Part 7

Statt durch _A_ könnte man auch durch _C_ eine Wagrechte und von _D_ eine Linie nach _P_ ziehen, um auf dieselbe Weise wie oben die Punkte _e_ und _c_, _m_ und _n_ zu bestimmen.

Aus Fig. 94 ist zugleich die Anwendung der beiden in § 88 und 89 angegebenen Berechnungsweisen auf einen ~senkrecht~ stehenden Kreis zu ersehen. Es ist klar, dass hiebei die zwei senkrechten Seiten des Quadrats an Stelle der unverkürzten wagrechten treten und dass die Linien _A E_, _B F_, _i g_, _h k_ der Fig. 93 jezt als Wagrechte gezeichnet werden müssen. Das Übrige ergibt sich deutlich genug aus den Linien der Fig. 94.

Parallele und concentrische Kreise.

§ 91. Fig. 95 zeigt 2 in gleicher Höhe stehende parallele Kreise. Der eine ist von dem Quadrat _a b c d_, der andere von _e f g h_ umschlossen. Die Schnittpunkte der Diagonalen _a c_ und _b d_, _e g_ und _f h_ ergeben die beiden Mittelpunkte _y_ und _z_; die Punkte _o_, _p_, _i_, _k_ sind auf die oben angegebene Weise bestimmt, die entsprechenden 4 Punkte auf _e g_ und _f h_ durch Linien, welche parallel mit _a e_ und _b f_ von _k_, _o_, _p_, _i_ nach links gezogen sind.

§ 92. In Fig. 96 soll, nachdem der Kreis _A B C D_ gegeben ist, durch _a_ ein Kreis mit dem gemeinschaftlichen Mittelpunkt _i_, sodann durch _F_ ein mit _A B C_ paralleler Halbkreis gezeichnet werden. Zunächst wird _C c_ = _A a_ gemacht, sodann das Quadrat des inneren Kreises gebildet, indem man durch _a_ und _c_ Linien nach dem Augpunkt zieht und die Punkte _m_ und _n_, _o_ und _p_, in welchen hiedurch die Diagonalen des grösseren Kreises geschnitten werden, durch 2 Wagrechte verbindet. Die Halbierungspunkte der Seiten dieses kleineren Quadrats sind _a b c d_. Die Punkte der Diagonalen, durch welche der innere Kreis geht, können auf die § 88--89 angegebene Weise bestimmt werden, doch sind sie, wenn der Massstab der Zeichnung kein sehr grosser ist, entbehrlich, nachdem die Linie des äusseren Kreises gezeichnet ist.

Um den unteren Halbkreis zu zeichnen, wird die durch _F_ gehende _E G_ mittels _h E_ und _k G_ = _h k_ gemacht und das Quadrat _E G g e_ gebildet, womit für den unteren Kreis ausser _F_ die Punkte _s_, _r_ und _f_ gegeben sind. Die Punkte der Diagonalen _E g_ und _G e_, welche er durchschneiden muss, ergeben sich durch die von _m_, _n_, _o_, _p_ abwärts gezogenen Senkrechten.

Teilung eines verkürzten Kreises.

§ 92. In Fig. 96 ist zugleich gezeigt, wie diese Kreise in eine beliebige Zahl von gleich grossen Teilen geteilt werden können: mit dem Halbmesser _F G_ ist von _F_ oder von _H_ aus ein Halbkreis gebildet, der mit dem Zirkel auf die gewünschte Weise, hier in 8 Teile, geteilt wird. Hierauf sind von den Teilungspunkten senkrechte Linien bis _E G_ und von da Linien parallel mit _E e_ und _G g_, d. h. nach _P_ bis zur Linie des unteren Halbkreises gezogen. Das Weitere ist aus der Figur ersichtlich, vgl. die Teilung eines verkürzten Kreises in 8 oder 6 Teile, Fig. 100--104.

Verkürzte Achtecke.

§ 93. Wie Fig. 97 zeigt, entsteht ein Achteck, wenn dieselben 8 Punkte, welche zur Darstellung des Kreises dienten, durch gerade Linien verbunden werden, nämlich die Halbierungspunkte der Seiten eines Quadrats und die Punkte seiner Diagonalen, welche von einem in demselben beschriebenen Kreis durchschnitten werden. Die perspectivische Form eines verkürzten Achtecks, welches die in Fig. 97 angenommene Stellung zu den Seiten eines gegebenen Quadrats hat, bedarf also keiner weiteren Erklärung.

Etwas Anderes ist es, wenn ein Quadrat oder eine Seite eines Quadrats gegeben ist, in welchem ein Achteck wie _a b c d e f g h_ in _A B C D_ Fig. 98 gezeichnet werden soll, d. h. so, dass sämtliche 8 Ecken in den 4 Seiten des Quadrats liegen. Die geometrische Construction würde darin bestehen, dass die 4 von _i_, dem Mittelpunkte des gegebenen Quadrats, nach den Halbierungspunkten der Seiten gehenden Linien über diese hinaus um soviel verlängert würden, dass jede die Länge einer halben Diagonale des Quadrats hätte, also _i m_, _i n_, _i o_ und _i p_ je = _i A_ wären. Durch Verbindung der Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ entsteht ein zweites dem ersten gleiches Quadrat und die Verbindungslinien der Punkte _b_ und _c_, _d_ und _e_, _f_ und _g_, _h_ und _a_ ergeben das Achteck.

Ist nun das verkürzte Quadrat _A B C D_ Fig. 99 gegeben, so kann eine der unverkürzten Seiten z. B. _C D_ benüzt werden, um mit einer Hälfte derselben ein gleichschenkliges Dreieck _C E F_ zu bilden. Wird hierauf _E k_ = _E F_ gemacht, so ist das äussere Quadrat _H G K L_ leicht zu bilden: eine Linie von _P_ durch _k_ schneidet die verlängerten Diagonalen _A C_ und _D B_ in _H_ und _G_ und 2 unverkürzte Wagrechte von hier aus ergeben die Punkte _L_ und _K_. Hiermit sind auch die Punkte _m_, _n_, _o_ und _p_ und die Seiten des Achtecks gegeben.

Oder könnte auch die Länge _E F_ von _C_ nach _f_ und von _D_ nach _e_ getragen werden -- denn aus Fig. 98 ist ersichtlich, dass _C f_ oder _D e_ = _C i_ sind -- um hierauf die weiteren Constructionslinien teils parallel mit den Diagonalen, teils parallel mit den Seiten des Quadrats _A B C D_ zu ziehen.

Wäre statt des Quadrats _A B C D_ _a b_ als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben, so würde man mit der Hälfte derselben ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _b z y_ bilden, _b B_ und _a A_ = _y b_ machen und hierauf das Quadrat _A B C D_ construieren, um wie oben zu verfahren; vgl. die geometrische Zeichnung Fig. 98.[7]

[7]: Fig. 99 ist insofern ungenau, als _b B_ und _a A_ etwas kleiner sind als _y b_. Der Fehler wurde zu spät bemerkt und ist so geringfügig, dass es genügen dürfte, hiedurch darauf aufmerksam zu machen.

§ 94. Fig. 100 zeigt die Construction eines Achtecks, wenn ein solches anschliessend an die Seiten eines Quadrats in schräger Ansicht gezeichnet werden soll.

Angenommen, es sei das Quadrat _A B C D_ gegeben, so ziehe man eine unverkürzte Wagrechte durch _A_ und eine Linie von _P_ durch _B_ nach _E_. Die perspectivischen Verhältnisse, in welche _A B_ zu teilen ist, können nun auf _A E_ geometrisch angegeben und durch Linien, welche mit _E B_ parallel sind, auf _A B_ übertragen werden (vgl. Fig. 72 und 75). Man bildet entsprechend Fig. 98 mit der Hälfte von _A E_ ein gleichschenkliges Dreieck _p E y_, macht _A o_ und _E s_ je = _p y_ und zieht von _s_ und _o_ zwei mit _E B_ parallele Linien nach _a_ und _b_. Zieht man nun von _a_ und von _b_ aus zwei Linien nach _r_, dem Fluchtpunkte der Diagonale _A C_, zwei weitere parallel mit _A D_ und _B C_, so erhält man die Punkte _c_, _d_, _e_ und _f_, durch eine Linie von _r_ durch _f_ den Punkt _g_ und ist schliesslich noch die mit _B D_ und _e d_ parallele Seite _a h_ zu zeichnen.

Der Augpunkt ist übrigens nur zufällig benüzt; es könnte statt desselben ein beliebiger Punkt des Horizonts gewählt werden.

Nehmen wir an, dass _a b_ Fig. 100 als Seite eines zu zeichnenden Achtecks gegeben sei, so wäre das Verfahren ein ähnliches wie oben: von _P_ (oder einem andern Punkte des Horizonts) wird eine Linie nach der durch _a_ gehenden Wagrechten gezogen, _a n_ in _m_ halbiert, ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck _a m t_ gebildet und _n x_ sowie _a z_ je = _m t_ gemacht. Die von _P_ nach _x_ und durch _z_ gezogenen Linien ergeben die Punkte _A_ und _B_, es kann nun mit _A B_ das Quadrat _A B C D_ gebildet werden u. s. w.

§ 95. Es kann auch der Fall eintreten, dass ein verkürzter Kreis gegeben ist und innerhalb desselben von einem bestimmten Punkte aus ein Achteck gezeichnet werden soll.

Es sei z. B. die Aufgabe gestellt, in dem verkürzten Kreise _A B C D_ Fig. 101 von dem Punkte _a_ aus ein Achteck zu zeichnen. _o D_ ist = _D F_ gemacht, mit der Zirkelweite _D F_ von _o_ aus ein Halbkreis _e D f_ beschrieben und eine Linie von _P_ durch _a_ nach _c_ gezogen; _o x_ wird rechtwinklig zu _o b_, durch die Mitte von _b x_ der Halbmesser _o z_ und rechtwinklig zu diesem _o y_ gezogen (vgl. Fig. 97), worauf die Punkte _x y z_ mittels senkrechter Linien nach _E F_ gebracht und von hier durch die aus _m_, _n_ und dem Punkte zwischen _z_ und _g_ nach _P_ gezogenen Linien auf den Kreis übertragen werden. Die 4 jenseitigen Punkte sind durch den Mittelpunkt des Kreises, beziehungsweise den Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, gegeben.

Verkürzte Sechsecke.

§ 96. Die geometrische Construction eines Sechsecks besteht darin, dass ein Kreis in 6 Teile geteilt wird, von welchen jeder die Grösse eines Halbmessers jenes Kreises hat: man gibt -- Fig. 102 -- dem Zirkel die Weite eines Halbmessers z. B. _O B_, schneidet von _B_ aus den Kreis in _C_, von _C_ aus in _D_ u. s. w. und verbindet diese Punkte durch gerade Linien. Zieht man von den 6 Ecken Linien nach dem Mittelpunkt _O_, so entstehen 6 gleichseitige Dreiecke; schliesst man das Sechseck in ein Rechteck, wie _H K M N_ ein, so sind die beiden längeren Seiten je = 2 Seiten des Sechsecks: _H K_ ist gleich 2 mal _A B_, _H G_ = _A B_; _H A_, _A G_, _G B_ und _B K_ sind gleich gross. Die kürzeren Seiten sind je = 2 mal _G O_; _H F_ und _F N_ sind je = _G O_.

Ist nun _a b_ als Seite eines verkürzten Sechsecks, _P_ als Augpunkt und _D_/3 als Drittel der Distanz gegeben, so wird _b k_ und _a h_ je = der Hälfte von _a b_ gemacht, ein gleichseitiges Dreieck _a i b_ gebildet (indem von _a_ und _b_ aus 2 Kreise mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben werden, welche sich in _i_ schneiden) und _k c_ = _g i_ gemacht durch eine Linie aus _D_/3, nach _y_ (_k y_ = ein Drittel von _g i_). Hiemit sind das Rechteck _h k m n_ und die weiteren Punkte _d_, _e_ und _f_ gegeben.

§ 97. In Fig. 103 ist angenommen, dass _h n_ als kürzere Seite des von unten gesehenen Rechtecks, _P_ als Augpunkt und _D_/2 als halbe Distanz gegeben sei, in _f_ also eine Ecke des Sechsecks liege. Beschreibt man von _n_ und von _f_ aus zwei Kreisbögen mit der Zirkelweite _n f_, so schneiden sich dieselben in _s_ und es entsteht, indem durch _s_ eine rechtwinklig zu _f s_ stehende Linie bis zu den in _f_ und _n_ errichteten Senkrechten gezogen wird, ein gleichseitiges Dreieck, dessen Mittellinie _s f_ = _f n_ oder = _f h_ ist, dessen Seiten also (vgl. § 96, Fig. 102) auf die durch _f_ gehende Wagrechte übertragen, die Länge einer Seite des zu zeichnenden Sechsecks darstellen. _h p_ ist = _f z_; die von _h_ nach _P_ gehende Seite des zu bildenden Rechtecks muss also = 2 mal _h p_ sein (wie _H K_ Fig. 102 = 2 mal _A B_ ist), was durch eine Linie von _D_/2 nach _p_ erreicht wird. Ist so das Verhältnis der Seiten in dem Rechteck _h k m n_ das gleiche, wie in _H K M N_ Fig. 102, so bleibt nur noch übrig, dasselbe mittels Diagonalen wie dort in 4 gleiche Teile zu teilen, um die weiteren Ecken zu erhalten.

§ 98. In Fig. 104 soll von dem Punkte _d_ des Kreises _A B C D_ aus ein Sechseck gezeichnet werden. Das Quadrat des Kreises ist _E F G H_. Wie in Fig. 101 ist _E e_ und _F f_ = der Hälfte von _E F_ gemacht und von _o_ aus ein Halbkreis beschrieben, auf welchem _x_ dem Punkte _d_ des verkürzten Kreises entspricht (mittels _P d m_ und _m x_). Von _x_ aus schneidet der Zirkel mit der Weite eines Halbmessers _D o_ oder _x o_ den Halbkreis in _b_, von hier aus in _y_, und diese beiden Punkte werden auf die mehrfach beschriebene Weise nach _a_ und _c_ übertragen; Linien aus _d_, _a_ und _c_ durch den Mittelpunkt des Quadrats gezogen, ergeben die 3 jenseitigen Ecken.

Weitere Beispiele. Rad, Wasserrad, Walze, Cylinder.

§ 99. Fig. 105 zeigt die Anwendung von § 91 Fig. 95 auf 2 durch eine Achse verbundene Räder. Der Deutlichkeit wegen sind hier sowie in der folgenden Figur nur die wichtigsten Constructionslinien angegeben, mit deren Hilfe das Übrige ohne Schwierigkeit, so genau als der malerische Zweck erfordert, ergänzt werden kann.

In Fig. 106 sind zunächst die 4 Kreise entsprechend Fig. 95 und 96 gezeichnet. Hierauf ist der durch _a b c_ gehende Halbkreis in 5 gleiche Teile geteilt und diese Teilung auf die andere Hälfte übertragen (vgl. Fig. 101 und 104), indem nach dem Halbkreis _c d a_ Linien von jenen Teilpunkten aus durch den Mittelpunkt gezogen wurden. Diese Linien ergeben zugleich die Stellung der einzelnen Schaufeln; die wagrechten Linien der lezteren sind parallel mit _e f_, _g h_ und _o n_; die Verbindungslinien der Punkte _i_ und _k_, _y_ und _z_ u. s. w. gehen durch den Mittelpunkt _n_.

§ 100. In Fig. 107 ist der Kreis _a b c d_ als vorderer Durchschnitt einer wagrecht liegenden Walze angenommen. Da derselbe unverkürzt ist und die durch _i_ gehende Achse der Walze geometrisch rechtwinklig zu _d b_ steht, so sind von _d_ und _b_ 2 Linien nach dem Augpunkt gezogen und dieselben an beliebiger Stelle durch die Wagrechte _h f_ verbunden. Ein Kreis aus _o_, der Mitte von _h f_, durch _h_ und _f_ beschrieben, ergibt _e f g h_ als den ferner liegenden Durchschnitt, worauf vom Augpunkt aus 2 die beiden Kreise berührende Linien (Tangenten) parallel mit _i o_ als Aussenlinien der Walze gezogen werden.

Um den Cylinder Fig. 108 zu construieren, sind den beiden vorderen Kreisen entsprechend auf die oben gezeigte Weise die beiden ferneren zu zeichnen.

Dieselben Formen mit verkürzter Ansicht des Kreises zu zeichnen, bietet hienach keine Schwierigkeit. Man achte dabei auf die bereits erwähnte geometrisch rechtwinklige Stellung der Achse und der Seitenlinien zur Kreisfläche, beziehungsweise zu einem Durchmesser derselben.

Tonnengewölbe, Kreuzgewölbe, Spizbogen, Kuppel.

§ 101. Fig. 109 stellt ein sogenanntes ~Tonnengewölbe~ dar. Dasselbe hat die Form eines halben Cylinders, welcher in Fig. 109 auf den nach dem Augpunkt gehenden Linien _a e_ und _b f_ ruht. Die Construction besteht einfach darin, dass über _a b_ und _e f_ je ein Halbkreis von den Mittelpunkten _c_ und _d_ aus beschrieben wird. Die Fugenlinien des Gewölbes gehen teils parallel mit _a e_ und _b f_, teils sind sie Teile von Halbkreisen, welche mit den beiden ersteren parallel sind, deren Mittelpunkte somit in der Linie _c d_ liegen. So ist der Mittelpunkt des Halbkreises _m n p_ da, wo die Wagrechte _m p_ von _c d_ durchschnitten wird, in _o_. Die Fugenlinien _g h_, _i k_ u. s. w. haben die Richtung nach _c_, dem Mittelpunkt der beiden durch _k h_ und _i g_ gehenden Halbkreise.

§ 102. Fig. 110 zeigt die Hauptlinien eines von aussen und oben gesehenen rundbogigen ~Kreuzgewölbes~. _A B C D_ ist ein Quadrat; über jeder Seite desselben erhebt sich ein Halbkreis, die gegenüberliegenden Ecken des Quadrats, _A_ und _C_, _B_ und _D_, sind nach oben verbunden durch 2 elliptische Linien, die sogenannten Diagonalrippen oder -gurten, welche sich über den Diagonalen _A C_ und _B D_ hinziehen. Der Scheitelpunkt _n_ des Gewölbes, in welchem die beiden Ellipsen sich durchschneiden, liegt senkrecht über der Kreuzung der Diagonalen _A C_ und _B D_, er ist zugleich Schnittpunkt der Diagonalen _E z_ und _F t_. Es entstehen so 4 ~Gewölbefelder~ oder ~Kappen~, welche je von einem Halbkreis und 2 Hälften jener Ellipsen begrenzt werden, z. B. von _A m B_, _A n_ und _B n_, vgl. die innere Ansicht Fig. 111--113.

Bei der perspectivischen Construction einer solchen Gewölbeform handelt es sich, nachdem über jeder Seite des zu Grunde gelegten Quadrats ein Halbkreis gezeichnet ist, hauptsächlich um die Bestimmung einiger weiteren Hilfspunkte ausser dem durch _E z_ und _F t_ gegebenen Punkte _n_ behufs Darstellung der beiden elliptischen Linien. Die Halbkreise _A m B_ und _A h D_ werden von 2 Linien, welche man aus _E_ nach der Mitte von _A B_ und von _A D_ zieht, in _a_ und in _b_ geschnitten. Diese beiden Punkte liegen in gleicher Höhe; zieht man aus _a_ eine Linie parallel mit _A D_, also nach dem Augpunkt, und aus _b_ eine Parallele mit _A B_, d. h. eine unverkürzte Wagrechte, so müssen diese beiden Linien in dem Punkte _c_ der von _A_ ausgehenden Ellipse _A n C_ zusammentreffen, welcher mit _a_ und _b_ in gleicher Höhe liegt und kann somit dieser Punkt benuzt werden, um _A c n_ zu zeichnen.

Dem Punkte _a_ entspricht auf der rechten Seite _e_, eine Linie von hier nach dem Augpunkt und eine Wagrechte aus _c_ schneiden sich in _d_. Die entsprechenden jenseitigen Punkte der beiden Ellipsen ergeben sich durch die aus _a_ und _e_ nach dem Augpunkt gehenden Linien und eine Wagrechte von _g_ nach _f_ oder umgekehrt.

§ 103. Fig. 111 zeigt dieselben Linien von unten und von innen gesehen, mit dem Unterschied, dass die 2 Seitenkappen geschlossen bis _A D_ und _B D_ herabgehen (wie auch in Fig. 113). Der Fluchtpunkt dieser und der mit ihnen parallelen Linien ist wiederum der Augpunkt; _A B_, _C D_ und die beiden Halbkreise sind unverkürzt. Um die beiden Diagonalgurten zu zeichnen, ist hier ein anderer Weg eingeschlagen. In Fig. 110 liegen die Punkte _y_ und _x_ in gleicher Höhe mit _a_, _b_ und _f_. Zieht man von _y_ eine mit _A C_ und _E z_ parallele Linie nach _x_, von _E_ und _z_ 2 Linien nach _p_, so erhält man da, wo die Linie _y x_ von _E p_ und _z p_ geschnitten wird, gleichfalls die Punkte _c_ und _s_, welche nun mittels unverkürzter Wagrechter nach _d_ und _r_ übertragen werden können.

In Fig. 111 entspricht das senkrecht stehende von unten gesehene Rechteck _E A C z_ dem Rechteck _E A C z_ in Fig. 110; auch die übrigen einander entsprechenden Punkte beider Figuren sind durch dieselben Buchstaben bezeichnet. Der Halbkreis _A m B_ wird von der Diagonale _E G_ in _a_ geschnitten. Zieht man von _a_ eine Wagrechte nach _y_ und von _y_ eine mit _E z_ parallele Linie nach _x_, so erhält man durch _E p_ und _z p_ die Punkte _c_ und _s_ u. s. w.

§ 104. In Fig. 112 ist von einem beliebigen Punkte _a_ des Halbkreises _A m B_ eine Senkrechte nach _o_ und von hier eine Linie parallel mit _E y_ d. h. nach dem Augpunkt gezogen, welche die Diagonalen des Quadrats _E F z y_ in _i_ und _k_ schneidet. Zieht man nun von _i_ und _k_ 2 Senkrechte nach der aus _a_ nach dem Augpunkt gehenden Linie, so erhält man die Punkte _c_ und _r_, vgl. dieselben Punkte in Fig. 110.

Durch eine Wagrechte aus _a_ nach _e_, eine Linie von _e_ nach dem Augpunkt und 2 Wagrechte aus _c_ und _r_ ergeben sich sodann _d_ und _s_.

Wenn die seitlichen Kappen, wie in Fig. 113, geschlossen bis auf die wagrechte Linie herabgehen, auf welcher das Gewölbe ruht, so ist das leztgenannte Verfahren bequemer als das in § 102 beschriebene. Die Anwendung desselben auf Fig. 113 ist aus den Constructionslinien zu ersehen. _A m B_ ist hier nicht ein Halbkreis, sondern ein flacher Bogen, ein sogenannter Korbbogen. Der obere Teil desselben ist aus dem senkrecht unter _G_ liegenden Punkte _g_ beschrieben, die Fortsezung bis _A_ und _B_ kann leicht aus freier Hand ergänzt werden.

§ 105. Ein ~Spizbogen~ wird gebildet durch 2 sich durchschneidende Bögen, wie _A_, _B_, _C_ Fig. 114 zeigen. In _A_ sind die beiden Bögen von _a_ und von _b_ aus mit der Zirkelweite _a b_ beschrieben, in _B_ von den Punkten _m_ und _n_ aus mit der Weite _m c_, in _C_ von _o_ und _i_ aus mit der Weite _i e_ (_m d_ = _n c_, _o e_ = _i f_). Die den Spizbogen umgebenden Fugenlinien haben die Richtung nach dem Mittelpunkte des betreffenden Bogens: in _A_ nach _a_ und _b_, in _B_ nach _m_ und _n_, in _C_ nach _i_ und _o_.

Sind mehrere in einer Flucht liegende Spizbögen in verkürzter Stellung zu zeichnen, so bilde man das Rechteck eines Spizbogens z. B. _a b c d_ Fig. 115 und ziehe in demselben die senkrechte Mittellinie. Man kann nun eine der Bogenlinien z. B. _a B_ (leichter als _b B_) aus freier Hand zeichnen und den Punkt _o_, in welchem sie von der Diagonale _A d_ geschnitten wird, mittels _e f_, _A c_, _g C_ u. s. w. nach _n_, _m_ u. s. w. übertragen, was für gewöhnlich genügen wird. Ist grössere Genauigkeit erforderlich, so kann mit Hilfe eines Distanzpunktes anschliessend an _a d_ ein unverkürztes Rechteck _a d z y_ gebildet und _a h_ als geometrische Form der anstossenden unverkürzten Bogenlinie gezeichnet werden, worauf der Punkt _i_ nach _e_ und von hier nach _o_, _n_, _m_ u. s. w. übertragen wird.

§ 106. Als Beispiel eines spizbogigen Kreuzgewölbes ist in Fig. 116 der Deutlichkeit wegen die einfachste Form eines solchen gewählt; es wird jedoch nicht schwierig sein, das dabei angewandte Verfahren auf andere Formen, welche sehr mannigfaltiger Art sein können, anzuwenden. Die Mittelpunkte der Bogen _A m_ und _B m_, _D o_ und _C o_ sind in _a_ und _b_, _e_ und _f_. _A a_ ist ein Viertel von _A B_, _A B C D_ ist ein Quadrat. _A i_ ist = _A B_; eine Linie von _B_ nach _i_ stellt also die geometrische Länge der Diagonale _A C_ dar. Es ist nun ein Rechteck _G H h g_ gebildet, in welchem _G H_ = _B i_ = _A C_ und _G g_ = _A E_ ist; _G H h g_ ist somit die geometrische Form des verkürzten Rechtecks _A E z C_; der von _g_ nach _h_ führende Bogen ist = der von _A_ nach _C_ führenden Diagonalrippe. Da _G g_ die Hälfte von _G H_ ist, so ergibt sich, dass jene Diagonalrippe ein Halbkreis ist. Wird nun _E y_ = _G k_ gemacht, so kann die Lage der Punkte _c_, _s_, _d_ und _r_ wie bei Fig. 111 bestimmt werden.

§ 107. Fig. 117 zeigt eine von oben gesehene, in 8 Felder geteilte ~Halbkugel~. Der ihren äusseren Umriss bildende Halbkreis ist mit dem Zirkel vom Mittelpunkt der Linie _A a_ aus beschrieben. Indem die Linien _A i_ und _a i_ zugleich als Teilungslinien angenommen wurden, ergeben sich die weiteren Teilpunkte der durch _A_ und _a_ gehenden Kreislinie, nämlich _B_, _C_, _D_, _b_, _c_ und _d_, durch die Halbierungslinie und Diagonale des jenen Kreis umschliessenden Quadrats, und es stellt sich der von _C_ durch _i_ nach _c_ führende Halbkreis als Eine senkrechte Linie dar. Um die verkürzten Halbkreise _B m o b_ und _D n p d_ zu zeichnen, ist das Quadrat _E F G H_ (_E B_ = der Hälfte von _B D_) senkrecht über _B D b d_ gebildet, in welchem die auf bekannte Weise bestimmten Punkte _m_, _n_, _o_, _p_ als Hilfspunkte für jene Halbkreise dienen.

§ 108. In Fig. 118 sei der durch _A B C D_ gehende Kreis und in diesem der Punkt _B_ gegeben, um von hier aus eine achtseitige eiförmige ~Kuppel~ und darüber eine gleichfalls achtseitige Laterne zu zeichnen.

Die Teilung des Kreises in 8 Teile ist in § 95 Fig. 101 gezeigt. Die Ausführung in Fig. 118 ist nur insofern verschieden, als hier die Constructionslinien an die fernere Linie des den Kreis einschliessenden Quadrats nach unten angefügt sind. Sodann ist entsprechend dem Umfang, welchen die Laterne haben soll, ein kleinerer Kreis von demselben Mittelpunkt _y_ aus gezeichnet, welcher durch den von _A_, _B_, _C_, _D_ nach _y_ gehenden Halbmessern in den Punkten _a b c d_ geschnitten wird. Die in _a b c d_ errichteten Senkrechten bilden die Ecklinien der 3 sichtbaren Seiten der Laterne, welche oben und unten durch Parallelen der Linien _A B_, _B C_ und _C D_ begrenzt sind. Die Linien _A n_, _B e_, _C o_ und _D m_ treffen in ihrer Verlängerung zusammen in einem Punkte der senkrechten Mittellinie, hier in _z_, und es ist zu beachten, dass dieser Punkt bei einer derartigen Kuppelform höher liegen muss, als der Mittelpunkt des Kreises, welcher durch _n_, _e_, _o_, _m_ geht, hier also höher, als _x_.

Weitere Anmerkungen zur Transkription

Offensichtliche Satzfehler und fehlende Auszeichnungen wurden stillschweigend korrigiert.

Die Abbildungen wurden soweit wie möglich zu den entsprechenden Paragraphen verschoben.

Die Korrekturliste von S. VIII wurde eingearbeitet, diese Korrekturen sind hier einzeln aufgeführt.