Part 33

Wirken mehrere Kräfte auf den Hebel, so bringt jede an ihm ein Drehmoment hervor, dessen Größe gleich ist dem Produkte aus der Kraft mal ihrem Hebelarme. Denkt man sich die Kräfte wieder ersetzt durch Kräfte, die je im Abstande 1 mit gleichem Moment wirken, so hat man wie in Fig. 310 links vom Drehpunkte im Abstand 1 die Kräfte ~P₁ a₁~, ~P₂ a₂~, ~P₃ a₃~ anzubringen; ihre Resultierende ist, da ~P₃ a₃~ nach der entgegengesetzten Richtung wirkt ~= P₁ a₁ + P₂ a₂ - P₃ a₃~; ebenso hat man rechts vom Drehpunkt im Abstand 1 Kräfte anzubringen, deren Resultierende ~= - P₄ a₄ + P₅ a₅ - P₆ a₆ + P₇ a₇~. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn ~P₁ a₁ + P₂ a₂ - P₃ a₃ = - P₄ a₄ + P₅ a₅ - P₆ a₆ + P₇ a₇~.

Ordnet man diese Momente nach positiven Gliedern, also:

~a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₄ P₄ + a₆ P₆ = a₃ P₃ + a₅ P₅ + a₇ P₇~,

so heißt das Gesetz: #Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der einen Richtung zu drehen suchen, gleich ist der Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der anderen Richtung zu drehen suchen.#

Bringt man alle Momente auf eine Gleichungsseite, also:

~a₁ P₁ + a₂ P₂ - a₃ P₃ + a₄ P₄ - a₅ P₅ + a₆ P₆ - a₇ P₇ = 0~,

so heißt das Gesetz: #Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die algebraische Summe aller Momente = 0 ist#; dabei sind die Momente mit dem + oder - Zeichen zu nehmen, je nachdem sie den Hebel nach der einen oder nach der anderen Richtung zu drehen suchen.

[Abbildung: Fig. 311.]

^Beispiel^: An einem Hebel wirken die aus Fig. 311 ersichtlichen Kräfte; welche Kraft ist anzubringen, damit der Hebel im Gleichgewichte ist?

Antwort: Die Momentengleichung gibt:

18 · 30 + 10 · 14 - 26 · 3 - 14 · 15 - ~x~ · 35 = 0;

hieraus ~x~ = 11,2 _kg_.

Aufgaben:

#144.# Wenn an einem Hebel auf der einen Seite in den Entfernungen von 18 _cm_ und 33 _cm_ vom Stützpunkte die Kräfte 9 und 11 _kg_, und auf der anderen Seite die Kraft 15 _kg_ in 20 _cm_ Entfernung wirkt, wo muß noch die Kraft von 10 _kg_ dazugefügt werden, damit Gleichgewicht stattfindet?

#145.# An einer horizontalen Stange von 64 _cm_ Länge, die an einem Ende in einem Scharnier drehbar ist, hängt am andern Ende eine Last von 20 _kg_. Mit welcher Kraft drückt sie auf einen Punkt, der 15 _cm_ vom Scharnier entfernt ist, und mit welcher Kraft drückt sie auf das Scharnier selbst?

241. Resultante von Parallelkräften.

#Parallelkräfte, welche an einer starren Stange angreifen, haben eine Resultierende, welche den Parallelkräften parallel, und gleich ihrer algebraischen Summe ist.#

[Abbildung: Fig. 312.]

Wirken in zwei starr verbundenen Punkten ~B~ und ~C~ (Fig. 312) zwei ^parallele^ Kräfte ~P₁~ und ~P₂~, so findet man die Mittelkraft auf folgende Art. Man fügt die gleichen und entgegengesetzt wirkenden Kräfte ~S₁~ in ~B~ und ~S₂~ in ~C~ hinzu, wodurch, da ~S₁~ und ~S₂~ sich aufheben, die Wirkung von ~P₁~ und ~P₂~ nicht geändert wird. Man bilde aus ~S₁~ und ~P₁~ die Mittelkraft ~R₁~, ebenso ~R₂~ aus ~S₂~ und ~P₂~, verlege ihren Angriffspunkt in den Schnittpunkt ~A~ ihrer Richtungen, zerlege dort wieder ~R₁~ in ~P₁~ und ~S₁~, ~R₂~ in ~P₂~ und ~S₂~, so heben sich ~S₁~ und ~S₂~ auf, ~P₁~ und ~P₂~ geben eine Mittelkraft ~R = P₁ + P₂~; ihren Angriffspunkt verlegt man nach ~D~, so ist ~D~ der Angriffspunkt der Mittelkraft der zwei Parallelkräfte ~P₁~ und ~P₂~.

Bezeichnet man ~BD~ mit ~x~, ~DC~ mit ~y~, ~DA~ mit ~h~, so ist

~x : S₁ = h : P₁~; also ~S₁ h = x P₁~; ebenso ~y : S₂ = h : P₂; also ~S₂ h = y P₂~; hieraus durch Vergleichung: ~x P₁ = y P₂~ oder ~P₁ : P₂ = y : x = CD : BD~.

Dies ergibt den Satz: ^Wirken zwei Parallelkräfte an den Endpunkten einer starren Strecke, so ist die Mittelkraft parallel den Kräften, gleich der Summe der Kräfte, und^ ihr #Angriffspunkt teilt die Strecke so, daß sich die Teile verhalten umgekehrt wie die Kräfte#.

Daraus folgt auch: der Angriffspunkt der Mittelkraft der Parallelkräfte ist auch der Stützpunkt des Hebels ~BC~ mit den Kräften ~P₁~ und ~P₂~.

[Abbildung: Fig. 313.]

Wirken die Parallelkräfte nicht in gleicher, sondern in ^entgegengesetzter^ Richtung, so ändert sich die Ableitung wie aus Fig. 313 ersichtlich ist.

Man fügt wie vorher die gleichen Kräfte ~S₁~ und ~S₂~ hinzu, bildet die Mittelkräfte ~R₁~ und ~R₂~, verlegt ihre Angriffspunkte in den Schnittpunkt ~A~ ihrer Richtungen, zerlegt sie dort wieder in ihre Komponenten, so heben sich ~S₁~ und ~S₂~ auf, während die Komponenten ~P₁~ und ~P₂~ nun in entgegengesetzten Richtungen wirken, also eine ^Mittelkraft^ geben gleich ihrer ^Differenz^ ~R = P₁ - P₂~. Die Richtung von ~R~ schneidet die Strecke ~BC~ außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte und zwar auf Seite der größeren Kraft in ~D~. Bezeichnet man wieder ~DB~ mit ~x~, ~DC~ mit ~y~, ~DA~ mit ~h~, so ist ebenso

~x : S₁ = h : P₁~; hieraus ~x P₁ = S₁ h~; ~y : S₂ = h : P₂~; hieraus ~y P₂ = S₂ h~; durch Vergleichung: ~x P₁ = y P₂~, oder

~P₁ : P₂ = y : x = DC : DB~. Der Angriffspunkt ~D~ der Mittelkraft teilt also die Strecke ~BC~ ^äußerlich^ so, daß die Teilstrecken ~DC~ und ~DB~ sich umgekehrt verhalten wie die Kräfte.

[Abbildung: Fig. 314.]

Gleichgewicht kann hergestellt werden, indem man in ~D~ eine der Mittelkraft gleiche und entgegengesetzte Kraft anbringt; doch muß ~D~ noch starr mit ~B~ und ~C~ verbunden sein.

Sind die zwei Kräfte ~P₁~ und ~P₂~ (Fig. 314) entgegengesetzt gerichtet und noch dazu einander gleich und macht man dieselbe Ableitung, so ergibt sich, daß die Mittelkräfte ~R₁~ und ~R₂~ parallel gerichtet sind. Deshalb ergeben ihre Richtungen keinen Schnittpunkt ~A~, also auch keine Mittelkraft. Nennt man „zwei gleiche an zwei starr verbundenen Punkten angreifende und in entgegengesetztem Sinn gerichtete Kräfte ein #Kräftepaar#“, so hat man den Satz: Ein Kräftepaar hat keine Mittelkraft, kann also durch eine einzige Kraft allein nicht aufgehoben werden.

Erweiterung der vorigen Sätze: die Resultierende beliebig vieler Parallelkräfte ist den Kräften parallel und gleich ihrer algebraischen Summe.

Der Angriffspunkt der Mittelkraft muß so liegen, daß das #Drehungsmoment der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte#, und zwar gleichgültig, wo auch der Drehungspunkt der Stange liege.

Ob es möglich ist, einen Angriffspunkt unter diesen Bedingungen zu finden, ist nicht von vornherein klar. Wir suchen daher zunächst den Angriffspunkt ~J~ der Mittelkraft, indem wir einen bestimmten Punkt ~O~ als Drehungspunkt annehmen. (Fig. 315.)

[Abbildung: Fig. 315.]

Es seien ~P₁~, ~P₂~, ~P₃~, ~- P₄~ die Kräfte, so ist die Mittelkraft

~R = P₁ + P₂ + P₃ - P₄~.

Sind ~a₁~, ~a₂~, ~a₃~, ~a₄~ die Entfernungen dieser Kräfte vom Drehungspunkte ~O~ und ~OJ = x~ die Entfernung der Mittelkraft von ~O~, und soll das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der einzelnen Kräfte sein, so muß

~R · x = a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄~; hieraus

a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄ ~OJ = x = ---------------------------~. P₁ + P₂ + P₃ - P₄

Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn die Mittelkraft in dem so bestimmten Punkte ~J~ angreift, ihr Moment auch gleich ist der Summe der Momente der Einzelkräfte in bezug auf einen beliebigen anderen Punkt ~O′~. Denn es sei ~OO′ = c~, so ist

~R x = a₁ P₁ + a₂ P₂ + a₃ P₃ - a₄ P₄~; aber es ist ~R c = c P₁ + c P₂ + c P₃ - c P₄~; also durch Addition ~R (x + c) = P₁ (a₁ + c) + P₂ (a₂ + c) + P₃ (a₃ + c) - P₄ (a₄ + c)~.

Aber links steht das Moment der Mittelkraft in bezug auf ~O′~, und rechts steht die Summe der Momente der einzelnen Kräfte auch in bezug auf ~O′~; beide sind gleich.

Der Angriffspunkt ~J~ der Mittelkraft mehrerer Parallelkräfte oder deren Schwerpunkt kann demnach auf obige Art gefunden werden, indem man zunächst einen beliebigen Punkt ~O~ als Drehpunkt annimmt; die Gleichheit der Momente gilt dann von selbst für jeden anderen Punkt ~O′~.

Rückt man nun den Punkt ~O~ nach ~J~, nimmt man also den Angriffspunkt der Mittelkraft als Drehpunkt, so ist in bezug auf ihn das Moment der Mittelkraft gleich Null, da die Mittelkraft durch den Punkt selbst geht, also keinen Hebelarm, einen Hebelarm = 0 hat. Folglich ist auch die Summe der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf ~J~ gleich Null. Das bedeutet aber, daß der Hebel in bezug auf ~J~ als Drehpunkt im Gleichgewichte ist. Wir schließen also: der Schwerpunkt mehrerer paralleler Kräfte ist zugleich Stützpunkt des Hebels und umgekehrt.

Aufgaben:

#146.# An den Enden einer Stange von ~a~ = 80 _cm_ Länge wirken die Parallelkräfte ~P~ = 56 _kg_ und ~Q~ = 72 _kg_. Wo ist die Stange zu stützen?

#147.# Eine Stange von der Länge ~l~ ist an beiden Endpunkten gestützt. Wenn sie nun in der Entfernung ~a~ vom einen Ende mit ~Q~ _kg_ belastet ist, wie verteilt sich diese Last auf die beiden Stützen? Wo muß die Last angebracht werden, damit sich die Belastungen wie 2 : 3, wie ~p : q~ verhalten?

#148.# Eine Last von 100 _kg_ soll auf eine horizontale, an beiden Enden gestützte Stange von 1,5 _m_ Länge so gelegt werden, daß der eine Stützpunkt nur einen Druck von 20 _kg_ erfährt. Wo ist die Last anzubringen?

#149.# Ein Balken hat bei 5,2 _m_ Länge 128 ~℔~ Gewicht, die in seiner Mitte angreifen, ist an beiden Enden fest aufgelegt und 2,4 _m_ vom einen Ende noch mit 280 ~℔~ belastet. Welchen Druck übt er auf jede Stütze aus?

#150.# An einem Balken von der Länge ~l~, der an beiden Enden gestützt ist, wirken in den Abständen ~a₁~, ~a₂~, ~a₃~, ~a₄~ je vom linken Endpunkt aus gerechnet die Gewichte ~P₁~, ~P₂~, ~P₃~, ~P₄~. Welchen Druck hat jede Stütze auszuhalten?

#151.# An einem Hebel wirken folgende Kräfte: Am einen Ende 50 _kg_, 20 _cm_ davon entfernt 60 _kg_, weitere 15 _cm_ davon 125 _kg_, weitere 30 _cm_ davon 4 _kg_ und weitere 16 _cm_ davon 80 _kg_. Wo muß der Hebel gestützt werden, wenn alle Kräfte in derselben Richtung wirken, und wo, wenn die 2. und 4. Kraft nach entgegengesetzten Richtungen wirken?

#152.# An einer Stange wirken folgende Parallelkräfte: am einen Ende 40 _kg_, 12 _cm_ davon 70 _kg_, weitere 20 _cm_ davon 50 _kg_ nach aufwärts, weitere 23 _cm_ davon 60 _kg_ nach abwärts und weitere 23 _cm_ davon 35 _kg_ nach abwärts. Wo und wie stark muß sie gestützt werden?

#153.# Ein Balken von 4,8 _m_ Länge ist an beiden Enden unterstützt. Er ist in mehreren Punkten belastet, und zwar 0,6 _m_, 1,4 _m_, 2,2 _m_, 3 _m_ je vom linken Endpunkt mit 120 _kg_, 250 _kg_, 75 _kg_, 140 _kg_. An welchem Punkte dürfen diese Belastungen vereinigt werden, wenn der Druck auf die Stützen sich nicht ändern soll?

#154.# Ein an beiden Enden unterstützter Balken von 3,6 _m_ Länge ist 1,2 _m_ vom linken Ende schon mit 100 _kg_ belastet. Wo muß eine weitere Last von 150 _kg_ angebracht werden, damit die Belastungen der beiden Stützen gleich werden?

242. Starres System.

Wenn auf einen festen Körper eine Kraft wirkt, so bewegt er sich wegen der gegenseitigen Anziehung der Moleküle so, daß all seine Teile in Bewegung kommen. Man nennt deshalb einen festen Körper ein #starres System materieller Punkte#. Diese Bezeichnung gilt auch für einen festen Körper, der aus mehreren Teilen so zusammengesetzt ist, daß die gegenseitige Lage der Teile durch äußere Kräfte nicht geändert wird. Man sieht dabei ab von den unausbleiblichen kleinen Änderungen, Biegungen, Verkürzungen und ähnlichem.

Die Erfahrung lehrt: #die Wirkung einer Kraft auf ein starres System ändert sich nicht, wenn man den Angriffspunkt der Kraft in der Richtung der Kraft an einen andern Punkt des Systems verlegt#.

Wir betrachten ein ^ebenes^ starres System und lassen an ihm beliebige Kräfte wirken, deren Richtungen alle in der Ebene des Systems selbst liegen. Wir suchen die Resultierende.

Wir ziehen in der Ebene eine beliebige Gerade, verlegen den Angriffspunkt jeder Kraft in diese Gerade, und haben somit eine starre Gerade, an welcher an verschiedenen Punkten Kräfte ~P₁~, ~P₂~, ~P₃~ . . . . . . unter verschiedenen Winkeln ~α₁~, ~α₂~, ~α₃~, . . . . . . wirken. Dabei seien alle Winkel in demselben Sinne gemessen, etwa nach rechts und abwärts bis 180°, und nach rechts und aufwärts auch bis 180°, letztere jedoch als negativ betrachtet.

Wir zerlegen jede Kraft in zwei Komponenten, von denen die eine (~x~) in der Richtung der Geraden, die andere (~y~) senkrecht dazu wirkt. Dann ist

~x₁ = P₁ cos α₁~; ~x₂ = P₂ cos α₂~; . . . . . . ~xₙ = Pₙ cos αₙ~. ~y₁ = P₁ sin α₁~; ~y₂ = P₂ sin α₂~; . . . . . . ~yₙ = Pₙ sin αₙ~.

Man vereinigt die ~x₁~, ~x₂~ . . . . . . zu einer Resultierenden

~X = x₁ + x₂ + x₃ + . . . . . . xₙ~; ebenso ~Y = y₁ + y₂ + y₃ + . . . . . . yₙ~.

Man bestimmt ferner den Angriffspunkt ~O~ von ~Y~ als den Angriffspunkt der Resultierenden von Parallelkräften, so wirken in ~O~ die zwei Kräfte ~Y~ und ~X~. Man bildet die Resultierende ~R = √(X₂ + Y₂)~ und die Richtung derselben

Y ~tang ω = -~. X

Man weiß dann, daß an einem beliebigen Punkt dieser Richtung die Resultierende ~R~ eben in dieser Richtung wirkt.

Ist das starre ebene System dabei in einem Punkte ~C~ drehbar befestigt, so findet man das Moment der Resultierenden in bezug auf diesen Drehpunkt, indem man von ~C~ auf die Richtung von ~R~ eine Senkrechte fällt, und diesen Abstand als Hebelarm mit ~R~ multipliziert.

Soll bloß das Moment der Resultierenden in bezug auf einen gegebenen Drehpunkt ~C~ gefunden werden, so fällt man von ~C~ auf jede Kraftrichtung eine Senkrechte, ~a₁~, ~a₂~, ~a₃~ . . . . .; dann ist das Moment der Resultierenden gleich der algebraischen Summe der Momente der einzelnen Kräfte. ~M = P₁ a₁ + P₂ a₂ = P₃ a₃ +~ . . . . .

Da das Starrsein eines Systems nur durch die gegenseitige Anziehung der Moleküle bedingt ist, so hört ein System auf, starr zu sein, wenn die Kraft zu heftig auf den Körper wirkt, wie bei einem starken Stoß, Ruck und Schlag. Es werden dann die getroffenen Teile aus dem Verband des starren Systems losgerissen. Man sagt, ^eine dem festen Körper mitzuteilende Bewegung bedarf hiezu einer gewissen Zeit^. Beispiele: Durch Druck kann man ein Brett umwerfen, eine abgeschossene Flintenkugel schlägt ein Loch durch. Eine Münze auf einem Kartenblatt folgt einer langsamen Bewegung desselben, einer raschen nicht. Ein an zwei schwachen Fäden horizontal aufgehängter Stab wird durch raschen Schlag zerbrochen, ohne daß die Fäden reißen. Langsame oder wuchtige Schläge treiben den Pfahl in den Boden; heftige Hammerschläge zersplittern ihn oben.

Aufgaben:

#155.# Ein horizontaler Balken ~AB~ ruht in ~A~ in der Wand; in ~B~ ist eine unter 30° geneigte Zugstange ~BC~ angebracht, welche in ~C~ in der Mauer befestigt ist. Welchen Zug hat die Zugstange auszuhalten, wenn der Balken 2,8 _m_ lang, 70 _kg_ schwer und 1 _m_ von ~B~ entfernt noch mit 240 _kg_ belastet ist?

#156.# Ein horizontaler Balken ~AB~ ist in ~A~ mit der Mauer verklammert, und in ~B~ durch eine unter 15° geneigte Stütze ~BC~ gegen die Mauer in ~C~ gestützt. Welchen Druck hat die Stütze auszuhalten, wenn ~AB~ 3 _m_ lang, 120 _kg_ schwer, in ~B~ mit 100 _kg_ und 1 _m_ vor ~B~ noch mit 150 _kg_ belastet ist?

243. Bestimmung des Schwerpunktes.

#Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der Resultierenden all der kleinen Schwerkräfte, die auf die einzelnen Teilchen des Körpers wirken.#

[Abbildung: Fig. 317.]

Schwerpunkt einer geraden Linie.

Eine physikalische Linie ist ein der Länge nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Breite und Dicke absehen kann (Molekülreihe). Ist eine starre #gerade Linie# überall gleich schwer, so liegt der #Schwerpunkt in der Mitte#; denn von diesem Punkte aus nach rechts und links liegen in je gleichen Entfernungen gleich schwere Massenteilchen. Ein steifen, dünner, gerader Draht bietet annähernd ein Beispiel dafür.

Schwerpunkt des Rechtecks.

[Abbildung: Fig. 318.]

Eine physikalische Fläche ist ein der Länge und Breite nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Dicke absehen kann (Molekülschichte).

Denkt man sich das Rechteck parallel einer Seite in ungemein viele, sehr schmale und gleich schmale Streifen zerschnitten, so daß jeder Streifen etwa bloß eine Molekülreihe enthält, so liegt der Schwerpunkt jedes solchen Streifens in seiner Mitte; diese Schwerpunkte erfüllen als geometrischen Ort eine Linie, welche, wie aus geometrischen Gründen leicht ersichtlich ist, die gerade Verbindungslinie der Mitten der zwei Gegenseiten ist; auch liegen die Schwerpunkte auf dieser Linie gleich weit von einander entfernt, weil die Streifen gleich breit sind. Denkt man sich nun das Gewicht jedes Streifens in seinem Schwerpunkte angebracht, so sind diese Gewichte gleich groß, weil die Streifen gleich lang und breit sind und aus gleicher Masse bestehen. ^Wir haben also auf der Schwerlinie in Punkten von gleichen Entfernungen gleich große Kräfte; die Resultierende^ geht durch die ^Mitte der Schwerlinie^, und dort liegt der ^Schwerpunkt des Rechtecks^. Aus geometrischen Gründen ist ersichtlich, daß dieser #Schwerpunkt im Schnittpunkte der Diagonalen# liegt und so am leichtesten gefunden werden kann. Ähnliche Ableitung und gleiches Resultat gilt über den Schwerpunkt des Parallelogramms, Rhombus und Quadrates.

Schwerpunkt des Dreiecks.

[Abbildung: Fig. 319.]

Man zerlegt das Dreieck, ähnlich wie das Rechteck, in Streifen, die einer Seite parallel sind; ihre Schwerpunkte liegen in ihren Mitten und erfüllen, wie aus geometrischen Gründen ersichtlich ist, eine gerade Linie, welche die Mitte der Dreiecksseite mit der Spitze verbindet, also die ^Seitenhalbierungslinie^. Denkt man sich nun wieder das Gewicht jedes einzelnen Streifens in seinem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf der Schwerlinie auch wieder Punkte von gleicher Entfernung; aber in ihnen wirken nicht gleiche Kräfte, weil die Streifen nicht gleich lang sind, sondern gegen die Spitze zu immer kürzer werden. Der Angriffspunkt der Resultierenden liegt also wohl auf, aber nicht in der Mitte dieser Linie.

Zerlegt man aber das Dreieck parallel einer anderen Seite in Streifen, so findet man die zweite Seitenhalbierungslinie als eine Schwerlinie. ^Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt beider Schwerlinien^. Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt also im Schnittpunkte der Seitenhalbierungslinien, von welchem geometrisch bekannt ist, daß er #im ersten Drittel jeder Seitenhalbierungslinie# liegt.

Schwerpunkt von Vielecken.

[Abbildung: Fig. 320.]

Man teilt das Viereck ~ABCD~ durch die Diagonale ~AC~ in zwei Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte ~s~ und ~s′~, denkt sich das Gewicht jedes Dreiecks in seinem Schwerpunkte vereinigt und schließt, daß der Angriffspunkt der Resultierenden beider Gewichte, also der Schwerpunkt, auf der Geraden ~ss′~ selbst liegen muß; ~ss′~ ^ist also Schwerlinie des Vierecks^. Man teilt das Viereck durch die Diagonale ~BD~ in zwei andere Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte ~s₁~ und ~s₁′~ und schließt, daß auch die Gerade ~s₁s₁′~ ^eine Schwerlinie des Vierecks ist^; daraus folgt dann, daß der ^Schwerpunkt^ ~S~ ^im Schnittpunkte^ von ~ss′~ und ~s₁s₁′~ liegt. (Welche besondere Lage haben die Geraden ~ss′~ und ~s₁s₁′~?)

Der Schwerpunkt des Fünfecks wird ähnlich gefunden, indem man es durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt und von jedem den Schwerpunkt sucht; die Verbindungslinie der Schwerpunkte ist dann eine Schwerlinie. Zerlegt man das Fünfeck durch eine andere Diagonale und verfährt ebenso, so erhält man noch eine Schwerlinie; der Schnittpunkt beider ist der Schwerpunkt. Ähnlich kann man bei einem Sechseck, Siebeneck u. s. w. verfahren, doch wird das Verfahren bald unleidlich langwierig.

244. Schwerpunkt einfach zusammengesetzter Flächen.

Ist eine ebene Figur aus einfachen Stücken zusammengesetzt, so kann man den Schwerpunkt auf folgende Art berechnen. Man berechnet das ^Gewicht jedes Flächenstückes^, wobei man, wenn alle Stücke aus demselben Stoffe bestehen, die Flächenzahl als Gewichtszahl benützen, also etwa setzen kann: Rechteck = 12 · 48 = 576 _g_.

[Abbildung: Fig. 321.]

Man denkt sich diese Gewichte in den zugehörigen Schwerpunkten angebracht und läßt sie, indem man ihre Angriffspunkte in den Richtungen der Kräfte verlegt, auf eine gerade Linie z. B. auf die untere Grenzlinie wirken. Die Resultierende ist in unserer Figur = 576 + 416 + 400 = 1392. Nimmt man etwa den linken Endpunkt als Drehpunkt an und setzt die Entfernung des Angriffspunktes der Resultierenden vom linken Endpunkt = ~x~, so hat man die Momentengleichung: 576 · 6 + 416 · 25 + 400 · 43 = 1392 · ~x~; ~x~ = 22,3.

Eine in dieser Entfernung gezogene Parallele kann man als Schwerlinie ~I~ ansehen.

Nun denkt man sich die Schwerkraft nach einer anderen Richtung wirkend, etwa nach links und erhält die Momentengleichung:

400 · 20 + 576 · 24 + 416 · 32 = 1392 · ~y~; ~y~ = 25,2.

In der Entfernung ~y~ = 25,2 liegt die Schwerlinie ~II~. Im Schnittpunkt beider Schwerlinien liegt der Schwerpunkt ~S~ der Figur.

Aufgaben:

#157.# Zeichne ein beliebiges Fünfeck (Sechseck) und bestimme dessen Schwerpunkt ähnlich wie in Figur 320 Seite 351.

#158.# Auf die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks von den Katheten 6 und 8 _cm_ (5 und 9 _cm_) sind nach außen gerichtete Rechtecke von je 5 _cm_ Höhe aufgesetzt. Berechne den Schwerpunkt der ganzen Figur.

#159.# Von einem Trapez sind gegeben die beiden Parallelen ~a~ und ~b~ und ihr Abstand ~h~. Zeige, daß der Schwerpunkt von ~a~ aus den Abstand

h a + 2 b h b + 2 a ~x = - · -------~, von ~b~ aus ~y = - · -------~ hat. 3 a + b 3 b + a

#160.# An ein Rechteck von den Seiten 7 _cm_ und 30 _cm_ sind an den langen Seiten als Grundlinien gleichschenklige Dreiecke von 42 _cm_ und 12 _cm_ Höhe angesetzt. Berechne die Lage des Schwerpunktes.

#161.# Suche den Schwerpunkt einer beliebigen krummlinig begrenzten Figur durch Zerlegung derselben in sehr schmale Parallelstreifen.

245. Schwerpunkt der Körper.

Schwerpunkt des Prismas.

Man denke sich das Prisma parallel zur Grundfläche in sehr viele, sehr dünne Schichten von gleicher Dicke zerschnitten, so daß jede Schichte etwa bloß eine Molekülschichte enthält, also jede Schichte anzusehen ist als eine Fläche; die Schwerpunkte derselben erfüllen als geometrischen Ort eine gerade Linie, welche die Schwerpunkte der Grund- und Deckfläche verbindet, ^Schwerachse^. Denkt man sich das Gewicht jeder Schichte in ihrem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf dieser Linie Punkte, die gleich weit voneinander entfernt sind, und an denen gleiche Kräfte wirken; die Resultierende dieser Kräfte geht demnach durch die Mitte dieser Linie. #Der Schwerpunkt des Prismas liegt in der Mitte der Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Gegenflächen des Prismas, also in der Mitte der Schwerachse.#

Schwerpunkt der Pyramide.

[Abbildung: Fig. 322.]

Ist die Pyramide dreiseitig, so zerlegt man sie parallel der Basis, ähnlich wie beim Prisma in Schichten, sucht deren Schwerpunkte und findet aus geometrischen Gründen, daß sie als geometrischen Ort die Gerade erfüllen, welche den Schwerpunkt der Grundfläche mit der Spitze verbindet. Diese Gerade ist deshalb eine Schwerlinie der Pyramide. Man zerlegt die Pyramide parallel einer Seitenfläche in Schichten, sucht die Schwerpunkte und findet ebenso als Ort derselben die Gerade, welche den Schwerpunkt dieser Seitenfläche mit der gegenüberliegenden Ecke verbindet, also eine zweite Schwerlinie. Beide Schwerlinien schneiden sich, und ihr Schnittpunkt ist der Schwerpunkt der Pyramide. Man beweist geometrisch, daß dieser Schwerpunkt im ersten Viertel der Schwerlinie, von der Fläche aus gerechnet, liegt.

Den Schwerpunkt der mehrseitigen Pyramiden findet man, indem man den Schwerpunkt der Grundfläche mit der Spitze verbindet und auf dieser Schwerlinie das erste Viertel von der Basis aus nimmt.

Ebenso findet man den Schwerpunkt eines Kegels.

246. Schwerpunkt zusammengesetzter Körper.