck übt eine Schraubenspindel von 8 _mm_ Ganghöhe aus, wenn an einem Schlüssel von 40 _cm_ Länge eine Kraft von 25 _kg_ wirkt?

#177.# Wie lange muß man den Schlüssel einer Schraube von 13 _mm_ Ganghöhe wählen, damit eine Kraft von 15 _kg_ einen Druck von 50 Ztr. hervorbringt?

#178.# Eine Schraubenspindel von 18 _mm_ Ganghöhe soll gehoben werden durch Umdrehung der Mutter; die Mutter hat am Rande 60 Zähne, in welche ein Trieb von 8 Zähnen eingreift; dieser wird durch eine Kurbel von je 32 _cm_ Radius gedreht, an welcher zwei Männer mit je 15 _kg_ Kraft angreifen. Welche Last darf an der Spindel hängen, wenn ¹/₃ durch Reibung verloren geht?

261. Gleichförmige Bewegung.

^Eine gleichförmige Bewegung ist eine solche, bei welcher in gleichen Zeiten gleiche Wege zurückgelegt werden^. ^Geschwindigkeit^ ist der Weg, den der Körper in einer Zeiteinheit (meistens in 1") zurücklegt. Bezeichnet man die Geschwindigkeit mit ~c~, die Zeit mit ~t~, so ist der Weg ~s~:

~s = c t~.

Eine gleichförmige Bewegung findet unter folgenden Verhältnissen statt: 1. Wenn ein Körper eine Geschwindigkeit hat und sonst auf ihn weder eine Kraft noch ein Hindernis einwirkt; er behält dann nach dem Trägheitsgesetze die Geschwindigkeit unverändert bei; die Bewegung ist dabei gradlinig, da ein Körper auch die Richtung der Bewegung nicht selbständig zu verändern vermag. 2. Wenn ein Körper schon eine Geschwindigkeit hat, und auf ihn eine Kraft wirkt, welche gerade imstande ist, die der Bewegung entgegenwirkenden Kräfte oder entgegenstehenden Hindernisse zu überwinden. Beispiele: ein auf der Straße fahrender Wagen, der Eisenbahnzug, wenn er auf ebener Strecke im Laufen ist, das Schiff, das durch Wind oder Dampf (oder Strömung) oder beides in gleichförmiger Bewegung erhalten wird u. s. f. Bei dieser Bewegung muß Arbeit aufgewendet werden, da eine Kraft längs eines Weges wirkt; ihre Größe wird gemessen durch das Produkt aus Kraft mal Weg. 3. Man nennt eine Bewegung auch dann noch gleichförmig, wenn in einer der vorigen Arten die Richtung der Bewegung beständig so verändert wird, daß statt der geradlinigen eine krummlinige Bewegung eintritt, die Geschwindigkeit aber unverändert bleibt. Hierüber mag vorderhand die Bemerkung genügen, daß eine von außen auf den Körper einwirkende Kraft notwendig ist, um diese Richtungsänderung hervorzubringen.

Aufgaben:

#179.# Welche Geschwindigkeit hat ein Körper, der in 1 Std. 37 Min. 28,6 _km_ zurücklegt?

#180.# Welchen Weg legt ein Dampfer bei 11 Knoten Geschwindigkeit in 3 Tg. 6 Std. zurück? (Ein Knoten = ¹/₆₀ engl. Seemeile in 1 Min.)

262. Der freie Fall.

Nach dem Trägheitsgesetz verharrt jeder Körper in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange nicht eine Kraft auf ihn wirkt. Wirkt eine Kraft auf ihn, so ändert sie den Bewegungszustand, indem sie die Bewegung langsamer oder rascher macht, oder auch deren Richtung ändert. Die einfachste Art einer solchen Wirkung ist die einer ^konstanten^, d. h. ^der Größe oder Intensität nach gleichbleibenden^ Kraft. Wir wählen dazu als Beispiel die ^Schwerkraft^, die ja innerhalb der gewöhnlich vorkommenden Grenzen als konstant angenommen werden darf.

Ist der Körper anfangs in Ruhe, so erteilt ihm die Schwerkraft eine Bewegung, und zwar erhält er im Laufe einer Sekunde eine ^Geschwindigkeit^ von ca. 10 _m_; d. h. wenn am Ende der ersten Sekunde die Schwerkraft aufhören würde zu wirken, und der Körper bloß dem Beharrungsvermögen folgen würde, so würde er in jeder folgenden Sekunde einen Weg von 10 _m_ zurücklegen.

In der zweiten Sekunde behält er die erlangte Geschwindigkeit von 10 _m_ bei und bekommt durch die Schwerkraft, welche während der zweiten Sekunde ebenso wirkt wie in der ersten, noch eine Geschwindigkeit von 10 _m_ dazu, so daß er am Ende der zweiten Sekunde eine Geschwindigkeit von 20 _m_ hat. Während der dritten Sekunde behält er die Geschwindigkeit von 20 _m_ bei und bekommt wieder eine Geschwindigkeit von 10 _m_ dazu, so daß er am Ende der dritten Sekunde eine Geschwindigkeit von 30 _m_ hat. So geht es fort; nach ~n~ Sekunden ist seine Geschwindigkeit = ~n~ · 10 _m_. Der Betrag von 10 _m_ ist nicht genau, sondern ist in Wirklichkeit 9,809 _m_; er wird mit ~g~ bezeichnet und heißt die ^Beschleunigung der Schwerkraft^. Da eine konstante Kraft in jeder Sekunde dieselbe Beschleunigung hervorbringt, so verursacht sie ^eine gleichförmig beschleunigte Bewegung^; der freie Fall eines schweren Körpers ist eine solche. Bezeichnen wir die Sekundenzahl mit ~t~, und die in dieser Zeit erlangte Geschwindigkeit mit ~v~, so ist

~v = g t (I)~.

Wir betrachten nun die ^Wege, die der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt^. Am Anfang der ersten Sekunde hat der Körper noch keine Geschwindigkeit, am Ende der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeit = 10 _m_; da seine Geschwindigkeit hiebei gleichmäßig von 0 bis 10 _m_ wächst, so kommt er dabei ebensoweit, wie wenn er sich mit der mittleren Geschwindigkeit von 5 _m_ bewegt hätte. Dies bestätigt der Versuch. In der zweiten Sekunde hat er am Anfang 10 _m_, am Ende 20 _m_ Geschwindigkeit; man fand, daß der Weg in der zweiten Sekunde 15 _m_, gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten ist. Ebenso hat er in der dritten Sekunde am Anfang 20 _m_, am Ende 30 _m_ Geschwindigkeit; der Weg in der dritten Sekunde beträgt 25 _m_; so geht es fort, der Weg in der vierten Sekunde ist 35 _m_ etc. Man fand also: ^Die Wege, welche der Körper in den einzelnen Sekunden zurücklegt, bilden eine arithmetische Reihe^, deren Anfangsglied ~a~ = 5 _m_, genauer = ½ ~g~ ist, und von denen jedes folgende Glied um 10 _m_, genauer um ~g~, größer ist als das vorhergehende; also die Differenz aufeinanderfolgender Glieder ~d~ = 10 _m_, genauer = ~g~.

Um die Höhe zu berechnen, die der Körper in ~t~ Sekunden durchfällt, so kann man als das einfachste schließen, daß der Körper ebensoweit kommt, wie wenn er ~t~ Sekunden lang sich mit der mittleren Geschwindigkeit

0 + g t g t ~------- = ---~ 2 2

bewegt hätte, daß also sein Weg ~s = ½ g t²~ ist. Dasselbe findet man auch, wenn man die Wege der einzelnen Sekunden addiert, also die ^Summe dieser arithmetischen Reihe bildet^; dies geschieht nach der Formel

d ~s = n a + n · (n - 1) -~, 2

wobei

g ~n = t~, ~a = -~, ~d = g~ 2

zu setzen ist; also ist:

g g t g t² g t g ~s = t · - + t (t - 1) - = --- + ---- - ---~ 2 2 2 2 2

t² ~s = g -- (II)~. 2

263. Beweis der Fallgesetze.

Diese zwei Formeln

g t² ~#v = g t (I), s = ---- (II)#~ 2

[Abbildung: Fig. 351.]

enthalten die ^Fallgesetze^ und wir betrachten jetzt, wie sie ihr berühmter Entdecker ^Galilei^ gefunden und bewiesen hat. Der ^schiefe Turm zu Pisa^ gab ihm Gelegenheit, zu untersuchen, von welcher Höhe er eine Bleikugel fallen lassen müsse, damit sie nach einer oder nach zwei oder nach drei Sekunden zu Boden fällt, und er fand, daß die Höhe bei zwei Sekunden 4 mal, bei drei Sekunden 9 mal so groß sein muß wie bei einer Sekunde: ^die Fallhöhen verhalten sich wie die Quadrate der Zeiten^ (~II~). Hieraus das Fallgesetz ahnend, untersuchte er es durch den Fall auf der schiefen Ebene: Er nahm eine lange Holzrinne, mit glattem Pergament ausgekleidet, neigte sie etwas (schiefe Ebene) und ließ Elfenbeinkugeln herabrollen. Hiebei ist die Masse der Kugel dieselbe wie beim freien Falle, aber während beim freien Falle die ganze Schwerkraft auf die Masse bewegend wirkt, ^wirkt auf der schiefen Ebene bloß die parallel der schiefen Ebene wirkende Komponente^ ~P = Q · sin α~ bewegend. Diese ist aber kleiner (~sin α~ mal größer), deshalb bringt diese Kraft auch eine kleinere Beschleunigung hervor (eine ~sin α~ mal größere Beschleunigung). Die Bewegung ist also auch eine gleichförmig beschleunigte Bewegung, nur statt ~g~ steht überall ~g · sin α~; so fand Galilei, daß stets der Weg ~s~ ausdrückbar war durch

t² ~s = g · sin α · --~, 2

wie er auch die Neigung ~α~, die Zeit ~t~ oder den Weg ~s~ veränderte. So fand und bewies Galilei nicht bloß das Gesetz vom freien Falle, sondern auch das vom Falle auf der schiefen Ebene; bei letzterer ist also die Beschleunigung = ~#g sin α#~, demnach ~#v = g t · sin α#~, und ~#s = ½ g t² · sin α#~.

Die ^Atwoodsche Fallmaschine^ (1784) besteht aus einer vertikalen Säule, auf welcher oben eine sehr leicht ^drehbare leichte Rolle^ angebracht ist; um sie ist ein Faden gelegt, an dessen Enden cylindrische Gewichte von etwa je 200 _g_ hängen; diese halten sich das Gleichgewicht. Legt man auf ein Gewicht ein Übergewicht etwa von 10 _g_, so sinkt dieses, während das andere steigt; aber diese Bewegung ist sehr langsam. Würde man nämlich das Übergewicht, 10 _g_, frei fallen lassen, so würde die Kraft von 10 _g_ dazu verwendet werden, um eine Mass von 10 _g_ in Bewegung zu setzen, das gäbe die Beschleunigung ~g~ = 10 _m_. Liegen aber die 10 _g_ Übergewicht auf dem einen Gewichte, so wird nun die Kraft von 10 _g_ dazu verwendet, um die Masse von 410 _g_ in Bewegung zu setzen, also eine 41 mal größere Masse; ^deshalb bekommt diese 41 mal größere Masse auch nur eine 41 mal kleinere Beschleunigung^, ~g′~ = ¹⁰/₄₁ _m_, ^macht also eine verhältnismäßig langsame Bewegung^. Man bringt ein passendes Übergewicht an und untersucht, ob die Fallräume dem Gesetz entsprechen; man macht mehrere Versuche mit verschiedenen Übergewichten, wohl auch mit verschiedenen Massen, und findet, daß auch diese Bewegungen dem Gesetz entsprechen.

Mit diesem Apparat kann man auch die Richtigkeit des ersten Gesetzes ~v = g t~ beweisen durch Messung der Endgeschwindigkeiten. Man gibt dem Übergewichte die Form eines Stäbchens, das horizontal auf das Gewicht gelegt wird, so daß seine Enden herausragen; man beobachtet dann, wie weit das Gewicht in einer Sekunde heruntersinkt, und bringt an dieser Stelle einen Ring an, der das Gewicht durchgehen läßt, das herausragende Übergewicht aber auffängt. Die Gewichte bewegen sich dann mit der ihnen eigentümlichen Geschwindigkeit weiter, ohne daß die Schwerkraft an ihnen beschleunigend wirkt, sie legen also in den folgenden Sekunden Räume zurück, die der Endgeschwindigkeit der ersten Sekunde entsprechen. Man mißt diese Räume und findet so das Gesetz der Endgeschwindigkeit bestätigt. Wenn etwa das Gewicht in der ersten Sekunde 12 _cm_ zurücklegt (~s₁~ = ½ · 24 · 1²), so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 24 _cm_ zurücklegt (~v₁~ = 24 · 1). Hat es in den ersten zwei Sekunden 48 _cm_ zurückgelegt (~s₂~ = 24 · 2²) so findet man, daß es, vom Übergewichte befreit, in jeder folgenden Sekunde 48 _cm_ zurücklegt (~v₂~ = 24 · 2) u. s. f.

Bei der Wirkung einer konstanten Kraft, also auch beim freien Falle, ist die ^Beschleunigung konstant^, d. h. der Geschwindigkeitszuwachs ist in gleichen Zeiten gleich groß. ^Die Endgeschwindigkeit ist proportional der Zeit^ (~v = g t~), ^und der Weg oder die Fallhöhe ist proportional dem Quadrate der Zeit^ (~s~ = ½ · ~g t~²). Aus beiden Gleichungen folgt: ~v = √(2 g s)~, #die Endgeschwindigkeit ist proportional der Quadratwurzel der Fallhöhe# (und proportional der Quadratwurzel aus der Beschleunigung).

Aufgaben:

#181.# Wie lange braucht ein Körper, um eine Höhe von 68 _m_ (274 _m_) zu durchfallen, und welche Endgeschwindigkeit erlangt er?

#182.# Mit welcher Endgeschwindigkeit kommt das Wasser am Fuße eines 23 _m_ hohen Wasserfalles, oder einer 2,4 _m_ hohen Schleuse an?

#183.# Von welcher Höhe muß ein Körper herunterfallen, um eine Endgeschwindigkeit von 1 _m_ (30 _m_, 50 _m_) zu erlangen?

264. Fall auf der schiefen Ebene.

Für die schiefe Ebene gelten die Gesetze:

~#v = g t sin α#~,

g t² ~#s = ---- sin α#~, 2

~#v = √(2 g s sin α)#~.

Wir beweisen: Wenn ein Körper über eine schiefe Ebene von der Höhe ~h~ und beliebiger Neigung ~α~ herunterläuft, so erlangt er dieselbe Endgeschwindigkeit, wie wenn er die Höhe der schiefen Ebene frei durchfällt.

[Abbildung: Fig. 352.]

Beim freien Fall über die Höhe ~h~ ist seine Endgeschwindigkeit ~v = √(2 g h)~. Beim Fall auf der schiefen Ebene ist ~v = √(2 g s sin α)~; aber ~s~ ist hiebei die Länge ~l~ der schiefen Ebene: diese ist

h h ~l = -----~; also ~v = √(2 g ----- · sin α) = √(2 g h)~ sin α sin α

wie vorher. Es ist also auch gleichgültig, ob die schiefe Ebene ihre Neigung verändert (krumme Bahn). ^Die Endgeschwindigkeit ist auf allen in der Fig. 352 gezeichneten und ähnlichen Wegen dieselbe, und zwar die durch den freien Fall über die Höhe erlangte^.

Beweise: Ein Körper durchfällt den Durchmesser eines Kreises in derselben Zeit, in welcher er irgend eine vom oberen Ende des Durchmessers ausgehende (oder zum unteren Ende führende) Sehne des Kreises durchläuft.

Aufgaben:

#184.# Wie lange braucht ein Körper, um eine schiefe Ebene von 84 _m_ (200 _m_) Länge und von 16° (22½°) Steigung zu durchlaufen, und welche Endgeschwindigkeit erlangt er dabei?

#185.# Wie hoch muß eine schiefe Ebene von ~α~° (25°) Steigung sein, damit ein Körper mit der Endgeschwindigkeit ~v~ = 16 _m_ unten ankommt?

#186.# Um eine Rinne von 30 _m_ Länge zu durchlaufen, braucht das Wasser 5"; wie groß ist deren Steigung, und mit welcher Geschwindigkeit kommt das Wasser unten an?

265. Bewegung eines vertikal geworfenen Körpers.

Bewegung eines ^vertikal abwärts geworfenen Körpers^. Der Körper hat eine Anfangsgeschwindigkeit = ~a~ und bekommt durch die Schwerkraft einen Geschwindigkeitszuwachs ~g~ in 1", ~g t~ in ~t"~. ^Durch die Wirkung der Schwerkraft bekommt der Körper in gleichen Zeiten stets dieselbe Geschwindigkeitsänderung gleichgültig, welche Bewegung er anfangs hatte^. Diese Geschwindigkeit ~g t~ tritt zur schon vorhandenen ~a~ hinzu, also

~#v = a + g t#~.

Weg in der ersten Sekunde: Am Anfang der ersten Sekunde hat er eine Geschwindigkeit ~a~, am Ende eine Geschwindigkeit ~a + g~; der Weg in der ersten Sekunde ist demnach wie früher gleich dem Mittel aus beiden Geschwindigkeiten, = ~a + ½ g~; ebenso findet man den Weg in der zweiten Sekunde = ~a + ½ g + g~, in der dritten Sekunde = ~a + ½ g + 2 g~ etc. ^Die Wege in den einzelnen Sekunden bilden wieder eine arithmetische Reihe^, deren Anfangsglied = ~a + ½ g~, deren Differenz = ~g~, deren Summe also

( g) g t g t² g t g ~s = t (a + -) + t · (t - 1) · -~ = ~a t + --- + ---- - ---~ ( 2) 2 2 2 2

g t² ~#s = a t + -----#~. 2

Der Weg ist gleich der Summe der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.

^Bewegung eines senkrecht nach aufwärts geworfenen Körpers^. Hiebei ^verringert^ die Schwerkraft die vorhandene Geschwindigkeit in jeder Sekunde um ~g~, also in ~t"~ um ~g t~, also ist

~#v = a - g t#~.

Der Weg in der ersten Sekunde ist, ähnlich wie früher, = ~a - ½ g~, in der zweiten = ~a - ½ g - g~, in der dritten = ~a - ½ g - 2 g~ u. s. w.; ^diese Wege bilden wieder eine arithmetische Reihe^, deren Differenz = ~- g~, also ist der in ~t"~ durchlaufende Weg, oder die Summe:

( g) g ~s = t (a - -) - t · (t - 1) -~, ( 2) 2

oder vereinfacht:

g t² ~#s = a t - ----#~. 2

Der Weg ist gleich der Differenz der Wege, die durch die einzelnen Ursachen hervorgebracht würden.

#Der vertikal geworfene Körper steigt so lange, bis seine Endgeschwindigkeit = 0 ist#, also 0 = ~a - g t~; hieraus

a ~#t = -#~. g

Der zurückgelegte Weg, die ^Steighöhe^, berechnet sich aus

g t² ~s = a t - ----~, 2

wenn man

a ~t = -~ g

setzt. Es ist

a² g a² ~s = -- - ----~; g 2 g²

a² ~#s = ---~. 2 g

#Die Steighöhe ist dem Quadrat der Anfangsgeschwindigkeit proportional#; wird der Körper mit doppelt so großer Anfangsgeschwindigkeit geworfen, so steigt er 4 mal so hoch.

Ist der Körper an diesem höchsten Punkte angelangt, so hat er einen Moment lang die Geschw. = 0; dann fällt er nach den gewöhnlichen Fallgesetzen. Die Zeit, die er braucht, um die erreichte Höhe wieder herabzufallen, berechnet sich aus

t² a² a² g t² ~s = g --~, wobei ~s = ---~; das gibt --- = ----~, 2 2 g 2 g 2

hieraus ist

a ~t = -~, g

d. h. #der Körper braucht zum Herabfallen dieselbe Zeit wie zum Hinaufsteigen#. Die Endgeschw., mit der er am Boden ankommt, berechnet sich aus ~v = g t~, wo

a a ~t = -, also ~v = g · -~, g g

~#v = a~; er kommt mit derselben Geschwindigkeit an, mit der er geworfen wurde#.

Die Zeit, welche ein Körper braucht, um einen Punkt ~B~ in der Höhe ~h~ zu erreichen, berechnet sich aus ~h = a t - ½ g t²~, und ist

1 ~t = - (a ± √(-2 g h + a²))~. g

Der eine Wert, entsprechend - √, gibt an, in welcher Zeit der Körper den Punkt ~B~ erreicht; der andere Wert, entsprechend + √, gibt an, welche Zeit der Körper braucht, um bis zum höchsten Punkte zu gelangen und von dort aus wieder herunterzufallen, bis er den Punkt ~B~ von oben her trifft. Die Geschwindigkeit, die er in ~B~ hat, berechnet sich aus

1 ~v = a - g t~ für ~t = - (a ± √(-2 g h + a²))~; also g

~v = a - a ∓ √(-2 g h + a²)~

~v = ∓ √(-2 g h + a²)~.